ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI- TOÁN 11- TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Xuctu.com

thứ tự. Mỗi cách chọn như trên gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử. Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương. Một dãy gồm k phần tử.. của A sao cho k là số nguyên d[r]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI- TOÁN 11- TỔ HỢP – XÁC SUẤT

PHẦN A: TỔ HỢP

I Quy tắc đếm:

1 Quy tắc cộng:

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo k phương án khác nhau mà mỗi phương án có số cách thực hiện lần lượt là n1, n2, ., nk Nếu các phương án là độc lập với nhau tức là không có cách thực hiện nào xuất hiện trong hai phương án trở lên thì công việc

đó có n = n1 + n2 + + nk cách thực hiện

2 Quy tắc nhân:

Một công việc nào đó có thể được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn để hoàn thành Nếu giai đoạn thứ i có ni cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có ni+1 cách thực hiện giai đoạn tiếp theo thì công việc đó có n = n1.n2 nk cách thực hiện

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C có 4 con đường Không có con đường nào nối thành phố B với D hoặc nối A đến D Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?

ĐS: có 20 cách

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ

số 0, 1, 2?

ĐS: Có 2.34 = 162 (số)

Bài 3: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) gồm 3 chữ số

b) gồm 4 chữ số khác nhau

c) gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

d) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

ĐS: a) 6.7.7 = 294 b) 6.6.5.4 = 720 c) 6.5.4.3 + 3.5.5.4.3 = 1260 d) 6.5.4.3.2 + 5.5.4.3.2 =

1320

Bài 4: Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận gồm lượt đi và lượt về Hỏi có bao nhiêu trận đấu? Nếu mỗi vòng đấu là mỗi đội

đã đá thêm một trận thì có mấy vòng đấu?

ĐS: có 20.19 = 380 trận, 38 vòng đấu

Bài 5: a Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng Hỏi có mấy cách chọn lấy 3 bông hoa gồm đủ ba màu?

b Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau mà các chữ số đều khác nhau? ĐS: a 5.6.7 = 210 b 15

Bài 6: a Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

b Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

c Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?

d Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho cả 2 và 5

ĐS: a 168 b 20 c 900 d 72

Bài 7: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo và cà vạt nếu:

a Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?

b Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?

ĐS: a 35 b 29

II Hoán vị:

1 Khái niệm giai thừa: n! = n(n – 1) 2.1

Qui ước: 0! = 1

Tính chất: n! = (n – 1)!n

2 Hoán vị (không lặp): Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n

phần tử này theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị của n phần tử

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

3 Hoán vị lặp: Cho tập hợp gồm k phần tử a1, a2, , ak, k là số nguyên dương Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 lần lặp phần tử a1, n2 lần lặp phần tử a2, …, nk lần lặp phần tử

ak sao cho n1 + n2 + …+ nk = n, theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử

Số hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là

Pn(n1, n2, …, nk) =

1 2 k

n!

n !n ! n ! Chứng minh: giả sử ta có n phần tử thì ta có n! hoán vị nếu không lặp, trong đó nếu có n1

phần tử a1 giống nhau thì trong n! hoán vị có n1! lần trùng lặp cách sắp xếp do ta đổi chổ n1

phần tử giống nhau Chứng minh tương tự thì nếu có n2 phần tử a2 giống nhau thì số lần trùng lặp cách sắp xếp nhân thêm n2! Như vậy nếu a1, a2, , ak lần lượt lặp lại n1, n2, , nk lần thì số lần trùng lặp trong toàn bộ cách sắp xếp nói trên là n1!n2! nk! Nếu ta gọi Pn(n1, n2, …,

nk) là số cách sắp xếp khác nhau cần tìm thì n1!n2! nk!Pn(n1, n2, …, nk) = n! Từ đó suy ra công thức nói trên

Ví dụ: Nếu có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh thì có bao nhiêu cách xếp tất cả bi thành một dãy

5 bi?

Mỗi cách xếp 5 bi nói trên là hoán vị lặp cấp 5 kiểu (2, 3) của 2 phần tử bi đỏ và xanh

Số cách xếp sẽ là P5(2, 3) = 5!/(2!3!) = 10 cách

4 Hoán vị vòng: Cho tập hợp gồm n phần tử, n là số nguyên dương, mỗi cách xếp n phần tử

này theo một thứ tự trên một vòng tròn kín là một hoán vị vòng của n phần tử

Số các hoán vị vòng của n phần tử là: Qn = (n – 1)!

