52 câu trắc nghiệm chuyên đề Toán hình học không gian

Biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc cắt mặt cầu theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11 ... Biết rằng AC BD , luôn tiếp xúc với một mặt cầu [r]

Câu 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P qua M2;3;5 và cắt các tia, ,

Ox Oy Oz lần lượt tại A B C, , sao cho giá trị của OA OB OC, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 3 Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  P là :

Câu 2 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M1; 2;3 , gọi

 P :pxqy  rz 1 0q p r, ,   là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox Oy Oz tại , ,, ,

A B C sao cho M là trọng tâm ABC Tính T   p q r :

Câu 3 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho M1; 2;3 , gọi

 P :pxqy  rz 1 0q p r, ,   là mặt phẳng qua M và cắt các trục toạ độ Ox Oy Oz tại , ,, ,

A B C sao cho M là trực tâm ABC Tính T   p q r :

7/ /

143

Gọi I là tâm của mặt cầu  C I0; 4;0 

Gọi I' đối xứng I qua   4 20 12

Câu 6 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

Câu 7 : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm A1;0; 2 , B 3;1; 1  và mặt phẳng

 P :x   y z 1 0 Gọi điểm M x y z o; o; o   P sao cho 3MA2MB đạt giá trị nhỏ nhất Tính

 là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P

Gọi  d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng  P vtcp a d vtpt n P 1,1,1

Mà I3; 3; 0  cố định nên MImin M là hình chiếu của I trên mặt phẳng  P

Gọi  d là đường thẳng qua I3; 3; 0  và vuông góc với mặt phẳng  P , ta có:

Câu 10 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A2 ; 2 ; 0 ,t t  B 0; 0;t , t0 Cho điểm P di động

thỏa: OP AP OP BP AP BP 3 Tìm giá trị t sao cho OPmax 3

Vậy P di động trên mặt cầu  S tâm M với bán kính R 1t2

Nên OPmax  P OM  S và OM OP cùng hướng.,

3

t t

 .Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với

đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng cách lớn nhất

A u4; 5; 2   B u1;0; 2 C u3; 4; 4  D u2; 2; 1 

Giải :

Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với d và qua M

Gọi H là hình chiếu của A trên  P Gọi N là hình chiếu của H trên d

 

AN

   ( định lí 3 đường vuông góc ) d A ;   AN

Ta có : AN AM Dấu "" xảy ra khi NM  là đường thẳng qua M và  MH

 .Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M , vuông góc với

đường thẳng d đồng thời cách A một khoảng cách bé nhất

A u2;1;6 B u1;0; 2 C u3; 4; 4  D u2; 2; 1 

Giải :

Gọi  P là mặt phẳng vuông góc với d và qua M

Gọi H là hình chiếu của A trên  P Gọi N là hình chiếu của H trên d

Câu 13 : Trong không gian với hệ tọa độ xyz, cho điểm A1; 2; 3  và cắt mặt phẳng

 P : 2x2y  z 9 0 Đường thẳng đi qua A và có véctơ chỉ phương u3; 4; 4  cắt  P tại B

Điểm M thay đổi trong  P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 0

90 Khi độ dài MB

lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau :

A. J3; 2;7 B. H 2; 1;3 C. K3; 0;15 D. I 1; 2;3

Giải :

Gọi H là hình chiếu A trên  P  AH  P AH MB

VìM luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 0

90 nên AM MB Vậy MBAHMMBHM

M

 chạy tung tăng trên đường tròn đường kính MH M B

Vậy MBmax khi M H

Câu 14 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng  1

Vậy BAC là góc tù tạo bởi hai đường thẳng    d1 , d2

Do đó   chính là đường phân giác trong của BAC

Ta có: AB a1  33,AC  a2  33 AB AC ABC cân tại A

Câu 15 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2; 1 ,  B 0; 4;0và mặt phẳng

 P : 2x y 2z20150 Gọi  là góc nhỏ nhất giữa mặt phẳng  Q đi qua 2 điểm A B, và tạo với  P Tính cos

Giải : Theo cách hình học :

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng  P , d là

giao tuyến của    P , Q , I là giao điểm của AB và mặt

phẳng  P , J là hình chiếu của H trên d

 Góc của 2 mặt phẳng    P , Q là góc AJH với

Dấu "" xảy ra khi d IH

Vậy min   P ; Q   AIH là góc giữa AB và mặt phẳng  P

Câu 16 : Cho M1, 2,3 , A a, 0, 0 , B 0, , 0 ,b  C 0, 0,c trong đó a,b,c là các số dương Tìm mặt

phẳng  P đi qua A B C M, , , sao cho V OABC đạt giá trị nhỏ nhất

Theo gia thuyết ta có : OA OB OC  ABBCCA   a b c a2b2  b2c2  c2a2

Theo nhà toán học Cauchy ta có :

Câu 18 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có

P mx m y mz  với m  1;0  0;1 luôn cắt mặt phẳng Oxz theo giao tuyến

là đường thẳng m Khi m thay đổi thì các giao tuyến m có kết quả nào sau đây :

