1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.. G[r]
Trang 1N M
O D
A
B
C
O D
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN ÔN TẬP CHƯƠNG 1 Dạng 1 Xác một vectơ, sự cùng phương, cùng hướng:
* Phương pháp : Sử dụng các khái niệm về véctơ
+ K/n Véctơ
+ K/n về hai véctơ cùng phương, hai véctơ cùng hướng
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối
là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO, bằng với OB
Bài 3: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
HD:
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ
Bài 2:
Bài 3:
a DA AD BC CB AO OD DO FE EF , , , , , , , ,
b OC ED FO , ,
c Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' = AB
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Trang 2A
B
o
E F
D B
A
C
Do CC’//AB ⇒ CC ' = AB
+ tương tự
Bài 4:
a AB = DC,OB = DO
b | OB | | = BO | | = DO | | = OD |
Dạng 2 Chứng minh hai vectơ bằng nhau:
* Phương pháp : Ta cĩ thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa: | | | |
, cùng hướng
a b
a b
a b
+ Sử dụng tính chất của các hình Nếu ABCD là hình bình hành thì
,
AB=DC BC =AD,…(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu a=b b, =c⇒a=c
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC cĩ D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: EF =CD
Bài 2: Cho tứ giác ABCD
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng nếu AB=DC thì AD=BC
Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA
Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ
HD
Bài 1:
Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD,
EF=1
2BC=CD⇒ EF=CD⇒ EF = CD (1)
EF cùng hướng CD (2)
Từ (1),(2) ⇒ EF=CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=1
2BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒EF =CD
Bài 2:
Chứng minh chiều ⇒ : * ABCD là hình bình hành
=
⇒
CD AB
CD
AB//
CD
AB
CD
AB
=
⇒
=
//
Chứng minh chiều ⇐: * AB = DC ⇔ AB , DC cùng hướng và AB = DC
* AB và DC cùng hướng ⇒ AB // CD (1)
* AB = CD ⇒ AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Trang 3Bài 3 : AB=DC⇒ AB=DC, AB//CD⇒ABCD là hình bình hành ⇒ AD=BC
Bài 4 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1
2AC
Và đều //AC Vậy MNPQ là hình bình hành
⇒ đpcm
Dạng 3 Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia
2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh
Cơ sở : sử dụng các quy tắc về véctơ
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+BC =AC
Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+AD =AC
Quy tắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA − = AB (hoặc OA OB − = BA)hay AB = OB − OA
Tính chất trung điểm của đoạn thẳng :
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = 0
Tính chất trọng tâm của tam giác :
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA GB + + GC = 0
BÀI TẬP
Bài 1 Cho 4 điểm A, B, C, D CMR : AC→ + BD = → AD + → BC→
Bài 2 Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB → b/ OD→ + OC→ =BC→
c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 d/ MA + → MC→ = MB + → MD (với M là 1 điểm tùy ý) →
Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi O là trung điểm AB
CMR : OD→ + OC→ = AD + → BC→
Bài 4 Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA , → ' BB , → ' CC→ '
CMR : AA + → ' BB + → ' CC→ ' = BA + → ' CB→ ' + AC→ '
Bài 5 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm
đối xứng của A qua C với một điểm O bất kỳ, ta có:
' '
OA OC
OB
Bài 6: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O CMR :
a) OA+OB+OC+OD+OE+OF=0 b) OA+OC+OE = 0
c) AB +AO+ AF = AD d) MA +MC+ ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
A
D
Trang 4Dạng 4 Tính độ dài của hệ thức véctơ :
Cơ sở:
sử dụng các quy tắc về véctơ :
+ Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB+BC =AC ⇒ AB +BC = AC
+ Quy t ắc hình bình hành Nếu ABCD là hình bình hành thì AB+AD =AC ⇒ AB +AD = AC
+ Quy t ắc về hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA − = AB (hoặc OA OB − = BA)hay AB = OB − OA⇒ AB = OB −OA
Sử dụng tính chất hai véctơ :
+ Nếu hai véc tơ a,b cùng hướng thì |a+b| = |a|+|b|
+ Nếu hai véc tơ a↑↓b và |b| ≥ |a| thì |a+b|=|b|−|a|
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a
a/ Tính AD→ − AB →
b/ Dựng u = CA→ − AB Tính → u
Bài 2 Cho ∆ABC đều cạnh a Gọi I là trung điểm BC
a/ Tính AB→ −AC→
b/ Tính BA→ − →BI
Bài 3 Cho ∆ABC vuông tại A Biết AB = 6a, AC = 8a TínhAB→ −AC→
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB→ +AD→ theo a
Bài 6 Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a
a/ Tính AB→ +AD→
b/ Dựng u = AB→ +AC→ Tính u
Dạng 5 Xác định vectơ k a :
*Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
BÀI TẬP
Ví dụ 1 Cho a = AB và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4
OM = a ON = − a
A
D
Trang 5Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O ∈ giá của a thì d là giá của a)
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a|, OM và a cùng hướng khi đó OM = 3 a
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|a|, ON và a ngược hướng nên ON = − 4 a
Ví dụ 2 Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=1
5AB Tìm k trong các đẳng
thức sau:
a AM = k AB b MA = k MB c MA = k AB
Giải
| |
5
| |
AM AM
AM k AB k
AB AB
5
b) k= −1
4 c) k= −1
5
Ví dụ 3
a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (−5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3b , a−2b
Giải
a) −5 a =(−1)(5 a )=((−1)5) a = −(−5) a
b) −(2 a +3b)= (−1)( 2 a +3b)= (−1) 2 a +(−1)3b=(−2) a +(−3)b =−2 a −3b
c) Tương tự
Dạng 6 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương :
Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF Đặt u = AE v ; = AF Hãy phân tích các vectơ AI AG DE DC , , , theo hai vectơ ,
u v
AI = AD = AE + AF = u + v
AG = AD = u + v
0 ( 1)
DE = FA = − AF = u + − v
DC = FE = AE − AF = − u v
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u=AB v, = AC
Giải
3
AM = AB + BM = AB + BC
O
a
M
N
C
A
Trang 6mà BC = AC − AB
AM = AB + AC − AB = u + v
Dạng 7 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Cơ sở:
+ A, B, C thẳng hàng ⇔ ABcùng phương AC⇔∃ 0≠k ∈ℝ : AB = k AC
+ Nếu AB = kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao
AK=1
3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Giải
Ta có
1 2
2
BI BA BM BA BC
BI BA BC
= +
Ta có
1 3
BK BA AK BA AC
BK BA BC
= + = +
= +
Từ (1)&(2)⇒ 3 4 4
3
BK = BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0
BC MA+ = , AB NA− −3AC=0 Chứng minh MN//AC
Giải
BC MA AB NA AC hay AC MN AC MN AC
/ /
MN AC Theo giả thiếtBC = AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2AB + 3→ AC→ = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng
Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3→ MC→ ;NA→ +3NC→ = 0 và PA + → PB = 0 →
a/ Tính PM , → PN→ theo AB và → AC→
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm
đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Trang 7K I
A
B
C
D
Dạng 8 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ :
Cơ sở:
+ AB = ⇔ ≡ 0 A B
+ Cho điểm A và a Có duy nhất M sao cho : AM = a
+ AB = AC ⇔ ≡ B C AD ; = BD ⇔ ≡ A B
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết AG = 2 GD
Giải
2
AG = GD⇒ A,G,D thẳng hàng
AG=2GD gà G nằm giữa A và D
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Ví dụ 2 Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA + 2 IB = 0
IA + IB = ⇔ IA = − IB ⇒ IA = − IB
hay IA=2IB , IA ↑↓ IB Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=1
3AB
Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB + + GC + GD = 0
Giải
Ta có GA GB + = 2 GI, trong đó I là trung điểm AB Tương tự GC + GD = 2 GK, K là trung điểm CD
2 2 0
GA GB GC GD GI GK hay GI GK
+ =
⇒ G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF
a/ CMR : AD + → BC→ = 2EF →
b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
c/ CMR : MA + → MB + → MC→ + MD = 4→ MO→ (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA−→ + MB−→ +MC−→ +MD−→ nhỏ nhất
Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý
a/ CMR : AF + → BG→ + CH→ + DE = 0 →
b/ CMR : MA +→ MB +→ MC→ +MD = → ME +→ MF +→ MG→ +MH →
c/ CMR : AB→ +AC→ + AD = 4→ AG→ (với G là trung điểm FH)
Bài 3: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H
CMR : AD + → BE + → CF→ = 3GH→
G
B
A
Trang 8Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
b/ EA + → EB + 2→ EC→ = 3AB →
c/ EB + 2→ EA + 4→ ED = → EC→
Bài 5: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN→ =
2
1 →
NC Gọi K là trung điểm của MN
a/ CMR : AK = →
4
1 →
AB +
6
1 →
AC b/ CMR : KD = →
4
1 →
AB + 3
1 → AC
Bài 6: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2→ DB , → CE→ = 3EA Gọi M là trung → điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
a/ AM = →
3
1 →
AB + 8
1 → AC
b/ MI = →
6
1 →
AB + 8
3 → AC
SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2018-2019
Trang 9Bộ phận bán hàng:
0918.972.605
Đặt mua tại:
https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2
Xem thêm nhiều sách tại:
http://xuctu.com/
Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com
fb/quoctuansp