HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI – Xuctu.com

Bên cạnh đó khi luyện tập thì giáo viên có thể cho học sinh tự phân tích bài toán, khi có chổ bất hợp lý thì tự động học sinh sẽ phát hiện và tìm cách khắc phục.Qua đó rèn cho học sinh[r]

Kiến thức cần nắm trong chương :

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN PHỤ NHAU

Tam giác ABC vuông tại A ⇒ 0

90

B+ =C (Hình 2)

HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC VUÔNG

Ở hình 2 , ta có:

Để học sinh dễ dàng nắm kiến thức trong chương cần thực hiện theo những yêu cầu sau:

Ta có : SinB =

AC

BC * cosB =

AB BC

* tan B =

AC

AB * cot B =

AB AC

* AB = BC.sinC =BC.cosB * AB =AC.tanC = AC.cotB

* AC = BC.sinB =BC.cosC *AC = AB.tanB = AB.cotC

Các công thức liên quan các cạnh

2

2

';

'

b a b

c a c

=

=

2

' '

2 2 2

h =b +c

h

a

b c

c' b'

H

C B

A

Hình 1

C

Hình 2

* sinB = cosC AB

BC

=

  * tanB = cot C

AC AB

=

* Sin C = cos B AB

BC

=

  * tanC = cotB

AB AC

=

6 8

h

- Học sinh phát phát biểu cụ thể, chính xác từng định lí Biết chuyển đổi từ ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ đại số

- Thay đổi các kí hiệu khác nhau trên hình vẽ, yêu cầu học sinh viết đúng chính xác các

hệ thức dựa vào từng hình vẽ cụ thể

- Yêu cầu học sinh thực hiện những bài tập áp dụng sau mỗi hệ thức đã học

Lưu ý nhiều đến các bài toán trong thực tế, nhằm giúp học sinh có khả năng giải quyết một số vấn đề trong thực tế nhờ toán học Đồng thời cũng khơi dậy niềm sai mê, hứng thú của các em Từ đó giúp học sinh nắm vững kiến thức tốt hơn

- Phân biệt cụ thể sự khác nhau, giống nhau giữa các hệ thức, để học sinh khỏi nhằm lẫn trong quá trình vận dụng giải bài tập

2.2.2.Biện pháp 2: Tạo ra một số tình huống có vấn đề từ các kiến thức đã biết bằng cách biến đổi hay giấu đi một yếu tố đã biết

Các ví dụ

Các ví dụ dưới đây chủ yếu là những kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải nắm được sau khi học xong các định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông Tuy nhiên để tất cả các đối tượng học sinh cùng tích cực suy nghĩ để tìm lời giải, phải có sự kích thích hứng thú của học sinh thông qua việc gợi vấn đề của GV, từ đó học sinh dễ dàng tìm lời giải hiệu quả nhất

Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông có các hai cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh của góc vuông?

Định hướng giải bài toán:

Gợi động cơ:

Giáo viên đặt vấn đề:

- Trong các hệ thức liên quan đến đường cao, ta có thể vận dụng hệ thức nào cho phù hợp để giải quyết bài toán ?

- Nếu đặt độ dài đường cao cần tìm là h ta có thể áp dụng ngay hệ thức nào để tìm h (hệ thức 4)

- Trong một tam giác vuông nếu biết 2 cạnh góc vuông ta tìm được cạnh huyền Vậy nếu tính được cạnh huyền liệu còn cánh nào khác để tìm được h hay không (vận dụng hệ thức 3)

4,5

7,5

H B

Lời giải cụ thể : Cách 1: Áp dụng hệ thức 4 ta có:

2 62 82

h

6 8 6 8 2

6 8

4, 8( )

1 0

h = = cm

Cách 2: Áp dụng định lí Pitago tính được cạnh huyền bằng 10cm

Từ đó áp dụng hệ thức 3 (bc = ah) tính được h = 4,8 cm

* Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy học sinh dễ dàng nhận ra rằng cần áp dụng hệ thức 4 về

cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tìm h Bởi vì đề cho sẵn hai cạnh góc vuông thì việc tìm đường cao rất dễ dàng Tuy nhiên ta thấy những bài toán đại số có chứa nghịch đảo, quy đồng…., thì đối với học sinh yếu kém sẽ gặp lúng túng đôi khi dẫn đến kết quả sai

