Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn số đầy đủ phương pháp giải và dạng toán- Đại Số 8-Chương 4 – Xuctu.com

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm phần chung [r]

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: ax + b > 0 ( hoặc

ax + b < 0: ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0) trong đó x là ẩn a, b là các số đã cho a ≠ 0

b) Bất phương trình tương đương

ĐN: hai bất phương trình được gọi à tương đương nếu chúng có cùng một tập

hợp nghiệm

Các phép biến đổi tương đương

+ Định lí 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một bất phương

trình thì được một bất phương trình mới tương đương

- Hệ quả 1; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương

trình thì được một bất phương trình tương đương

- Hệ quả 2: Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì

được một bất phương trình tương đương

Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x không là bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ cho các em: Hãy thực hiện các phép tính ở hai

vế và thu gọn

Hướng dẫn giải

a ( x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) + 4⇔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4

⇔ x2 < 2 x2 ↔ x2 > 0⇔ x > 0 hoặc x < 0

Sau khi giải đến bất phương trình x2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi như sau; x2

> 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm của bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số, biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các gía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị còn lại của x sẽ làm cho x2 > 0

b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26

↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > 2 ( vô lí )

Nên: Bất phương trình vô nghiệm

Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm:

Bước 1: Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình

Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hạng tử bằng số sang một

vế rồi thu gọn bất phương trình

Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và gợi

ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là; S = {x / x ≤ -115}

Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có chứa mẫu: Bước 1: Quy đồng và khử mẫu

Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số sang một vế và thu gọn bất phương trình

Bước 3: Giải bất phương trình sau khi thu gọn

Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường

+ Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1

+ Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1

+ Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá trị của x

Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để cho mẫu

có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình

Hướng dẫn giải Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0

x

a+ + > x 2 2x

a

+ −

là quy đồng, rút gọn rồi mới giải bất phương trình, làm như vậy thì các em sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành

Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm phần chung trong tập nghiệm của chúng

x − khi x < 3

5

5 ,

Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức 1, 5

5

x

− nhỏ hơn giá trị phân thức 4 5

Là bài toán về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến bất phương trình

so sánh với điều kiện trước khi kết luận

Bài tập mẫu 13: Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0

Giáo viên hướng dẫn, dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau đó đánh giá để tìm được a, b

Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên: Phần nguyên của

a kí hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a

7 7

x

x x

Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n:

- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là

Bài tập mẫu 16: Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 Người ta xóa đi

một số thì trung bình cộng của các số còn lại bằng 7

- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là

Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70

Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là 7

Dạng 2: Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ

Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu thức không âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm

│A│= A nếu A≥ 0

-A nếu A < 0

Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất ta cần nhớ định lí sau:

Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 )

Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 )

+ Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức

+ Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 2: x < 4

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0

Bài tập mẫu 2: Giải bất phương trình

a │x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│ (1) b │x - 1│+│x - 5│> 8 (2)

x − + − > ⇔ > ⇔ > 1 x 5 8 2 x 14 x 7 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là x < - 1; x > 7

Nhận xét: Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng

khoảng giá trị của biến Trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau:

* Xét khoảng x ≥ 1

2,(1) có dạng 3(2x− < 1) 2x+ ⇔ 1 6x− < 3 2x+ ⇔ 1 4x< ⇔ < 4 x 1

Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 1 1

Dạng 3: Bất phương trình tích, bất phương trình thương

Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý:

- Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương

- Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm

Hướng dẫn giải

a) Cách 1: lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5

x 2 5

x – 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

(x – 2) ( x – 5 ) + 0 - 0 +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < 2 hoặc x > 5 Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương ( x – 2 ) ( x – 5 ) > 0 2 0 2 5 0 5 5 2 2 0 2 5 0 5 x x x x x x x x x x   − >   >     − > >  >    ⇔  ⇔   − <   <  <   − < <     Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là: x > 5; x < 2 c) Lập bảng xét dấu của các nhị thức x -2 5

x + 2 - 0 + │ +

x – 5 - │ - 0 +

Bài tập mẫu 1: Tìm x sao cho

a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0 b) 2

5

x x

+

− < 0

5

x

x

+

− + 0 - ║ +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là x < -2; x > 5 Hướng dẫn giải a) Cách 1: a x2 - 2x + 1 < 9 ⇔ − ( x 1)2 < ⇔ − < 9 x 1 9 ⇔ − < − < ⇔ − < <3 x 1 3 2 x 4 Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích ( )( )

2 2 1 9 2 2 8 0 2 4 0 x x x x x x − + < ⇔ − − < ⇔ + − < Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ), ( x – 4 ) x -2 4

x + 2 - 0 + │ +

x – 4 - │ - 0 +

(x + 2) ( x – 4 ) + 0 - 0 +

Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4

b ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

Bài tập mẫu 2: Giải các bất phương trình sau

a x2 - 2x + 1 < 9 b ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 9 1 1 3 1 0 3 3 1 3 0 3 1 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + + − + − + ≥ =  ⇔ − + − ≥ ⇔ − − + ≥ ⇔ = −  Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3, x = - 1 Hướng dẫn giải a) 3 2 2 3 2 4 5 20 ( 4) 5( 4) 0 0 10 8 ( 2)( 1)( 4) x x x x x x x x x x x x − + − > ⇔ − + − > − − − + + − (1)

ĐK; x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ 4 (1) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 4 5 5 0 0 ( 1)( 2) 0 1 2 4 1 2 x x x x x x x x x x − + + ⇔ > ⇔ > ⇔ + + > + + − + + x -2 -1

x + 2 - 0 + │ +

x + 1 - │ - 0 +

(x + 2) ( x + 1 ) + ║ - ║ +

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x < -2; - 1 < x < 4; x > 4 b) 2 2 2 2 4 5 1 1 2 x x x x x x + + > + + − + + (2)

Bài 3: Giải bất phương trình sau

a)

3 2

3 2

0

10 8

− + − >

− − − b)

1

+ + > + + −

Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8 MỚI NHẤT-2020

ADD Zalo của Nhà Sách để lấy MK chỉnh sửa FILE WORD này!!!

ĐẶT TRƯỚC BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 NĂM HỌC MỚI

TÌM ĐỌC BỘ SÁCH THAM KHẢO TUYỂN SINH 10

+ Cập nhật dạng toán mới và Phương pháp mới + Cập nhật các đề thi mới trên toàn quốc

+ Viết chi tiết và dễ hiểu