Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của một biểu thức

Định hướng để tìm lời giải bài toán này như trên là: +) Đặt ẩn phụ để đưa về bài toán mới với hai ẩn mới. +) Giải bài toán mới này theo định hướng đối với bài toán hai ẩn.. Định hướng đ[r]

Trang 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC 2.2.2.1 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 2.2.2.1.1 (Câu IV.1 – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2003)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

x 1y





 trên đoạn 1;2 Lời giải:

Nhận xét Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên đoạn  a;b

ta có thể dùng phương pháp tương tự như trên hoặc lập bảng biến thiên của hàm số

 

yf x trên đoạn  a;b rồi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x 

trên đoạn  a;b Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên tập

D không phải là một đoạn, ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số yf x  trên D rồi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên D

Một số bài tập có thể giải bằng định hướng tương tự như lời giải trên:

Bài toán 2.2.2.1.2 (Câu II.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

2

ln xy

x

 trên đoạn 1;e3

Bài toán 2.2.2.1.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 2

y x 4x21 x 3x 10

2.2.2.2 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức hai biến

Bài toán 2.2.2.2.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009)

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức  2  2 

S 4x 3y 4y 3x 25xy Lời giải 1 Từ giả thiết ta có y = 1 – x với x 0;1

Trang 2

2 2xy

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này theo lời giải 1 như trên là:

+) Từ giả thiết biến đổi Sf (x)

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh xD

Suy ra Sf (x), với mọi x D (1)

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để S = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng m

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này theo lời giải 2 như trên là:

+) Từ giả thiết biến đổi Sf (t), với tg x; y 

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh tD

Trang 3

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để S = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng m

(Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ta củng có định hướng tương tự)

Một số bài tập có thể giải bằng định hướng tương tự trên

Bài toán 2.2.2.2.1.1 (Câu IV.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008)

Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn x2 y2 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức  2 

2

2 x 6xyP

1 2xy 2y





 

Bài toán 2.2.2.2.1.2 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn  2 2   

2 a b ab ab ab2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 a33 b33 9 a22 b22

 (a; b) = (2; 1) hoặc (a; b) = (1; 2))

Bài toán 2.2.2.2.1.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2013)

Trang 4

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài toán 2.2.2.2.2 (Câu IV.2 – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)

Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 2 2  2 2

A x 1  y  x1 y  y 2 Lời giải:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét u 1 x; y ; v x1; y

Trang 5

2 2





 



Do đó ta có bảng biến thiên

y

 1

3 2

f '(y) - 0 +

f (y)

2 3

+) Với y 2 f (y)2 1y2 2 5  2 3

Vậy A 2 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y 1

3

 thì A 2 3 nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 3

Nhận xét Định hướng để tìm lời giải bài toán này như trên là:

+) Dùng bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh

Af (y), với mọi yR (1) +) Tìm

y R

min f (y) m

  (m là hằng số) (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra A m

Chỉ ra tồn tại x, yR để A = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng m

Bài toán 2.2.2.2.3 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2009)

Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn  3

x y 4xy2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  4 4 2 2  2 2

A3 x y x y 2 x y 1

(Lời giải:

Kết hợp (x+y)3

+ 4xy ≥ 2 với (x+y)2 ≥ 4xy suy ra:

  3 2

xy  xy    2 x y 1

Trang 6

Suy ra Af (t), với mọi tD (1)

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để A = m

Bài toán 2.2.2.2.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012)

2.2.2.3 Một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến

Trang 7

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và x2 y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5

Px y z Lời giải:

+) Từ giả thiết biến đổi Pf (x)

+) Từ giả thiết và các bất đẳng thức đúng đã biết chứng minh x D

Suy ra Pf (x), với mọi x D (1)

Chỉ ra tồn tại x, y thỏa mãn giả thiết để P = m

Trang 8

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Suy ra Mf (t), với mọi tD (1)

Chỉ ra tồn tại a, b, c thỏa mãn giả thiết để M = m

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng m

Bài toán 2.2.2.3.2.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2013)

Cho các số thực dương a,b,c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 10

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên 0;f (t)f (0)3 với mọi t0

Vì thế P3 Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi x = y = z = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

+) Đặt ẩn phụ để đưa về bài toán mới với hai ẩn mới

+) Giải bài toán mới này theo định hướng đối với bài toán hai ẩn

Bài toán 2.2.2.3.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A và khối A1 năm 2013) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện    2

a c bc 4c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 11

Khi a = b = c thì dấu bằng xảy ra

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 2)

Bài toán 2.2.2.3.4 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011)

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1;4 và x y, xz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

    luôn đúng với u, v dương, uv ≥ 1

Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: u = v hoặc uv = 1

Trang 12

P2t 3 1 t

Xét hàm

3 2

+) Đặt ẩn phụ để đưa về bài toán mới với ba ẩn mới dễ hơn

+) Giải bài toán mới này theo định hướng nêu trên

Ở trên, chúng ta đã thấy rõ hơn một số định hướng cụ thể để tìm lời giải một số bài toán dạng này Qua việc nghiên cứu kỹ các bài toán củng như các định hướng ở trên, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm một số cách đưa ra các bài toán mới từ các bài toán đã biết và xâu chuỗi lại thành một hệ thống để chúng ta hiểu sâu sắc hơn một số cách ra đề toán dạng này

2.2.3 Vấn đề 3: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua việc hướng dẫn học sinh đưa ra một số bài toán mới

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểu hiện ở

Trang 13

bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Một số bài tập khó (Các bài toán chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức; …) trong đề thi tuyển sinh đại học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập đó, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới

Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên khai thác, đào sâu kết quả các bài toán đã giải được đặc biệt là đưa ra các bài toán mới

Xét các ví dụ sau:

Bài toán 2.2.3.1 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2012)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 0 và x2 y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5

Px y z 2.2.3.1.1 Tương tự bài toán 2.2.3.1, ta có bài toán

Bài toán 2.2.3.1.1 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y z 1 và

Trang 14

Tương tự bài toán 2.2.3.1.2 ta có các bài toán (Bài toán 2.2.3.1.3 và 2.2.3.1.4)

Bài toán 2.2.3.1.3 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2010)

Trang 15

Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng không thỏa mãn

Bài toán 2.2.3.1.4 (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia năm 2004)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện  3

x  y z 32xyz Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán 2.2.3.2 (Câu V – Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2011)

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn  1;4 và x y, xz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Tương tự bài toán 2.2.3.2 ta có các bài toán (Bài toán 2.2.3.2.1 và 2.2.3.2.2)

Bài toán 2.2.3.2.1 (Đề số 1 – Chuyên mục thử sức trước kì thi trong tạp chí Toán học &

Bài toán 2.2.3.2.2 (Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ XV năm 2009)

Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

2.2.3.3.1 Trong bài toán 2.2.3.3, t  a b c ta có bài toán

Bài toán 2.2.3.3.1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  2

a b c 5 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức         2

Trang 16

2.2.3.3.2 Từ bài toán 2.2.3.3 và kết quả: “Với ba số thực bất kì a, b, c ta luôn có

 2  2 2 2

a  b c 3 a b c ;  2  

a  b c 3 abbcca ” (Thật vậy: Hai bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức sau

  2  2 2

a b  bc  ca 0, đúng với a, b,c

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c), ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.3.2 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  2 2 2

3 a b c 5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức    2 2 2

  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a = 3b = 6c), ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.3.3 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 2b2 5c2  5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức    2 2 22

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 4b = 16c), ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.3.4 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a   b c 5 Tìm giá

P a ab  abc 3 5 a  b c 

Tương tự bài toán 2.2.3.3 ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 17

2.2.3.4.1 Trong bài toán 2.2.3.4, thay  2

t a  b c ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  4

a b c = ab + bc +ca  a = b = c), ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.2 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abbcca0 và

với các số thực a, b, c không âm

(Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có

khi và chỉ khi ab = bc = ca), ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.3 Cho các số thực a, b, c không âm thỏa mãn  2

abbcca 10 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 18

Bài toán 2.2.3.4.4 Cho các số thực a, b thỏa mãn b0 và 10b2 a2 Tìm giá trị lớn

2.2.3.4.5 Trong bài toán 2.2.3.4, thay t = a + b, ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.5 Cho a và b là các số thực thỏa mãn  2

  với z > 0 ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.7 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0  x y 10z và z > 0 Tìm giá

2.2.3.4.8 Từ bài toán 2.2.3.4.7, hạn chế thêm điều kiện ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.8 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y 0 và

 2

xy  1 10z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   

4

xy x y 2z 1P

Bài toán 2.2.3.4.9 Cho các số thực không âm a và b thỏa mãn 2 2  2

a b  a b 15 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2.2.3.4.10 Trong bài toán 2.2.3.4.9, thay a = x – y, b = y – z ta được bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.10 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn

Trang 19

2.2.3.4.11 Nếu x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z thì biểu thức P trong bài toán 2.2.3.4.10 là

Bài toán 2.2.3.4.12 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn  2 2 2

Bài toán 2.2.3.4.13 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn  2 2 2

Ta có bài toán sau

Bài toán 2.2.3.4.14 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn xyyzzx0 và

Trang 20

Bài toán 2.2.3.4.15.1 (Đề thi giáo viên giỏi Tỉnh Nghệ An năm 2011)

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y z và x2 y2 z2 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy y z z x xy yzzx

Bài toán 2.2.3.4.15.2 (Bài T6/401 tạp chí toán học và tuổi trẻ)

Cho ba số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

được thỏa mãn với mọi số thực a, b, c

Bài toán 2.2.3.4.15.5 (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia năm )

Cho x, y, z là các số thực không âm, đôi một khác nhau Chứng minh rằng

Bài toán 2.2.3.4.15.6 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2013 – 2014)

Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn các điều kiện

a  b c và 3ab5bc7ca 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải bài toán 2.2.3.4.15.6:

Từ giả thiết suy ra      2 2

Trang 21

2.2.3.4.16 Tổng quát bài toán 2.2.3.3 và bài toán 2.2.3.4 ta có bài toán

Bài toán 2.2.3.4.16 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

  2n 1 2 

f t t  a  bt , với n, a, b, là các số dương cho trước và n là số tự nhiên)

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	797 KB