Ở cách 2, tuy phải trải qua bước dài hơn là tìm cạnh huyền rồi sau đó áp dụng hệ thức

3 để tìm h Tuy nhiên cách này dễ dàng hơn cho học sinh trong việc tính toán

Bởi một yếu tố bị dấu ở đây là cạnh huyền Tuy nhiên các đối tượng học sinh rất thành thạo trong việc áp dụng định lí Pi – ta –go để tính các cạnh trong tam giác vuông

Do đó tùy vào đối tượng học sinh giáo viên có thể cho học sinh vận dụng kiến thức cho phù hợp, nhưng không phải bỏ hẳn những kiến thức có liên quan, mà cần luyện tập cho học sinh ở một thời gian nhất định

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm , AC = 4,5 cm , BC = 7,5 cm

a/ Tính các góc B , C và đường cao AH của tam giác đó?

b/ Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Định hướng giải bài toán:

Gợi động cơ:

- Để tính được góc B,C và đường cao AH thì tam giác ABC phải là tam giác gì?

- Để chứng minh tam giác ABC vuông cần áp dụng định lí nào?

Từ đó giáo viên đặt vấn đề dẫn học sinh tìm đến các hệ thức để giải quyết bài toán

Lời giải cụ thể :

a/ Ta có 62 + 4,52 = 7,52 nên tam giác ABC vuông tại A

Do đó tan B = 4, 5

6 = 0,75

Suy ra B ≈ 370 và 0

90

C= −B ≈530 Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A ,ta có:

AH = AB + AC

36 20, 25

AH = + Do đó 2 36.20, 25 12,96

36 20, 25

+ Suy ra AH = 3,6 (cm)

b/ Để S S

ABC = MBC thì M phải cách BC một khoảng bằng AH Do đó M phải nằm trên hai đường thẳng song song với BC cùng cách BC một khoảng bằng 3,6 cm

* Nhận xét:

Ở bài toán này ta thấy nếu giáo viên không đặt vấn đề ngay từ đầu là chứng minh tam giác ABC vuông, thì học sinh khó đưa ra lời giải chính xác Do đó đối với dạng toán này giáo viên cần khéo léo nhắc nhỡ học sinh phải chứng minh tam giác là vuông, nếu đề bài chưa cho, để tránh tình trạng học sinh vận dụng sai lầm rồi dẫn đến kết quả sai

Tuy nhiên trong lời giải trên khi tính AH ta áp dụng hệ thức 4 về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Nhưng khi giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh có thể tính

AH theo hệ thức 3 Bởi vì hai cạnh góc vuông và cạnh huyền đã biết

2.2.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh biết lật ngược vấn đề

Hiểu rõ vấn đề :

Trong quá trình tiếp thu kiến thức, những vấn đề giáo viên truyền đạt cho học sinh những định lí, tính chất, đòi hỏi học sinh phải nắm rõ tường tận bản chất của vấn đề Có như thế học sinh mới khai thác được những vấn đề ngược lại nhằm dẫn đến bản chất, sự phụ thuộc có liên quan đến những vấn đề đó

Từ một bài toán sách giáo khoa, nếu học sinh biết khai thác và từng bước giải được hệ thống bài tập thì học sinh có khả năng phát triển tư duy trong đó có cả tư duy sáng tạo

Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có đường cao AH Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

tại A ⇔AB2 = BH.BC

A

Giải : Ta chứng minh hai điều :

a/ ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao ⇒ AB2 = BH.BC

Xét tam giác vuông ABC và HBA ta có góc B chung , nên

b/ BH BC = AB2, AH ⊥BC ⇒ tam giác ABC vuông tại A

Xét hai tam giác ABC và HBA, ta thấy :

Góc B chung ; BH BA

BA = BC ⇒ ∆ABC∼HBA

Mà tam giác HBA vuông tại H (AH ⊥BC) nên tam giác ABC vuông tại A

* Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy nội dung chủ yếu là kiến thức lí thuyết để vận

dụng chứng minh các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác Tuy nhiên vấn đề chứng minh khó khăn ở đây là học sinh phải nắm bắt đước kiến thức cũ có liên quan Đó là tam giác đồng dạng

