XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP – Xuctu.com

Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, qua đó giúp [r]

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP

I Lời nói đầu

Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm

về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 làm tốt bài toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, qua đó giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán tính diện tích mặt cầu và tính thể tích khối cầu tương ứng.Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại trường THPT

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

Ở lớp 11, các em đã được làm quen với phần hình học không gian, được hướng dẫn dựng hình và sử dụng hình vẽ để giải quyết các bài toán cơ bản về hình học không gian Vào lớp 12, các em được tìm hiểu về các khối đa diện và tính thể tích khối đa diện, khối tròn xoay và tính thể tích các khối tròn xoay, khối cầu

2 Khó khăn

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là yêu cầu cần chứng minh Đặc biệt, việc xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp cũng là một vấn đề băn khoăn của các em

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên nảy sinh nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Pôlya để giải một bài toán gồm :

• Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

• Bước 2 : Xây dựng thuật giải

• Bước 3 : Thực hiện thuật giải

• Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học không gian là hướng dẫn cho học sinh dựng hình, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố

mà giả thiết đã cho và hiểu rõ yêu cầu cần giải quyết Để giải một bài toán liên quan đến xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp cần thực hiện theo các bước sau :

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

• Bước 2 : Khai thác các yếu tố mà giả thiết đã cho

• Bước 3 : Xác định tâm I sao cho I cách đều các đỉnh của hình chóp, qua đó tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với dạng toán này

Các dạng toán thường gặp Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp :

• Khối tứ diện đều

• Khối chóp tam giác đều

• Khối chóp có ba cạnh bên vuông góc với nhau đôi một

• Khối chóp tam giác

• Khối chóp tứ giác đều

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Kiến thức cần nhớ :

Mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa tất cả các đỉnh của hình chóp Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R ( gọi là bán kính của mặt cầu)

Trong không gian tập hợp các điểm cách đều các đỉnh của một đa giác là một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác tại tâm của đa giác đó (gọi là trục

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy)

Trong không gian tập hợp các điểm cách đều hai điểm M,N là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

Một số ví dụ minh họa

1/ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , ngoại tiếp khối chóp đáy tam giác S.ABC

Ta thường gặp các trường hợp sau :

Trường hợp 1

Ba cạnh bên bằng nhau

SA = SB = SC

1 Dựng đường cao SO⊥ (ABC)

2 Trong tam giác SAO , dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I

3 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm I và bán kính

2

2

SA

SO

Trường hợp 2

1 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

2 Mặt cầu ( )I R, ngoại tiếp khối chóp S.ABC được xác định bởi :

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

2 2

1 2

4

h



=







Trong đó :

:

r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trường hợp 3

0 90

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có tâm

là trung điểm I của AB và bán kính

2

AB

2/ Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đáy tứ giác ABCD

Ta thường gặp các trường hợp sau :

Trường hợp 1

Đáy là hình vuông

ABCD và

SA = SB = SC = SD

1 Dựng đường cao SO⊥ (ABCD)

2 Trong tam giác SAO , dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I

3 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

có tâm I và bán kính

2

2

SA

SO

Trường hợp 2

Đáy là hình vuông hoặc

hình chữ nhật ABCD và

1 Gọi O=AC∩BD và d là trục của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

2 Mặt cầu ( )I R, ngoại tiếp khối chóp

S ABCD được xác định bởi :

2 2

1 2

4

h



=









Trong đó :

:

r bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Một số bài toán thường gặp:

Bài toán 1 Xác định tâm và tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều ABCD cạnh a

Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD và M là trung điểm của CD

a

Gọi E là trung điểm của AB và (P) là mặt trung trực của AB

( ) ( )



⇒ 

⊥



Gọi I = AH∩ ( )P ⇒IA=IB=IC=ID

⇒ I là tâm nặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD

.

A

H

E

I …

C

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

2

4

2 2

a

Bài toán 2 Xác định tâm và tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp n giác đều cạnh a và

có đường cao h trong mỗi trường hợp sau :

a) n= 3 b) n= 4

a) n= 3 , ta có hình chóp tam giác đều cạnh a

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :

Tâm I là giao điểm đường cao SH và đường trung trực của đoạn SA

Bán kính

2

2

2

3 6

R

h

+

⇒ = (đvđd)

b) n= 4 , ta có hình chóp tứ giác đều cạnh a

Gọi O=AC∩BD

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :

Tâm I là giao điểm đường cao SO và đường trung trực của đoạn SB

Bán kính

2

2

2

2 4

R

h

+

⇒ = (đvđd)

Bài toán 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt đáy Biết SC= 2a Xác định

tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp S.ABCD





⊂







⊥







⊥



Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền

SC Bán kính

2

SC

R=SI = =a (đvđd)

S

A

B

C

H

E

I …

S

C

D

O

…

M

I

B

S

A

I

…

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

Bài toán 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật, AB=a AD; = 2 a SA

vuông góc với mặt đáy và SA=a.Xác định tâm

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S.ABCD

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :





⊂







⊥







⊥



Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền

SC Bán kính

6

(đvđd)

Bài toán 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt

đáy và SA a= Xác định tâm và tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Gọi H là trọng tâm của tam giác đều ABC và M

là trung điểm của BC

a

Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC∆

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :

Tâm I là giao điểm của trục d và trung trực của

SA

Bán kính R :

2

2

SA

 

2 2

 

  (đvđd)

Bài toán 6 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB,

OC vuông góc với nhau đôi một và

OA=a OB=b OC =c.Xác định tâm và tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp O.ABC

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp OBC∆

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :

Tâm I là giao điểm của trục d và trung trực của

OA

Bán kính R :

2

2

OA

1 2 2 2

= + + (đvđd)

S

C

I

…

B

… I

S

A

B

C

H

M

N

d

d

C

B

A

M

N

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

Bài toán 7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC

là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với

mặt đáy và SA= AB=a.Xác định tâm và tính

bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp :





⊂







⊥

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền

SC Bán kính

3

(đvđd)

2

AC =AB +BC = a

IV KẾT QỦA

Thông qua các dạng bài tập và một số hình vẽ minh họa cho phần xác định tâm và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp, giúp cho học sinh thuận lợi hơn trong cách giải

quyết vấn đề

Thật vậy, trong các tiết ôn tập thi học kỳ I và ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt

nghiệp năm và dự tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng hàng năm của học sinh

lớp 12, các em đã được hướng dẫn giải một số bài tập liên quan đến việc tính diện tích hình

đa diện và tính thể tích của khối đa diện trong đó có tính diện tích mặt cầu và tính thể tích

của khối cầu tương ứng

Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề

và xác định được cách tính cho từng dạng bài tập Kết quả khảo sát qua 2 bài tập như sau :

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

và SB=a 3 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

… I

S

A

B

C

Mua STK Toán(Free Ship) trên toàn quốc: 0918.972.605- Thuận tiện- Nhanh chóng- Đảm bảo

Kết qủa :

Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình đã bớt ngán ngại khi gặp một bài toán tính diện tích xung quanh hình đa diện hoặc tính thể tích của khối đa diện, khối tròn xoay, thể tích khối cầu và từng bước đã biết vận dụng tích phân một cách linh hoạt hơn

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Để giúp học sinh học tốt môn toán ,qua thực tế giảng dạy tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm sau :

1 Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp

làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua một quá trình: từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về những vướng mắc có liên quan đến bài học

2 Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát Quan sát trong toán học nhằm hai mục

đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập Mỗi khi dựng hình, tôi yêu cầu học sinh chú ý từng thao tác và mối quan hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức trước một vấn đề nào đó dù đơn giản hay phức tạp

3 Nắm vững phương pháp nhớ khoa học Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được

trong đầu và qúa trình tâm lí tái hiện Sự việc đã trải qua nói ở đây là những sự việc người ta cảm biết được, đã suy nghĩ hoặc đã qua thể nghiệm.Việc làm lại các bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc tiếp thu các bài toán về hình học không gian nói chung và xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nói riêng

4 Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác Thể hiện qua những nội dung như :

đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định các điểm một cách hợp lý nhất, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích