tại I. c) Tìm tọa độ các diểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.. b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.. 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai[r]
Trang 1Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x thuộc
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng theo thì ta nói hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 < x2
mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên )
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) lại giảm đi thì ta nói hàm
số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên )
5 Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
Trang 2a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b ,trong đó
a, b là các số cho trước , a 0
Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc
b)Tính chất hàm số bậc nhất :hàm số đồng biến trên khi a > 0, nghịch biến trên
+ Cắt trục tung tại điểm (0; b); b gọi là tung độ gốc của đường thẳng
+ Cắt trục hoành tại điểm ( b; 0
a
)
Chú ý : Khi b = 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ
Nếu a > 0 thì đường thẳng “đi lên” từ trái qua phải Nếu a < 0 thì đường thẳng “đi xuống” từ trái qua phải
d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng y= ax + b (a 0) và đường thẳng y = a’x + b’(a’ 0)
*Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a’và b b’
*Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a = a’và b = b’
*Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a’
Trường hợp riêng : Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi a a’= 1
e) Hệ số góc của đường thẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y= ax + b(a 0) Khi ta nói góc α là góc tạo bởi đường thẳng y= ax + b và trục Ox, ta hiểu đó là góc tạo bởi tia A x và tia AT ,
Trang 3trong đó A là giao điểm của đường thẳng y= ax + b và trục Ox,T là điểm thuộc đường thẳng y= ax+b có tung độ dương
Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y= ax + b
a) Hàm số y = ax 2 xác định với mọi x thuộc và có tính chất sau:
*Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
*Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x >0
b) Lưu ý về giá trị của hàm số :
Nếu a > 0 thì ta có y = ax2 0 với mọi x (y = 0 khi x = 0), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 đạt được khi x = 0
Nếu a < 0 thì ta có y = ax2 0 với mọi x (y = 0 khi x = 0), nên giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 đật được khi x = 0
Trang 4 Nếu m 0 thì y = m là phương trình của đường thẳng song song với trục hoành
Nếu m = 0 thì y = 0 là phương trình của trục hoành
b) Đường thẳng có dạng x = n
Nếu n 0 thì x = n là phương trình của đường thẳng song song với trục tung
Nếu n = 0 thì x = 0 là phương trình của trục tung
B CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN :
1) Dạng bài tập liên quan đến tính chất của hàm số :
a) Kiến thức cần áp dụng : Tính đồng biến, nghịch biến của từng loại hàm số
y x
Trả lời : Phương án D
(Cần lưu ý : Hàm số bậc nhất chỉ luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến
Do đó ta chỉ cần xét xem hàm số bậc hai nào có hệ số a dương)
* Ví dụ 3 : Cho f(x) = (3a 7)x2 và g(x) = (2a – 1)x2 Tìm a thuộc Z để khi x < 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến và hàm số y = g(x) nghịch biến
Hướng dẫn :
Điều kiện để yêu cầu được thỏa mãn là: 3a – 7 < 0 và 2a – 1 > 0 1 7
Trang 5Xác định một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà khác với gốc tọa độ, chẳng hạn điểm
A (1; a) Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số
* Nếu b 0 :
Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số Thông thường :
Xác định điểm A(0 ; b) là giao điểm với trục tung
Xác định điểm B( b
a
; 0) là giao điểm với trục hoành
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị của hàm số
b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 4
Cho x = 0 thì y = 4; ta được điểm A(0; 4) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Cho y = 0 thì x = 2; ta được điểm B(2; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ( Lưu ý : + Có thể lập bảng gồm hai cặp giá trị tương ứng giữa x và y
+ Không nhất thiết phải đặt tên hai điểm như trên)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A (0; 4)và B(2; 0) ta được đồ thị của hàm số y = 2x + 4
2.2 Vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2 (a 0) :
a) Cách làm :
Trang 6 Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y (thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị ; trong đó x
lấy giá trị 0 và các giá trị là số nguyên đối nhau gần 0), chẳng hạn :
3) Dạng bài tập viết phương trình của đường thẳng (d) khi biết một số điều kiện :
a) Biết (d) song song với đường thẳng (d ’ ) : y = ax + b (a 0) và đi qua điểm A(x 0 ; y 0 )
Trang 7 Kết luận về phương trình của đường thẳng (d)
* Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1
và đi qua điểm A(1; 2)
Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 2x
