Đề thi chọn học sinh giỏi toán thành phố lớp 9 năm 2016 mã KT | Toán học - Ôn Luyện

Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.. …...HẾT………..[r]

2.1- Cho phương trình x2 2mx m 2 m 6 0  (m là tham số).

a) Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 sao cho

187

4.2- Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua.

4.3- Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox Tam giác ACD là tam

giác gì? Chứng minh DE có độ dài không đổi.

Bài 5: (1,0 điểm)

Tính số các ô nhỏ nhất phải quét sơn trên một bảng 5x5 để cho bất kỳ vùng 3x3

nào đó trên bảng này cũng chưa ít nhất 4 ô đã quét sơn?

ab

bxaxa

xaxa

Câu 4 (3 điểm).1 Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất kỳ cắt các canh

BC và CD ( hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F

2 Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO, BO, CO lần

lượt cắt BC, AC, AB tại A’, B’, C’ Chứng minh :

AA' BB' CC'

OA' OB' OC'  9

3 Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC saocho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E sao cho tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Câu 5 (1 điểm)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 người ta lập tất cả các số thập phân mà mỗi số thập phân gồm đúng

4 chữ số 1, 2, 3, 4 và có k chữ số đứng bên phải dấu phẩy chỉ hàng đơn vị, với 1 ≤ k ≤ 3 Tính tổng tất cảcác số thập phân được lập

x x

x

x x

32

323

1.1 Rút gọn P ; 1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Bài 2 (2.0 điểm).2.1 Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình x 2 ax 1 0   (1) với một nghiệm của phương trình x2bx  1 0 (2) là nghiệm của phương trình x2abx  1 0 (3) thì

lần lượt tiếp xúc trong với  O

tại M M1, 2 Tiếp tuyến của đường tròn O1

tại điểm I cắt đường

tròn  O

lần lượt tại các điểm A A, ' Đường thẳng AM1 cắt lại đường tròn O1

tại điểm N1, đường thẳng2

AM cắt lại đường tròn O2

tại điểm N2.

a Chứng minh rằng tứ giác M N N M1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng OA  N N1 2.

b Kẻ đường kính PQ của đường tròn  O

sao cho PQ vuông góc với AI (điểm P nằm trên cung

4.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C) Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5(1.0 điểm)

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

… HẾT………

MÃ KÍ HIỆU KT4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9

1 Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + 2m-5 = 0 (1) (m là tham số)

a Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn: x1 2 x2

2 Giải hệ phương trình sau

Câu 3 ( 2điểm)

1 Tìm các số nguyên tố x, y sao cho

2 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn chứng minh rằng

Câu 4 (3 điểm)

1 Cho dây cung BC trên đường tròn ( O), điểm A chuyển động trên cung lớn BC Hai đường cao

AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a Chứng minh CE.CB =CF.CA

b AE kéo dài cắt đường tròn tại H’ Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC

2 Cho tam giác nhọn ABC Xác định vị trí điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho

AM.AB + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5 ( 1điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ cho đa giác lồi có 12 cạnh Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó

là đỉnh của đa giác lồi?

Câu 2 (2.0 điểm) 2.1 Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)

a/ Giải phương trình (1) khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 sao cho x1  x2  2

2.2 Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a/ 3 x3 8 2x2 6x4; b/

5 13 16

3.1 Tìm số có ba chữ số sao cho tỷ số giữa số đó và tổng các chữ số của nó có giá trị lớn nhất

Câu 4 (3.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A Đường tròn đường kính AB cắt BC tại D

Trên cung AD lấy một điểm E Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.1 Chứng minh CDEF nội tiếp

2 Kéo dài DE cắt AC ở K Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N Tia phângiác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao ?

3 Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC.Chứng minh: r2 = r12 + r22

Câu 5 (1.0 điểm) Bên trong đường tròn tâm O bán kính R = 1 có 8 điểm phân biệt Chứng

minh rằng; tồn tại ít nhất hai điểm trong số chúng mà khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 1

33

1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x y 4  40y 1

2.Cho x,y,z>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P= 3

Bài 2 (2,0 điểm).1.Cho phương trình x2 2m 2xm2  2m40 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x1, x2 thỏa mãn x x x x 15m

112

2 1

2 2

2 1

Bài 4 (3,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn

thẳng AO (C khác A và C khác O) Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đườngtròn đã cho tại D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D) Tiếp tuyến của nửađường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E Gọi F là giao điểm của AM và CD

1 Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân

2 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.

3 Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD

Bài 5:(1,0điểm )

Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là 2cm Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nóitrên

các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Bài 4: (3điểm ) Cho đường tròn (O; R) và một dây cung BC cố định A là điểm di

động trên cung lớn BC Vẽ đường cao AD của tam giác ABC Từ D vẽ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E  AB; F AC )

4.1.Chứng minh tứ giác AEDF và tứ giác BEFC nội tiếp.

4.2.Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I Chứng minh AI luôn

đi qua một điểm cố định.

4.3.Từ I vẽ IK; IH lần lượt vuông góc với AB, AC chứng minh KH//BC

Bài 5: (1,0 điểm) Cho 51 số nguyên dương khác nhau có 1 chữ số và có 2 chữ số.

CMR ta có thể chọn ra 6 số nào đó mà bất cứ 2 số nào trong số đã lấy ra ấy không có chữ số hàng đơn vị giống nhau cũng không có chữ số hàng chục giống nhau

Bài 2: (2.0 điểm) 1 Cho phương trình x2−2 mx+ m2−2 m=0 , trong đó m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

2 Giải hệ phương trình: { x+y= √ 4z−1 ¿ { y+z= √ 4x−1 ¿¿¿¿

Bài 3: (2.0điểm) 1 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x2 + xy + y2 = x2y2

2 a) Cho x 0 y 0 CMR

2 4 2

14

xy

Bài 4 (3.0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác

A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đư ờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, C cùng thuộc một đường tròn Suy ra MC là tiếp tuyến của (O;R).

b) Chứng minh K là trung điểm của CH.

c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.

Bài 5 (1.0 điểm)

Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau Mỗi ngưòi viết thư cho tất cả những người khác Các thư chỉ trao đổi 3 đề tài Từ cặp hai nhà bác học chỉ viết thư cho nhau cùng một đề tài Chứng minh rằng không ít hơn 3 người viết thư cho nhau cùng một đề tài.

x x

3.1- Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu ta

thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương

3.2- Cho hai số dương x, y có x + y = 1 Chứng minh rằng:

z

zy

y

yx

x

3623

2423

223

3 3 3

BM và BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng ở M’, N’ Gọi P và Q theo

thứ tự là trung điểm của M’A và N’A

4.1) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp được đường tròn

4.2) Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA4.3) Giả sử đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của

diện tích tam giác BPQ theo R

Câu 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên

dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

2 2 2

x

y y

x y

x

y x x x y x x x A

với x;y >0

a) Rút gọn A ; b) Tính giá trị của A biết x = 7+2 10, y = 7-2 10

1.2 Đặt x =

3 3

3

183

13

183

a a

Cmr: nếu a>8

1 thì x là số nguyên dương

Bài 2 :(2 điểm) 2.1 Cmr nếu a1,a2là hai nghiệm của phương trình x2 px10và b1,b2là hai nghiệm của phương trình x2 qx10 thì a1 b1a2 b1a1b2a2b2q2  p2

2

236

09

y x y

xy x

Bài 3: (2 điểm)

3.1 Cho A10n 10n 110n 2 10110n 151 Chứng minh rằng A là số chính phươngnhưng không là lập phương của một số tự nhiên

3.2 Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x; y 0

x x

y y

x

34

2

2 2 2

Bài 4: (3 điểm) Gọi O là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M; CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J

4.1 Chứng minh I là trung điểm của AH

4.2 Cho BC = 2R, OM = x Tính AB, AH theo R và x

4.3 Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi

Bài 5: (1 điểm) Từ các chữ số 1,2,3,4 người ta lập được tất cả các số thập phân gồm đúng bốn

chữ số 1,2,3,4 và có k chữ số đứng ở bên phải dấu phẩy chỉ hàng đơn vị với 1 k  3 Tính tổngtất cả các số thập phân được lập

AB tại F; BC cắt EF tại I; EA cắt CF tại M; EB cắt DF tại N và K là trung điểm của AC

4.1- Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng

4.2- Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh

r R

 

4.3- Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE

Chứng minh rằng r2 r12 r22

Câu 5 (1 điểm)

Bạn An có 5 bút chì và có 6 bút mực Trước khi đi học bạn rút ra 3 chiếc bút Tính xác suất

để bạn An lấy được cả hai loại bút trên

3.2 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y+ z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

4.1 Chứng minh HAB HCB  rồi suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

4.2.Trong trường hợp H nằm trong đường tròn (O) kẻ đường kính GF của (O) vuông gócvới BC tại M Chứng minh tứ giác OBFC là hình thoi

4.3 Tính số đo góc A của tam giác ABC

Câu 5 ( 1điểm)

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ

số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

 nhận giá trị nguyên?

4.1 Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

4.2 Chứng minh rằng tích AMAN không đổi

4.3 Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Bài 5 (1,0 điểm) Một hình lập phương có cạnh bằng 15 chứa 11000 điểm Chứng minh rằng có mộthình cầu bán kính 1 chứa ít nhất sáu điểm trong số 11000 điểm đã cho

2.2 Giải phương trình: 3x26x7 5x210x14 4 2  x x 2 (1)

Bài 3: (2,0 điểm)

3.1 Tìm số tự nhiên n sao cho: 282112n là số chính phương?

3.2 Cho a, b, c >0 và a+b+c = abc

tiếp xúc ngoài tại A Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R Gọi M là điểm thuộc cung lớn AB của (O), tia MA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai ở N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB ở P

4.1 Chứng minh OM//IN

4.2 Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của M

4.3 Xác định vị trí của M để S ABPN đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó theo R.

Bài 5: (1 điểm) Cho 13 điểm khác nhau nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác đều có cạnh

bằng 6 cm Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 3 cm

MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

[KT17] LỚP 9 - Năm học 2015-2016

Bài 1: (2,0điểm)

Cho biểu thức P = \f(x+26-19,x+2-3 - \f(2,-1 + \f(-3,+3 ( với x≥ 0 ; x≠ 1)

1.1 Rút gọn biểu thức P ; 1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bài 2: (2,0điểm) 2.1 Cho phương trình x2 x m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm

1, 2

x x thỏa mãn hệ thức

2.2 Giải hệ phương trỡnh sau.

Bài 3: (2,0điểm) 3.1 Tỡm số tự nhiờn n để 32n 3 24n 1

A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K

4.1 Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn và MC là tiếp tuyến của(O;R)

4.2 Chứng minh K là trung điểm của CH

4.3 Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất

2 Giải hệ phương trình sau

1( 2)

abc n cba n

a) CMR:HA2HB2HC2HD2 không đổi

b) CMR :PQRS là tứ giác nội tiếp

2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh

AB,BC,CD,DA của hình vuông CMR:S ABCD ≤ 4

4