Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (đúng tỷ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sai biệt về giá tr[r]
Trang 1ab bc ca
c a b
Trang 2y x y
x
411
4111
z y x
12
12
12
Trang 316 (04MCL) 1.Cho x; y là các số thực dương bất kỳ Chứng minh
Trang 4ab ab
1 b 2b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 4
111
z y
x Chứng minh:
12
12
12
Trang 526 (27MCL) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 1
27 (28MCL).a) Cho a1,b1 Chứng minh a b1b a1ab
b)Cho a , b, c là ba số thực dương Chứng minh
Trang 62 Cho các số thực dương a, b, c , chứng minh rằng : b c
a
33 (11MQN).1 Cho A>0; B>0 Chứng minh rằng
A B A B2.Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Trang 720184x
Trang 9
b)Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 y2 x y Chứng minh rằng: x y 2
54 (21MLT) a) Cho a, b là hai số bất kì x, y là các số dương Chứng minh rằng:
57.(02MAK) a) Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) (b + 2a)2
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:
Trang 102) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: Chứng minh:
63 (12MAH) a) Cho x,y,z là các số dương Chứng minh rằng : 3(x2 + y2 + z2) (x+y+z)2
b) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : 3 + 2 2 2
z y x
12
12
12
Trang 11b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x y z 3 Chứng minh rằng :
b) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1
2 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming rằng
67 (12MKD) a) Với x, y là số dương , chứng minh
x y x yb) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác
Trang 1273 (02MTK) a) Cho a, b > 0 Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2) (b + 2a)2
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng:
a+b>2 với a,b>0.
75 (16MTK) a)Cho a,b,c là các s dố ương Ch ng minh ứ
1 1 1 9 + +
Trang 13Chứng minh rằng :
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
78 (08MTK) a) Cho x,y,z là các số dương Chứng minh rằng : 3(x2 + y2 + z2) (x+y+z)2
b) Cho a,b,c là các số dương thảo mãn : 3 + 2 2 2
79.(02MLA).1) Chứng minh bất đẳng thức : x3 +y3 xy(x+y) với x,y 0
2) Cho ba số x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh răng:
82(08MLA) 1) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xy
x + y + 2
A
2) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2 Chứng minh:
83(12MLA).a) Chứng minh bất đẳng thức : x3 +y3 xy(x+y) với x,y 0
b)Cho ba số x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh răng:
Trang 1485(18MLA) 1, Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn x2+ y2+ z2=3 Chứng minh: xyz 1
2 Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn x2+ y2+ z2=3
Trang 15Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b 4 a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:
5.(18MTK) a) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a + b + c = 3
Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ a3 + b3 + c3 Dấu “=” xảy ra khi nào ?
b) Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn x + y + z = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 166 (10MTK) a, Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
b, Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:
7 (11MTK) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Trang 17b) Cho a > 1, b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a2b−1+
b2a−1
13 (08MSD) a) Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
với mọi giá trị của a, b
b) Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
Trang 1819 (14MAH).1) Cho x1,y Chứng minh rằng: 1 2 2
1x 1y 1xy Dấu "=" xảy rakhi nào ?
2) Cho x1,y0 và 6xy2x 3y2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
biểu thức: A = 5x2xy 5y 2 5y2yz 5z 2 5z2zx 5x 2
2 Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
b Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trang 1925 (15MAH) a Cho x >0 Chứng minh rằng :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
28 (10MAH) a) Chứng minh rằng với mọi số thực x; y không âm ta có x y 2 xy
b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
b ac
ca a
bc
bc c
ab
ab P
22
Trang 20b2a−1
x
x
Trang 21b, Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn b2c2 a2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 22b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x 2y 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức9x 8y 2x 5y
b)Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Trang 23P = √ 2x+ yz + √ 2 y+xz + √ 2z+xy
50 (20MCL) a) Cho A>0; B>0 Chứng minh rằng
A B A Bb) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
55 (02MQN) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x2010)2 (x 2011)2
56 (03MQN) 1) với a,b là các số dương Chứng minh rằng: a b 2 ab
2) Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2015 2015
Trang 24b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn
2
1x1y1z Tìm giá trị lớn nhất của P= xyz
58 (06MQN) a) Chứng minh rằng với mọi a, b dương ta có a5 b5 a b3 2 a b2 3
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Trang 25b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x y z 12
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A 4x 2 x 1 4y 2 y 1 4z 2 z 1
65 (04MBH) 1) Cho a, b là các số dương Chứng minh rằng:
Dấu “=” xảy ra khi nào?
2) Với a, b là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
66 (05MBH). a) Cho a, b là hai số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
a b a b Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x y x y Dấu “=” xảy ra khi nào?
b.Cho x 0; y 0 và 2x 3y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2
A4x 9y xy
Trang 2669 (25MLT) 1) Cho x>0, y>0 Chứng minh rằng :
Trang 27b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:
76 (17MNT).1) Cho A>0; B>0 Chứng minh rằng
A B A B2)Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Trang 28Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
85.(01MLA) a) Cho x,y,z >0 chứng minh rằng
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
Trang 29b Cho x + y = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 y 2
88.(09MLA) a) Cho a, b, c là ba số dương có tổng là hằng số Tìm a, b, c sao cho S = ab + bc
+ ca đạt giá trị lớn nhất
b) Giả sử rằng giá bán của viên kim cương (hột xoàn) tỷ lệ với bình phương khốilượng của nó Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên(đúng tỷ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thìsai biệt về giá trị là lớn nhất ?
89.(10MLA) a) Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng a2 + b2 + c2
1 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
90(13MLA) a) Cho x > 0, y > 0 Chứng minh:
93(17MLA) a,Chứng minh: (a b )2 4ab
b, Cho x, y là các số dương thỏa mãn 3x+2y=2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP=x2y2(9x2+4y2)
94(20MLA) a) Cho a+b+c = 1, chứng minh rằng a2+b2+c2
1 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
Trang 3095(21MLA) Cho x > 0 , y > 0, z > 0 a) Chứng minh rằng : x y 2
96.(23MLA) Cho x > 0, y > 0 Chứng minh
b)Cho a > 0, b > 0 và a+b=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
97 (24MLA) Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn: xy = 1 CMR: 4 2
1 2
x y x y Dấu “=” xảy ra khi nào?
b) Cho x 0; y 0 và 2x 3y 2 Tìm GTNN của biểu thức: 2 2
A4x 9y xy
a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A2x5 5 x
III PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1.(19MLT) a) Cho x, y thỏa mãn x + y =16 Chứng minh rằng: x2xy y 2 192
Trang 31b) Giải hệ phương trình: 2 2
4192
x y z
ì + + =ïï
íï + + =ïî
5 (09MNT) a) Cho x; y là các số dương Chứng minh rằng: x y 2 x y 2 0
a b c d a c b d
x x x x
Trang 328 (19MLT) a) Cho x, y thỏa mãn x + y =16 Chứng minh rằng: x2xy y 2 192.
b) Giải hệ phương trình: 2 2
4192
4 5 2
x
x x
Từ đó giải phương trình sau: 2x 3 5 2 x x 24x 6 0
x + 8 x + 3 x 11x + 24 1 5
15.(11MLA) a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ; )x y thỏa mãn phương trình:
Trang 332 2 2 3 2 4 3 0.
b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù Chứng minh rằng AC BD
16 (30MLA) 1 Cho x, y thỏa mãn x + y =16 Chứng minh rằng:
x xy y
2 Giải hệ phương trình: 2 2
4192