Đề thi chọn học sinh giỏi toán thành phố lớp 9 năm 2016 mã TN | Toán học - Ôn Luyện

c) Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN.. Từ điểm A vẽ đường thẳng song song với OB cắt đường tròn đã cho tại điểm thứ hai C. Tia OC cắt đường tròn tại E.. Xếp năm số này trên một[r]

ĐỀ HSG TP MÃ TN16

M Ã KÝ HIỆU

[GIMINH]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

MÔN:TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 2 (2,0 điểm).2.1,Cho phương trình x2−2 mx+ m2−2 m=0 , trong đó m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

2.2, Giải hệ phương trình: { x+y= √ 4z−1 ¿ { y+z= √ 4x−1 ¿¿¿¿

Câu 3 (2,0 điểm) 3.1, Chứng minh 13 + 23 + + 1003 là số chính phương

3.2, Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức:

2

b c  a c  a b 

Câu 4 (3,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên

đ-ường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắttiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K

4.1, Chứng minh M, A, O, C cùng thuộc một đường tròn Suy ra MC là tiếp tuyến của (O;R).4.2, Chứng minh K là trung điểm của CH

4.3, Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đótheo R

Câu 5 (1,0 điểm) Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi ta

gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một haynhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5

1

MÃ KÍ HIỆU

[GIĐUC]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: ( 2.0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A =

c) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2016 Tính f(a) tại a = 316 8 5 316 8 5

Câu 2 : (2.0 điểm) a)Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt

x1, x2, x3, x4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4

3

y x y x

y x

Câu 3 : ( 2.0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương

b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.

a) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi

b) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

2 Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác

Chứng minh rằng

C B

A S

S

ABC HIK 1 cos2  cos2  cos2

Câu 5: (1,0 đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1

.

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

[MĐUC] LỚP 9 - Môn : TOÁN

 nhận giá trị nguyên?

Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn ( C) với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm diđộng trên (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua

A Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắtđường tròn (C) tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F

3.1 Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng

3.2.Chứng minh rằng tích AMAN không đổi

3.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Bài 5 (1,0 điểm) Các số từ 1 đến 1984 được viết thứ tự trên một vòng tròn theo chiều kim

đồng hồ Bắt đầu từ 1, đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ, gạch bỏ số thứ hai sau sốchưa gạch đứng trước nó.Tiếp tục quá trình ấy đến khi nào trên vòng tròn còn lại một số thìthôi.Tìm số còn lại?

15

MÃ KÝ HIỆU

[MTAN]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Lớp 9 - MÔN: TOÁN

Bài 1( 2 điểm) a) Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013

Tính giá trị của A khi x =

b) Giải hệ phương trình { ( x 2 −1 ) y+ ( y 2 −1 ) x=2 ( xy−1 ) ¿¿¿¿

Bài 3 ( 2 điểm) a) Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2+ y2= z2 Chứng minh A =

Bài 4 ( 3 điểm) Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), (BC<2R), A là điểm di

động trên cung lớn BC ( A không trùng B,C) Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC; EF cắt BC tại P, qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC CM: hai tam giác EPM và DEM là hai tam giác đồng dạng c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 ( 1 điểm)

Trên mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một song song và không có ba đường nào đồng quy Tìm số miền n mà đường thẳng này định ra trên mặt phẳng

2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S x 2 y 3 , biết x + y = 6.

Bài 2 (2 điểm).1 Cho phương trình: m 4x2 2 xm m 2 0 (*)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất

b) Tìm các giá trị của m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = m

2 a) Giải hệ phương trình sau:

y m y

Bài 4 (3 điểm) 1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BC = a, AB = b, AC =

c Gọi a’, b’, c’ là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến trực tâm H của tam giác CMR các tổng

a2 + a’2 ; b2 + b’2 và c2 + c’2 không đổi khi ba đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn (O)

2 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đườngtròn (A, B là các tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC.Gọi K là giao điểm của AB và PO

5

a) CMR: PC cắt AH tại trung điểm của AH; b) Tính AH theo R và biết PO = d.