A Cắt nhau B Song song C Chéo nhau D Trùng nhau

Câu 20 : Trong không gian Oxyz , cho điểm 1; 3; 0

Ta có :OM   1 R M thuộc miền trong của mặt cầu  S

Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng với mặt cầu Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB

    luôn chứa đường thẳng  cố định khi

m thay đổi Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến 

Cách 2 : đơn gian phù hợp trắc nghiệm

Ta chọn 2 số m thỏa yêu cầu bài toán  có đường thẳng d  viết được mp  xong bài

-

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu

    2 2 2 2

S x m  y m  z m  m  Biết khi m thay đổi thì S luôn giao với mặt phẳng  P

cố định với giao tuyến là một đường tròn  C cố định Tính bán kính của đường tròn đó

m n

Câu 26 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A a ;0;0 ; B 0; ;0 ;b  C 0;0;c với  a b c, , 0 Giả sử, ,

a b c thay đổi nhưng luôn thỏa 2 2 2 2

a b c k với k cho trước thì ABC có diện tích lớn nhất là :

A

2 max

2 3

k

2 max

3

k

2 max

2

k

2 max

-

Câu 27 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 Có baonhiêu mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng   :z  y z 0 và tiếp xúc với 3 dường thẳng, ,

M P C lần lượt là hình chiếu của của H trên AB BC CA, ,

Ta có: IHM IHN IHP (cạnh huyền_cạnh góc

 có thể là tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC

Mà IH ABC nên tập hợp điểm I là những đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp hay một trong ba tâm đường tròn bàng tiếp của ABC và vuông góc với mặt phẳng ABCCó 4 đường thẳng như thế

Ta có A1; 0; 0 , B 0;1; 0 , C 0; 0;1PTMP ABC :x    y z 1 0 ABC  / / 

Vậy tồn tại 4 giao điểm của tập hợp điểm I nêu trên và mặt phẳng  

4 giao điểm đó chính là 4 tâm mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán  Có 4 mặt cầu thỏa ycbt

Vậy một trong bốn đường trên có thể song song hay chứa trong  P

Gọi       P  OAB    :x y 0 với ptđt   trong mặt phẳng Oxy 

Trong mặt phẳng Oxy , ta có   :x y 0 là đường phân giác ngoài của góc O của OAB

Vậy   đi qua hai tâm bàng tiếp góc A B,

Vậy hai trong bốn đường d d d d chứa trong 1, 2, 3, 4  P  có vô số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P và

tiếp xúc với ba đường thẳng AO OB BA, ,

Vậy  Q cắt  S1 với giao tuyến là một đường tròn  C chính là giao tuyến của    S1 , S2

Vậy một trong bốn đường trên có thể song song hay chứa trong  P

Gọi       P  OAB    :x  y 2 0 với ptđt   trong mặt phẳng Oxy

Trong mặt phẳng Oxy , gọi   d :x y 0, d' :x y 0 lần lượt là đường phân giác trong, phângiác ngoài tại đỉnh A của OAB

Ta có       / / d'   không đi qua tâm đường tròn bàng tiếp góc A B ,

Gọi I      d I 1,1

Ta có  OA :y0,  OB :x0, 4x3y120

Ta xét thấy d I OA , d I OB , d I AB ,  1 I cách đều ba cạnh ABC I có thể là tâm mặt

cầu nội tiếp hay tâm bàng tiếp góc O của OAB

Vậy một trong bốn đường d d d d chứa trong 1, 2, 3, 4  P  có vô số tâm mặt cầu có tâm thuộc  P và

tiếp xúc với ba đường thẳng AO OB BA, ,

-

điểmA1;0;0 ,  B 2;0;3 ,  M0;0;1 ,  N 0,3,1 ,mặt phẳng  P đi qua các điểm M N, sao

d B P  d A P  ,có bao nhiêu mp thỏa mãn đề bài

Giải :

Ta có 4 điểm A B M N, , , là 4 điểm đồng phẳng , MN không song song AB

Gọi I  P AB ( do AB không song song  P )

Câu 33 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyzcho A2;5; 3 ,  B 2;1;1 , C 2; 0;1và mặt phẳng

  : 3x4y5z 1 0 Gọi điểm D x D;y D;z D y D0 thuộc   sao cho có vô số mặt phẳng

 P quaC D, thỏa khoảng cách từ A đến  P gấp 3 lần khoảng cách từ B đến  P Tính

1; 2; 03

I

P I

Nếu AB   P  P đi qua hai điểm cố định trên

Vậy để có d A P , 3d B B ,  thì  P đi qua I 4; 1;3 hay I1; 2; 0

Theo để bài, thì có vô số mặt phẳng  P qua C D, thỏa

Câu 35 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A a ; 0; 0 , B 0; ; 0 ,b  C 0; 0;c , a b c, , 0

Gọi tâm mặt cầu S là I x y z I; I; I

Ta có B1; 1;1  là tọa độ giao điểm của 3 mặt phẳng

Do 3 mặt phẳng       ;  ; đôi một cắt nhau  3 mặt phẳng này chia không gian làm 8 phần

