a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên... Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P.[r]
Trang 11.01LT a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
b)Cho các số dương , , ,a b c d thỏa mãn điều kiện
1a1b1c1d Chứng minh
1 81
abcd
2.01LT.a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của số p4 là bình phương của một số nguyên
b)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 x 1 y 1 z 2 x y z
3.03LT 1) Cho bẩy số nguyên a1, a2, ….a7 Viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được
b1, b2, b7 Chứng minh rằng tích: (a1 - b1)(a2 – b2) (a7 – b7) chia hết cho 2
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A = √ x−2+ √ 6−x
4.04LT a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 CMR
7
1954 1
P chia hết cho 60.
b/ Cho 3 số thực không âm a, b, c CMR : (a2b2c2) 4( a b c a b b c c a )( )( )( )
5.05LT 1) Cho n là số nguyên dương và n lẻ CMR: [(46)n+296 13n]⋮1947
2) Cho ba số : Chứng minh rằng: a)
b)
6.06LT. a Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
x− y √ 2014
y−z √ 2014 là số hữu tỉ và x2 y2 z2 là số nguyên tố
b Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z = 3 Chứng minh rằng:
7.07LT. a.Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
0
; 0
;
abc abc a
c abc c
b abc b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
x x yz y y xz z z yx
Trang 2
x− y √ 2014
y−z √ 2014 là số hữu tỉ và x2 y2 z2 là số nguyên tố
b Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 3 Chứng minh rằng:
3
8.08LT 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1
2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: 2 ab 6 bc 2 ac 7 abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C
9.09LT a) Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5 thì
4 4
a b chia hết cho 5
b) Cho
n
1
A =
(2n +1) 2n 1 với n Є N* CMR : A + A + A + + A < 11 2 3 n .
10.10LT. 3.1) Cho A = k4 + 2k3 16k2 2k + 15 với k Z Tìm điều kiện của k để A chia hết cho
16
3.2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
11.11LT. 1 (1,0 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y biết (x + y)5 = 120y + 3
2 (1,0 điểm) Cho a, b > 0, thỏa mãn ab > 2015a + 2016b
Chứng minh a + b > 2015 20162
12.12LT 1 Giả sử a, b, c, d, là bốn số nguyên bất kì Chứng minh rằng:
(b – a)(c – a)(d – a)(d – b)(d – c)(c – b) chia hết cho 12
2 Cho x, y, z là các số thực không âm bất kì Chứng minh:
x(x - z)2 + y(y – z)2 (x – z)(y – z)(x + y – z)
13.13LT a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên
Trang 3b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: ab + 5b cb + 5c ac + 5a
14.14LT 3.1 Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y
Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương
3.2 Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6
Chứng minh : 52 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54
15.15LT a) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương
b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0a b c, , 2 và a+b+c=3 Chứng
minh a3b3c39.
16.16LT. 1 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn :
2 1 1
2 Cho các số không âm a;b;x; y thỏa các điều kiện sau: a2016 b2016 1 và x2016 y2016 1 Chứng minh rằng: a1976.x40 b1976.y40 1
17.17LT a) Tìm tất cả các số nguyên tố p , p , p ,p , p , p , p , p sao cho:1 2 3 4 5 6 7 8
p12 p22 p23 p24 p25 p26 p27 p82
b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x, y 0; x 2y2 Chứng minh rằng: 1
3 3
1
x y 1
2
18.18LT 3.1: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
3.2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng
3 3 3
3 2
b ab c bc a ca
19.19LT a) Cho số M 1993199719971993 Chứng minh rằng số M chia hết cho 15
b) Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta luôn có a4b4c4d4 4abcd
20.20LT a, Tìm số tự nhiên a sao cho A = a2 + 10a + 136 có giá trị là số chính phương.
b, Chứng minh rằng: Với x > 1 thì
1 1 2
x x
21.21LT 3.1) Tìm các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn đồng thời các điều kiện :
Trang 4a b c a b c và
1 1 1
1
a b c
3.2) Cho a, b>0 Chứng minh rằng:
22.22LT.a) Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố chia hết cho
8 Giả sử các số nguyên x,y thỏa mãn chia hết cho P Chứng minh rằng cả hai số x,y đều chia hết cho P
b)Cho , chứng minh:
23.23LT a Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương
b
CMR
24.GMINNT. 3.1, Chứng minh 13 + 23 + + 1003 là số chính phương
b c a c a b
25.MDONNT 3.1 Với n nguyên dương ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = ; b =
Chứng minh Sn – 2 = Tìm số n để Sn – 2 là số chính phương 3.2 Cho a; b; c các số thuộc đoạn ; a2 + b2 + c2 = 6 CMR: a + b + c 0
26.GDUCNT a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
b) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3
2 2
2 2
ax by
1; 0
3
3
2
5
3
2
5
3
2
2
1 5 2
1 5
Trang 5b) Cho x, y, z > 0; x2+ y2+ z2=3 CMR:
x
3
y
3
z
3
√xy≥xy + yz +xz
Có công mài sắt ,có ngày nên kim !