Chứng minh: Nếu xếp thành vòng tròn thì không phân biệt được vị trí dầu và vị trí cuối so với hoán vị không vòng Trên vòng tròn ta phải có chiều quy ước để xét thứ tự Nếu lấy một

vị trí bất kì trên vòng làm điểm đầu tách ra khỏi đuôi thì ta được một cách sắp xếp của hoán

vị không vòng theo thứ tự đã quy ước Như vậy ta có thể tách ở n vị trí khác nhau trên vòng tạo thành n hoán vị khác nhau không vòng Trong khi đó tất cả những hoán vị đó trên vòng tròn thì lại chỉ tính là một cách sắp xếp nên số hoán vị vòng nhỏ hơn số hoán vị không vòng n lần Gọi Qn là số hoán vị vòng thì ta được nQn = n! Từ đó ta suy ra công thức đã cho

Ví dụ: Có 4 người tham gia hội nghị bàn tròn có đúng 4 ghế bố trí cách đều nhau Vậy số

cách xếp 4 người này vào bàn tròn là 3! = 6 cách Để dễ dàng kiểm chứng ta gọi tên 4 người là

A, B, C, D thì 6 cách trên bao gồm các thứ tự sau: ABCD, ADCB, ACBD, ADBC, ABDC, ACDB

Bài 1: Chứng minh rằng

a) Pn – Pn–1 = (n – 1)Pn–1 b) Pn = (n – 1)Pn–1 + (n – 2)Pn–2 + + 2P2 + P1 + 1

c) 1 1 1 1 1 3

1! 2! 3! n!

+ + + + + < d)

2

n! =(n 1)!+(n 2)!

− −

Bài 2: Giải phương trình: x! (x 1)! 1

(x 1)! 6

+ ĐS: x = 2; x = 3

Bài 3: Giải bất phương trình: 1 5 (n 1)! n.(n 1)! 5

−  + − − −  (1) ĐS: n = 4, n = 5, n = 6

Bài 4: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các

số đó có bao nhiêu số:

a) Bắt đầu bằng chữ số 5?

b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?

c) Bắt đầu bằng 23?

d) Không bắt đầu bằng 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Bài 5: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4 ta được một số tự nhiên Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 4 phần tử trên?

ĐS: Tổng tất cả các số là: 3! (1 + 2 + 3 + 4).(1 + 10 + 100 + 1000) = 66660

Bài 6: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển sách đều khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Theo từng môn?

ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!)

Bài 7: Có 4 học sinh nam là A1, A2, A3, A4 và 2 học sinh nữ B1, B2 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn có 7 chổ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý?

b) A1 không ngồi cạnh B1?

ĐS: a) Q6 = 5! b) 3(4!)

Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số

1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

8! 7!

C 5! 4C 4! 5880 3! − 3! = + =

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9

ĐS: có ba bộ số thỏa mãn điều kiện là {1, 2, 6}; {1, 3, 5}; {2, 3 ,4} Số các số cân tìm là 3.(3!) = 18 Bài 10: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các

số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?

ĐS: 480

Bài 11: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi sao cho:

a Bạn C ngồi chính giữa?

b Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

ĐS: a 24 b 12

Bài 12: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: 5 người Mỹ, 4 người Nga, 3 người Anh, 3 người Pháp, 2 người Đức Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?

ĐS: 4976640

III Chỉnh hợp:

1 Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phân tử, n là số nguyên dương Từ đó chọn

ra k phần tử sao cho k là số nguyên dương không lớn hơn n, đồng thời sắp k phần tử đó theo thứ tự Mỗi cách chọn như trên gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: k

n

n!

A n(n 1) (n k 1) (n k)!

− Quy ước: 0

n

A = 1

2 Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương Một dãy gồm k phần tử

của A sao cho k là số nguyên dương, trong đó mỗi phần tử có thể được chọn một hoặc nhiều lần tùy ý, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của

n phần tử của tập A Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là k

n

A = nk

Bài 1: Chứng minh rằng

− + + + = với n là số nguyên dương lớn hơn 1

b k k k 1

n n 1 n 1

A = A − + k.A −−

c n 2 n 1 2 n

n k n k n k

A ++ + A ++ = k A +

Bài 2: Giải phương trình

a) 3

n

A = 20n b) 3 2

n n

A + 5A = 2(n + 15) c) 2 2

n 2n 3A − A + 42 = 0

Bài 3: Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2

n n n n 2P + 6A − P A = 12 ĐS: n = 2; n = 3

Bài 4: Giải bất phương trình

a)

4

n 4

(n 2)! (n 1)!

