DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối (Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức, tam thức…).. Phương pháp chung:.[r]
Trang 1ỨNG DỤNG DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT, TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
I KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Dấu nhị thức bậc nhất: f x ( ) = ax b + (a ≠ 0)
x –∞ b
a
− +∞ f(x) (Trái dấu với hệ số a) 0 (Cùng dấu với hệ số a)
(phải cùng, trái trái)
► Chú ý:
1) Với a > 0, ta có: f x ( ) ≤ ⇔ − ≤ a a f x ( ) ≤ a, ( )
( )
( )
≥
≥ ⇔
≤ −
A
A (A < 0)
≥
=
−
2 Dấu tam thức bậc hai: f x ( ) = ax2+ + bx c ( a ≠ 0)
Tính∆= b 2 – 4ac
● Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (hay nói cách khác a.f(x) > 0), ∀x∈R
∆ < 0 x –∞ +∞
f(x) Cùng dấu với hệ số a
● Nếu ∆= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a (hay nói cách khác a.f(x) > 0), ∀ x ≠
2
b a
−
∆ = 0 x –∞
2
b a
−
+∞
f(x) (Cùng dấu với hệ số a) 0 (Cùng dấu với hệ số a)
● Nếu ∆> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2;
f(x) trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) và x1 < x2)
∆ > 0 x –∞ x 1 x 2 +∞
f(x) (Cùng dấu với hệ số a) 0 (Trái dấu với hệ số a) 0 (Cùng dấu với hệ số a)
(trong trái, ngoài cùng)
► Chú ý (quan trọng): Cho tam thức bậc hai f x ( ) = ax2+ + bx c ( a ≠ 0)
Khi đó:
0
a
> ∀ ∈ ⇔
∆ <
0
a
< ∀ ∈ ⇔
∆ <
0
a
≥ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
0
a
≤ ∀ ∈ ⇔
∆ ≤
II NHỮNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP:
Trang 21 DẠNG 1 : Giải bất phương trình không chứa căn, không chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp chung:
● B1: Chuyển về dạng: f x ( ) < 0 ( 0, >0, 0) ≤ ≥ bằng cách chuyển vế quy đồng, trong đó f x ( ) phải có dạng là tích, thương của các nhị thức và tam thức
● B2: Lập bảng xét dấu f x ( )
x −∞ x1 x2 x3 +∞
( )
f x
● B3: Từ bảng dấu, suy ra tập nghiệm BPT
CHÚ Ý:
► Để xác định dấu của f x ( )ta tiến hành như sau: Lấy các hệ số a của các nhị thức, tam thức nhân lại với nhau (không tính nhị thức
có mũ chẵn và tam thức có mũ chẵn), nếu là số dương thì miền ngoài cùng mang dấu (+), nếu là số âm thì miền ngoài cùng mang dấu
(-) Sau đó qua nghiệm đơn thì đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu
► Cách nhận biết nghiệm đơn, nghiệm kép:
◦ Nghiệm của nhị thức mũ lẻ và hai nghiệm phân biệt của tam thức mũ lẻ: nghiệm đơn
◦ Nghiệm của nhị thức mũ chẵn, hai nghiệm phân biệt của tam thức mũ chẵn, nghiệm kép của tam thức: nghiệm kép ☺
2 DẠNG 2 : Giải hệ bất phương trình
Phương pháp chung:
Giải từng bất phương trình của hệ như Dạng 1, sau đó dùng trục số lấy giao các tập nghiệm được tập nghiệm của hệ bất phương trình
3 DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa hai hay nhiều dấu giá trị tuyệt đối
(Biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức, tam thức…)
Phương pháp chung:
● B1: Lập bảng xét dấu cho các nhị thức, tam thức có trong các dấu giá trị tuyệt đối
● B2: Chia bài toán thành những trường hợp, trong mỗi trường hợp ta mở được đồng thời các dấu giá trị tuyệt đối nhờ bảng dấu Sau
đó, tiến hành giải tìm nghiệm và nhớ đối chiếu điều kiện
● B3: Lấy hợp các tập nghiệm của tất cả các trường hợp ta được tập nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu
4 DẠNG 4: Tìm giá trị tham số để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm, có hai nghiệm cùng dấu, trái
dấu…
Cho phương trình : ax2+ + = bx c 0 (*).
◙ Tìm giá trị tham số để (*) có nghiệm
TH1: a = ⇔ 0 m ? : xét cụ thể (nếu a có chứa tham số)
TH2: a ≠ ⇔ 0 m ?
Khi đó: (*) có nghiệm⇔ ∆ ≥ 0
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm
◙ Tìm giá trị tham số để (*) có 2 nghiệm
(*) có 2 nghiệm 0
0
a ≠
⇔
∆ ≥
(*) có 2 nghiệm phân biệt
0 0
a ≠
⇔
∆ >
◙ Tìm giá trị tham số để (*) vô nghiệm
TH1: a = ⇔ 0 m ? : xét cụ thể (nếu a có chứa tham số)
TH2: a ≠ ⇔ 0 m ?
Khi đó: (*) vô nghiệm⇔ ∆ < 0
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm ☺
◙ Tìm giá trị tham số để (*) có 2 nghiệm cùng dấu
Trang 3(*) có 2 nghiệm cùng dấu
0 0 0
a
c P a
≠
⇔ ∆ ≥
= >
(*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu
0 0 0
a
c P a
≠
⇔ ∆ >
= >
(*) có 2 nghiệm dương
0 0 0 0
a
b S a c P a
≠
∆ ≥
⇔ = − >
= >
(*) có 2 nghiệm dương phân biệt
0 0 0 0
a
b S a c P a
≠
∆ >
⇔ = − >
= >
(*) có 2 nghiệm âm
0 0 0 0
a
b S a c P a
≠
∆ ≥
⇔ = − <
= >
(*) có 2 nghiệm âm phân biệt
0 0 0 0
a
b S a c P a
≠
∆ >
⇔ = − <
= >
◙ Tìm giá trị tham số để (*) có 2 nghiệm trái dấu (*) có 2 nghiệm trái dấu⇔ a c < 0
5 DẠNG 5: Tìm giá trị tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng với mọi x, vô nghiệm
Đề bài: Cho BPT: ax2+ bx + > c 0 (1) Tìm giá trị tham số
để (1) nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp:
● Xét a = ⇔ 0 m ? (nếu a chứa tham số)
⇒xét cụ thể
● Xét a ≠ ⇔ 0 m ?
Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x 0
? 0
a
m
>
∆ <
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm
Đề bài: Cho BPT: ax2+ bx + ≥ c 0 (1) Tìm giá trị tham số
để (1) nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp:
● Xét a = ⇔ 0 m ? (nếu a chứa tham số)
⇒xét cụ thể
● Xét a ≠ ⇔ 0 m ? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x 0
? 0
a
m
>
∆ ≤
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm
Đề bài:Cho BPT: ax2+ bx + < c 0 (1) Tìm giá trị tham số để
(1) nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp:
● Xét a = ⇔ 0 m ? (nếu a chứa tham số)
⇒xét cụ thể
● Xét a ≠ ⇔ 0 m ?
Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x 0
? 0
a
m
<
∆ <
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm
Đề bài:Cho BPT: ax2+ bx + ≤ c 0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp:
● Xét a = ⇔ 0 m ? (nếu a chứa tham số)
⇒xét cụ thể
● Xét a ≠ ⇔ 0 m ? Khi đó, (1) nghiệm đúng với mọi x 0
? 0
a
m
<
∆ ≤
Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm ☺
CHÚ Ý:
◦ ax2+ bx + > c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ bx + ≤ c 0 nghiệm đúng với mọi x
◦ ax2+ bx + ≥ c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ bx + < c 0 nghiệm đúng với mọi x
◦ ax2+ bx + < c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ bx + ≥ c 0 nghiệm đúng với mọi x
◦ ax2+ bx + ≤ c 0 vô nghiệm ⇔ ax2+ bx + > c 0 nghiệm đúng với mọi x ☺
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
◙ Bài 1: Giải các bất phương trình sau: (DẠNG 1)
Trang 42
0 2
− − + >
−
2
5)
- 6 - 7 - 3
x
2 2
6)
− + ≥ +
7)
x
−
− + + +
− +
2
2
+ − 10)
2 2
2 0
x + + < x
− − 11) 2
x
− + 12)
3 4
x x
+ + ≥ − + 13)
2
x x
+ − > −
− 14)
− > −
− − 15)
9 4 2
x x
+ 16) ( ) ( ) ( )
0
≤
− − 17) 4 ( 2 )2
x ≥ x + x + ; 18)( − + x2 3 x − 2 )( x2− 5 x + ≥ 6 ) 0; 19)
0
1 2
x
+ + <
− ; 20)
1 2
x + +
2 2
− + > +
− + − ; 21)
2
0 30
− + >
− − 22)
2 2
− + − ≥ + +
− + ≤ + + ; 24)
2
0
− + ≥
− +
◙ Bài 2: Giải các hệ bất phương trình sau: (DẠNG 2)
1)
2
2
12 0
1 0
x
− − <
− >
2 2
− − >
− − <
2 2
− − <
− − ≥
2 2
5 0
+ + <
− + >
2
2
− − ≥
6)
x
− − <
− >
2
2
− − ≥
2 2 2
− − ≤
− + >
9)
2 2 2
0 3
2 0
x
− + >
−
+ − <
10)
1 1
0 1
x x
x
+
≥
11)
2
2
1
x
− −
+ 12)
2 2
− −
− + 13)
2 2
− −
− < <
− + −
◙ Bài 3: Giải các phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : (DẠNG 3)
Phương trình:
1)x2+ 5 x − 3 x − − = 2 5 0; 2)x2− 5 x − − = 1 1 0; 3)
2 3
x x
− −
=
− 4)
− = − +
5) x + + − = 2 x 1 5; 6)2 x − − = x 3 3; 7)5 x + + 2 3 x − = 4 4 x + 5; 8) x2− + = 4 x 2; 9) x + + = − x 1 3 2 x
10) 2 7
1
x
x
x
+
= −
3 2
x
x x
−
= − + 12)
2 3
x
x x
−
= − + 13) ( )
2 2
x x
− + +
= +
14) x − + 1 2 x + = 3 0 15 x − + 1 x2− = 1 0 16) x2− + 1 x2− + = 3 x 2 0
Bất phương trình:
15)3 x2− − > x 3 9 x − 2 16) 2 2
3
x
−
≥
− + 17)
2
2
x
+ −
≥ 18)2 5 1 0
3
x
x − + >
− 19)
2
0 1
x
+ − <
+ 20) x + ≤ − + 1 x x 2 21) x − − + < 3 x 1 2 22) x ≤ 2 x − + − 4 x 2
23)
2
2
1 2
− +
≥ + − 24)
1
1 2
x
− + −
>
− −
◙ Bài 4: Tìm giá trị tham số m để: (DẠNG 4)
Trang 52 15
8
− + + + = có nghiệm
2, m − 1 x − 2 m + 3 x − + = m 2 0 có nghiệm
3, m + 2 x + 2 m + 2 x + 2 m − = 1 0 có nghiệm
3
1
m
+
+ vô nghiệm
5, m + 1 x − 2 m − 1 x + 3 m − = 3 0 vô nghiệm
6) Cho pt: x2+ 2 ( m + 1 ) x + 9 m − = 5 0(*) Tìm m để:
a Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu
b Phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dấu
c Phương trình (*) có 2 nghiệm âm phân biệt
d Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt
7) Cho pt: ( m − 2 ) x2− 2 mx + + = m 3 0(*) Tìm m để:
a Phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu
b Phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dấu
c Phương trình (*) có 2 nghiệm âm phân biệt
d Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt
SUY NGHĨ, TÌM CÁCH GIẢI BÀI TOÁN SAU???☺…
● Cho pt: x4+ − ( 1 2 m x ) 2+ m2− = 1 0 Tìm m để pt:
a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt
● Cho pt: ( m − 2 ) x4− 2 ( m + 1 ) x2+ 2 m − = 1 0 Tìm m để pt:
a) Có một nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt
◙ Bài 5: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x: (DẠNG 5)
1)x2+ 2 ( m − 1 ) x + + > m 5 0; 2) ( m + 1 ) x2− 2 ( m − 1 ) x + 3 m − ≥ 3 0; 3) ( m2+ 4 m − 5 ) x2− 2 ( m − 1 ) x + < 2 0
4)
2
2
0
− + <
2 2
0
◙ Bài 6: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau vô nghiệm: (DẠNG 5)
1)x2+ 2 ( m + 2 ) x − − ≤ m 2 0; 2)( m − 1 ) x2+ 2 ( m − 1 ) x + 3 m − > 2 0 (HD: xem phần CHÚ Ý của DẠNG 5 )
SUY NGHĨ, TÌM CÁCH GIẢI BÀI TOÁN SAU???☺…
Tìm m để bất pt ( m + 1 ) x2− 2 ( m − 1 ) x + 3 m − > 3 0 có nghiệm
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CĂN BẬC HAI
I KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
Trang 6● A = B A B
=
⇔
= −
0
B
≥
⇔ =
= −
≥
= ⇔
=
0
B
≥
= ⇔
=
● A < B ⇔ ( A B − )( A + B ) < 0
● A ≤ B ⇔ ( A B − )( A + B ) ≤ 0 ●
0
A
≥
< ⇔
<
●
0
A
≥
≤ ⇔
≤
<
⇔
> −
≤
⇔
≥ −
2
0 0
A
≥
< ⇔ >
<
●
2
0 0
A
≥
≤ ⇔ ≥
≤
>
⇔
< −
≥
⇔
≤ −
●
2
0 0 0
B A
B
<
≥
> ⇔
≥
>
●
2
0 0 0
B A
B
≤
≥
≥ ⇔
>
≥
CHÚ Ý
● Có nhiều trường hợp phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức
● Đối với những phương trình, bất phương trình chứa căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực hiện theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa
- Chuyển vế sao cho 2 vế đều không âm
- Bình phương cả hai vế để mất căn ( đôi khi ta phải bình phương 2 lần thì mới mất căn được)
II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
◙ Bài 7: Giải các PT, BPT sau:
1, 2 x − = − 3 x 5 2,2 x + = − 1 7 x 3, 2 x + = 3 1 4, 4 x + = 1 x2+ 2 x − 4 5,x2− 2 x + = 8 x2− 1
6, x2− 5 x + = + 4 x 4 7, x2− = − 1 1 4 x 8,x2+ 5 x − 3 x − − = 2 5 0 9,3 x + = − 4 x 2 10,3 x2− = − 2 6 x2
11, x2− 2 x − < 3 3 x − 3 12, x2− − 1 2 x ≤ 0 13, x2− 3 x + + 2 x2> 2 x 14,1 4 − x ≥ 2 x + 1
15, x − ≥ 4 x2− 7 x + 12 16,3 x2− − > x 3 9 x − 2 17, x3− ≥ − 1 1 x 18, 23
1 4
x
− 19,
2 2
4 1 2
+ +
20,
2
2
3 1
x − + < x
+ + 21,
2 2
1 4
x − + ≤
− 22,2 x + > − 5 7 4 x 23,
2
x − > x − x +
◙ Bài 8: Giải các PT, BPT sau:
(PT căn cơ bản A = B , A = B)
1, 7 x + = 1 2 x + 4 2, x2+ 2 x + = 4 2 − x 3, 3 x2− 9 x + = − 1 x 2 4, 2 x2+ + − = 8 x 7 2 x
5, 2 x − + = 1 2 x 6, x2− 3 x = 2 x + 4 7, 4 6 − x − x2 = − x 4 8, 3 x2+ 6 x − − 2 4 x + = 3 0
(BPT căn cơ bản A < B , A ≤ B)
9, x + < 7 x 10, x + ≤ + 2 x 1 11, x2+ + < 3 x 3 2 x + 1 12, ( x − 3 2 )( − x ) < 2 x + 3
13, x2− ≤ + 3 x 1 14, 5 x − x2 < − 3 x 15, x − 6 x − 12 ≤ − x 1 16, 1 − + x 2 x2− − < 3 x 5 0
Trang 717, 21 4 − x − x2 ≤ + x 3 18, 2 ( 1 )
2
x x
x
+ + <
−
( A > B , A ≥ B)
19, 2 x − > x 21, 2 x + 14 ≥ + x 3 22, x2− 2 x ≥ − 1 x 23, x2− − 5 x 24 > + x 2
24, ( x + 3 )( x + 4 ) > − 6 x 25, − − − x2 8 x 12 ≥ + x 4 26, x2− > − 1 x 3 27, 4 x2− 3 x > 2 x + 3
28, 2 x2+ 7 x + ≥ + 5 x 1 29, - -8 -12 x2 x > + x 4 30, − + x2 6 x − ≥ − 5 8 2 x 31, 1 4 − x ≥ 2 x + 1
(PT căn Đặt ẩn phụ)
32, 2 x2− 9 x + 9 x − 2 x2 + = 6 0 33, 2 x2+ 6 x + 3 x2+ 3 - 3 -11 0 x = 34, 3 x2+ 15 x + 2 x2+ 5 x + = 1 2
35, x2+ 2 x = − 2 x2− 4 x + 3 36, ( x + 1 )( x + 2 ) = x2+ 3 x − 4 37, x2+ 3 x + 12 = x2+ 3 x
(PBT căn Đặt ẩn phụ)
38, x2− 4 x + ≥ 5 2 x2− 8 x 39, 6 x2− 12 x + < 7 x2− 2 x 40, 4 x − x2 ≤ 2 x2− + 8 x 3
41, 3 x2+ 6 x + 4 < 2 − 2 x − x2 42,( x + 1)( x + ≤ 4) 5 x2+ 5 x + 28 43,( x + 5 )( x − + 2 ) 3 x x ( + > 3 ) 0
44,2 x2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x2 > 1 45, 6 ( x − 2 )( x − 32 ) ≤ x2− 34 x + 48 46 x x ( + ≤ − − 3 ) 6 x2 3 x
47,( x + 4 )( x + − 1 ) 3 x2+ 5 x + < 2 6 48,2 x x ( − + > 1 1 ) x2− + x 1
(PT, BPT đưa về PT, BPT căn cơ bản)
3
x
x
− + − >
− − 51,
2
x
− + − ≥ 52,
2
2 1
x
− 53,
2
x
− − − <
+
(Bình phương 2 vế)
54, x + − 2 x − ≥ 6 2 55, 22 − − x 10 − < x 2 56, 1 − x2+ < 1 3 − x2 57, 2 x + + 3 x + ≤ 2 1
58, x + > 1 3- x + 4 59, x − + 1 x − > 2 x + 3 60, 2 x + ≤ 1 2 x − x − 1 61, x + 3 - 7 - x > 2 -8 x
62, x + 3 - x -1 ≥ x - 2 63, x + 2 - 3- x < 5 - 2 x 64, x + − 4 1 − = x 1 2 − x
65, 3 x2+ 5 x + − 7 3 x2+ 5 x + > 2 1 66, x x ( + + − 6 ) 9 x2− 6 x + > 9 1
(PT, BPT đưa về dạng tích)
67,( x + 2 ) ( x + 3 )( x + 4 ) < 0 68,( x − 2 ) x2+ ≤ 4 x2− 4 69,( x − 3 ) x2− ≤ 4 x2− 9
70,( x + 2 ) x2− − ≤ 3 x 4 x2− 4 71,( x + 1 16 ) x + 17 8 = x2− 15 x − 23 72, ( 2 )
2
x
x x
−
≤ +
−
73, x2+ − + x 2 x2+ 2 x − ≤ 3 x2+ 4 x − 5 74, 2 x2+ 8 x + + 6 x2− = 1 2 x + 2 75,
2 2
x
x
x − ≤ +
76, x2− + + 3 x 2 x2− 4 x + ≥ 3 2 x2− 5 x + 4
Chúc các em học tốt!!!
SÁCH THAM KHẢO MỚI NHẤT CHO NĂM HỌC 2019-2020
Trang 8Bộ phận bán hàng:
0918.972.605
Đặt mua tại:
https://goo.gl/forms/nsg1smHiVcjZy1cH2
Xem thêm nhiều sách tại:
http://xuctu.com/
Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com
fb/quoctuansp
Đọc trước những quyển sách này tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/