Chuyên đề đại số tổ hợp và nhị thức Newton- đầy đủ lý thuyết và dạng toán – Xuctu.com

-Đối với bài toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước.. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:.[r]

Trang 1

Mua sách tham khảo Toán- Phát hành toàn quốc tại: 0918.972.605

Chuyên đề : ĐẠI SỐ TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON

A.Lý thuyết:

1.Quy tắc cộng ,quy tắc nhân

2.Hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp

-Số hoán vị: P nn! n n.(  1).(n 2) 2.1 , Đk: nN n;  1

-Số chỉnh hợp: ! .( 1).( 2) 2.1

k n

n

n k

Đk: n,k N,1 kn

-Số tổ hợp: !

k n

n C

k n k



 đk: n,k N, 0 kn -Giai thừa: n! n n.(  1).(n 2) 2.1 đk: nN n;  1

3.Một số công thức liên hệ:

!

n

n n

A P n , k n k

n n

C C  , k k !

n n

A C k , 1

C C  C

4.Công thức nhị thức Niu Tơn:

a.Khai triển:

(a b )n C a n nC a n nb C a n n b  C a n k n k b k  C b n n

b.Tính chất: -Trong khai triển có n+1 số hạng

-Số hạng tổng quát thứ k+1 là 1

k n k k

T  C a  b -Khai triển đặc biệt: 0 1 2

(1 1)  n 2n C n C nC n  C n n

(1 1)n 0n 0 1 2 ( 1)n n.

B.Bài tập:

Dạng 1:Lớp bài toán chọn

Lưu ý: -Quan tâm đến điều kiện các chữ số có khác nhau hay không

-Đối với tập số có xuất hiện số 0 cần lưu ý khi chọn chữ số đầu

-Đối với bài toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước Bài 1:Cho các số :1,2,3,4,5,6 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:

a.Có 5 chữ số

Trang 2

b.Có 6 chữ số khác nhau

c Có 4 chữ số khác nhau chẵn

Hướng dẫn giải

a.Giả sử số cần tìm có dạng: a a a a a1 2 3 4 5

Chọn a1 từ tập số đã cho có 6 cách chọn, ứng với mỗi cách chọnđó có 6 cách chọn a2.Tương tự có 6 cách chọn a3,a4,a5,a6

Theo quy tắc nhân có :56 các số thoả mãn yêu cầu

b.Số các chữ số cần tìm là số hoán vị của 6 phần tử :P6=6!=720(số)

c.Giả sử số cần tìm có dạng: a a a a1 2 3 4

-Chọn a4 chẵn có 3 cách chọn -Số cách chọn các số còn lại là: 5

A  

-Theo quy tắc nhân có: 3.60=180 Bài 2:Cho các số :0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:

a.Có 5 chữ số khác nhau

b.Có 4 chữ số khác nhau,chẵn

c Có 5 chữ số khác nhau chẵn nhất thiết có mặt số 3

d.Có 8 chữ số thoả mãn số 1 có mặt 2 lần các số khác có mặt đúng 1 lần

a.Số các chữ số cần tìm là: 6 6

A  (số) b.Giả sử số cần tìm có dạng: a a a a1 2 3 4

-TH1: a4 là số 0 thì số các số cần tìm là: 3

A  (số) -TH2:a4 chẵn khác 0: có 3 cách chọn

Chọn a1khác 0 có 5 cách chọn, chọn a2,a3 có 6

2

A cách chọn

Vậy có tất cả 3.5 6

2

A =450 (số) Theo quy tắc cộng có tất cả:120+450=570(số)

Trang 3

c.Theo phần a có 2160 số có 5 chữ số khác nhau (gồm 2 loại: có số 3 và không có

số 3).trong đó số không có mặt chữ số 3 là: 5 4

A  (số) Vậy số có 5 chữ số khác nhau có mặt số 3 là:2160-600=1560(số)

d.Vì số 1 có mặt 2 lần nên ta có thể viết lại tập số dưới dạng:0,1a1b2,3,4,5,6

Lập số có 8chữ số khác nhau từ tập số trên có:7.P7=35280(số)

Trong các số trên do 2 số 1a,1b trùng nhau nên mỗi số trên bị lặp lại 2 lần vậy số các số cần tìm là:35280:2=17640 (số)

Bài 3: Từ các số 1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó

Số các chữ số cần tìm là 5

A  (số)

Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp sao cho tổng mỗi cặp là 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với mỗi số có ! một số tương ứng

Vậy tổng các số đó là:6666.60=399960

Bài 4: Từ các số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó

-Số các số cần tìm là : 3

6

6.A 720 (số) -Tính tổng :pp cộng cột

+Hàng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt 5 2

5

A lần.Vậy tổng hàng đơn vị

là (1+2+3+4+5+6) 5 2

5

A =21 5 2

5

A =105.20=2100 + Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000 +Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt 3

6

A lần

Vậy tổng hàng nghìn 21 3

6

A 10000=2520000 Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100

Bài 5:Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7}.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

Trang 4

a)Có 4 chữ số?

b) Có 4 chữ số khác nhau?

c)Chẵn có 3 chữ số khác nhau?

d)Lẻ có 5 chữ số?

e)Lẻ có 5 chữ số và chứa số 0?

g)Chẵn có 3 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 0 và1?

a)Số cần tìm là:7.8.8.8=

b)Số cần tìm là 7.7.6.5=

c) Gọi số cần tìm là abc

*TH1:c=0 Có 1 cách chọn c

Có 7 cách chọn a

Có 6 cách chọn b Theo QTN có 1.7.6=42 cách

*TH2:c0 Có 3 cách chọn c

Có 6 cách chọn b Theo QTN có 3.6.6=108 cách Vậy theo quy tắc cộng có 42+108=150 cách

d)Số cần tìm có dạng abcde với

e 1;3;5; 7,a1; 2;3; 4;5; 6; 7,c,b,d0;1; 2;3; 4;5; 6; 7

Có 4 cách chọn e

Có 8 cách chọn b

Có 8 cách chọn c

Có 8 cách chọn d.Vậy có 4.7.8.8.8=14336 cách

e)Lẻ có 5 chữ số là 14336

Trang 5

` lẻ có 5 chữ số không chứa số 0 có dạng abcde 1; 2;3; 4;5; 6; 7

Chọn e có 4 cách,các số còn lại có 7 7.7.7 cách

Vậy có 4.7.7.7.7=9604 cách

Vậy có 14336-9604=4732

Bài 6: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau,8 quyển sách tiếng Anh khác nhau ,6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a)Một quyển sách?

b)Ba quyển sách tiếng khác nhau?

c)Hai quyển sách tiếng khác nhau?

a)Theo quy tắc cộng có 10+8+6=24 cách

b)Theo quy tắc nhân có 10.8.6=480 cách

c)Th1: Chọn sách TV và sách TA có 10.8=80 cách

Th2: Chọn sách TV và sách TP có 10.6=60 cách

Th3: Chọn sách TP và sách TA có 6.8=48 cách

Theo QTC có 80+60+48=188 cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau.Có bao nhiêu

số tự nhiên có tính chất:

a)Là số chẵn và có 2 chữ số ?

b)Là số lẻ và có 2 chữ số ?

c) Là số chẵn và có 2 chữ số khác nhau ?

d) Là số lẻ và có 2 chữ số khác nhau?

a)Có 45 cách

b)Có 45 cách

c)Th1:b=0 có 1 cách chọn b, có 9 cách chọn a.Vậy có 1.9=9 cách

Th2: b 0 có 4 cách chọn b,có 8 cách chọn a.Vậy có 4.8=48 cách

Theo QTC có 9+48=51 cách

Trang 6

d)Số lẻ có 2 chữ số khác nhau là ab

b có 5 cách chọn ,a có 8 cách chọn Vậy có 5.8-40 cách chọn

Bài 7: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc Tính số cách chọn 1 người đàn ông và 1 người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:

a)Hai người đố là vợ chồng?

b)Hai người đó không là vợ chồng?

a)Chọn 1 người đàn ông có 10 cách ,chọn 1 người đàn bà là vợ người đàn ông

có 1 cách.Vậy có 1.10=10 cách

b)Chọn 1 người đàn ông có 10 cách ,chọn 1 người đàn bà không là vợ người đàn ông có 9 cách.Vậy có 10.9=90 cách

Dạng 2: Công thức nhị thức Niu Tơn

Bài 1: Cho đa thức P(x)=1+x)9+(1+x)10+…+(1+x)14 ,Có dạng khai triển là:

P(x)=a0+a1x+a2x2+…+a14x14.Hãy tính hệ số a19

Ta có (1+9)9= 0 1 2 9 9

C C x C x  C x có hệ số của x9 là 9

9

C

Tương tự khai triển (1+x)10 có hệ số của x9 là 9

10

C

(1+x)11 có hệ số của x9 là 9

11

C

12

C

13

C

14

C

Vậy a9= 9 9 9 9 9 9

C C C C C C =1+10+55+220+715+2002=3003 Bài 2: Đa thức P(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3+…+20(1+x)20,được viết dưới dạng là:

P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20.Hãy tính hệ số a19

Trang 7

Ta có:15(1+x)15=15(1+ 1 2 2 3 3 15 15

C x C x C x  C x

16(1+x)16=16(1+ 1 2 2 3 3 16 16

C x C x C x  C x

20(1+x)20=20 (1+ 1 2 2 3 3 20 20

C x C x C x  C x

15 16  C  17C  18C  19C  20C =400995

Bài 3: Khai triển P(x)= (1+x)12 +(1+x)13+…+(1+x)17.Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x8

Ta có: (1+x)12 có hệ số của x8 là 4

12

C

13

C

14

C

15

C

16

C

17

C Do đó trong khai triển tổng S ,ta có hệ

số của số hạng x8 là : 4 5 6 7 8 9

C C C C C C 

Bài 4:Trong khai triển

12 3 3

x x



  ,hãy tìm hệ số của số hạng chứa x4

Trong khai triển

12 3 3

x x



  ,ta có số hạng thứ (k+1) với 0 k  12 là:

   

12

x



Do đó nếu số hạng thứ (k+1) chứa x4 thì phảicó:x12 2  k x4  12 2  k 4 k 4

Nếu số hạng chứa x4là số hạng thứ 5 ,ta có 4 4 4 4

12

1.12!

81.4!.8!

T   C x   x

Vậy hệ số của số hạng chứa x4là 5

Bài 5: Hãy tìm trong khai triển nhị thức

18 3

3

1

x x



  số hạng độc lập với x

Trang 8

Giả sử trong khai triển nhị thức

18 3

3

1

x x



  số hạng thứ (k+1) với 0 k  18

1

k

x



Nếu T(k1)không chứa (độc lập đối với x) thì ta có:54-6k=0k=9

Vậy trong khai triển của nhị thức đã cho,số hạng độc lập đối với x là số hạng thứ 10,nên ta có:T10= 9

18

C

Bài 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển niu Tơn của

12 1

x x



Khai triển

12 1

x



C x C x C x



Số hạng thứ (k+1) trong khai triển đố là: 12 12 2

1

k

x



Số hạng này không phụ thuộc x khi: 12-2k=0k=6

Vậy số hạng thứ 7 của khai triển không phụ thuộc vào x và có giá trị là:

6

12 924

C 

Bài 7: a.Xác định hệ số thứ nhất ,thứ hai , thứ 3 trong khai triển 3

2

x x



b.Cho biết tổng 3 hệ số nói trên là 11.Tìm hệ số của x2

a.Ta có 0 1 2 ( 1)