+ <

+ − b)

4

n 2

n 2 n 1

0

+

− <

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2 ≤ n ≤ 36

Bài 5: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

ĐS: 86400

Bài 6: Trong không gian cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 4 điểm nào tạo thành hình bình hành Từ các điểm trên ta lập được bao nhiêu vector khác nhau không kể vector không? ĐS: 90

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho

a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

ĐS: a) 27216 b) 59049

Bài 8: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu

a) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

ĐS: a 1260 b 1560

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 900 b) 8100 c) 9.10 = 90

IV Tổ hợp

1 Tổ hợp (không lặp):

Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương Mỗi tập con gồm k phần tử của A, k

là số nguyên dương không lớn hơn n, được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: k

n

n!

C k!(n k)!

=

− Chứng minh: so với chỉnh hợp cùng số k và n thì tổ hợp luôn ít hơn chỉnh hợp k! lần vì khi hoán vị k phần tử này ta được một chỉnh hợp mới chập k của n phần tử Do đó k k

n n k!C = A

Từ đó suy ra công thức trên

Qui ước: 0

n

C = 1 Tính chất:

0 n

n n

C = C = 1

k n k

n n

C = C −

k k 1 k

n n 1 n 1

C = C −− + C −

n k 1

k

−

− +

=

2 Tổ hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử, n là số nguyên dương và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử chọn từ A không phân biệt thứ tự, trong đó mỗi phần tử có thể lặp một hay nhiều lần

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: k k n 1

n n k 1 n k 1

C = C + − = C −+ − Chứng minh: giả sử cứ mỗi phân tử thứ i trong tập A ta chọn ra ki lần sao cho tổng k1 +

k2 + + kn = k, trong đó i có giá trị từ 1 đến n, ki có giá trị từ 0 đến k, nếu ki = 0 nghĩa là không

chọn phần tử thứ i Bây giờ ta quy ước cách chọn trên thành cách sắp xếp một chuỗi có k lần xuất hiện số 1 và chèn số 0 vào sao cho các nhóm số 1 lần lượt có k1, k2, , kn số 1 Ví dụ:

11110100111 nghĩa là có 4 lần chọn phần tử thứ nhất, có 1 lần chọn phần tử thứ 2, 0 có lần nào chọn phần tử thứ 3, có 3 lần chọn phần tử thứ 4 Như vậy trong chuỗi quy ước sẽ có (n – 1) số

0 ngăn cách thành n nhóm số 1, trong đó có k lần xuất hiện số 1 vì mỗi số 1 tương ứng với một phần tử được chọn và số thứ tự phần tử được chọn là số thứ tự của nhóm Một nhóm trong đó có thể là rỗng nếu không có số 1 nào giữa hai số 0 liên tiếp Như vậy mỗi một chuỗi (n – 1 + k) số như trên tương đương một chỉnh hợp lặp chặp k của n phần tử Chuỗi trên có phân biệt vị trí trước và sau gồm hai phần là phần số 0 và phần số 1 Nếu ta chọn ra k vị trí

để đánh số 1 thì các vị trí còn lại trong n + k – 1 vị trí sẽ phải là 0 Số cách chọn như vậy lại là

số tổ hợp chập k của n + k – 1 phần tử Vậy số chỉnh hợp lặp có công thức như đã nêu trên

