Chuyên đề Tỉ số thể tích- Phạm Minh-Tuấn – Xuctu.com

Gọi a, b lần lượt hai cạnh của hình bình hành đáy ABCD, h là chiều cao của hình hộp... Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc.[r]

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ THỂ TÍCH

Câu 1: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Tính tỉ số giữa thể tích của khối hộp đó và thể

tích của khối tứ diện ACB'D'

A 1 C 3

B 2 D 6

Lời giải:

Gọi a, b lần lượt hai cạnh của hình bình hành đáy ABCD, h là chiều cao của hình hộp

2

ABCD

  '

.sin

ABCB ABC

' ' ' ' ' '

.sin ' '

D A B A D A B

  ' ' ' 'C'B'

D C B C D

  '

ADCD ADC

' ' ' '  sin

ABCD A B C D ABCD

V S h abh DAB

Ta có:

' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' ' ' '

ACB D ABCD A B C D ABCB D C B C ADCD D A B A

sin DAB

Suy ra ' ' ' '

' '

.sin

3 sin

3

ABCDA B C D

ACB D

Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E, F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'

Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H') trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A' Tính tỉ số thể tích đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H')

A 25

47 C 47

72

B 47

25 D 72

47

Lời giải:

* Gọi I là giao điểm của EF với A'B', J là giao điểm của EF với A'D', AI cắt BB' tại I, AJ cắt DD' tại M

Vì EB'EC' và ' / / 'B I C F nên ' ' '

3

IA

Từ đó suy ra hình chóp LB'EI là ảnh của hình chóp AA'JI qua phép vị tự tâm I tỉ số

1

3

k Do đó ' 1 '

27

LB EI AA IJ

Đặt ABa BC, b, đường cao hạ từ A xuống mp(A'B'C'D') là h thì

 

' ' ' ' sin

ABCD A B C D

.sin

Vậy   ' 2 ' 25 3 ' ' ' ' 25 ' ' ' '

AA IJ AA IJ ABCD A B C D ABCD A B C D

H

Và   ' ' ' '

47

'

72 ABCD A B C D

Do đó  

  '

25 47



H

H

V

V

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a các cạnh bên SA, SB, SC

tạo với đáy một góc 600 Gọi D là giao của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA Tính tỉ số thể tích giữa hai khối chóp S.DBC và S.ABC

A 5

8 C

2 3

B 3

5 D 7

8

Lời giải:

Hạ đường cao SH của hình chóp S.ABC

=> H là tâm của ABC đều cạnh a

Ta cĩ  3 2  2. 3  3

Theo giả thiết SAHcạnhbên mặt đáy, 600

Tam giác vuơng SAH:

 .tan 600  3 3

3

a

   

3

S ABC

    

2

3

a

3

   2  2  2

 13  39

6

2 3

SM

1 . 1 .  .  .

SAB

 . 39  2 .   117

Xét tam giác vuơng ADM Ta cĩ:

 .cos600  3 1.  3

AD AM

      

2

3

4

a DM

1 . 1 3. 3 2

SBC

3

SD SA AD

  2  3 .

1. . 1 3. .5 3 5 3

S DBC BDC

3

S DBC

S ABC

V a

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC

cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D' Biết  , ' 2

3

SB

AB a

SB Tính tỉ số thể tích hai khối

chóp S.AB'C'D' và S.ABCD

A 2

3 C 4

9

B 1

3 D 2

9

Lời giải:

Chọn đáp án đúng:

Gọi SH là đường cao của S.ABCD

SH cắt (P) tại H', H là giao điểm của AC và BD

Do đó BD/ / P Từ đó suy ra (P) cắt (SDB) theo giao tuyến ' '/ /B D BD

Do đó ' ' ' ' 2

3

' ' ' '

H B H D và ' 'B D AC'

Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua H và song song với AC' Khi đó ta có:

' 2

3

SC

SE

Từ đó suy ra ' 1 '

3

Do đó SC'2EC'CC'

Ta có ' ' 2 2 4

3 3 9

SAB D

SABD

V

' ' ' 2 2 1 2

3 3 2 9

SB C D

SBCD

V

Từ đó suy ra .

