Phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp- Toán Đại Số 11- Đầy đủ các dạng – Xuctu.com

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.. Chú ý : Ta phải chú ý đến mối l[r]

Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình

lượng giác thường gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để

căn có nghĩa,phân số có nghĩa, biểu thức lượng giỏc có nghĩa Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để tan x và cot gx có nghĩa

Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương

trình cơ bản

Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra Những nghiệm nào không

thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại

1.1-Phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số

lượng giác

1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản

a) Giải và biện luận phương trình sin x=m (1)

Do sinx∈ −[ ]1;1 nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt ,giả sử α khi đó phương trình

Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm

Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ;2

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b) Giải và biện luận phương trình lượng giác cos x = m ( ) b

Ta cũng đi biện luận (b) theo m

Bước 1: Nếu m > 1phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu m ≤ 1 ta xét 2 khả năng:

-Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử gócα Khi đó phương trình có dạng

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3cos(2 ) 1

c) Giải và biện luận phương trình lượng giác tan x = m ( ) c

Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau:

Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

Ví dụ 2: Giải phương trình : tan( ) 2

d) Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x = m ( ) d

Ta cũng đi biện luận theo m

Bước1: Đặt điều kiện sin x ≠ ⇔ ≠ 0 x k π k ∈ ℤ

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình: cot(4 35 )o 1

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ ) trong cùng một công thức

1.2- Một số phương trình lượng giác thường gặp

1.2.1- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng 1: a sin2 x+b sin x+ =c 0 ( a≠0; , , a b c∈ℝ ) (1)

Cách Hướng dẫn giải Đặt t =sin x , điều kiện | | t ≤1

Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

Cách Hướng dẫn giải Điều kiện sinx ≠ ⇔ ≠0 x kπ k∈ℤ

Đặt t=cotx (t∈ℝ) Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t

2 cos

3 2

x k x

Điều kiện sin 2 0 ,

Bài tập:

Bài 1: Giải phương trình: 5sin2x − 4sin x − = 1 0

Bài 2 Giải phương trình: cos 2 x − 3cos x − = 4 0

Bài 3: Giải phương trình: 5

2

Bài 4: Giải phương trình: cos(4 x + + 2) 3sin(2 x + = 1) 2

Bài 5: Giải phương trình: tan 34 x − 3tan 3 x + = 1 0

Bài 6: Giải phương trình: 4 2 25

x x

−

Bài 9: Giải phương trình 4 14

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh

1.2.2- Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x

a)Định nghĩa: Phương trình asinx+bcosx=c (1) trong đó a, b, c∈ℝ và a2 +b2 ≠0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cosx x

b) Cách giải

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1:Kiểm tra

-Nếu a2 +b2<c2 phương trình vô nghiệm

-Nếu a2 + ≥b2 c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho a2 +b2 , ta được

Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx =0 là nghiệm của phương trình

Hay tanx = =3 tanα ⇔ = +x α kπ ,k∈ℤ

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng

2sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin cos 6cos

(sin 3cos )cos 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải

phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn

điều kiện Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình 2 2(sin x + cos )cos x x = + 3 cos 2 x ( ) 2

a b c

Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm Ta xét ví dụ sau

Ví Dụ 3: Giải phương trình (1+ 3)sinx+ −(1 3)cosx=2 (3)

sin cos sin cos sin( ) sin

42

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

sin( ) sin

22

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn

Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt tan

2

x

t = và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng asin ( )P x +bcos ( )Q x =csin ( )Q x +dcos ( ) (*)P x trong

đó a, b, c, d∈ℝ thoả mãn a2 +b2 = +c2 d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng

số Bằng phép chia cho a2 +b2 ta có (*)⇔sin[P x( )+α ]=sin[Q x( )+β ] hoặc

(*)⇔cos[P x( )+α ]=cos[Q x( )+β ] trong đó α β, là các góc phụ thích hợp Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phương trình: cos 7x−sin 5x= 3(cos5x−sin 7 ) (4)x

k Z k

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Bài tập: Giải các phương trình sau :

1 3 sinx+cosx= 3

2 10cosx−24sin 2x=13

3 sin2 x+ 6 cosx=3cos2x+ 2 sinx

4 4cos3x− 3 sin 3x= +1 3cosx

5 sin4 x−cos4x= +1 2 2 sin cosx x

6 2( 3 sinx−cos )x = 7 sin 2x+3(cos4x−sin4x)

8 2 2(sinx+cos )cosx x= +3 cos 2x

9 cosx+2cos 2x=2 2 +cos3x

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh

1.2.3- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

a) Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x ,cos x là phương trình

asin2 x+bsin cosx x+ccos2x=d (1) trong đó a, b, c, d ∈ℝ

xem nó có phải là nghiệm của phương trình(1) hay không?

Bước 2: Với cos x ≠0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó phương trình (1) trở thành

Đây là phương trình bậc hai theo tan ta đã biết cách giải

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin 2

sin ; cos ; sin cos

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết cách giải

*Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n≥3) với dạng tổng quát

(sinn ,cosn ,sink cosh ) 0

A x x x x = trong đó k + =h n k h n; , , ∈ℕ

Khi đó ta cũng làm theo 2 bước :

Bước 1: Kiểm tra xem cosx=0 có phải là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Nếu cosx≠0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho cosn

x ta sẽ được phương trình bậc n theo tan Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu

không là nghiệm của phươngtrình

+)Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x2 ta được

2 3 6 tan+ x= +(3 3)(1 tan+ 2x)⇔ +(3 3) tan2 x−6 tanx+ −3 3 =0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải phương trình nào cũng ở dạng thuần nhất ta phải thực hiện

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

Vậy phương trình không nhận 2

2

x= +π k π

làm nghiệm +) Với cosx≠0 Chia cả hai vế của phương trình (2) cho cos x3 ta được :

(tanx−1)3 =4(1 tan+ 2x) tanx⇔3tan3x+3tan2x+tanx− =1 0

Đặt t= tanx phương trình có được đưa về dạng:

Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm

*Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương

trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất ,khoa học nhất

Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1 tan

1 sin 2

1 tan

x

x x

cos sin cos sin

Phương trình (*)⇔tanx = ⇔ =0 x kπ (k ∈Z)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng cos sin ( )2

cos sincos sin

x

x x

π

π π

Giải các phương trình sau :

1) 3sinx−4sin cosx x+cos2x =0

2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx=0

5) sin3x−5sin2xcosx+7sin cosx 2x−2cos3x=0

6) sin 2 sinx x+sin 3x=6cos3x

8) (sin2x−4cos )(sinx 2x−2sin cos ) 2x x = cos x4

9) cos3x−sin3x =sinx−cosx

Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của chúng tôi để lĩnh hội được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất Bộ sách là sự kết hợp độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh

1.2.4-Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x

a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x là phương trình dạng

a(sinx+cos )x +bsin cosx x+ =c 0 trong đó a b c, , ∈ ℝ (1)

b) Cách Hướng dẫn giải

Cách 1: Do a(sinx+cosx)2 = +1 sin cosx x nên ta đặt

sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

t= x+ x= x+ π = π −x

Điều kiện | |t ≤ 2Suy ra

2

1sin cos

2

t

x x= −

và phương trình (1) được viết lại: bt2 +2at− +(b 2 ) 0c =

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

b x+ x− + =c Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình

(sin cos ) sin cos 0

a x− x +b x x+ =c bằng cách đặt t =sinx−cosx và lúc đó

2

1sin cos

2

t

x x= −Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng

2

12( ) 1 02

t

t− − + =

z z

24

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở

trên

Bài toán 1: Giải phương trình a2tanx+b2cotx=c a( sinx±bcos ) (1)x a b≠0

Cách Hướng dẫn giải Phương trình (1) có thể viết

sin cos

( sin cos )sin cos

c a x b x

x x

⇔ ( sina x−bcos )( sinx a x+bcos )x =c a( sinx±bcos )x

⇔ ( sina x[ ] ± bcos ) ( sinx   a x[ ] ∓ bcos )x −csin cosx x  =0

⇔ (sin x − 3 cos )(sin x x + 3 cos ) 4(sin x = x + 3 cos )sin cos x x x

⇔ (sin x + 3 cos ) (sin x   x − 3 cos )sin 2 x x   = 0

23

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình

Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải phương trình:

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin cos cos ) (sin sin cos cos ) 0

Đến đây chúng ta đã biết cách giải

Tương tự cho phương trình a(tanx[ ]± sin )x +b(cotx[ ]± cos )x − + =a b 0

Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối

xứng đối với sin x và cos x với bậc lớn hơn 2

Ví dụ 4: Giải phương trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

Phương trình (1) có dạng

cos sin 2 cos 2sin cos

261

6cos 0

22

2

1

1 sin 22

(8 6sin 2 )sin 2− x x= −4 2sin 2x

⇔3sin 23 x−sin 22 x−4sin 2x+ = ⇔2 0 (sin 2x−1)(3sin 22 x+2sin 2x− =2) 0

3

7 1sin 2 sin

Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x≠0

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Bài tập:

