Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

PHẦN MỞ ĐẦUTrong môn hình học nói chung và môn hình học cấp trung học cơ sở nói riêng, mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng luôn là đề tài xuyên suốt quá trình học của các em học sinh,

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong môn hình học nói chung và môn hình học cấp trung học cơ sở nói riêng, mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng luôn là đề tài xuyên suốt quá trình học của các em học sinh, nó là nền tảng của các hình, các góc, các cạnh, … Trong đó, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đóng một vai trò không nhỏ trong việc tìm ra lời giải của các bài toán liên quan đến điểm và đường thẳng

Bộ môn toán hình học đòi hỏi tư duy và trừu tượng, chính vì thế người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm

"Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh

của mình nắm vững các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp học sinh tư duy logic với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

Giúp HS hiểu và nắm chắc cách giải, dạng toán về “Chứng minh ba điểm thẳng hàng” Đồng thời rèn cho HS khả năng phân tích, khái quát hóa, tổng hợp phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo sự say mê, hứng thú không còn lúng túng, ngần ngại khi gặp bài toán này Giúp HS thấy được ý nghĩa của việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải quyết những bài toán khác

- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học

- Tổ chức cho học sinh ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau mỗi chuyên đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh (đề ra dạng như đề thi để học sinh làm quen dần)

- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập phong phú cho học sinh luyện tập không chỉ trên lớp mà cả ở nhà

- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết tâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu Động viên, khích lệ học sinh thường xuyên và liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học sinh trong từng buổi học

- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là 2 lần bằng những bài toán tương tự trên lớp Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về nhà cho các em luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng toán đã được ôn tâp

- Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

Đề tài được áp dụng cho HS lớp 7, 8,

Đề tài thực hiện trong những giờ luyện tập, ôn tập, phụ đạo, ôn thi

PHẦN NỘI DUNG

A CƠ SỞ KHOA HỌC:

Chương trình Giáo dục của nước ta trong giai đoạn hiện nay với mục tiêu nhằm tạo ra con người phát triển một cách toàn diện Muốn vậy, ta phải đổi mới phương pháp dạy học, khắc phục cách truyền thụ kiến thức một chiều, thụ động mà cần phải hình thành và rèn luyện cho HS tư duy độc lập sáng tạo, áp dụng được phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại, sử dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy và học tập.Tích cực tự học, tự nghiên cứu để tìm hiểu vấn đề một cách sâu sắc Vận dụng kiến thức vào thực tiễn một cách linh động, từ đó tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh

B THỰC TRẠNG:

- Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về chứng minh ba điểm thẳng hàng đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo và cũng chưa thấu hiểu các định lý cũng như các tiên đề của hình học

- Khi gặp một bài toán chứng minh ba điểm thẳng hang học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học

- Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau

- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó

- Khảo sát thực tiễn:

Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải Để thực hiện đề tài này tôi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:

Tæng sè

HS

XÕp lo¹i

Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về chứng minhba điểm thẳng hàng Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp dưới đây:

C NỘI DUNG:

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:

- Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong các đề thi học kỳ cũng như tuyển sinh, không lạ mấy nhưng khó chứng minh đối với học sinh, học sinh thường lúng túng khi giải vì chưa nắm cơ sở

để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết hình học liên quan đến dạng toán này

- Ta có thể hiểu ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng, và việc chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải xây dựng trên các cơ

sở hình học, ví dụ như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường trong tam giác,

- Các bài tập chứng minh ba điểm thảng hàng có rất nhiều trong các loại sách tham khảo, sách nâng cao, hay các thông tin khác nhưng chỉ ở tính chất còn chung chung, chưa phân loại, chưa phân thành những dạng cụ thể vì vậy các

em học sinh khó nắm vững phương pháp giải cho nhiều loại bài toán, các em còn mơ hồ không biết sử dụng như thế nào? Ở đây, đề tài tôi đưa ra không xa

lạ mấy về mặt kiến thức so với các loại sách tham khảo chỉ khác hơn là tôi đã phân loại các phương pháp cụ thể hơn, rõ ràng hơn, từ dễ đến khó Vì điều kiện cho phép nhất định tôi chỉ đưa ra một số phương pháp và một số dạng bài tập

cơ bản nhất

2 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

Thực hiện việc cải tiến, đổi mới phương pháp dạy và học gây sự say mê hứng thú cho HS, GV phối hợp nhiều phương pháp trong cùng một bài giảng nhằm giúp HS nắm được các bước phân tích đa thức thành nhân tử, vận dung tốt kiến thức đã học vào bài tập Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ

3 SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC:

Ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy là nhu cầu rất cần thiết đối với tất cả các môn học, trong đó có môn toán và đặc biệt là toán hình học Việc dạy bài này cần có những hình ảnh và hiệu ứng minh họa , tạo ra những hình ảnh trực quan sinh động , một số trò chơi giúp các em khắc sâu kiến thức hơn Giáo viên cho học sinh nắm vững các định nghĩa, định lý và tiên đề của việc chứng minh ba điểm thẳng hàng

Định nghĩa: Ba điểm thẳng hàng là ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng

4 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

4.1.Sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, đường phân giác của một góc:

A Kiến thức cơ bản:

OA OB

CA CB

DA DB

�

 ��

�

C, O và D thẳng hàng;

LA,KB Ox;

LC, KD Oy

, L, K

LA = LC

KB = KD

O

�

 ���

�

�

thẳng hàng

B Bài tập

Bài 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm K và H sao cho AK =AH Gọi I là giao điểm của BH và DK

Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng

Chứng minh:

Xét  ADK và ABH, ta có:

AK = AH (gt )

KAD� là góc chung;

AD = AB (gt )

 ADK = ABH (c.g.c)

 �ADK ABH �

Mà ADK IDB  ADB;  ABH  IBD ABD�  � � � �  �

�ADB ABD  � (vì tứ giác ABCD là hình thoi)

 �IDB IBD  �  Tam giác IBD cân, do đó IB = ID

Vậy: AB = AD; IB = ID; OB = OD

Do đó ba điểm A, I, O cùng nằm trên đường trung trực của BD

Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng

Bài 2:

Cho  ABC cân tại A, AH là phân giác của góc BAC (H  BC) Qua điểm B vẽ đường vuông góc với AB và qua điểm C vẽ đường vuông góc với

AC, chúng cắt nhau tại O Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng

Giải : (Nhiều cách )

Chứng minh:

(AB =AC, AO cạnh chung, �ABO ACO 90�  0)

 BAO CAO�  �

 AO là phân giác của BAC�

Mà AH cũng là phân giác của BAC�

Do đó ba điểm A, H, O thẳng hàng

Mà AH là đường phân giác của  ABC cân tại A

Do đó AH cũng là đường trung trực của BC

 Ba điểm A, H, O thẳng hàng

Bài 3: Tam giác ABC vuông ở A có AB = 15cm, BC = 25cm Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC ở D Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) ở N

a) Chứng minh: Ba điểm B, C, D thằng hàng

b) Chứng minh: Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng

Chứng minh:

a) Ta có D là giao điểm của hai đường tròn đường kính AB và AC

ADB� = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

ADC� = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

Do đó �ADB ADC� =180o

 Ba điểm B, D, C thẳng hàng

b) Ta có OO’ là đường nối tâm của hai đường tròn

AD là dây chung  OO’ là đường trung trực của AD

Ta có: �DM = MC (gt)�

Do đó DAM MAC�  � (cùng chắn hai cung bằng nhau)

Mà góc MAC hay góc NAC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN

ADN� là góc nội tiếp chắn cung AN

 �NAC  ADN  � mà NAC = DAM� �

 �DAM =ADN  AND cân tại N  NA = ND �

 N nằm trên đường trung trực của AD

 Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.

4.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit và hệ quả:

A Kiến thức cơ bản

- Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a, kẻ được duy nhất một

đường thẳng song song với a.

- Hệ quả: Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a, kẻ được duy nhất một đường

thẳng vuông góc với a.

BA// a, BC// a AC  a , BC  a  A, B, C thẳng hàng  A, B, C thẳng hàng (hay AB  a, BC  a  A, B, C thẳng hàng)

B Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ các trung tuyến BD và CE, trên các tia đối của các

tia EC và DB lấy thứ tự các điểm M và N sao cho EM = EC, DN = DB Chứng minh ba điểm M, A và N thẳng hàng

Chứng minh:

Tứ giác MACB có EA = EB, EM = EC (gt)

 Tứ giác MACB là hình bình hành

 AM//BC (1)

Chứng minh tương tự, ta có AN//BC (2)

Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơclit suy ra AM AN�

Hay ba điểm M, A và N thẳng hàng

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, I, K, N lần lượt là trung điểm

của AD, BD, AC, BC Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng

Chứng minh:

* Xét hình thang ABCD có:

M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC

 MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

 MN //AB, MN // CD (1)

* Xét ADC, ta có:

M là trung điểm của AD, K là trung điểm của AC

 MK là đường trung bình của ADC

 MK // DC (2)

Từ (1) và (2)  M, K, N thẳng hàng (*)

* Xét BDC, ta có I là trung điểm của BD, N là trung điểm của BC

 IN là đường trung bình của BDC

 IN // DC (3)

Từ (1) và (3)  M, I, N thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng

4.3 Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng:

A Kiến thức cơ bản

* Tính chất:

Nếu AM + MB = AB thì M nằm giữa A và B.

