TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC – Xuctu.com

Hướng dẫn giải.[r]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC

I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a1, a2, , an Ta có

n

a

a

a1 + 2 + + n ≥ n

n 2

1a a a

Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = = an

Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số a1, , an và b1, , bn Ta có

( 2

1

a + + 2

n

a )( 2

1

b + + 2

n

n n 1

1 b a b ) a

Dấu “=” xảy ra ⇔

1

1

b

a

= 2

2

b

a

= =

n

n

b

a

Ví dụ 1. Cho x, y > 0 Tìm min f(x, y) = x +

) y x ( xy

1

−

Hướng dẫn giải

f(x, y) = x +

) y x ( xy

1

) 2

y x y ( x

1

− + = x + x 3

4

x

4 3

x 3

x 3

x

+ +

Vậy f(x, y) ≥ 8 Dấu “=” xảy ra ⇔









=

−

=

3

x

4 3 x

y x y

⇔











=

= 2

12 y

12 x

4

4

Ví dụ 2. Tìm GTNN của S = 3 3

z xy

y

x + với x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Hướng dẫn giải

S = 3 3

z

xy

3

y 3

y 3

y

x+ + +

4

3

z xy 3

y x











⇒ 4

S ≥ 34 3 9 12

z y x

1 3

4

= 3 3 94 12 3 9 12

12

z 9

y 3 x

1 12

9 3 3 4





































12 9 3

12

z 12 9

y 9 3

x 3

1 4

3

4

























+ +

+ +

= 1256 3

2 Nên: S ≥ 143

3

2 Dấu “= ” xảy ra ⇔



















=

=

=

8

1 z 8

3 y 8

1 x

Ví dụ 3. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của hàm số:

f(A, B, C) =























 + 2

A sin

1 1























 + 2

B sin

1 1























 + 2

C sin

1

1

Hướng dẫn giải

Ta có: f(A, B, C) = 1 +

2

A sin

1 +

2

B sin

1 +

2

C sin

1 +

2

B sin 2

A sin

1

+

2

C sin 2

B sin

1 +

2

A sin 2

C sin

1

+

2

C sin

2

B

sin

2

A

sin

1 ≥ 1 + 3

3

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

+ 33

2

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

























+

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

=

3

3

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1 1

























3

3

8 1

1 1























 + = 27

⇒ min f = 27 khi tam giác ABC đều

Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:

1) Tìm min, max của hàm số: f(x, y, z) =

xyz

3 x yz 2 y xz 1 z

Trên D = { (x,y,z):x≥3;y≥2;z≥1}

3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x, y, z) = 2 2 2

z y x

1 + + + xy

1 + yz

1 + xz

1

(Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =

3

1 )

4) Cho ac > 0 và

a

1 + c

1 = b

2 Tìm min của f(a, b, c ) =

b a 2

b a

−

+ +

b c 2

c b

− +

Ví dụ 3. Tìm min của hàm số:

f(x, y) =

y cos d x sin

c

y cos b x sin

a

2 2

4 4

+

y sin d x cos c

y sin b x cos a

2 2

4 4

+ +

(với a, b, c là các hằng số dương)

Hướng dẫn giải

f(x, y) = a[

y cos d x sin c

x sin

2 2

4

+ + ccos x dsin y

x cos

2 2

4

+ ] + b[c sin x d cos y

y cos

2 2

4

+ + ccos x dsin y

y sin

2 2

4

+ ]

= af1 + bf2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:

[(csin2x + dcos 2 y) + (ccos2x + dsin 2 y)][

y cos d x sin c

x sin

2 2

4

+ + ccos x dsin y

x cos

2 2

4

+ ] ≥ 1

1

f ≥

d

c

1

+ Dấu “=” xảy ra ⇔ c sin x d cos y

x sin

2 2

2

+ = ccos x dsin y

x cos

2 2

2

+ = c d

1 +

⇔ sin2x = cos 2 y

tương tự: f2 ≥

d c

1 + Dấu “=” xảy ra ⇔ sin x

2 = cos2y

vậy f(x, y) ≥

d c

b a +

+ Dấu “=” xảy ra ⇔

x sin2 = cos 2 y

min f =

d c

b a

+

+ khi

x sin2 = cos2y

Bài tập áp dụng Bunhia:

1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =

2

π Tìm Min của biểu thức

f(x, y, z) = 1+tgxtgy + 1+tgytgz + 1+tgxtgz

2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = 2 x + y

Trên miền D={( x , y ); x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x 3 + y 3 ≤ 1}

3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác Tìm min của biểu thức:

M =

A 2 cos

2

1

+ + 2 cos 2 B

1 + + 2 cos 2 C

1

Ví dụ 4. Cho x, y, z, t ∈ 









 1

; 4

1 Tìm min của hàm số:

f(x, y, z, t) = )

4

1 y (

4

1 z (

4

1 t (

4

1 x ( logt −

Hướng dẫn giải

Vì x, y, z, t ∈ 









 1

; 4

1

và ta có x 2 ≥ x –

4

t x

4

1 x ( logt −

Tương tự và cộng vế với vế ta có:

f(x, y, z, t) ≥ 2(logx y + logyz + logzt + logtx) ≥ 84

t z y

x y log z log t log x

⇒ f(x, y, z, t) ≥ 8 Dấu “=” ⇔ x = y = z = t =

2

1

II Sử dụng các bất đẳng thức khác:

Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

a + b ≥ a+b a − b ≤ a−b

Dấu “=” xảy ra ⇔ ab > 0

Ví dụ. Cho a1, , an là các hằng số cho trước Tìm min của biểu thức

T = − + − + + −

Không mất tính tổng quát giả sử a1 ≤ ≤ an

TH1: n = 2k

1

a

x− + x−an ≥ an – a1 Dấu “=” ⇔ a1 ≤ x ≤ an

1 k

a

x− + + x−ak ≥ ak+1 – ak Dấu “=” ⇔ ak ≤ x ≤ ak+1

⇒ T ≥ (an + + ak+1) – (a1 + + ak) Dấu “=” ⇔ ak ≤ x ≤ ak+1

Với n = 2k thì minT = (an + + ak+1) – (a1 + + ak) tại ak ≤ x ≤ ak+1

TH2: n = 2k + 1

1

a

x− + x−an ≥ an – a1 Dấu “=” ⇔ a1 ≤ x ≤ an

2

k

a

x− + + x−ak ≥ ak+2 – ak Dấu “=” ⇔ ak ≤ x ≤ ak+2

1

k

a

x− + ≥ 0 Dấu “=” ⇔ ak+1 = 0

⇒ T ≥ (an + + ak+2) – (a1 + + ak) Dấu “=” ⇔ ak+1 = 0

Với n = 2k + 1 minT = (an + + ak+2) – (a1 + + ak) khi ak+1 = 0

SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020

ĐANG PHÙ HỢP VỚI BẠN

Bộ phận bán hàng:

0918.972.605

Đặt mua tại:

https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2

Xem thêm nhiều sách tại:

http://xuctu.com/

Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com

fb/quoctuansp

Đọc trước những quyển sách này tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/