Luyện tập tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ trong không gian – Xuctu.com

Các bài tập sau xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho trước.. hình bình hành.[r]

Chuyên đề Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Tích có hướng của hai vectơ và áp dụng

A Kiến thức cơ bản

Cho a=(x y z1; ;1 1), b=(x y z2; 2; 2), A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2

• a b, cùng phương ⇔ a b, =0

• a b, ⊥a, a b,  ⊥b

• Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b thì

, sin

  =

 

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos

• Ba vectơ , ,a b c đồng phẳng ⇔a b c,  =0

ABC = AB AC = AB AC ϕ, ϕ là góc giữa hai vectơ

,

AB AC

•Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là :VABCD A B C D ' ' ' ' = AB AD AA,  '

6

ABCD = AB AC AD

B Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 1: Trong hệ trục toạđộ Oxyz, cho a=(1;2; 1 ,− ) b= −( 2;1;5 ) a b =

Câu 2: Trong hệ trục toạđộ Oxyz với các vec tơđơn vị ,i j k, , cho a=(2;0; 2− ) Hãy chọn kết

luận đúng trong các kết luận sau:

A .a i= −2 B .a j=2 C .a k =0 D a i.( + +j k)=0

PA: D

Câu 3: Trong hệ trục toạđộ Oxyz, cho tam giác ABC: A(1; 1; 1), B(4; 1; 0), C(2; 1; 4) Kết luận

nào sau đây là sai?

2

2

C =

PA: D

Câu 4: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2; 1; 0), B(-3; 0; 4), C(0; 7; 3) Khi đó,

cos AB BC, =

3 2 59

18 59 C

14

14 57

14 57 PA: A

Kết luận sai là:

A ( )a b c =0 B ( )b c a =0 C b c a,  =0 D a b c,  =0

PA: B

Câu 6: Trong không gian cho các vectơ a b c d, , , , trong đó: a ≠0, a⊥b; c=a b,  ,

d = a+ b Kết luận nào sau đây là sai?

A .a c=0 B .d c=0 C ( )a b d =0 D ( )a d b =0

PA: D

Câu 7: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho hai vectơ cùng phương a=(x y z; ; ); b=(x y z'; '; ')

Mệnh đềsai là:

A Tồn tại duy nhất số thực k sao cho: a = kb B a b, =0

C : :x y z=x' : ' : 'y z D a b c,  = ∀0 c

PA: A

Câu 8: Trong không gian cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc, SA = SB = SC

G là trọng tâm tam giác ABC Kết luận đúnglà:

A (SA SB SC ) =0 B SA SB SC,  =0

C GA GB GC,  =0 D GA GB GS,  =0

PA: C

Câu 9: Trong không gian cho tam giác nhọn ABC, ϕ =(BA AC, ) Chọn mệnh đề sai trong các

mệnh đề sau:

BA AC

BA AC

AB AC

AB AC

C

, sin

AB AC

AB AC

ϕ =   D

, sin

BA AC

BA AC

ϕ =   PA: A

Câu 10:

Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai vectơ a=(1;2; 3 ,− ) b=(2;0;5 ) Trong các vectơ có toạ độ

dưới đây, vectơ nào vuông góc với cả hai vectơ trên?

A (5; - 1; 1) B 5; 11; 2

2

− −

6 3;4;

5

−

PA: B

C bài tập tự luận

Các bài tập sau xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho trước

Bài 1 Cho các vectơ a= −(1; 1;1 ,) b=(4;0; 1 ,− ) c=(3;2; 1− ) Tìm:

Giải: a) a b =4.1 0.+ ( ) ( )− + − =1 1 1 3 ⇒( )a b c =3c=(9;6; 3− )

b) b c =4.3 0.2+ + − − =( )( )1 1 13⇒( )b c a =13a=(13; 13;13− )

c) a b, =(1;5; 4)⇒a b c,  =1.3 5.2+ +4.( )− =1 9

Bài 2. Cho tam giác ABC với A(1; 0; 3), B( 2; 2; 4), C( 0; 3; -2)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và tính bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác

b) Tính góc C của tam giác

Giải:

a) Ta có AB=(1;2;1 ,) AC= −( 1;3; 5− )⇒ AB AC =0⇒ AB⊥ AC hay tam giác ABC vuông tại

A ⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm I của BC Toạ độ I là: 1; ;15

2

= 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BI = 41

2

b)

1; 3;5 , 2; 1;6

cos cos ,

CA CB

CA CB

Bài 3 Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 0; 1), C(1; 1; 2) Tính diện tích tam giác ABC, từđó suy ra

độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác

Giải: AB= − −( 2; 1;1 ,) AC= −( 1;0;2)⇒AB AC, = −( 2;3; 1− )⇒ AB AC,  = 14

ABC

S∆ = AB AC =

3

3 3

ABC

S AH

BC

∆

Bài 4 Cho tam giác ABC với A= (1; 1; 0), B = (3; -1; 1), C = (5; 1; 3) Tính độ dài đường phân giác trong của góc A

Giải: Gọi D là chân đường phân giác trong của góc A ⇒ D là điểm chia đoạn BC theo tỉ số

k

= − = −

Từ giả thiết suy ra

( ) (2 ) (2 )2 ( ) ( ) (2 2 )2

AB= − + − − + − = AC = − + − + − =

5

k = − ⇒ Toạ độ của điểm D là:

(0;4; 2)

D

Vậy độ dài đường phân giác trong góc A là AD= 14

Bài 5. Cho bốn điểm A = (0; -1; 0), B = (0; 0; 2), C = (1; 0; 0), D = (-1; 1; - 2)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Chứng minh rằng AC ⊥ BD

c) Tính góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện

d) Tính thể tích tứ diện và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện

Giải:

a) Ta có AB=(0;1;2 ,) AC =(1;1;0 ,) AD= −( 1;2; 2− )

⇒ AB AC AD,  = − +1.( )1 2.2+ −( ) ( )2 − = ≠1 5 0 hay ba vectơ AB AC AD, , không đồng phẳng

⇒ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (đpcm)

b) BD= −( 1;1; 4 ,− ) AC=(1;1;0)⇒AC BD =0 hay AC ⊥ CD (đpcm)

c) Gọi α là góc tạo bởi hai cạnh AB, CD của tứ diện

(0;1;2 ,) ( 2;1; 2) 3

⇒ cos . 3 1

3 5 5

AB CD

AB CD

V = AB AC AD =

Gọi AH là đường cao hạ từđỉnh A của tứ diện ⇒

5 3

, 2

ABCD

BCD

V AH

Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 2; 0), B(3; 0; -1), C(0; 4; 2), D(-2; 6; 3)

ABCD là:

Câu 2: Trong hệ trục toạđộ Oxyz cho bốn điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3), D(- 2; 2; - 2)

Thể tích tứ diện ABCD bằng:

4

3

Câu 3: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 2), B(- 1; 5; - 6), C(7; 0; 4) Diện tích tam giác ABC bằng:

Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Kết luận nào sau đây là

sai?

A AB AC,  =2MA MB,  B MA MC, =MB MA, 

C CA CB,  =2 MC CA,  D CA MB, =CA MC, 

Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho tứ diện ABCD, biết A(3; 0; 1) ,

B(-1; 4; 1), C(6; 7; 3), D(1; -5; 5) Nếu G là trọng tâm của tứ diện thì độ dài của AG là:

A 3

2 B

10

25

4 D

9

4

Oxyz

Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạđộ cho tứ diện ABCD, biết: A(6; -2; 3),

B(0; 1; -6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0) và điểm M(3; 0; -1) , Mệnh đềsai là:

A Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD)

IM = IA + IB + IC + ID

C MB.DC + BC.DM + CM.DB = 0

D MA + MB + MB + MD = 0

Câu 7: Trong không gian với hệ trục toạ độ cho 3 điểm A(4; 2; -1), B(3; 0; 2) , C(18; -2; 1) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toạ độ là:

A 21; 1; 3

−

−

 

Phương án đúng: 1D, 2C, 3B, 4D, 5D, 6A, 7A

II Bài tập tự luận

Bài 1 Chứng minh rằng:

a a b = −b a b λa b=a λb=λa b

Bài 2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A = (1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5;

2; - 6) Tính độ dài đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC

Bài 3 Cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(a; a; a) với a là hằng số, a ≠ 0 Chứng minh rằng OD ⊥ (ABC) với mọi giá trị của a

Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 2; 0), A’(0; 0; 3)

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, CD, DD’ Chứng minh rằng bốn điểm

M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

c) Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ)

Bài 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của A’D’ và B’B

a) Chứng minh rằng MN ⊥ AC’

b) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với (A’BD)

c) Tính góc giữa MN và CC’

Oxyz

Oxyz

Bài 1. a) Giả sử a=(x y z; ; ),b=(x y z'; '; ') Khi đó, ta có

b) Chứng minh tương tự

Bài 2. Gọi D’ là chân đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC ⇒ D’ chia đoạn BC theo

k

=

Bài 3. Ta có OD ⊥ (ABC) ⇔ OD ⊥ AB và OD ⊥ AC ⇔ Vectơ OD cùng phương với vectơ

,

AB AC

AB= − AC= − ⇒AB AC= OD = a a a ⇒Vectơ OD cùng phương

với vectơ AB AC, 

Bài 4

a) Toạđộ các đỉnh còn lại: D = (-1; 2; 0), B’ = (1; 0; 3), C’ = (0; 2; 3), D’ = (-1; 2; 3)

=  =  = −  = − 

điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng

c) Gọi H là chân đường cao hạ từ C’ tới mặt phẳng (MNPQ) thì khoảng cách từ C’ đến

(MNPQ) là độ dài AH

C MNP

MNP

S∆ = MN MP =

⇒ ' 3

2 19

C MNP

MNP

V

AH

S∆

Bài 5. Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O ≡ A, tia Ox là tia AB, tia Oy là tia AD và tia Oz là tia AA’ Khi đó, A = (0; 0; 0), B = (a; 0; 0), C = (a; a; 0), D = (0; a; 0), A’ = (0; 0; a), B’ = (a; 0; a),

b) A B' =(a;0;−a)⇒ AC A B' ' =0; A D' =(0; ;a −a)⇒ AC A D' ' =0

⇒ AC’ ⊥ A’B, AC’ ⊥ A’D ⇒ AC’ ⊥ (A’BD)

c) Gọi α là góc giữa hai đường thẳng MN và CC’ Khi đó, ta có:CC'=(0;0;a)

2

2 2

cos

2

2

a

MN CC

a

α

−