H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.. Do đó : Tứ giác BEDF là hình bình hành. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Chứng minh ba đường[r]
Trang 1CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI
HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Tham gia Nhóm: Chuyên đề Toán THCS để cập nhật nhiều hơn Tại: https://www.facebook.com/groups/chuyen.de.toan.thcs/
Hướng dẫn giải
H' 1
1
3 2 1 E
N H
M O
D
C
B A
a Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
B =C = Mặt khác: BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c g.c)
⇒ OE = OM và O1 =O3
Lại có O +O = 0
90
BOC= vì tứ giác ABCD là hình vuông
Câu 1 : Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ
thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên
cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân
b) Chứng minh : ME // BN
c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H
thẳng hàng
Trang 22 1
O +O = 0
90
EOM = kết hợp với OE = OM ⇒∆OEM vuông cân tại O
b Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông ⇒ AB = CD và AB // Chọn đáp án D
+ AB // CD ⇒ AB // CN ⇒ AM BM
MN = MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*)
Ta có : AM AE
MN = EB ⇒ ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
c Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ⇒OME=OH E' ( cặp góc so le trong)
45
OME= vì ∆OEM vuông cân tại O
0 1
⇒∆OMC ∼ ∆BMH’ (g.g)
'
OM MH
OB MC
⇒ = ,kết hợp OMB=CMH'( hai góc đối đỉnh)
⇒∆OMB ∽ ∆CMH’ (c.g.c) 0
OBM MH C
BH C=BH M +MH C= ⇒CH' ⊥BN
Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN) ⇒ H ≡ H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)
Hướng dẫn giải
a Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO= ∆DFO g( − −c g)
Suy ra: BE = DF
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo
BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2
Trang 3Do đó : Tứ giác BEDF là hình bình hành
b Ta có: ABC= ADC⇒HBC=KDC
Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK g( −g)
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
O
F
E
K
H
C
A
D B
c Chứng minh : ∆ AFD∼ ∆AKC g( −g) AF AK AD AK A F AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD∼∆AHC g( −g) CF AH
CD AC
Mà : CD = AB CF AH AB AH. CF AC.
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm)
Hướng dẫn giải
a Chứng minh: AE=FM=DF
⇒ AED∆ = ∆DFC ⇒ đpcm
Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD
Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD
a Chứng minh: DE=CF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Trang 4b DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC⇒ đpcm
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
⇒ + = không đổi
AEMF
⇒ = lớn nhất ⇔ ME=MF (AEMF là hình vuông)
M
⇒ là trung điểm của BD
Hướng dẫn giải
a Lập luận để có
BD
OD AB
OM
= ,
AC
OC AB
ON
=
Lập luận để có
AC
OC DB
OD
=
Câu 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O
Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC
theo thứ tự ở M và N
a, Chứng minh rằng OM = ON
b, Chứng minh rằng
MN CD AB
2 1 1
=
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính
SABCD
Trang 5AB
ON
AB
OM
= ⇒ OM = ON
b, Xét ∆ABDđể có
AD
DM AB
OM
= (1), xét ∆ADCđể có
AD
AM DC
OM
= (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
CD AB
1 1
+ )= + = = 1
AD
AD AD
DM AM
từ đó có (OM + ON).( 1 + 1 ) = 2
CD
MN CD AB
2 1 1
= +
C
OD
OB
S
S
AOD
OD
OB S
S
DOC
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC
S
S
⇒ S AOB.S DOC =S BOC.S AOD Chứng minh được S AOD =S BOC
) (
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
Hướng dẫn giải
1 + Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung
+ CD CA
CE =CB (∆CDE ∽ ∆ CAB đồng dạng)
Câu 5:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC)
Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D
cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ
dài đoạn BE theo m=AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác
BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
+
Trang 6Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC=ADC=1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB= 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE=AB 2 =m 2
2 Ta có: 1 1
BC = ⋅BC = ⋅ AC (do ∆BEC ∽∆ADC)
mà AD=AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ⋅AC = ⋅ AC = AB = BE (do ∆ABH ∼∆CBA)
Do đó ∆BHM ∼∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM =BEC= 135 0 ⇒AHM = 45 0
3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Suy ra: GB AB
GC = AC , mà AB ED( ABC DEC) AH (ED//AH) HD
AC = DC ∆ ∼ ∆ = HC = HC
GC = HC ⇒GB GC = HD HC ⇒BC = AH HC
Hướng dẫn giải
a Tứ giác ABCK có:
Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường
thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng
song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I Chứng minh rằng:
a) DK = CI
b) EF // CD
c) AB2 = CD.EF
Trang 7AB // CK (AB // CD, K∈ CD)
AK // BC (gt)
⇒ ABCK là hình bình hành
⇒ CK = AB
⇒ DK = CD – CK = CD – AB (1)
Chứng minh tương tự, ta có DI = AB
⇒ IC = CD – DI = CD – AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC
I
F
K
E
B A
b ∆DEK có AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AE=AB
EK DK (3)
∆FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AF=AB
FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra: AE=AF
∆AKC có AE=AF
EK FC ⇒ EF // KC (định lý Ta-lét đảo) ⇒ EF // CD
c Ta có: AB=CK
CD CD (vì AB = CK) (6)
∆BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:
Trang 8CK=BE
CD BD (7) ∆BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:
BE =EF
BD DI
Mà DI = AB
Suy ra: BE =EF
BD AB (8)
Từ (6), (7), (8) suy ra: AB=CK
BE
= BD
EF
= AB
CD
EF
=
AB
⇒ AB2 = CD EE
Hướng dẫn giải
1 Ta có DAM = ABF(cùng phụ BAH)
AB = AD ( gt)
BAF = ADM = 90 (ABCD là hình vuông)
⇒ ΔADM = ΔBAF(g.c.g)
=> DM=AF, mà AF = AE (gt)
Nên AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Câu 7: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD
lấy điểm F sao cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF
3 Chứng minh rằng: 12 = 1 2 + 1 2
Trang 9Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác 0
DAE = 90 (gt)
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b Ta có ΔABH ∼ ΔFAH (g.g)
=
=> hay BC =BH
AE AH ( AB=BC, AE=AF) Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH)
⇒ ∼ (c.g.c)
2 ΔCBH
ΔEAH
=
, mà ΔCBH
ΔEAH
S
= 4
S (gt)
2 BC
= 4 AE
nên BC2 = (2AE)2
⇒ BC = 2AE ⇒ E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
3 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
Trang 10⇒ AD =AM
=
⇒ Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
MN= MC AB = MC
AN MN
⇒
(Pytago)
⇒
AM AN AD
=> + = (đpcm)
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh ∆EBD đồng dạng với ∆ECA (g-g)
- Từ đó suy ra EB ED .
EA EB ED EC
EC = EA ⇒ = b) Kẻ MI vuông góc với BC (I∈BC) Ta có ∆BIM đồng dạng với ∆BDC (g-g)
BM BI
BM BD BI BC
BC BD
Tương tự: ∆ACB đồng dạng với ∆ICM (g-g) CM CI CM CA. CI BC.
BC CA
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh
AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này
cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi
c) KẻDH ⊥BC (H∈BC) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ⊥PD
Trang 11Từ (1) và (2) suy ra 2
BM BD+CM CA=BI BC+CI BC=BC BI+CI =BC (không đổi)
I P
Q
H
E
D
A
M
c) Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆DHC (g-g)
2 2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
- Chứng minh ∆DPB đồng dạng với ∆CQD (c-g-c)⇒BDP=DCQ
mà BDP+PDC=90o⇒DCQ+PDC=90o⇒CQ⊥PD
Hướng dẫn giải
a/ Ta có
BD
OB AC
OA
= Do MN//DC⇒
DC
ON DC
OM
= ⇒OM=ON
b/ Do MN//AB và CD ⇒
AD
AM CD
OM
= và
AD
DM AB
OM
=
Câu 9:Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD
(AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại
M và N
a) Chứng minh OM=ON
b) Chứng minh
MN CD AB
2 1 1
=
c) Biết S AOB =a2;S COD =b2.Tính S ABCD ?
d) Nếu 0
90 ˆ
ˆ <C<
D Chứng minh BD > AC
Trang 12Do đó: OM OM AM MD 1
DC AB AD
+
Tương tự: + = 1
AB
ON DC
ON
(2)
Từ (1);(2) ⇒ + =2
AB
MN DC
MN AB DC
2 1 1
= + c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng
Do vậy :
OD
OB S
S
AOD
OC
OA S
S
COD
Nhưng
OC
OA OD
OB
= ⇒
COD AOD AOD
AOB
S
S S
S
=
.
S
S AOD = AOB COD = nên S AOD =ab
Tương tự S BOC =ab.Vậy ( )2
b a
S ABCD = + d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
90
ˆ
ˆ <C<
D nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có A EˆD=B CˆD=Cˆ >Dˆ ⇒AD > AE
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC ⇒DH>KC⇒DK > CH
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
DB =BK +DK > AH +CH = AC (Do 2 2
)
AH =BK ⇒BD>AC
Trang 13ĐẶT BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 8-NH-2020-2021
Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo) Đặt mua tại: https://xuctu.com/
Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online tại biểu mẫu:
https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89
Trang 14
Hướng dẫn giải
a Trước hết chứng minh: HD
AD = ( )
S HBC
S ABC
Tương tự có: ( )
HE S HCA
BE = S ABC ; ( )
HF S HAB
CF = S ABC
Nên HD HE HF
AD + BE +CF = ( ) ( ) ( )
S HBC S HCA S HAB
S ABC
+ + ⇒ HD HE HF
AD+ BE+CF = 1
b Trước hêt chứng minh ∆BDH∼ ∆BEC ⇒BH.BE = BD.BC
Và ∆CDH∼ ∆CFB ⇒ CH.CF = CD.CB
⇒BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)
O
K I
N
M
E
H F
A
D B
C
Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau
tại H
a Tính tổng: HD HE HF
AD + BE +CF
b Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2
c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF
d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN
Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố
Trang 15c Trước hết chứng minh: ∆AEF ∼ ∆ABC ⇒ AEF =ABC
Và ∆CDE∼ ∆CAB ⇒ CED=CBA
⇒ AEF=CED mà EB⊥AC nên EB là phân giác của góc DEF
Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có
∆OMH = ∆ONC (c.c.c) ⇒ OHM =OCN.(1)
Mặt khác ta cũng có ∆OCH cân tại O nên:OHC=OCH.(2)
Từ (1) và (2) ta có: OHC=OHB⇒HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O là điểm
cố định
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
Hướng dẫn giải
1 + Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE ⊥ KM
+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi
Câu 11: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh
BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD tại E Đường thẳng
qua M song song với AB cắt AI tại N
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh
2/ Chứng minh: AK2 = KC KE
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam
giác CME luôn có chu vi không đổi
Trang 16E I
G K
B A
M
2: + Từ tính chất hình vuông có ∠ACK = 45 0
+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM
3: + Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK
nên EK = MB + ED
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK
Nên AI là trung trực của MK
Do đó ME = EK
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a
4: + Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó
2 2
1 1
AG
AM + = 1 2 1 2
AG
AK + + Tam giác AKG vuông tại A nên AK AG = KG AD = 2 dt AKG, do đó AK2
AG2 = KG2 AD2
+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có
AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay 22 22 12
AK
AG AK
=
+ , suy ra
2 2
1 1
AG
AK + = 12
a
Câu 12: Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a Một điểm M
chuyển động trên cạnh DC (M≠D, M≠C) chọn điểm N trên cạnh BC sao
cho ∠MAN = 45o, DB thứ tự cắt AM, AN tại E và F
1 Chứng minh: ° ABF # °AMC
2.Chứng minh ∠AFM = ∠AEN = 90o
Trang 17Hướng dẫn giải
I H F
E
N
M
B A
1 Chứng minh: ∆ ABF ∽ ∆ AMC
45
-BAF =MAC ( vì cùng cộng với góc 0
45
CAN = bằng 450 ) suy ra : ∆ ABF ∽ ∆ AMC
2 Chứng minh: AFM = AEN 90= o
Từ∆ ABF ∽ ∆ AMC (g.g)
AC
AM AB
AF AC
AB
AM
AF
=
⇔
=
45
MAF =BAC= (2)
Từ 1 và 2 => ∆ AFM ∽ ∆ ABC
=> AFM =ABC 90= o
C/M hoàn toàn tơng tự có: 0
90
3 Chứng minh S∆ AEF =
2
1
S∆ AMN
4 Chứng minh chu vi ∆ CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
5 Gọi H là giao điểm của MF và NE Chứng Minh: MH.MF + NH.NE =
CN2 + CM2
Trang 183 S ∆ AEF = 1/2 S ∆ AMN
Có ∆ AFM ∽ ∆ AEN =>
AN
AE AM
AF
=
=> ∆ AEF = ∆ AMN (c.g.c) => ( )2( 1 )
AM
AF SAMN
SAEF
=
45 , 90
=> ∆ AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2
=> 2
)
(
AM
AF
=
2
1
Thay vào (1) ta đợc
SAMN
SAEF
=
2
1 hay: S ∆ AEF = 1/2 S ∆ AMN
4 C/M chu vi ∆ CMN không đổi
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
∆ ADK = ∆ ABN => AK = AN vàBAN = DAK
do đó ∆ AMN = ∆ AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi ∆ CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi ∆ CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC
5 Chứng Minh: MH.MF + NH.NE = CN2 + CM2
Kẻ HI ⊥ MN tại I
- Cm: ∆ MHI ∽ ∆ MNF => MH.MF =MI.MN
- Cm: ∆ NHI ∽ ∆ NME => NH.NE =NI.NM
- suy ra: MH.MF + NH.NE =MI.MN + NI.NM = MN( MI+NI ) = MN2
- áp dụng định lí Pitago vào ∆ CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2
Vậy: MH.MF + NH.NE = MC2 +CN2
Trang 19Hướng dẫn giải
G
N
D
K
I
M
H
F
E A
a Ta có ∆AEC ∼ ∆BFC (g-g) nên suy ra CE CA
CF =CB
Xét ∆ABC và ∆EFC có CE CA
CF =CBvà góc C chung nên suy ra ∆ABC ∼ ∆EFC ( c-g-c)
b Vì CN //IK nên HM ⊥CN ⇒ M là trực tâm ∆HNC
⇒MN ⊥CH mà CH ⊥ AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD
Câu 13: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) Các đường cao AE, BF cắt nhau
tại H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với
HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K
a Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆EFC
b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt
AH, AB theo thứ tự tại N và D Chứng minh NC = ND và HI = HK
c Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh:AH BH CH 6
HE+HF +HG >
Trang 20⇒IH = IK ( theo Ta let)
AH
+ Tương tự ta có BHC BHA
AHC
S S BH
BF S
+
= và BHC AHC
BHA
CH
+
=
HE + HF + HG = AHC ABH
BHC
S
+ + BHC BHA
AHC
S
+ + BHC AHC
BHA
S S S
+
= AHC ABH
S + S + BHC BHA
S +S + BHC AHC
S + S ≥6 Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng
***************