B Bài tập: Cho tứ giác ABCD Gọi M, I và N thứ tự là trung điểm của AD, BD

và BC Chứng minh rằng MN AB CD

2



 thì M, I và N thẳng hàng và tứ giác ABCD trở thành hình thang

Chứng minh:

Giả sử MN AB CD

2



 (1)

Vì MA = MD, IB = ID nên MI là đường trung bình của tam giác ADB

Suy ra MI // AB và MI 1AB

2

Chứng minh tương tự, ta cũng có NI //DC và NI 1CD

2



Mà MN AB CD

2



 =1AB 1CD

2  2 hay MN = MI + NI.

Từ đó suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I và N thẳng hàng

Lúc đó ta có AB//CD (vì cùng song song với MN)

Do đó tứ giác ABCD là hình thang

Vậy nếu MN AB CD

2



 thì M, I, N thẳng hàng và tứ giác ABCD là hình thang

4.4 Sử dụng tính chất của góc bẹt:

A Kiến thức cơ bản:

AOC BOC AOB 180    thì

ba điểm A, O và B thẳng hàng

B Bài tập:

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ các đường kính

AC và AD của hai đường tròn Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng

Chứng minh:

Ta có: Góc ABC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 ABC = 90o

Góc ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

 ABD = 90o

 ABC  ABD  CBD 180  � � �  o  Ba điểm C, B, D thẳng hàng

Bài 2: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn (O), M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC, AB Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng

Chứng minh:

Xét tứ giác MDBF, ta có:

�MDB 90 o (vì MD BC)

MFB 90�  o (vì MF AB)

 �MDB MFB 180 �  o

 Tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn

 BDF BMF�  �

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Xét tứ giác MDEC, ta có: �MDC 90 o(vì MD BC)

MEC 90�  o(vì ME AC) Hai đỉnh D và E cùng nhìn xuống cạnh MC dưới một góc bằng 90o

Nên tứ giác MDEC nội tiếp được trong đường tròn

EDC EMC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn vì bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn

ABM ACM 180 

Mà ABM MBF =180�  � o(hai góc kề bù)

ACB MBF

� Xét vuông BMF và vuông CME có �ECM EMC 90 �  o

MBF BMF 90  , mà �ECM MBF  �  �EMC BMF �

 �BDF EDC   � , mà �BDF FDC 180 �  o

 EDC FDC 180�  �  o

 Ba điểm D, E, F thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD vuông góc với AB

(CA<CD) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H; EH cắt CA ở F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDFE nội tiếp;

b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng

Chứng minh:

a) Ta có: EF//CD (cùng vuông góc với AB)

 HEA ADC�  � (slt) (1)

Vì ABCD  AB là trung trực của CD,

hay tam giác ACD cân tại A

 ADC ACD�  � (2)

Từ (1) và (2) suy ra �FED FCD �

 Tứ giác CDFE nội tiếp

b) Vì tứ giác CDFE nội tiếp,

mà ECF 90�  0 (do góc nội tiếp ACB chắn đường kính)

 �EDF ECF 90 �  0

Mà �ADB 90 0 (góc nội tiếp chắn đường kính)

 �EDF EDB 90�  0, hay ba điểm B, D, F thẳng hàng

4.5 Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trong tam giác:

* Tính chất: Trong một tam giác, ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba

đường phân giác, ba đường trung trực thì đồng quy

* Bài tập: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E

là điểm đối xứng của A qua B; F là giao điểm của BC và ED; G là giao điểm của

BC và OE; H là giao điểm của EC và OF Chứng minh rằng ba điểm A, G và H thẳng hàng

Chứng minh:

* Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Nên OA = OC  EO là trung tuyến của EAC

Điểm E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm

của EA Suy ra CB là trung tuyến của EAC

Điểm G là giao điểm của BC và EO,

nên G là trọng tâm của EAC (1)

* Mặt khác ta có: ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB = CD

 BE//CD và BE = CD  BECD là hình bình hành

 F là trung điểm của BC và ED

Ta có OF là đường trung bình của BAC nên OF//AB

 OH//AE, mà O là trung điểm của AC  HE = HC

Do đó AH là đường trung tuyến của EAC (2)