b) Biết (d) đi qua hai điểm A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) :
* Cách giải :
Phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = ax + b
Vì (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên ta có : y1 = ax1 + b
Vì (d) đi qua điểm B(x2; y2) nên ta có : y2 = ax2 + b
Do đó ta có hệ phương trình 1 1
axax
Trang 8* Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3)
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 1
(Lưu ý : Nếu biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y0 thì có nghĩa
là đồ thị hàm số đi qua điểm (0; y0) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ bằng x0 có nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm (x0; 0))
4) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng :
a) Cách giải : Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau
(đã nêu ở phần kiến thức cơ bản ) để làm
Lưu ý : Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng đó
Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm
của hai đường thẳng đã có phương trình cụ thể, sau đó ta tìm điều kiện để đường thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đó
b) Ví dụ : Xác định m để hai đường thẳng y = (m2 2)x + m + 3 và
y = (2m 2)x + 2m + 1 song song với nhau
Trang 9m
m m
Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau
5) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và parabol :
a) Lý thuyết :
Vị trí tương đối của Parabol y = ax 2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n :
1 Hoành độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình : ax = mx + n2 ax - mx - n = 0 12
* Nếu phương trình (1) có > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (Hình 1)
Muốn tìm tọa độ của giao điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hoành độ của hai giao điểm
Thay các giá trị vừa tìm được vào công thức của parabol hoặc công thức của đường thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ giao điểm
* Nếu phương trình (1) có = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với parabol (Khi đó đường thẳng và parabol chỉ có một điểm chung , điểm đó được gọi là tiếp điểm – Hình 2)
Muốn tìm tọa độ của tiếp điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hoành độ của tiếp điểm
Thay giá trị vừa tìm được vào công thức của parabol hoặc công thức của đường thẳng
để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ của tiếp điểm
* Nếu phương trình (1) có < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm, đường thẳng và parabol không có điểm chung(Hình 3)
Trang 10Chú ý : Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với parabol nếu có một điểm chung duy
nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng
Trường hợp đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với parabol nhưng ta không gọi là tiếp xúc với parabol (Hình 4)
2 Tọa độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của
hệ phương trình : (I)
2
* Nếu phương trinh (*) có hai nghiệm phân biệt thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt Khi
đó đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hai nghiệm của hệ (I) chính là tọa độ của hai giao điểm
* Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hệ (I) có nghiệm duy nhất Khi đó đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau, nghiệm duy nhất của hệ (I) chính là tọa độ của tiếp điểm
* Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hệ (I) vô nghiệm Khi đó đường thẳng và
parabol không giao nhau
b) Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = 2x + 4 (d)
Vậy tọa độ các hai giao điểm của (P) và (d) là (1; 2) và (2; 8)
6) Dạng bài tập tìm điểm cố định của đường thẳng :
a) Cách giải :
Trang 11Giả sử phương trình của đường thẳng (d) có dạng ax + by = c, trong đó ít nhất một
trong các hệ số a, b, c có chứa tham số m chẳng hạn Bài toán yêu cầu tìm điểm cố định của đường thẳng (d) Khi đó ta làm như sau :
Giả sử điểm M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) luôn đi qua thì phương trình ax0 + by0 = c phải luôn đúng với mọi m
Tìm giá trị của x0 và y0 để cho phương trình ax0 + by0 = c luôn đúng với mọi m
Kết luận
b) Ví dụ : Cho đường thẳng 2(k + 1)x + y + 3 + k = 0 (d), với tham số k Chứng minh
rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm cố định đó
Hướng dẫn giải
Giả sử M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho luôn đi qua thì
phương trình 2( k + 1)x0 + y0 + 3 + k = 0 (1) luôn đúng với mọi k
Ta có (1) (2x0 + 1)k + 2x0 + y0 + 3 = 0, điều kiện để phương trình này luôn đúng với
0 0
0
1 2x 1 0
2
2
x y
a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): tại hai điểm phân biệt A và B
b, Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): và đường thẳng (d): y = mx – 1 (m – tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
Bài 4: Cho hàm số (P)
a Vẽ đồ thị hàm số
b Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng y = mx – 1
Trang 12Bài 5: Cho (P): và đường thẳng (d): y = 2x + m Xác định m để hai đường đó:
a Tiếp xúc với nhau Tìm hoành độ tiếp điểm
b Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = 1 Tìm tọa độ điểm còn lại c) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
Phần II :bæ sung
Dạng I Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:
1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x 0 ; y 0 ):
Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b
Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;3) và song song với đường thẳng y =
4x
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b ,
song song với đường thẳng y = 4x a = 4
Đi qua M( 2;3) nên ta có : 3 = 4.2 + b b = 11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
Áp dụng:
Bài 1: Cho (P) y = Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến với (P) tại A song song với đường thẳng y = 4x + 5
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua B(0;1) có hệ số góc k
2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x 1 ;y 1 )và B(x 2 ; y 2 ):
Trang 13 Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :
b ax y
2 2
1 1
Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
Đi qua B (3; 4) nên : 4 = a.(3) + b (2)
Bài 1: Cho (P) y = , gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và
4 Tìm tọa độ điểm A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB
Bài 2: Cho hàm số y = (2m 3)x + n – 4 (d) (m )
1 Tìm m, n để đường thẳng (d):
a Đi qua hai điểm A(1;2); B(3; 4)
b Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 1 +
3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y
= a’x 2 (P)
Trang 14+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
a’x2 = kx + b có nghiệm kép Δ = 0 (*)
Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp
xúc với parabol y = x2
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 a = 2
Tiếp xúc với parabol y = x2 nên phương trình :
x2 = 2x + b có nghiệm kép
x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép
Δ’ = 1 – b ; Δ = 0 1 – b = 0 b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
đường cong y = a’x 2 (P)
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên y0 = a.x0 + b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :
Trang 15y = ax + b Đi qua M (1; 2) nên ta có: 2 = a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :
Thay a = 4 vào (*) ta được b = 2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 2
Áp dụng:
Bài 1:Cho hàm số y = 2x2
Viết phương trình đường thẳng đi qua A (0; 2) và tiếp xúc với (P)
Dạng II Bài toán về điểm cố định của họ đường thẳng
Phương pháp: Gọi M là điểm cố định của họ đường thẳng ( ),
y = f(x; m) đi qua Vì M thuộc ( ) suy ra:
(với mọi m)
Từ đó tìm ra được M
Ví dụ: Cho đường thẳng (d) : 2(m 1)x + (m 2)y = 2 Tìm điểm cố định mà (d) đi qua
khi m thay đổi
Trang 16Vậy khi m thay đổi (d) luôn đi qua M(0;0)
Áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m
c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + m – 1(m – tham số) CMR: đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Dạng III Bài toán tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ
Phương pháp:
- Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x; y)
- Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y
Ví dụ : Cho hàm số (P) y = 2x2
Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ
Dạng IV Bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, chu vi, diện tích tam giác
Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai điểm: Từ hai điểm kẻ các đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ để tạo ra các tam giác vuông, sau đó dùng định lý Pitago
- Chu vi tam giác bằng tổng các độ dài các cạnh đa giác
- Diện tích: Ta đưa về các hình thường gặp
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : y = 4x (d) Viết phương trình đường thẳng (s) song song với
đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8
Giải
+ Đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) nên có phương trình:
Trang 17y = 4x + b
+ (s) cắt trục hoành tại A, nên ta có:
+ (s) cắt trục tung tại B, ta có: Do đó: B
+ Tam giác AOB vuông ở O nên:
Vậy có hai đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8
Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là
1 và 2 Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bài 4: Tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và
y = Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành Tính diện tích
tứ giác ABCD
Bài 5: Cho (P): y = và điểm M(0; 2) Gọi (D) là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc là k Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt thỏa mãn AB = 12 và hoành độ của A và B là các số dương
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình:
2kx + (k 1)y = 2 (k là tham số)
1 Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x ? Khi
đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox
2 Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất