Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:.[r]
Trang 1Chương 1 Lượng giác
tan cot
sin cos
= + + + không xác định trong khoảng nào trong các khoảng sau đây?
2
+
3
2
2
2 ; 2 2
Lời giải Chọn D
Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0
2 cos 0
x
3
2
k = ® ¹x nhưng điểm 3
2 thuộc khoảng +k2 ; 2 +k2 Vậy hàm số không xác định trong khoảng +k2 ; 2 +k2
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số 5 2 cot2 sin cot
2
y= + x- x+ æç +xö÷
è ø
2
k
D= ìí kÎ üý
2
k
D= ìí- kÎ üý
¡ ¢ C D =¡ D D=¡\ k k, ΢
Lời giải Chọn A
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời
2
5 2cot+ x-sinx³0, cot
2 x
æ + ö
è ø xác định và cot x xác định
Ta có
2
2
5 2cot sin 0
5 2cot sin 0,
1 sin 2 0 5 sin 0
Þ + - ³ " Î
cot
2 x
æ + ö
cot x xác đinh Ûsinx¹ Û ¹0 x k k, ΢
2
x k
ì ¹ - +
í
ï ¹ î
¢
Vậy tập xác định \ ,
2
k
D= ìí kÎ üý
Câu 3: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A 12
sin
y
x
4
y= æçx+ ö÷
è ø C 2 cos
4
y= æçx- ö÷
Lời giải Chọn A
Trang 2Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 3
Viết lại đáp án B sin 1 sin cos
y= æçx+ ö÷= x+ x
Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ
Xét đáp án D
2
2
4
4 x
- = - Ï Vậy y= sin 2x không chẵn, không lẻ
Câu 4: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017được cho bởi một hàm số
178
y= t- + , với t ZÎ và 0< £t 365 Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?
A 28 tháng 5 B 29 tháng 5 C 30 tháng 5 D 31 tháng 5
Lời giải
Chọn B
178 t- £ Þ =y 178 t- + £ Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất
< £ Û < + £ Û - < £
Vì k ΢ nên k =0
Với k= Þ =0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4
có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0< £t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28ngày)
Câu 5: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h(mét) của mực nước trong
kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 3cos 12
7 8 4
t
h= æç + ö÷+
=
nước của kênh cao nhất khi:
A t =13(giờ) B t =14(giờ) C t =15(giờ) D t =16(giờ)
Lời giải
Chọn B
Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất
è ø với 0< £t 24 và k ΢ Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn
Vì với t =14 thì 2
8t + = (đúng với 4 k = Î1 ¢)
Trang 3Câu 6: Hàm số
2
4cot 2
tan
x
x
-= - đạt giá trị nhỏ nhất là
A 0 B 3 2 3- C 2 2 2- D -1
Lời giải Chọn D
Ta có cot 2 1 tan2
2 tan
x x
x
-=
Từ đó suy ra
2
2 tan
x
x
-2
3 cot 2x 1 1 1, x
= - - ³ - " Ρ
Vậy min 1 cot 2 1
3
y= - Û x=
Câu 7: Hàm số 2cos sin
4
y= x+ æçx+ ö÷
è ø đạt giá trị lớn nhất là
A 5 2 2- B 5 2 2+ C 5 2 2+ D 5 2 2-
Lời giải Chọn C
y= x+ æçx+ ö÷Û x+ æçx+ ö÷
1
2
Ta có
y £æç + ö÷ +æç ö÷ Û y £ +
Do đó ta có- 5 2 2+ £ £y 5 2 2+
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2+
Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin4x+cos4x+sin cosx x là
A 9
5
4
3 Lời giải
Chọn A
Ta có y=sin4x+cos4x+sin cosx x Û = -y 1 2sin cos2x 2x+sin cosx x
2
1 sin 2 sin 2
Dấu bằng xảy ra khi sin 2 1
2
x =
Trang 4Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 5
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sinx cosx+cos sinx x là
Lời giải Chọn A
Ta có sinx cosx+cosx sinx ³2 sin cosx x sin cosx x
2 sin 2 sin 2 0
Û ³ ³ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x =0
Câu 10: Cho , ,x y z > và 0
2
x y z+ + = Tìm giá trị lớn nhất của
1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan
A ymax = +1 2 2 B ymax =3 3 C ymax = 4 D ymax =2 3
Lời giải Chọn D
x y z+ + = Û + = - Þx y z x y+ = æç -zö÷
1 tan tan tan
+
-tan -tanx z tan tany z 1 tan tanx y
Û + = - Û tan tanx z+tan tany z+tan tanx y=1
Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
1 1 tan tan+ x y+1 1 tan tan+ y z+1 1 tan tan+ z x£
2 2 2 1.tan tan 1.tan ta
1 1 1 x z+ y nz+1.tan tanx y
tan tan tan tan tan tan 2
Vậy ymax =2 3
tanx+tanæçx+ ö÷+tanæçx+ ö÷=3 3
è ø è ø tương đương với phương trình
A cotx = 3 B cot 3x = 3 C tanx = 3 D tan 3x = 3
Lời giải Chọn D
Điều kiện: cos 0
3 2
3
x x x
ì
ï
+ ¹
ï
î
sin 2
2
x
+
Trang 5sin 4sin 2 3 3 sin 2sin cos 2 4sin 2 cos 3 3
sin sin 3 sin 2sin 3 2sin 3 3 3tan 3 3 3 tan 3 3
cos cos cos3
-Câu 12: Phương trình 2cot 2x-3cot 3x=tan 2x có nghiệm là:
A
3
Lời giải Chọn D
Điều kiện của phương trình sin2x¹0,sin3x¹0,cos2x¹0
Phương trình tương đương 2cot 2x-tan 2x=3cot 3x
sin 2 0 cos2 sin 2 cos3
sin 2 cos2 sin3
sin3 0
x
x
¹ ì
ï
î
2cos 2 sin 2 3cos3 1 3cos4 3cos3
sin 2 cos2 sin 3 sin 4 sin 3
3
sin3 3sin3 cos4 3cos3 sin 4 sin3 3sin
x k
Û = ( loại do sin2x ¹0)
Vậy phương trình vô nghiệm
Câu 13: Giải phương trình
2
4 cos cos 3
A
3 3 4
4
x k
é
ê =
ê
ê = ± +
ê
ê
ê = ± +
ë
B
4 5 4
x k
é
ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
C
3 3 4
x k
= é ê
ê = ± + ë
D
3
4
x k
= é ê
ê = ± + ë
Lời giải Chọn A
2
2
x k x
x
ê
ê
êë
3 3 4
4
x k
é
ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
Trang 6
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 7
Câu 14: Giải phương trình
2
4 cos cos 3
A
3 3 4
4
x k
é
ê =
ê
ê = ± +
ê
ê
ê = ± +
ë
B
4 5 4
x k
é
ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
C
3 3 4
x k
= é ê
ê = ± + ë
D
3
4
x k
= é ê
ê = ± + ë
Lời giải Chọn A
2
cos =cos xÛcos = + Û cos = +cos
2
x k x
cos
x
k
ê
ê
êë
3 3 4
4
x k
é
ê = ê
ê = ± + ê
ê
ê = ± + ë
Câu 15: Hàm số 2sin 2 cos 2
sin 2 cos 2 3
y
+
=
- + có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
Lời giải Chọn B
Ta có 2sin 2 cos 2 2 sin 2 1 cos 2 3
sin 2 cos 2 3
+
Điều kiện để phương trình có nghiệm 2 2 2 2
5
7
y
Û - £ £ ¾¾¾¢® Î - nên có 2 giá trị nguyên
Câu 16: Phương trình cos sin cos 2
1 sin 2
x
x
- có nghiệm là:
A
2 4 8 2
x k
é = - +
ê
ê
ê = +
ê
ê
ê =
êë
B
2 4 2
x k
é = + ê
ê
ê = + ê
ê = ê êë
C
3 4 2 2 2
x k
é = + ê
ê
ê = - + ê
ê = ê êë
D
5 4 3 8 4
x k
é = + ê
ê
ê = + ê