S ABCD SAB C D SAB D SB C D S ABCD

V

Vậy ' ' ' ' 1

3

SA B C D

SABCD

V

V 

Câu 5: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các

cạnh BB' và DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó

A 1 C 6

B 3 D 2

Lời giải:

Gọi a, b là hai cạnh hình bình hành đáy và h là chiều cao của hình hộp

Ta có CE cắt B'C' tại I

CF cắt C'D' tại K

Trong tam giác ICC' ta có EB' là đường trung bình nên IB'B C' 'a

Tương tự KD'D C' 'b

' ' '

sin '

KIC C KA D F

Vậy thể tích phần hình hộp nằm dưới mp(CEF) là V A B C D EFC' ' ' ' V KIC C' 2V A B IE' '

Mà V ABCD A B C D ' ' ' ' abcsinC h' ' sin '

2

ABCDEFA

V

Vậy tỉ số hai khối đa diện bằng 1

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M là trung điểm của A'B', N

là trung điểm của BC Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị phân chia bởi mặt phẳng đi qua D, M, N

A 27

4 C 43

12

B 12

23 D 55

89

Lời giải:

Tính thể tích khối tứ diện ADMN

Ta có

2 D

1

AN

a

.

1

M ADN

V  a (đvtt)

Tính V M ADEA.

Ta có

2 2

Tam giác vuông EA'M: 2 2 2

2 2 2

2 5

'

' '

MADEA

3

MADNB

a a

a

  

Hai tam giác vuông FBN và FB'I' đồng dạng 2

2

3

3

1 1 2a

3 2 2 3 2 36

M FBN

Vậy

1 A '

E ABNFM

a

3

2 D ' 'B'MDNCF

144 144

E C

Vậy tỉ số

3

1

3 2

55

55 144

144

a V

a

V  

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ , có AA’ bằng a , đáy ABC là tam giác vuông

cân có AB=BC=a Gọi M là trung điểm của A’B , N là chân đường cao hạ từ A của tam giác A’AC Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A’.AMN và A’.ABC

A 1

2 C 2

3

B 1

6 D 1

3

Lời giải:

Vì A’A=a =AB=BC cho nên tam giác A’AB là tam giác vuông cân tại A suy ra

'

Xét hai tam giác vuông đồng dạng : A’NA và A’AC

suy ra : ' '

Mặt khác ta lại có :

'.

'.

A AMN

A ABC

Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC

Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ

số thể tích hai phần đó

A 1

2 C 2

3

B 1

6 D 1

3

Lời giải:

Gọi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ (P)

BD ⊂ (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD

BD // (P)

9

2 3

2 3

2 2

1 2

1 '

.

'

SO

SI SD

SD CSB

SB SC

SM V

V

SCBD

D

SMB

' ' ' ' ' 2 2 2

3 3 9

1 .

SMB D

SCBD

Mà VSABD = VSCBD =

2

1

VSABCD

' ' ' '

' '

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng (P) qua A, B và trung

điểm M của SC Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó

A 1

2 C 3

8

B 3

5 D 5

8

Lời giải:

Kẻ MN//CD (N trên cạnh SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM)

Ta có .

.

S ANB

S ANB S ADB S ABCD

S ADB

.

.

S BMN

S BMN S BCD S ABCD

S BCD

Mà VS.ABMN = VS.ANB+VS.BMN= .

3

8V S ABCD

Suy ra VABMN.ABCD= VS.ABCD-VS.ABMN=5 .

8V S ABCD

Vậy .

.

3 5

S ABMN

ABMN ABCD

V

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt

phẳng qua AM song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E,F Tính tỉ số thể tích hai

khối chóp S.AEMF và S.ABCD

A 1

2 C 2

3

B 3

5 D 1

3

Lời giải:

Gọi O là tâm của ABCD, I là giao điểm AM với SO

Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC và SBD

Vì (P) // BD nên EF // BD => 2

3

.