Bài 5 (1 điểm) 1 Cho n số thực a1, a2, a3, , an thỏa mãn tổng của n - 1 số bất kì lớn hơn sốcòn lại Chứng minh rằng trong n số này có ít nhất ba số dương

rằng đến cuối giải không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà Chứng minh rằng trong tám đội nóitrên, luôn tìm được bốn đội A,B,C,D sao cho kết quả giữa các trận đấu của họ là A thắngB,C,D; B thắng C,D; C thắng D

1.1 Rút gọn biểu thức A =

1.2 Chứng minh rằng với x > 0, x ¿ 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

Bài 2: (2,0 điểm)

2.1 Cho phương trình ẩn x, tham số m : x2 - 4x + m + 1 = 0 (1)

Tìm m để hai nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện x1 x2 6

c) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì điểm H di chuyển trên đường nào ?

d) Khi MCH 30  0, tính độ dài của đoạn HK theo a

a Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn P.

b Tính giá trị của P khi x= 7- 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt GTNN, Tính GTNN đó.

Câu 2 (2.0 điểm)

1 a Giải phương trình: x 1 4 x 5 + 11 x 8 x 5 = 8

b Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy+ 4y - 4x = 19

2 Cho phương trình: x 2 -( 2m – 3)x + m 2 -3m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Chứng minh rằng : a2 b2 c2 không thể là một số nguyên tố

b Cho abc =1 và a 3 > 36 Chứng minh rằng:

7

Câu 3 (2 điểm)

1/Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương

2/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A

và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đườngtròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K

1) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)

2) Chứng minh K là trung điểm của CH

3) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đótheo R

Câu 5 (1điểm)

Có 5 Nhà Toán học nam , 3 Nhà toán học nữ , 4 Nhà vật lí nam Lập một đoàn công tác 3 người cần

có cả nam , nữ , cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

a) Rút gọn biểu thức: A = x 50 x + 50 x + x2 50

với x  50

b) Tính giá trị của biểu thức A (3x 38x2 2)2011 với

3( 5 2) 17 5 38x

Câu 3 ( 2,0 điểm )

a)Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320

b ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : x2y2  y2z2  z2x2 2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T =

y z z x x yCâu 4 ( 3, 0 điểm )

Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có  BAC  600, đường phân giác trong của góc BAC cắt BC tại D.

Từ D kẻ các tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ tự tại M, N

a) CMR: MN2 = MB NC

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD tại E ( E khác D ) Gọi giao điểm của BN với CM

là F Chứng minh MBEF là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh tia EF đi qua trung điểm của MN

2.1 Cho phương trình x2+2(m−2)x+m2−2m+4=0 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

3.1 Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số xy sao cho: 2.xy   x 2  2   y 4  2

3.2 Cho x, y, z dương thỏa mãn: xy + yz + xz  3

Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm Vẽ

2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là 2 cm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nói trên

Câu 2 (2,0 điểm)

2.1) Cho phương trình : x2– 2mx + 2m – 1 = 0 Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1, x 2

với mọi m Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức





   khi m thay đổi

2.2) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 – 2x – 11 = y2

Câu 3 (2,0 điểm)

3.1) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc thỏa:

2 2

1( 2)

abc n cba n

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF (D Î BC, EÎ AC,

FÎ AB) cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở M, N, K Chứng minh rằng:

Cho năm số thực không âm a,b,c,d,e có tổng bằng 1 Xếp năm số này trên một đường tròn.

Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kỳ cạnh nhau luôn có tích không lớn

Câu 4 (3,0 điểm) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường

tròn (O) (A và B là 2 tiếp điểm) Từ M kẻ cát tyến MCD ( C nằm giữa M và D), tia MD nằm

giữa 2 tia MA và MO Tia MO cắt AB tại H

a) Chứng minh MC.MD= MH MO

b) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K.Chứng minh C là trung điểm của IK

Câu 5 (1,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 4022 điểm, trong đó không có bất kì 3 điểm nào thẳng

hàng Người ta tô 2011 điểm bằng màu đỏ và tô 2011 điểm còn lại bằng màu xanh.Chứng minh

rằng: Tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2011 đoạnthẳng không có điểm chung nào

1 Cho phương trình x2 - 2 (m - 1) x + 2m - 3 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Hãy tính B = x x + x x - 5 theo m và 12 2 1 22tìm giá trị nhỏ nhất của B

2 Một tam giác vuông có chu vi 30 cm, cạnh huyền là 13 m Tính mỗi cạnh góc vuông của tamgiác vuông đó

A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)

b) Chứng minh K là trung điểm của CH

c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất

2

6 2 9 4xP

a) Cho phương trình x42mx2 4 0 (*) Tìm giá trị của tham số m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt x x x x thoả mãn 1; ; ;2 3 4 4 4 4 4

b b+c+

c

c +a<√b+c a +√c +a b +√a+b c

Câu 4 (3điểm)

Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C)

Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d)

Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC,

AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tạiK

a Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn

b Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi

c Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng

MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME

Câu 5 (1điểm)

Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung

z y x

b) Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:

abc bcd cda dab a b c d        2012

a) Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng

c) Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.

2 Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đường chéo Kí hiệu

1 AIB; 2 CID; ABCD

 nhận giá trị nguyên?

Bài 2 (2,0 điểm)

2.1 Cho phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm c và d, phương trình x2 + cx + d = 0

có hai nghiệm a và b.Tính a,b,c,d, biết rằng các số đó đều khác 0

15

3.2 Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minhrằng: a + b + c 0

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định Gọi M là điểm di động trên (C)sao cho M không trùng với các điểm A và B Lấy C là điểm đối xứng của O qua A Đườngthẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C)tại điểm thứ hai là E Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F

3.1 Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng

3.2.Chứng minh rằng tích AMAN không đổi

3.3.Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Bài 5 (1,0 điểm)

Các số từ 1 đến 1984 được viết thứ tự trên một vòng tròn theo chiều kim đồng hồ Bắt đầu từ

1, đi quanh vòng tròn theo chiều kim đồng hồ, gạch bỏ số thứ hai sau số chưa gạch đứng trướcnó.Tiếp tục quá trình ấy đến khi nào trên vòng tròn còn lại một số thì thôi.Tìm số còn lại?

 nhận giá trị nguyên?

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0,5x 3   , y 6 x   và y mx  có đồ thị lần lượt

là các đường thẳng (d1), (d2) và (m) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A

có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương?

b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định

1; 2



I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

b) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi.

c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của BNF  khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

a Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4x1 + 4x2 + 2x1x2 = 1

b Cho hệ phương trình { x+xy+y=m+1 ¿¿¿¿

Tìm các giá trị của m để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0; y > 0

Câu 3 (2,0 điểm)

a Tìm 5 số nguyên sao cho mỗi số trong các số đó đều bằng bình phương của tổng 4 số còn lại

b Cho biểu thức Pa2 b2 c2 d2 acbd, trong đó ad bc1 Chứng minh rằng: P 3

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Gọi C là trung điểm của AO Đường thẳng a vuônggóc với AB tại C cắt đường tròn (O) tại I Trên đoạn CI lấy K (khác C và I) Tia AK cắt đường tròn (O) tại M Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt a tại N Tia BM cắt a tại D

a Chứng minh MNK cân

b Tính diện tích ABD theo R, khi K là trung điểm của CI

c Chứng minh khi K chuyển động trên đoạn CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp AKD luôn thuộc một đường thẳng cố định

-Hết -MÃ KÝ HIỆU

[KISON]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Lớp 9 - Năm học 2015-2016 Bài 1 (2,00 điểm)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm duy nhất

b) Tìm các giá trị của m để (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = m

2 a) Giải hệ phương trình sau:

1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có BC = a, AB = b, AC = c Gọi a’, b’, c’

là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C đến trực tâm H của tam giác Chứng minh rằng các tổng a2+ a’2 ; b2 + b’2 và c2 + c’2 không đổi khi ba đỉnh A, B, C thay đổi trên đường tròn (O)

2 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đườngtròn (A, B là các tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A đến đường kính BC.Gọi K là giao điểm của AB và PO

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH;

b) Tính AH theo R và biết PO = d

Bài 5 (1,00 điểm)

1 Cho n số thực a1, a2, a3, , an thỏa mãn tổng của n - 1 số bất kì lớn hơn số còn lại Chứngminh rằng trong n số này có ít nhất ba số dương

rằng đến cuối giải không có trận nào kết thúc với tỉ số hoà Chứng minh rằng trong tám đội nóitrên, luôn tìm được bốn đội A,B,C,D sao cho kết quả giữa các trận đấu của họ là A thắngB,C,D; B thắng C,D; C thắng D

2.1 Cho a;b là 2 số thực thỏa mãn 5a + b =22 Biết phương trình x2 + ax + b = 0 có hai nghiệm

là 2 số nguyên dương Hãy tìm hai nghiệm đó