 Tâm I và điểm A cùng thuộc 1 phần

Ta nhận thấy điểm DABC

Gọi A B C là hình chiếu của , ,', ', ' A B C trên , ta có: ADA' vuông tại A'AA'ADconst

điểm A thuộc tia Oy Biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc cắt mặt cầu theo

thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích là 11

A

0; 6; 00; 0; 0

A

0; 2; 00; 8; 0

A A

Giải:

Gọi ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc lần lượt là

Atm , Amp , Apt 

Mặt cầu  S cắt Atm , Amp , Apt theo ba hình tròn     C1 , C2 , C3 có

S x  y  z  Tìm điểm M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với  S

lần lượt tại A B C, , sao cho ABC và 1 600

Gọi I là tâm của  S

Vì MA MB MC là tiếp tuyến nên , , MAIA MB, IB MC, IC

    là các tam giác vuông có chung cạnh huyền MI

Ta có :IAIBICR S  MAI  MBI  MCIMAMBMC

M

 trục đường tròn ngoại tiếp ABC và A B C, ,   C  M MA,    S với M MA,  là mặt cầu

tâm M , bán kính MA

Gọi J là trung điểm của ACJ là tâm dường tròn ngoại tiếp ABC

IAIBIC  R I trục đường tròn ngoại tiếp ABC

0

2sin 60 360

.cot 60

3

IM IMA

Câu 40 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng  P :x y 2z 1 0 và

 Q : 2x   y z 1 0 Gọi  S là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời  S cắt mặt phẳng

 P theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và  S cắt mặt phẳng  Q theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu

 S thỏa mãn yêu cầu

4 06

2 1,

 1 là phương trình bậc hai với a là ẩn số và r là tham số

Để có đúng một mặt cầu  S thỏa mãn yêu cầu thì có đúng một tâm I a ; 0; 0

 thuộc mặt cầu tâm O ,bán kính R 3

Từ 2 điều trên ta có :A B, thuộc đường tròn tâm O , bán kính R 3

Ta thấy :OAC OBD c g c 

 Đường cao hạ từ đỉnh O của 2 tam giác của bằng nhau

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của O trên , 3

Câu 42 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A4;0;0 , B 0;0;m m,  và

Mà DABOxz nên D di động trên đường tròn  C chứa trong mặt

phẳng Oxz có tâm J là trung điểm của OA và bán kính R C JA2

Câu 43 : Trong không gian với hệ toa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a

trong đó AO, B a ; 0; 0, D0; ; 0a  Hai điểm M N, lần lượt di động trên hai cạnh BD B A, 'sao cho BM B N' Gọi  , lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng , '

BD B A Giả trị của Acos2cos2 bằng bao nhiêu?

1

2cos cos ' cos 45

ADB DAB

2

2 2

2

22

Câu 44: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A1; 2; 0 , B 2; 3; 2  Gọi  S

mặt cầu đường kính AB Ax By.; , là hai tiếp tuyến mặt cầu  S và AxBy Gọi M N, lần lượt

là điểm di động trên Ax By, sao đường thẳng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu  S Tính giá trị

A mind N P ; 2 B mind N P ; 3 C mind N P ; 1 D mind N P ; 4

Giải :

Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng    2; 4; 4

6

H P

Câu 46 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm A2;1; 4 ,  B 6; 2;3 , M1;1;3 Gọi

 P là mặt phẳng qua M sao cho tổng khoảng cách từ A B đến ,  P là lớn nhất Biết rằng mặt phẳng đó có dạng  P xaybz c 0 với a b c, ,  Tính giá trị của A  a b c

Gọi H T , lần lượt là hình chiếu của A B, lên mặt phẳng  P

Trường hợp 1:  P không cắt đoạn AB

Gọi L là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P Ta chứng minh được: 1 

2

IL AH BT

IML

 vuông tại L  IL  IM  const Đẳng thức xảy ra  P IM tại M

Khi đó  P / /AB nên  P không cắt đoạn AB (thỏa điều kiện trường hợp 1)

Vậy AHBTmax 2IM  P IM tại M

Trường hợp 2:  P cắt đoạn AB  J  AB P với AB là đoạn thẳng

Vì AMB có AMB là góc tù nên AB2IM

Vậy tổng khoảng cách từ A B, đến mặt phẳng  P lớn nhất là AB khi  P  AB

A 21

8



B 143

V   R R R R  -

Câu 49 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

25 0; 25; 52

m

I b

Câu 51 : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng   là giao tuyến của 2 mặt phẳng

 P :xmy  z m 0 , Q :mx y mz 1 0 gọi  1 là hình chiếu của   trên mặt phẳng

Oxy Biết rằng  1 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tìm bán kính r của đường tròn đó.

Vậy trong mặt phẳng Oxyta luôn có  1 luôn tiếp xúc với một đường tròn  C cố định có tâm

Vậy  1 có dạng y1 trong mặt phẳng Oxy

Mà d O , 1  1 R C nên  1 tiếp xúc với  C

Kết luận:  1 luôn tiếp xúc đường tròn  C có bán kính là 1  m R