.

.

.

S AEM

S AEM S ABC

S ABC

S AFM

S AFM S ADC

S ADC

.

.

S AEMF S AEM S AFM S ABC S ADC S ABCD

S ABCD

V

V

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=a 3, SA=2a và SA (ABCD) Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC,

SD lần lượt tại H, I, K Hãy tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AHIK và S.ABCD

A 11

34 C 12

35

B 14

47 D 31

56

Lời giải:

SAHI

SABC

SAHI S ABC S ABCD S ABCD

Tương tự :

.

.

S AIK

S ACD

.

S AIK S ACD S ABCD S ABCD

.

S AHIK S AHI S AIK S ABCD S ABCD S ABCD

S ABCD

V

V

Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,

SD Mặt phẳng AMN cắt SC tại E Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.AMEN và S.ABCD

A 1

3 C 1

4

B 1

6 D 1

8

Lời giải:

2

SB SD SO   Qua O dựng OK/ /AE

Xét

/ /

2

AEC







 K là trung điểm EC

Xét

/ /

2

SOK







 E là trung điểm SK

Vậy 1

3

SE

S AMEN S AME

S ABCD S ABC

V V SA SM SE

V  V SA SB SC 

Câu 12: Cho tứ diện ABCD Điểm M là trung điểm AB và điểm N trên cạnh CD sao

cho CN2ND Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện ABCD và MNBC

A 3 C 3

2

B 1

3 D 4

3

Lời giải:

Ta có:

1

2 3

BMCN

BACD

V

V











Câu 13: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho

SMMB, SN 2CN Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số

thể tích của hai khối chóp S.AMN và ABCNM

A 1 C 1

2

B 1

3 D 2

3

Lời giải:

.

S AMN S ABC ABCNM S ABC

V  SB SC      V 

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC,

SM Mặt phẳng ABN cắt SC tại E Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ABE và

S.ABC

A 1

4 C 1

8

B 1

3 D 1

6

Lời giải:

Qua M dựng MK//BE

Xét tam giác BEC:

/ / 1 2







 K là trung điểm EC

Xét tam giác SMK:

/ / 1 2







 E là trung điểm SK

Vậy 1

3

SE

SC 

Ta có: .

.

1

3

S ABE

S ABC

V SA SB SE

V SA SB SC 

Câu 15: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AA’ và

BB’ Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’ Đường thẳng CF cắt đường thẳng

B’C’ tại F’ Tính tỉ số thể tích của khối chóp C.ABFE và hình lăng trụ ABC.A’B’C’

A 2

3 C 3

4

B 1

3 D 1

8

Lời giải:

Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đường cao và đáy bằng nhau

nên:

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

C A B C ABC A B C C ABB A ABC A B C

Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên:

' ' ' ' ' ' '

ABFE ABB A C ABFE C ABB A ABC A B C

S  S V  V  V

Câu 16: Cho hình chóp S.ABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy điểm M, N, P sao cho

2

AM MB, BN4NC , SP PC Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.BMN và A.CPN

A 4

3 C 6

5

B 8

3 D 1

Lời giải:

4

15

S BMN B MNS

S ABC B ACS

V V BM BN BS

V  V  BA BC BS

1

10

A CPN C ANP

S ABC C ABS

V V CA CN CP

V  V CA CB CS 

.

.

8

3

S BMN

A CPN

V

V

Câu 17: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi O là tâm của ABCD; M ,N lần lượt là

trung điểm A’B’ và A’D’ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp A’ABD và OMND’C’B’

A 4

9 C 4

7

B 5

7 D 3

7

Lời giải:

Do S ABD S A B D' ' 'S BCDS MND C B' ' ' S B C D' ' 'S MND B' ' S ABDS MND B' '

Mặc khác: '

' ' ' ' ' ' ' '

A MN

MND B A B D ABD

A B D

S

S    

Suy ra ' ' ' 7

4

MND C B ABD

S  S

'

' ' '

' ' '

1

3

; ' ' ' ' 3

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

d A ABCD S V

V

d O A B C D S