ê
ê = êë
Lời giải
ĐK sin2 1 x ¹
Trang 72
-2
cos sin cos sin cos sin
sin cos
4
x
x
ê
-ê çè ÷ø ë
3
3
2
x k
ê
Câu 17: Phương trình 2sin 3 1 2cos3 1
A
4
x= +k B
12
x= +k C 3
4
x= +k D 3
4
x= - +k Lời giải
Chọn A
ĐK sin2 x ¹ 0
2 3sin 4sin 4cos 3cos
sin cos
x x
+
2 3 sin cos 4 sin cos
sin cos
x x
+
2 3 sin cos 4 sin cos sin sin cos cos
sin cos
x x
+
sin cos
2 3 sin cos 4 sin cos 1 sin cos
sin cos
x x
+
sin cos
2 sin cos 3 4 1 sin cos
sin cos
x x +
Trang 8Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 9
1
sin cos
1
sin cos
2
4
2
4
1
x
x
ë
ë ë
đúng
Câu 18: Để phương trình sin6x + cos6x a = |sin2 | x có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
8 a
£ < B 1 3
8< <a 8 C
1 4
a < D 1
4
a ³ Lời giải
3
sin x+cos x a= | sin 2 |x Û sin x+cos x -3sin cosx x sin x+cos x =a| sin 2 |x
3
1 sin 2 | sin 2 | 0 3sin 2 4 | sin 2 | 4 0
Đặt sin 2x t t= Î 0;1 Khi đó ta có phương trình3t2+ - =4 4 0 1t
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình 1 có nghiệm
2
1
4
a
ì ¢D = + >
ï
î
Câu 19: Cho phương trình: sin cos sin x x - x - cos x m + = 0, trong đó m là tham số thực Để phương trình
có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
2 m
- £ £ - - B 1 2 1
- - £ £ C 1 1 2
2 m
- + £ £ Lời giải
Trang 92
t
x+ x t t= £ Þ x x= - Khi đó ta có phương trình
2
2
2
t - - + = Û - + - =t m t t m
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệm
1 2
2 2
m
m
¢
D = - >
ì ï
³ - +
ï
î Câu 20: Cho phương trình: 4 sin4x+cos4 x -8 sin6 x+cos6 x -4 sin 42 x m= trong đó m là tham số Để
phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
A m< -4hay m> 0 B 3 1
2 m
2 m
- £ £ - D m< -2hay m> 0 Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
3
1
2
3
4
-Phương trình đã cho trở thành
16sin 2x 12sin 2x 4 m 0
Đặtsin 22 x t t= Î 0;1 Khi đó phương trình trở thành16t2-12t m- - =4 0 *
* vô nghiệm khi và chỉ khi:
4
¢
D = + < Û < -
TH2:
25
4
é
¢
Vậy các giá trị cần tìmm< -4hay m> Không có đáp án đúng 0
Trang 10Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 11
Câu 21: Cho phương trình: sin62 cos62 2 tan 2
cos sin
- , trong đó m là tham số Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
m£ - hay m³ B 1 1
m< - hay m> C 1 1
m£ - hay m³ D m£ -1hay m³1 Lời giải
Chọn B
ĐK: cos2 0 x ¹
3
sin cos 3sin cos sin cos
-2
3
4 2 tan 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 8 sin 2 4 0.
x
x
Đặtsin 2x t t= Î -1;1 Khi đó phương trình trở thành: 3t2+8mt- =4 0 *
Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệmt Î -1;1
TH1: * có 1 nghiệm
1 8
1 8
m
m
é >
ê
Î - Û - < Û - - - < Û ê
ê < -êë
TH2: * có 2 nghiệm 1 816 2 12 01 0 18
1
8
s m
m
ì
¢
ìD = + > >
ï ï
= - > ï
Î - Ûí - = - - > Ûí <
ï- < = - < ï- < <
Câu 22: Cho phương trình 1cos4 4tan2
x
x
+ Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:
2 m
- £ £ B 0 < £ m 1 C 1 3
2 m
m< - hay m> Lời giải
ĐK: cos x ¹ 0.
2
2
1cos 4 4 tan 1cos 4 4 tan 1cos 4 4sin cos
1
cos
x
x
+
1 1 2sin 2 2sin 2 sin 2 2sin 2 1 0
Đặt sin 2x t t= Î -1;1 Khi đó phương trình trở thành: 2 2 1 0(*)
2
t - + - =t m
Trang 11Phương trình (*)vô nghiệm:
¢
D = - < Û >
TH2:
3 2 0
5
2
m
m m
m
ì £ ï
¢
D ³
-í - =æ + öæ - ö> íê
î
ïê >
ïêë î Câu 23: Để phương trình: 4sin cos 2 3sin2 cos2
thỏa điều kiện:
A - £ £1 a 1 B - £ £2 a 2 C 1 1
2 a 2
- £ £ D - £ £3 a 3 Lời giải
Chọn B
Phương trình tương đương 2 sin 2 sin 2 2sin 2
2
2
2 2
4.cos2 sin 2
6 2 cos2
2
a x
Để phương trìnhcó nghiệm thì 1 2 2 1 2 2
2
Câu 24: Để phương trình 2 2 sin2 2 2
-=
- có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
A | | 1a ³ B | | 2a ³ C | | 3a ³ D a >1,a¹ ± 3
Lời giải Chọn D
Điều kiện của phương trình cosx¹0,cos2x¹0,tan2x¹1
Phương trình tương đương
2
2
2
2
2
os
x
x x
-2 tan2 ( 2 2 1 t)( an2 ) ( 2 1 tan) 2 2
Trang 12Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 13
· Nếu a2- £ Û £ Þ (1) vô nghiệm 1 0 | | 1a
2
2 1: (1) tan
1
a
- Phương trình có nghiệm khi 2
a - ¹ Û ¹ Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi a >1,a¹ ± 3
Câu 25: Tìm m để phương trình cosx+1 cos 2x m- cosx =msin2x có đúng 2 nghiệm ;2
3
0
Î êë úû
A - < £1 m 1 B 0 1
2
2
- < £ -m D 1 1
2
- < £m Lời giải
Chọn C
Ta có cosx+1 cos 2x m- cosx =msin2x
cosx 1 cos 2x mcosx m 1 cosx 1 cosx
Với cosx= - Û = +1 x k2 : không có nghiệm ;2
3
0
Î êë úû
2
m
x m= Û x= +
Trên 0;2
3
ë û, phương trình cos x a= có duy nhất 1 nghiệm với 1 ;1
2
a éÎ -ê ùú
Do đó, YCBT
1
1
1 1
2
m
m
ì
ï >
£
-£
ï- £ - + £ ï
î
Câu 26: Tìm m để phương trình cos2x- 2m-1 cosx- + = có đúng 2 nghiệm m 1 0 ;
2 2
xÎ êéë- ùúû
A - < £1 m 0 B 0£ <m 1 C 0£ £m 1 D - < <1 m 1
Lời giải Chọn B
c
os
2
x m
ë
2 2
xÎ êéë- ùúû nên 0£cosx£1 Do đó cosx = - (loại) 12
Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ;
2 2
xÎ êéë- ùúû khi và chỉ khi 0£cosx< Û £ <1 0 m 1
Trang 13Cđu 27: Tìm m để phương trình 2sinx m+ cosx= -1 m có nghiệm ;
2 2
x ĩÎ -í ùú
ị û
A - £ £3 m 1 B - £ £2 m 6 C 1£ £m 3 D - £ £1 m 3
Lời giải Chọn D
Đặt tan
2
x
2 2
x ĩÎ -í ùú
ị û thì t Î -1;1
2
1
p
1
2 4 1 2
Vậy để yíu cầu băi toân xảy ra thì f t = - + trín 1;1t2 4 1t
-Ta có 'f t = -2 4; 't f t = Û = 0 t 2
Vậy để yíu cầu băi toân xảy ra thì - £2 2m£ Û - £ £6 1 m 3
Cđu 28: Gọi x0 lă nghiệm dương nhỏ nhất của cos2x+ 3sin 2x+ 3sinx-cosx=2 Mệnh đề năo sau
đđy lă đúng?
