Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là bài toán dễ..[r]
Trang 1Khi giải các bài toán hình học , việc vẽ hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm ra lời giải của bài toán, nhưng biết tạo ra hình phụ một cách thích hợp không phải là bài toán dễ Trong bài viết này tôi đưa ra một cách phân tích có chủ ý để tìm được cách vẽ thêm được hình phụ thích hợp khi giải một số bài toán chứng minh đẳng thức hình học dạng:
xy = ab + cd, x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + b2
Ta xuất phát từ một bài toán đơn giản như sau:
“Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng khác :
AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M sao cho AM = CD, công việc còn lại là chứng minh MB = EF ”
Ý tưởng trên cũng được sử dụng để chứng minh đẳng thức
xy = ab + cd và các trường hợp riêng như sau:
Bước 1:
Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn bởi điểm M sao cho
x = x1 + x2 và x1y = ab
Bước 2:
Chứng minh hệ thức x2y = cd
Bước 3:
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được đpcm
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ áp dụng phương pháp trên
Vídụ 1
Đ ịnh lí Pytago: Tamgiác ABC có góc A vuông
CMR BC 2 = AB 2 + AC 2
Trang 2Phân tích : Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho
BC
AB AB
tamgiác BMA đồng dạng với tam giác BAC nên
góc BMA bằng 900
Suy ra M là chân đường cao hạ từ A xuống BC
Lời giải:
Hạ AM vuông góc với BC
Ta thấy M thuộc cạnh BC
Ta có tam giác BMA đồng dạng với tam giác
BC
AB AB
⇒
Tam giác CMA đồng dạng với tam giác CAB
BC CM AC
BC
AC
AC
⇒
Ta suy ra AB2 + AC2 = BC2
B
A
Ví dụ 2:
Cho tứ giác ABCD có góc DAB = 90 0 và góc DBC = 90 0
CMR : DC 2 = DI.DB + CI.CA
Phân tích:
Lấy điểm M thuộc cạnh CD sao cho
DC
DB DI
DM
tam giác DMI đồng dạng với tam giác
DBC , do đó góc DMI = góc DBC = 900
hay IM vuông góc với DM (DC)
Vậy ta xác định được điểm M
B
M I
A
Trang 3Lời giải :
Kẻ IM vuông góc với DC
Ta có tam giác DBC đồng dạng với tam
DI
DM DC
DB
.
⇒
=
⇒
(1)
Lại thấy tam giác ACD đồng dạng với
CI
MC CD
AC
.
⇒
=
⇒
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
DC.(DM+MC) = DI.DB + CI.CA
Hay DC2 = DI.DB + CI.CA
B
M I
A
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC có AD là phân giác của góc A
CMR: AD 2 = AB.AC – BD.CD
Phân tích :
Lấy điểm E trên AD sao cho
AD.AE = AB.AC ⇒ = ⇒
AC
AD AE
AB
tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC , do đó góc ABE
= góc ADC
Như vậy ta xác định được điểm E
Lời giải:
Trên AD lấy E sao cho AD góc ABE = góc
ADC Dễ thấy AD = AE – DE Do AD là phân
E
D B
C A
Trang 4giác góc A nên tam giác ABE đồng dạng với
AC
AD AE
AB
.
⇒
=
Lại thấy tam giác BDE đồng dạng với tam giác
DE
DC BD
AD
.
