CHUYÊN ĐỀ NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC VÀ BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ – Xuctu.com

của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh).. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi. giá trị của biến.. Chứng minh rằng:[r]

CHUYÊN ĐỀ NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA

THỨC VÀ BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

I) Nhân đơn thức với đa thức:

1 Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A B + A C

2 Bài tập áp dụng:

Bài 1 Làm tính nhân:

a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);

c) 1

2x2y(2x3 - 2

5xy2 - 1); d) 2

7x(1,4x - 3,5y);

e) 1

2xy(2

3x2 - 3

4xy + 4

5y2); f)(1 + 2x - x2)5x;

g) (x2y - xy + xy2 + y3) 3xy2; h) 2

3x2y(15x - 0,9y + 6);

i) 3

7

−

x4(2,1y2 - 0,7x + 35);

Bài 2 Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng

2

−

b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1

c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2

d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 1

2

Bài 3 Thực hiện phép tính sau:

a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;

b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);

c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5;

d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a)

Bài 4 Đơn giản các biểu tức:

a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;

c) (-1

2x)3 - x(1 - 2x - 1

8x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100)

Bài 5 Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);

b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);

Bài 6 Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;

a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);

b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x)

Bài tập nâng cao

Bài 7 Tính giá trị biểu thức:

a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 với x = 79

b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 với x = 9

d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x với x = 14

Bài 8 Chứng minh rằng :

a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44

Bài 9 Cho a và b là các số nguyên Chứng minh rằng:

a) nếu 2a + b ⋮ 13 và 5a - 4b ⋮ 13 thì a - 6b⋮ 13;

b) nếu 100a + b ⋮ 7 thì a + 4b ⋮ 7;

c) nếu 3a + 4b ⋮ 11 thì a + 5b ⋮ 11;

II) Nhân đa thức với đa thức

1 Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;

2 Bài tập áp dụng:

Bài 1 Thực hiện phép tính:

a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);

c) 1

2x2y2(2x + y)(2x - y); d) (1

2x - 1) (2x - 3);

2)(x + 1

2)(4x - 1);

g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);

h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);

i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);

Bài 2.Chứng minh:

a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;

Bài 3 Thực hiện phép nhân:

a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);

b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);

c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);

d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)

e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4)

Bài 4 Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức:

a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);

c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b); d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bài 5 Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:

a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);

Bài 6 Tìm x, biết:

a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);

b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);

c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);

d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);

e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2)

Bài tập nâng cao

Bài 7 Chứng minh hằng đẳng thức:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

Bài 8 Cho a + b + c = 0 Chứng minh M = N = P với :

M = a(a + b)(a + c);

N = b(b + c)(b + a);

P = c(c + a)(c + b);

Bài 9 Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ?

HD: Trước hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì

dư 0 hoặc 2 Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh) Số 350 + 1 chia cho 3 dư 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Bài 10 Cho A = 29 + 299 Chứng minh rằng A⋮ 100

HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)





11

Thõa sè thø nhÊt 2 + 2 2050

4100 100 Thõa sè thø hai ch½n A A

III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ

1) Kiến thức cơ bản:

1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2

1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B) 1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3 1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

2) Bài tập áp dụng:

Bài 1 Tính

a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2

2)2 Bài 2 Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:

a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + 1

4; c) 2xy2 + x2y4 + 1 Bài 3 Rút gọn biểu thức:

a) (x + y)2 + (x - y)2;

b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;

c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z)

Bài 4 ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;

a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2);

c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;

e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);

Bài 5 Hãy mở các dấu ngoặc sau:

a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);

c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2)

Bài 6 Tính giá trị biểu thức:

a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13;

Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:

a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3;

b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4

Bài 8 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:

a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);

b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);

c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);

d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);

e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1)

Bài 9 Tìm x, biết:

a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;

d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;

e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19

Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:

a) 192; 282; 812; 912; b) 19 21; 29 31; 39 41;

c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;

Bài 11 Chứng mih các hằng đẳng thức sau:

a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;

c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2]

Các bài toán nâng cao

Bài 12 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;

Bài 13 Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong:

(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2

Bài 14 Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh rằng a = b

Bài 15 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b =c

Bài 16 Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) Chứng minh rằng a = b = c

Bài 17 Cho a + b + c = 0 (1)

a2 + b2 + c2 = 2 (2)

Tính a4 + b4 + c4

Bài 18 cho a + b + c = 0 Chứng minh đẳng thức:

a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);

b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;

c) a4 + b4 + c4 = ( )2

2 2 2

2

;

Bài 19 Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến

a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1

Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x2 - 3x + 5;

b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;

Bài 21 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a) A = 4 - x2 + 2x;

b) B = 4x - x2;

Bài 22 Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị của biểu thức x3 + y3

Bài 23 Cho x + y = a; xy = b

Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:

a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5;

Bài 24 a) cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy

b) cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy

Bài 25 Cho a + b = 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b)

Bài 26 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;

b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);

c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;

d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;

e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;

g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;

h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a)

Bài 28 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;

b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Bài 29 Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 30 Chứng minh rằng:

a) nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương

b) nếu 2n là tổng hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương

c) nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương

Bài 31 a) Cho a = 11…1(n chữ số 1), b = 100…05(n - 1 chữ số 0) Chứng minh

rằng: ab + 1 là số chính phương

b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước :

16, 1156, 111556, …

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương

Bài 32 Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11…12(n chữ số 1),

b = 11…14(n chữ số 1)

Bài 33 Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6 Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương

Bài 34 Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương:

a) A =

2

11 1 22 2

2

11 1 44 4 1

Bài 35 Các số sau là bình phương của số nào ?

a) A = 99 9 00 0 25

; b) B = 99 9 8 00 01

;

c) C =

1

44 4 88 8 9

1

11 122 2 5

ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt mua tại: https://xuctu.com/

Email: sach.toan.online@gmail.com

Đặt online tại biểu mẫu:

https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89