Giải các phương trình sau:

( tan )cos 2 9sin 2x 2(sinx cos )x = 2 x+sinx cosx x−

2 2(tanx−sin ) 3(cotx + x−cos ) 5 0x + =

3. 1 cos+ 3x−sin3x=sin 2x 4 sinx+cosx=( 3 1)cos 2− x

5 2cos2 (1 sin ) cos2 0

2

x

− + = 6 sin3x+cos3x=sin 2x+sinx+cosx

7 4(sin4x+cos4x)+ 3 sin 4x=2 8 8 8 17

10 sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x) 11 8 8 10 10 5

sin cos (sin cos ) cos 2



đưa phương trình đã cho về dạng đại số F t( ) 0=

Bước 2: Giải phương trình F t( ) 0= loại những nghiệm không thoả mãn điều kiện của bài toán

Bước 3: Với nghiệm t tìm được ở bước 2 thế vào bước 1 để tìm x

Ví dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình tan3x−cot3x−3(tan2x+cot2x) 3(tan− x−cot ) 10 0 (1)x + =

tan cot 3tan cot (tan cot )

tan cot 2 tan cot 2(tan cot ) 8 0

là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:Giải các phương trình sau:

1 2(tanx+cot )x =tan7 x+cot7x 2 tan3x+tan2x+cot2x+cot3x− =4 0

3 5(tanx+cot ) 3(tanx − 2 x+cot2x) 8 0− = 4 2 11 12

tan 2(tan cot )

x 6 sinx+cosx=tanx+cotx

7 8(tan4x+cot4x) 9(tan= x+cot )x 2 −10

1.3- Vấn đề loại nghiệm không thích hợp của PTLG

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn Khi đó, trước khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm tìm được có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay không, để ta có thể loại những nghiệm không thích hợp

Chúng ta có thể xét ba phương pháp sau:

1.3.1 Phương pháp loại nghiệm trực tiếp

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Trước hết

ta giải phương trình (1) sau đó thay nghiệm của phương trình (1) tìm được vào (*) để loại nghiệm không thích hợp

Ví Dụ: Giải phương trình 1 sin

0sin 4

x x

(1) Hướng dẫn giải

Điều kiện sin 4x≠0 (*)

Khi đó (1) 1 sin 0 sin 1 2 ,

Vậy phương trình (1) vô nghiệm

1.3.2- Phương pháp hình học (dùng đường tròn lượng giác)

Giả sử ta cần tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện (*) nào đó Gọi L là tập các cung không thoả mãn các điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên cùng một đường tròn lượng giác Chẳng hạn điểm cuối của các cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc N ta đánh dấu

(.) Khi đó những cung có điểm cuối được đánh dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) là nghiệm

Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác

Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là 6

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

sin

cos

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1 https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh

Vậy nghiệm của phương trình là ,

x x

x = 3: Giải phương trình: cos 2 2sin cos

32cos sin 1

x

−

6: Giải phương trình: sin 3x=cos cos 2 (tanx x 2x+tan 2 )x

Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác

Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương trình ta phải thực hiện các phép biến đổi theo hướng

-Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm

-Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp

2.1 - Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và

lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác Vì mối

liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình

Vậy phươngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình sin cos33x x+sin 3 cosx 3x=sin 43 x

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình 2 cosx +sinx =1 (1)

( ) 25

2 3

< + < ta thấy có 1 giá trị k = 0 là thoả mãn

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

3

x = π

Nhận xét : Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng

giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết

2.1- Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp :

Có 2 loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn

Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến dưới hàm lượng giác

+) Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

2.1.1- Đổi biến dưới hàm lượng giác

4 22

2 ( )5

14

25

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

2.1.2- Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ

Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây

Ví dụ1: Giải phương trình

tan2 x−3tanx−9cotx+9cot2 x+ =2 0 (1)

Hướng dẫn giải Điều kiện sin 0

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Chú ý: Một số phương trình có cách đặt ẩn phụ không toàn phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ

cả ẩn cũ và ẩn mới cung tồn tại trong phương trình Bộ phận cũ còn lại ấy được xem là tham

sinx+3 t −(sinx+3)t+ =1 0 (*)

Do sinx+ >3 0 nên phương trình (*) là phương trình bậc hai đối với t

2(sin 3) 4(sin 3) (sin 1)(sin 3)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình cos x + 2 cos + x = 2 (1)

Hướng dẫn giải

Đặt u = 2 cos + x điều kiện 1 ≤ ≤ u 3 khi đó ta có u2 = + 2 cos x (*)