Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9 – Đề số 2 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.. 2..[r]

CÂU 1, 2 BỘ ĐỀ HSGHP318 QN BH CL

1QN.1a) Rút gọn biểu thức

b) Cho các số dương a, b thỏa mãn: a b   2017 a  2  2017 b  2

Chứng minh rằng a2 + b2 = 2017

2 Cho phương trình: x2 – 2mx +2m2 – 1 = 0 (1) ( m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức

x x  x  x 2

2QN.1.a) Tính giá trị của biểu thức sau:

A

    , biết

2 9

x 

b) Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau:

√ x2+ 5 + √ x − 1 + x 2 = √ y2+ 5 + √ y − 1 + y2 Chøng minh r»ng: x = y

2 Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1 vµ x 2

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

a2

3 ax 1 + x22 + 3 a +

3 ax 2+ x12+ 3 a

a2

3QN.1 Cho các số dương: a; b và x = Xét biểu thức P =

1.1 Chứng minh P xác định Rút gọn P.

1.2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2. Cho phương trình x2 – 6x –m =0 ( m là tam số) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x12 x22  12

4QN.1. a Tính giá trị của biểu thứcP  14 6 5  14 6 5

b Rút gọn biểu thức

P

    với x0; x4; x9

1

2

2

 b

ab

b x a x a

x a x a

3

1















2. 1) Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thứccủa phương trình sau là số chính phương:

2) Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình:  

2

x  ax a  a

Chứng minh : b4c 4 2 2.

5QN.1. a) Tính: 5 2 2  9 4 2

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c    abc  Tính giá trị 4 của biểu thức: A a(4 b)(4 c)  b(4 c)(4 a)  c(4 a)(4 b) abc

2 Cho phương trình x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 02 (1) (x là ẩn số, m là tham số).

1 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tìm m để x1 x2 17

6QN.1 1.1 Cho biểu thức

x 1

÷ ç

a) Rút gọn biểu thức P; b) Với giá trị nào của x ta có

1

+

1.2 Cho x, y, z là ba số thực khác 0 thỏa mãn

x + + =y z 8

và a, b, c là ba số thực sao cho

ax3 = by3 = cz3 Chứng minh rằng 3 ax2+by2+cz2 =4(3 a+3 b+3c)

2 2.1 Cho phương trình ẩn x: x2  2(m 1)x m  2 3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thảo mãn 3 2 3 2

x x x  4x x x x  4x

7QN.1 Câu 1: Tính x biết: x  5 13 5 13 5

Câu 2: Cho a, b, c là ba số thực dương đôi một khác nhau thoả mãn: a c 3b

Tính giá trị biểu thức:

A

2 Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của phương trình x 2 ax 1 0  (1) với một nghiệm của phương trình x2bx 1 0(2) là nghiệm của phương trình x2abx 1 0(3) thì 2 2 2 2

a b  a  b =2

(với a, b khác 0)

8QN.1. a)Tính A = 21 2  3  3  5 2 6 2  3  3  52 15 15

b) Rút gọn biểu thức P

= [ 1− x−3 √ x

x−9 ] : [ √ x−3

2− √ x +

√ x−2

3+ √ x −

9−x

x+ √ x−6 ] với

x≥0, x≠9, x≠4

x

( 5 2) 17 5 38 2



   Tính P = ( x2 + x + 1)2018

2 Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,

x3, x4 thoả mãn điều kiện 1 2 3 4

9QN.1.a. Rút gọn A = 13 2 5 1 2 2   13 2 5 1 2 2 

b (1,0 điểm) Cho x và y thỏa mãn: x x2  2018 y y2  2018  2018

Tính: x + y

2 Tìm các giá trị của m để phương trình x2 + mx+ 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 :

10QN.1. 1) Rút gọn biểu thức:

P



     với x 2

2) Cho x =

Chứng minh rằng x là một số nguyên

2 Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2)

(trong đó a; c0) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1; x2 và (2) có 2 nghiệm x3; x4

Nếu (1) có hai nghiệm dương thì x1 + x2 + x3 + x4 ¿ 4

11QN.1.1) Cho biểu thức

 

2

1 1

Q

x



Rút gọn biểu thức Q

2) Cho x 3 5 2  3 5 2 Tính giá trị của biểu thức f x( )x33x

2 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(2m+1)x + m2 +8 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

12QN.1. 1).Thực hiện tính:

√ 2 x+2 √ x2− 4

√ x2−4 +x+2 với x=2 √ 6+3

2) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là những số dương và

= = =

A B C D Chứng minh rằng:

aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D)

2 Cho phương trình: y2 + my + p = 0 có hai nghiệm y1, y2

Xác định m và p để 1

1

1 y  và 2

1

1 y  cũng là nghiệm của phương trình này

13QN.1 1) Cho :

x 1

   (với x > 0; x 1  ) Rút gọn biểu thức A

2) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

a b c a b c 

2 Cho phương trình ẩn x: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 với m  Z

Tìm số nguyên m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 cũng là số nguyên

14QN.1 Cho biểu thức

1) Rút gọn biểu thức A

2) Cho

x  y  Tìm giá trị lớn nhất của A

2 Cho phương trình x2+2(m−2)x+m2−2m+4=0 Tìm m để phương trình

có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn

2

x12+x22−

1

x1x2=

1

15 m

15QN.1 1).Cho

P

a/ Rút gọn biểu thức P

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P

2) Chứng tỏ rằng x 0 39 4 5 39 4 5

là nghiệm của phương trìnhx3  3x 172018 1 0 

2 Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1) + m - 1

a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 3x1- 4x2 = 11

b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm số dương

16QN.1 a) Rút gọn biểu thức: A=

2 10 30 2 2 6 2

:

b) Cho biểu thức

P

    với x 0; x 1.

Tìm giá trị lớn nhất của P và giá trị x tương ứng

2 Cho phươngtrình x2 – 2mx + m - 4 =0 ( m làthamsố) Tìm m

đểphươngtrìnhđãchocóhainghiệmphânbiệt x1và x2thỏamãn + x13 x23 26m

17QN.1. a) Cho

;

Tính a7b7

b) Cho f(x) x36x 72016

Tính f(a) với a = 33 17 33 17

2 Giả sử phương trình bậc hai x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương

Chứng minh rằng a2 + b2 là hợp số

18QN.1 a, Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5 = cot450

b, Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 20 + 14 2 + 20 - 14 23 3

1 ) 1 ( 4

2







 x m x

(m là tham số ) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt vớim R

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức 2 1 22

2

1x x x

x  đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này

19QN.1 a Tính giá trị biểu thức A   9 17  9  17  2

b Cho biểu thức

 

2

1 1

Q

x



Rút gọn biểu thức Q

2 Cho phương trình x2 - (m + 1) x + m = 0 (1)

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1)

Tìm giá trị của m để A = x1x2 + x1x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

20QN.1 a, Tính giá trị của biểu thức A (27x 3 9x2 1)2017 với

3

( 5 2) 17 5 38 x



b, Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau là một số nguyên:

2 Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (1)

a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b, Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2

21.BH1 1) Rút gọn biểu thức

2 a - a 2 - a a - 2 a

  với a > 0 và a 4 2) Cho phương trình x4 16x232 0 ( với x R )

Chứng minh rằng x  6 3 2  3  2 2 3 là một nghiệm của phương trỡnh đó cho.

2. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng phơng trình:

x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vụ nghiệm

22BH2.1 1) Chứng minh: 21 4 5  21 4 5 là số nguyờn

2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = x 4 x 4   x 4 x 4 

2 Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

23BH3.1.1) Thu gọn A = 2 2 3 2 2 3

2) Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món x + y + z = 4

CMR: 4 x3 4 y3 4 z3 2 2

2 Cho phương trỡnh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 (1) với m là tham số

Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

24BH4.1 1) Cho A = 201722017 20182 220182 CMR A là 1 số tự nhiờn

2) Giải phương trỡnh 3 x 2  x2 4 0

2 Cho Phương trỡnh x2−mx+m−1=0 (1)

Gọi x1, x2 hai nghiệm của phương trỡnh Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức.

x

12 +x

22 +2(x1x2+ 1)

25BH5.1 Cho biểu thức:

a) Rỳt gọn biểu thức

b) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn

3 3

3

3 3 8

x



A

2 Cho phương trình

2 2−√3 x2- mx +

2 2−√3 m2 + 4m - 1 = 0 (1)

Tìm m để phương trình (1) Có hai nghiệm thỏa mãn

1

x1+

1

x2=x1+x2

26BH6.1 a) Chứng minh rằng: x = 39 4 5  39 4 5 là nghiệm của phương trình

x3 – 3x – 18 = 0 Từ đó hãy tìm x

b) Cho hai số dương a và b Chứng minh rằng:

 2 2  2 2 

2 a b  a a b  b

= a + b - a2b2

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

27BH7.1 a) Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x y z   xyz 4

Tính giá trị biểu thức: A x(4 y)(4 z) y(4 z)(4 x) z(4 x)(4 y) xyz

b) Đặt a=3√ 2− √ 3+ √32+ √ 3 Chứng minh rằng

64 (a2−3 )3−3a

là số nguyên

2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 Hãy tìm các giá

trị của m thỏa mãn đẳng thức sau: 3

1 2 1 2 2 1  22  4  1 2









































2 3

2 2 2 2

2 2 2

x

y y

x y

x

y x x x y x x x A

với x > 0;y > 0

a) Rút gọn A.; b) Tính giá trị của A biết x = 7+2 10, y = 7- 2 10

2) Đặt x =

3 3

3

1 8 3

1 3

1 8 3









a a

a a

Chứng minh rằng: nếu a >8

1

thì x là số nguyên dương

2. Tìm m đ phể phương t ương tng trình x2  2x m x 1 m   2 0 có nghi m.ệm

29BH9.1 Cho biểu thức:

x 1

a) Rút gọn P b) Tìm x để

1 x 1

1



2 Giảsửphươngtrìnhbậchaix2mx n 0  cóhainghiệm x1,x2 Chứng minhrằng

x  x  1Biếtrằng n ≤ m - 1

2

2

 b

ab

Xétbiểuthức P = a x a x b

x a x a

3

1















a.Chứng minh P xácđịnh Rútgọn P.

b.Khi a và b thayđổi, hãytìmgiátrịnhỏnhấtcủa P.

2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – mx + 1 = 0 (m là số nguyên dương)

Chứng minh rằng x1 + x2 là số nguyên

31BH11. 1.a) Cho x2 – x – 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức:

P



b) Cho biểuthức: P  1 x 1 x 1 x       2  1 x 1 x 1 x       2

vớix     1; 1   Tínhgiátrịcủabiểuthức P với



x

2017.

2.Cho phương trình: x2−2 mx+ m2−2 m=0 , trong đó m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1;x2 thoả mãn √ x1+ √ x2=3

32BH12.1 Cho biểu thức: A=

y x

y y x x y x

y x y y x x

y x













(

( x0, y 0 ; xy)

a) Rút gọn biểu thức A.; b) So sánh A với A

2 Giả sử x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2kx + 4 = 0

Tìm tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức :

3

   

   

   

33BH13.1. Cho biểu thức:

x 1

a) Rút gọn P b) Tìm x để

1



2 Cho phương trình: x4 + 2mx2 + 4 = 0 Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1,

x2, x3, x4 thỏa mãn: x14 + x24 + x34 + x44 = 32

34BH14.1.a) Cho A =

4 2(3 5)



  và B =

3 5

4 2(3 5)



  Tính A3 – B3 b) Cho hàm số f(x) = ( x3+ 12x - 31)2018 Tính f(a) tại a = 316 8 5  316 8 5

35BH15.1 Cho P =

: 1

9

x

a)Rút gọn P

b)Tính giá trị của P khi x

310 6 3 ( 3 1)



2 Cho phương trình ẩn x, tham số m: x4 + 2mx2 + 4 = 0

Xác định các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:

x1 + x24 + x3 + x44 = 32

36CLDHK1.1 Cho biểu thức A =

3

3

3x 3x 2 3x 4 1 3x

3 3x 8

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

2 Cho phương trình: x2  x 10 Gọi x là nghiệm âm của phương trình Hãy tính giá trị 1 của biểu thức: P x1810x113x 1

37CLDHK2.1. Cho bi u th c ể phương t ức

a Rút g n bi u th c A.ọn biểu thức A ể phương t ức

b Cho

x  y  Tìm giá tr l n nh t c a A.ị lớn nhất của A ớn nhất của A ất của A ủa A

2 Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:x + 2mx = 912 2

38CLHD1.1 1) Rút gọn biểu thức

2) Cho

 3 1 10 6 3 3

21 4 5 3

  , tính giá trị biểu thức Px2 4x 22017

2 Cho hàm số y x 2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng  có phương trình y x m  cắt

đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 thoả mãn: (x2  x1 )4 (y2  y1 )4  18 Chúc các em thành công !