3 Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

Chỉnh hợp: có phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi chọn

a1 được tính là hai cách khác nhau nếu a1 và a2 là khác nhau

Tổ hợp: không phân biệt thứ tự chọn phần tử nghĩa là chọn a1 rồi chọn a2 và chọn a2 rồi chọn

a1 được tính là cùng một cách mặc dù a1 và a2 là khác nhau

Dạng 1: Rút gọn biểu thức tổ hợp

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau

a E1 = n n n

n 2n 3n

8 9 10

15 15 15

n 2

n n k 17

P

+

−

+ ĐS: a (3n)!/(n!)3 b (n + 1)(n + 2) + 1

Bài 2: Rút gọn biểu thức

E3 =

C 2 k n

ĐS: n(n + 1)/2

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp

Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau:

a) k p k p k

n n k n p

C C −− =C C (k ≤ p ≤ n) b) r r 1

n n 1

n

r

−

−

= Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:

a) m 1 m 1 m m 1

C + 3C − + 3C − + C − = C + (3 ≤ k ≤ n) Gợi ý: Sử dụng tính chất k 1 k k

n n n 1

C − + C = C + Bài 5: Chứng minh các hệ thức sau:

a) k k 1 k 2 k 3 k 4

C + 4C − + 6C − + 4C − + C − = C + k (4 ≤ k ≤ n)

b) p p 1

n 1

p

− + = +

k(k 1)C − = n(n 1)C − −− ( 2 < k < n)

Bài 6: Chứng minh các hệ thức sau:

a) 0 p 1 p 1 p 0 p

r q r q r q r q

C C +C C − + + C C =C+

b) 0 2 1 2 n 2 n

(C ) + (C ) + + (C ) = C

2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p

C +C +C + + C =C +C + + C − =c −

1 C − + C − C + + − ( 1) C = − ( 1) C −

Gợi ý: a) Sử dụng (1 + x)r.(1 + x)q = (1 + x)r+q So sánh hệ số của xp ở 2 vế

b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n

c) Sử dụng (x + y)2p và (x – y)2p

d) Sử dụng r r 1 r

n n 1 n 1

C = C−− + C − , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1

Dạng 5: Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) n

3 n 4

n 1 n

A + C − = 23

4 5 6

C − C = C c) x 1 x 2 x 3 x 10

C − + C − + C − + + C − = 1023

ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) x 4 2x 10

10 x 10 x

C ++ = C +− b) 2 x 2 1

4 3 3

y − C y C C + = 0 c) 2 x 2

x 2 x

A − + C − = 101 d) x 3 3

8 x x 6

C + 6C + 6C – 9x² + 14 = 0 ĐS: a) x = 14, x = 8 b) y = 3, x = 2 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7 Bài 9: Giải các bất phương trình:

a)

n 3

n 1

4

n 1 3

−

−

+

n 3

P

60A (n k)!

+ +

+

≤

n 1 n 1 n 2

5

4

− − − − − <

ĐS: a) n ≥ 6

b) Xét với n ≥ 4: bpt vô nghiệm; các nghiệm (n, k) là (0; 0), (1; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3) c) n = 6; 7; 8; 9; 10

Bài 10: Giải các phương trình và bất phương trình:

a x 2 3

x 1 x 1

C −+ + 2C − = 7(x – 1) b 3 x 2

x x

A + C − = 14x. c 5 x 5

x x 2

A = 336C −− .

d 2x 2x 4

28 24

11C = 225C − . e 4 3 2

n 1 n 1 n 2

5

4

− − − − − < f

n 3

n 1 4

n 1 3

−

− +

<

g 2 2

x 1 x

2C + + 3A < 30. h 2 2 3

2x x x

ĐS: a x = 5 b x = 5 c x = 8 d x = 7 e 5 ≤ n < 11

f n > 6 g x = 2 h x = 3, x = 4

Bài 11: Giải các hệ phương trình:

a)

y y 1

x 1 x

y y 1

x 1 x

+ +

− +





=

y y 1

x x

y y 1

x x

+

−







ĐS: a) (8; 3) b) (17; 8)

Bài 12: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình:

a

y y

x x

y y

x x

2A 5C 90

5A 2C 80





y y 2

x x

y y

+





=

lg(3C ) lg C 1



− ≤



ĐS: a x = 5, y = 2 b x = 4, y = 8 c 3 ≤ x ≤ 6; x, y đều là số nguyên dương

Bài 13: Tìm số tự nhiên k sao cho k k 1 k 2

14 14 14

C , C + , C + lập thành một cấp số cộng

ĐS: k = 4; 8

TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/FajWu1

https://forms.gle/UMdhdwg3cnzPExEh

8

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp:

sach.toan.online@gmail.com

Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại:

https://www.youtube.com/watch?v=GHVgooBcnMg

Đọc trước những quyển sách này tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/