⇒
Từ (1) và (2) ta có:
AD.( AE – DE ) = AB.AC – BD.CD
D B
C A
Ví dụ 4:
Cho hình thang cân ABCD ( AD//BC) CMR: AB 2 + AD BC = AC 2
Phân tích:
Giả sử điểm M thuộc cạnh AC sao cho
AB2 = AM.AC suy ra tam giác ABM đồng
dạng với tam giác ACB do đó
góc ABM bằng góc ACB
Vậy ta xác định được điểm M
Lời giải:
Dựng góc ABM bằng góc ACB
( M thuộc AC)
Ta thấy tam giác ABM và tam giác ACB
AB
AM AC
Mặt khác ta thấy : góc BCM = góc CAD và
góc CBM = góc ACD Do đó tam giác
CBM đồng dạng với tamgiác ACD
AC CM BC AD AD
AC
CM
Từ (1) và (2) suy ra
A
M
D
C B
A
M
D C B
Trang 5AB2 + AD BC = AM.AC + CM.AC ,
vậy AB2 + AD.BC = AC2
Ví dụ 5:
Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi E và F lần lượt là các đường vuông góc hạ từ C xuống các đường thẳng AB và AD
CMR: AC 2 = AB AE + AD AF
Phân tích:
Lấy M thuộc đoạn AC sao cho
AM.AC = AB.AE ⇒ = ⇒
AC
AE AB
AM tam Giác ABM đồng dạng với tam giác ACE nên BM vuông
góc với AC
Vậy điểm M cần tìm là chân đường vuông góc
hạ từ B xuống AC
Lời giải:
Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ B xuống
AC, ta thấy M thuộc đoạn AC do góc A nhọn
nên AC = AM + MC
Lại thấy tam giác ABM đồng dạng với tam giác
ACE (g.g) suy ra AM AC = AB AE
Và tam giác ACF đồng dạng với CBM(g.g)
suy ra CM AC = BC AF
Do BC =AD ta có :
AB AE + AD AF = AM AC + CM AC = AC2
B
M
C E
B
M
C E
Ví dụ 6:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O
CMR: AC BD = AB CD + AD BC
Trang 6Phân tích:
Giả sử M thuộc đoạn AC sao cho
AM.BD=AB CD, suy ra tam giác ABM đồng
dạng với tam giác DBC nên góc ABM bằng góc
DBC Như vậy ta xác định điểm M như sau
Lời giải:
Do góc ABC > góc DBC nên tồn tại điểm M trên
đoạn AC sao cho góc ABM = góc CBD Suy ra
tam giác ABM đồng dạng với tam giác DBC
(g.g) nên AM BD = AB CD (1)
Dễ thấy tam giác BMC đồng dạng với tam giác
BAD (g.g) nên MC BD = AD BC(2)
Từ (1) và (2)⇒ AC BD =AB CD + AD BC
A B
D
C
M
Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC biết 3A + 2B = 180 0
Chứng minh rằng: AB 2 = BC 2 +AB AC
Phân tích :
Giả sử điểm M thuộc cạnh AB sao cho
BM AB =BC2 suy ra tam giác BMC
đồng dạng với tam giác BCA nên
góc BCM = góc BAC = góc A
Kết hợp giả thiết ta có
góc ACM = góc AMC hay tam giác
ACM cân tại A Vậy ta xác định được
B
A
Lời giải:
Trang 7Từ giả thiết suy ra AB > AC
Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = AC, do đó tam giác ACM cân tại
A nên góc ACM =
2
1(A + B + C – A) = A+ B
Do đó góc BCM = C – ACM = A
Suy ra tam giác BCM đồng dạng với tam giác BAC suy ra BM BA = BC2 nên ( AB – AC ).AB = BC2, do đó AB2= BC2 + AB AC
Ví dụ 8:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh A Gọi I, K và H lầnlượtlà hình chiếu của D trên các đường thẳng BC,AB và AC.CMR:
DH
AC DK
AB DI
Phân tích :
Giả sửđiểm M thuộc cạnh BC sao cho
⇒
=
DK
AB
DI
BM tam giác DKI đồng dạng với
tamgiác BAM suy ra góc BAM = góc DKI mà
góc DKI = góc DBI nên sđ CD = sđ BN
( N là giao điểm của AM với đường tròn)
Do đó DN // BC Vậy ta xác định được điểm
M và N như sau
D
C B
A
N
H
K
I
M
Lời giải:
Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn tại N( khác D)
AN cắt BC tại M
Ta thấy tam giác DKI đồng đạng với tamgiác BAM (g.g)
DK
AB DI
BM =
⇒
Lại thấy tam giác ACM đồng dạng với tam giác HDI (g.g)
DH
AC DI
CM
=
⇒
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có ĐPCM
Các hệ thức hình học rất đa dạng Việc tìm ra chúng tuỳ thuộc vào điều
Trang 8kiện cụ thể của bài toán và sự sáng tạo, linh hoạt của người giải
Xin giới thiệu bài toán tương tự
Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H CMR:
BE BH + CF CH = BC2
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C Lấy điểm E trên đường cao CH Kẻ
BD vuông góc với AE tại D CMR:
a) AE.AD + BA.BH = AB2
b) AE AD – HA.HB = AH2
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH Gọi HD, HE lần
lượt là các đường cao của tam giác ABH và ACH CMR: AH3 = AD.AE.BC
****************
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO
TOÁN 8 MỚI NHẤT-2019
Trang 9
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: sach.toan.online@gmail.com
Đặt online tại biểu mẫu:
https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89
Quý thầy cô nhận bạn file WORD tại Zalo
0918.972.605