A 0 0;
12
x ưÎìỉ ö÷ø B 0 ;
12 6
x Î íĩị ùúû C 0 ;
6 3
x Îìưỉ ùûú D 0 ;
3 2
x Îìưỉ ùúû Lời giải
Chọn B
Phương trình 1cos 2 3sin 2 3sin 1cos 1
t x= - ¾¾® = + ®x t x= + ®t x+ = +t
Phương trình trở thănh sin 2 sin 1 cos 2 sin 1
2
2
2sin t sint 0 sin 2sin 1 0.t t
k
t= Û =t k ¾¾® = +x k > Û > - ¾¾¾k Î ¢®k = ® =x
min
1
sin
k
k
t
Î
Î
ĩ = + ¾¾® = + > Û > - ¾¾¾® = ® = í
= Û í
í = + ¾¾® = + > Û > - ¾¾¾® = ® = íị
¢
¢
Trang 14
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 15
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là ;
6 12 6
x= Î êéë ùúû Câu 29: Phương trình 2sin 3 1 8sin 2 cos 22
4
5 6
é = +
ê
ê
ê = +
êë
5 12
é = + ê
ê
ê = + êë
C
2 12
12
é = + ê
ê
ê = - + êë
D 24
5 24
é = + ê
ê
ê = + êë
Lời giải Chọn C
2
4 2sin 3 1 8sin 2 cos 2
4
4sin 3 1 8sin 2 cos 2 *
4
x
ì æ + ö³
î
1 cos 6
1 cos 4 2
x
x x
+
2 1 sin 6x 1 4sin 2x 4sin 2 cos4x x
2 2sin 6x 1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x
-2sin2 1 0 x
sin 2
ë
Vậy tập nghiệm là 12 2
12
é = + ê
ê
ê = - + êë
Trang 15
Câu 30: Phương trình: 4sin sin .sin 2 cos3 1
x æ ç x + ö ÷ æ ç x + ö ÷ + x =
A
2
2 3
x k
é = +
ê
ê
ê =
êë
3
x k
é = + ê
ê
ê = êë
C x 3 k2
x k
é = + ê
ê
= ë
D
2 2 4
x k
é = + ê ê
ê = êë
Lời giải
2
x æ ç x + ö ÷ æ ç x + ö ÷ + x =
3
è ø
1
2
sinx sin 3x sin x cos3x 1
sin3 cos3 1 x x
4 x
x
2
2
x k
k
é =
ê
ê = +
êë
¢
Câu 31: Giải phương trình
+
A x k= 2 ,
= +
2
= k
C
2
= +
x k D x k= ,
= +
Lời giải Chọn B
Ta có 4cos 22 x+sin 22 x=3cos 22 x+ > " Î1 0, x ¡
2
Trang 16Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương – 0946798489 17
sin cos
+
sin x cos x 1
Ta có
sin sin
cos cos
í
£ ïî
Do đó
2 2
2
2
x x
x
ïê
=
ê
ë î
Câu 32: Cho phương trình: sin sin3 cos3 3 cos2
x
x
è ø Các nghiệm của phương trình thuộc khoảng 0;2 là:
A ,5
12 12 B
5 ,
5 ,
5 ,
3 3 Lời giải
Chọn C
Điều kiện: 1 2sin 2+ x¹0
Phương trình tương đương sin5 2sin sin 2 sin 3 cos3 3 cos2
1 2sin 2
x
2
sin cos cos3 sin3 cos3
1 2sin 2
1 2sin 2 cos
1 2sin 2
1 cos
2
3 cos 2 ( )
x
x x
x
x loai
+
+
+
ê
ë
xÎ Þ =x x= (thỏa điều kiện)
Chương 2 Tổ hợp
Câu 33: Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số 2011 chữ số và trong đó có ít nhất
hai chữ số 9
A 92011 2019.92010 8
9
- + B 92011 2.92010 8
9
- + C 92011 92010 8
9
- + D 92011 19.92010 8
9
Lời giải Chọn A