2

n n

C  C n C  

b.Theo giả thiết ( 1) 2

2

n n

Hạng tử thứ k+1 của khai triển là: 3 5 2

2

1

n k

x





Cho 5k-2n=2 2 2 2.4 2

n

   Vậy hệ số của x2 là 2

C 

Trang 9

Bài 8: Tìm các giá trị của số thực x sao cho trong khai triển của 2 1 1

2

m x

x



  tổng các hạng tử thứ ba và thứ năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22

2

m m

C  C  C  m

6

m



Dạng 3: CM đẳng thức tổ hợp

*CM nhờ khai triển Niu Tơn

Bài 1:Chứng minh rằng:

2

Ta có : 1 1

3

n

2

Suy ra :3 1 1 3 2 2

n  n  n

Vậy : 0 1 2

2

Bài 2:Tính các biểu thức

AC C C  C

b

1

p

n nn C n Cn



a.áp dụng nhị thức Niu tơn:

(1+x)n= 0 1 2 2

C C x C x  C x

Trang 10

Cho x=1 ta có: 2n= 0 1 2 n

C C C  C  A

b Ta có :

2 1

1

n n

n



3

3 2

n n

n



…

p n p n



1

!

n n n n



Do đó B=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= ( 1)

2

n n 

Bài 3: Chứng minh rằng: 0 2 1 2 2 2 2

2 (C n)  (C n)  (C n)  (  C n n) C n n

Ta viết khai triển:

(1+x)2n=(1+x)n.(1+x)n

(1 x) (1n x)n ( 0 1 2 2

C C x C x  C x )( 0 1 1 2 2

C x C x  C x  C

Hệ số của xn trong 2

(1 x) n là 2

n n C

Do đó 2

n n

C  (C n0 2)  (C1 2n)  (C n2 2)  (  C n n)2

Bài 4: Chứng minh 0 1 2 2

C  C  C   C 

Ta có: (1 x)n C n0C x C x1n  n2 2 C x n n n

Cho x=6 ta có : 0 1 2 2

C  C  C   C 

Bài 5: Chứng minh rằng:

C  C  C   C

Ta có: (2 1)n 0 (2 )n 1 (2 )n1 2 (2 )n 2 ( 1)n n

n C x C x  C x     C

Trang 11

Cho x=2 ta có : 3n 4n 4n 0 4n1 1 4n 2 2 ( 1)n n

C  C   C    C (1)

Ta lại có : (1 x)n  0 1 2 2 n n

C C x C x  C x

Cho x=2 ta có: 3n C n0 2C1n 2C n2 2  n C n n (2)

Từ (1) và(2) ta có :

4n C n 4nC n 4n C n  ( 1)   n C n n C n0 2C n1 22C n2 2  n C n n

2.Chứng minh nhờ công thức: 1

C C  C 

Bài 1:Cho k và n là 2 số tự nhiên sao cho 4 kn

4

C C  C  C  C  C



Ta có công thức : 1

1

C C  C



Do đó

VT=( k k 1 ) 3( k 1 k 2 ) 3( k 2 k 3 ) k 3 k 4

C C   C  C   C  C  C  C 

C   C   C  C 

(C n k C n k ) 2(  C n k C n k ) (  C n k C n k )

(C n k  2C n k ) C n k  (C n k C n k ) (  C n k C n k )

C  C  C  (dpcm)

Bài 2: Cho k và n là 2 số tự nhiên sao cho 3 kn

Chứng minh rằng:

3

C  C   C  C  C 

1

C C C 

C C  C  C 

C C  C 

= k k 1 2( k 1 k 2 ) k 2 k 3

C C   C  C  C  C 

Trang 12

= k 3 k 1 3 k 2 k 3

C  C   C  C  (đpcm)

3 Chứng minh nhờ công thức đạo hàm

Bài 1:Chứng minh đẳng thức :

n  C  n  C  n  C    C   C1n 4C n1 n2n1C n n

(2n 1)n C n(2 )x nC n(2 )x n C n(2 )x n  ( 1)   n C n n

Lấy đạo hàm hai vế ta có:

n x   nC x   n C x    n C x      C 

Cho x=2 ta có:

1

3n

n 

= 4n1 0 ( 1)4n 2 1 ( 2)4n 3 2 ( 1)n1 2 n1

n  C  n  C  n  C     C  (1)

Ta có: (1 x)n 0 1 2 2 n n

C C x C x  C x ,lấy đạo hàm hai vế có:

(1 x)n C n0C n1 2C x n2  nC x n n n1

Cho x=2 ta có: 1

3n

n  C n1 2C n2 n2n1C n n (2)

So sánh (1) và (2) ta có :

n  C  n  C  n  C    C   C1n 4C1n n2n1C n n

Bài 2: Tính

AC  C   C     nC

Ta có: (1 )n 0 1 2 2 3 3 4 4 ( 1)n n n

x C C x C x C x C x C x

Lấy đạo hàm của hai vế ta có:

n x  C C x C x C x C x 

Cho x = 1 ta có:

C  C  C  C     nC

Bài 3: Tính 2 4 6 2

2n 2n 2n 2n n

SC C C  C

Trang 13

(1 x) n C nC x C x n  n C x n  C x n n n

Cho x = 1 , ta có:

(1 x) n C nC x C x n  n C x n  C x n n n

Cho x = 1 ta có:

Cộng (1) và (2) ta có:

2

n n



Bài 4: Chứng minh rằng 0 ( 1) 1 n 1 2n 1

nC  n C  C  n 

(1 x)n   1 C x C x x  n  C x n n n

Lấy đạo hàm 2 vế ta có: 1 1 2 1

n x  C  C x nx C

Chọn x = 1, ta được:

n  C  C  C  nC

n  C  C  C  nC

n n

C C 

C  n C   C  C  n 

n n  n n C  n n C   C 

Ta có: (1 )n 1 1 2 2 3 3 n 2

x C x C x C x C x

Lấy đạo hàm theo x, lần thứ 2 ta có:

n n x   C  xC  n n x  C

Chọn x = 1, ta được:

n n   C  C  n n C

Trang 14

2 n 2 3.2 n 3 ( 1) 0

C  C  n n C

n n

C C 

Vậy: ( 1)2n 2 ( 1) 0 ( 1)( 2) 1 3.2 n 3 2 n 2

n n  n n C  n n C   C   C 

4/ Chứng minh nhờ tích phân

Bài 1: Chứng minh

n

C

 

Ta tính tích phân: 01(2 x dx)n

Đặt: u = 1 + x => du = dx



Vậy:

2

1

x dx u du

Mặt khác ta có: 2 0 1 2 2 3 3

(1 x) C n C x C x n  n C x n  C x n n n

Lấy tích phân 2 vế ta có:

x dx C dx C xdx C x dx C x dx

=

n n

n



=

n

C

n n

 

Bài 2: Chứng minh rằng

2

n n

C



Ta tính tích phân: 1

0 (1 x dx)n



Đặt: u = 1 +x => du = dx



1 1

u du u du



Trang 15

Ta có: (1 )n 0 1 2 2 3 3 n n

x C C x C x C x C x

0 (1 x dx)n C n 0 dxC n 0 xdx C n 0 x dx C n n 0 x dx n

Vậy 01(1 x dx)n =

n n

n





=

1

n n

n





Bài 3: a) Tính tích phân

1

0 (1 n n)

Ix x dx

b) Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 ( 1) 1

n n



a) Ta có:

I =

0

n





b) Theo khai triển Newton ta có:

(1 x)n C n C x C x n  n C x n  C x n n n

(1 x )n C n C n( x ) C n( x ) C n n( x )n

2 1

0

n

x

n



2 1 1

0 0

0

1

n

x

n



So sánh (1) và (2) ta có:

n n



Bài 4: a) Tính tích phân:

2

0 (1 )n

I x x dx

b) Chứng minh rằng: 0 1 2 1 1 2 1 1 1

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	444,04 KB