Vấn đề ngược lại của bài toán này đó là phần chứng minh ở câu b.Ta thấy ở bài toán này đòi hỏi giáo viên phải khéo léo trong cách phân tích vấn đề ngược lại.Tuy nhiên để học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề là một vấn đề còn gặp nhiều khó khăn Do đó trong quá trình chứng minh cần lưu ý tính chất hai chiều như bài toán đã nêu

Qua bài toán trên học sinh có thể phát biểu ngược lại như sau:

Cho tam giác ABC có đường cao AH, chứng minh rằng với AB2 = BH.BC

⇔tam giác ABC vuông tại A

2.2.4 Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh vận dụng thao tác tương tự

Trong toán học, kĩ năng giải toán là một yếu tố rất quan trọng Đối với mỗi dạng bài tập đều có phương pháp giải và thuật giải khác nhau Đặc biệt trong chương trình toán THCS thì lượng bài tập cũng khá phong phú Tuy nhiên thời gian để dành cho giải bài tập trên lớp thì lại rất ít, không đủ để củng cố, luyện tập giúp học sinh giải tất cả các bài toán Do đó việc xác định dạng bài tập và thuật giải của chúng là một yếu tố cực kì quan trọng Bởi vì nếu học sinh xác định được dạng bài tập thì điều này trở nên dễ dạng hơn

12

B

4 3

A

B

Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng

giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C

Giải :

Ta có AC = 9dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có

9 12 15

BC= AC +AB = + = dm

Vậy sin B = 9 3

15 5

AC

BC = =

Cos B = 12 4

15 5

AB

BC = = ; tan B = 9 3

12 4

AC

AB = = ; cot B = 12 4

AB

AC = =

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

Sin B = cos C = 3

5; Cos B = sin C = 4

5; tanB = cot C = 3

4; cotB = tan C = 4

3

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4 , kẻ đường cao

ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền

Giải :

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông

AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

BC =AB +AC = + = ⇒BC= cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BA

BC

.

CA

CB

AH =HB HC⇒ AH = ⇒ AH =

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức 1 2 12 12

AH = AB + AC )

H

D

Nhận xét: Các ví dụ trên ta thấy hai đề tuy cùng yêu cầu nhưng cho dưới dạng khác

nhau Một đề cho dạng ngôn ngữ thường, một đề cho dưới dạng hình vẽ Tuy nhiên tính tổng quát như nhau

Điều đặc biệt lưu ý là đối với dạng toán này đòi hỏi giáo viên phải nêu lên được tính tổng quát cho học sinh trong quá trình giảng dạy Trong hai ví dụ trên giáo viên có thể tổng quát dạng toán như sau: Trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh góc vuông thì ta tính được đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

2.2.5 Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh nhìn tình huống dưới nhiều góc độ khác nhau

Hướng dẫn cho học sinh giải bằng nhiều cách từ đó giúp các em định hướng được cách giải tốt và có cái nhìn vào bài tập dưới nhiều góc độ khác nhau

Ví dụ 1: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 30cm, đường cao AH = 24cm Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại D Tính độ dài BD

Giải:

- Áp dụng định lý Pitago cho ∆ABH

⇒ BH = 18cm

- Áp dụng hệ thức AB2 = BH.BC

⇒ BC =

BH

AB2

= 18

302 = 50cm

*Cách 1: Chứng minh ∆BAD vuông tại B (có 0

90

ABC+ACB= , mà DBH =ACB (do AC//BD)

90

ABC+DBH = =ABD)

- Áp dụng hệ thức: BH2 = AH.HD ⇒ HD =

AH

BH2

= 24

182 = 13.5

⇒ AD = AH + HD =24+13.5=37.5 (cm)

- Áp dụng hệ thức BD2 = HD.AD ⇒ BD = 22,5cm

*Cách 2: Chứng minh ∆HBD đồng dạng∆HAB ⇒ BD = 22,5cm

*Nhận xét:

-Ở cả 2 cách giáo viên cần định hướng cho học sinh tính BH và BC để làm cơ sở cho việc tính toán BD

A

M H

A

-Đối với cách 1 thì chú ý học sinh phải chứng tỏ được tam giác ABD là tam giác vuông tại B thì mới áp dụng hệ thức lượng được

-Ở cách 2 thì cho học sinh nhìn hình và suy đoán các hệ thức , từ đó có thể suy đoán các cặp đoạn thẳng tỉ lệ và khi đó áp dụng hợp lý để chứng minh ∆HBD đồng dạng với∆HAB

và từ đó tính được BD

-Thông qua việc giải các bài tập dạng này tập cho học sinh biết lựa chọn phương án để tính toán cho thích hợp trong từng bài, đặc biệt sẽ thiên về khả năng tư duy để tìm lời giải bài toán

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Biết AB=8cm, AC=6cm.Tính độ dài

AH

Giải :

*Cách 1: Ta có ∆ABC vuông tại A nên :

BC= AB +AC = + = cm

ABC

∆ vuông tại A, AH⊥BC, nên AH.BC=AB.AC AH AB AC. 4,8(cm)

BC

*Cách 2:

ABC

∆ vuông tại A, AH⊥BC, nên:

2 2 2

4.8( ) 100

AB AC

+

*Cách 3:

Tính được BC=10cm

Ta có ∆ABC vuông tại A nên: 2 2

BC

Mà HC=BC-BH=3.6(cm)

ABC

*Cách 4:

+Gọi M là trung điểm BC

2

BM = AM = BC = cm

21cm 20cm

45°

A

C

+Tính được BH=6.4cm

+Nên MH =BH−BM = 6, 4 5 − = 1(cm)

+Áp dụng định lý Pitago vào ∆HAM vuông tại H, ta có:

5 1, 4 4,8( )

AH = AM −MH = − = cm

*Nhận xét:

Rõ ràng việc giáo viên hướng dẫn cho học sinh phân tích bài toán để tìm hướng giải thích hợp là rất quan trọng Qua việc phân tích này thì các em sẽ có nhiều lựa chọn và biết phải chọn cách nào hợp lý nhất để giải Việc phân tích này cũng giúp cho các em có cái nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau hơn và đặc biệt là khả năng tư duy sáng tạo trong

cách giải

2.2.6 Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh phát hiện sai lầm và tìm cách khắc phục

Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lời giải sai Nó cũng gây cho học sinh niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kĩ năng sẵn có của bản thân mình

Sau khi phát hiện thấy một sai lầm khi giải một bài toán nào đó, học sinh đứng trước một nhiệm vụ nhận thức là tìm ra nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm Đó là một tình huống gợi vấn đề

Sau đây là một số ví dụ để Luyện tập cho học sinh phát hiện sai lầm và tìm cách khắc phục

a/ Dạng 1: áp dụng các công thức của hệ thức lượng chưa đúng thời điểm (tam giác chưa vuông mà vẫn áp dụng các hệ thức lượng )

Ví dụ : Cho hình vẽ sau , biết 0

45

B= , BD=20cm, DC=21cm Tính AC

-Ở đây học sinh có thể sẽ sai lầm ở chổ khi phân tích bài toán:

+Tính AD trước (áp dụng hệ thức 2

.

AD =BD DC ) +Sau đó tính AD (áp dụng hệ thức 2

.

AC =DC BC) -Từ đó dẫn đến kết quả sai Cái sai ở đây là khi áp

dụng các hệ thức mà học sinh không để ý là tam

giác ABC đề chưa cho là tam giác vuông, vì thế cứ mặc nhiên áp dụng

-Để tránh sai lầm thì lúc dạy các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

thì giáo viên cần nhấn mạnh yếu tố “tam giác vuông” Ta chỉ áp dụng được các hệ thức khi

tam giác đó phải là tam giác vuông

-Sau đây là cách hướng dẫn học sinh giải khắc phục sai lầm”

+Xét tam giác ABC là tam giác gì?

+Vậy có áp dụng được các hệ thức vào tam giác ABC không?

Khi đó học sinh sẽ có vấn đề mới để bắt đầu tư duy +Giáo viên tiếp tục gợi ý: còn tam giác ADC là tam giác gì ? +Từ đó hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề tính AC

-Sau đây là lời giải đúng :

Xét tam giác vuông ABD : có AD = BD.tanB = 20cm (hoặc có 0

45

B= , BD=20cm Suy ra AD= 20cm )

Ta có: 2 2 2 2

20 21 29

AC= AD +DC = + = cm

*Nhận xét :

Ở dạng toán này để tránh học sinh mắc phải sai lầm thì đòi hỏi lúc dạy lý thuyết giáo viên phải khắc sâu kiến thức “áp dụng cho tam giác vuông” cho học sinh Bên cạnh đó khi luyện tập thì giáo viên có thể cho học sinh tự phân tích bài toán, khi có chổ bất hợp lý thì tự động học sinh sẽ phát hiện và tìm cách khắc phục.Qua đó rèn cho học sinh năng lực tự giải quyết vấn đề trong học toán nói chung

b/Dạng 2: Sai lầm trong việc chuyển từ tỉ số lượng giác sang số đo góc và ngược lại:

Đa số học sinh khi gặp dạng này đều không biết các bước thực hiện như thế nào Cụ thể là các em chưa hiểu hết ý nghĩa của dạng toán này “Tìm tỉ số lượng giác của góc nhọn ” khi biết số đo góc là thế nào? và Tìm “số đo góc ” khi biết tỉ số lượng giác là như thế nào?

Thực ra đây là 2 vấn đề ngược nhau Nên giáo viên chỉ cần làm rõ yếu tố “2 vấn đề ngược nhau ” là học sinh sẽ hiểu được ý nghĩa sâu xa và việc tính toán sẽ không mắc sai lầm

Ví dụ : Dùng bảng lượng giác hay máy tính để tìm x, biết

Sinx =0,5446 ; cosx = 0,4444 ; tanx = 1,1111 ; cotx = 3.210

Giải : Sinx = 0,5446 ⇒ 0

33

x≈

C B

A

6,7m

63 °

Cosx =0,4444 ⇒ 0 '

63 37

x≈ tanx = 1,1111 ⇒ 0

48

x≈ cotx = 3.210 0 '

17 18

x

*Nhận xét:

-Đa số học sinh đều tra bảng khó khăn hơn dùng máy tính để tra Vì vậy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng bảng thì cần phải kĩ lưỡng, cẩn thận khi lấy giá trị kết quả Còn với máy tính thì hướng dẫn học sinh dùng kênh chữ (trên máy Casio fx) và dùng hàm sin

-1,cos-1,

tan-1 để tính, đa số học sinh dễ sai lầm ở chỗ này Còn đối với tìm x khi biết cotx thì tính bằng cách: 900 – tan -1 hoặc tan -1(1/x)

-Khi học sinh tìm được x ở máy tính thì lại không biết cách làm tròn về độ, phút, giây

Vì thế kết quả sẽ sai khác (sai)

Vậy để đạt được hiệu quả khi cho học sinh làm toán dạng này thì giáo viên cần phải tập trung cho học sinh làm nhiều lần dạng này, từ đó học sinh sẽ hiểu rõ bản chất bài tập dạng này

2.2.7 Biện pháp 7: Luyện tập cho học sinh biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Ví dụ : Bài toán cái thang(tương tự bài toán đo chiều cao vật, bài toán cột cờ…)

Một cái thang dài 6,7 m tựa vào tường nhà tạo ra một góc 630 so với mặt đất Hỏi chiều cao của thang đạt được so với mặt đất là bao nhiêu mét?

Giải :

∆ABC có: Â = 900; AB = AC.sin 630 ≈ 6,3.0,89 ≈ 5,6 (m)

*Nhận xét:

-Ở ví dụ trên giáo viên cần tổ chức cho học sinh làm rỏ các yếu tố: cái thang, khoảng cách từ đỉnh thang đến bức tường (khoảng cách AB),

khoảng cách từ chân thang đến bức tường để từ đó có định hướng áp dụng vào tam giác vuông nào?Cạnh huyền là yếu tố nào, cạnh góc vuông là yếu tố nào so với hình ảnh thực tế

và từ đó các em chỉ việc áp dụng các công thức đã học về hệ thức lượng trong tam giác vuông vào giải