BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 NHỮNG hđt ĐÁNG NHỚ

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚA... Chứng minh rằng: a Tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương... Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A LÝ THUYẾT: Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

a b + = a + 2ab b +

a b − = − a 2ab b +

3) a 2 − b 2 = −(a b a b) ( + )

a b + = + a 3a b 3ab + + b = + + a b 3ab a b +

a b − = − a 3a b 3ab + − b = − − a b 3ab a b −

6) a b 3 + 3 = +(a b a ab b) ( 2 − + 2)

7) a b 3 − 3 = −(a b a) ( 2 + + ab b 2)

a b c + + = + a b + + c 2ab 2ac 2bc + +

a a + + + a = + + + + a a a 2a a

+ 2a a 2a a 1 3 + + 1 n + 2a a 2a a 2 3 + + 2 n + + 2a a n 1 n− 10) a n − b n = −(a b a) ( n 1 − + a b a b n 2 − + n 3 2 − + + a b 2 n 3 − + ab n 2 − + b n 1 − ) với n N ∈ * 11) a 2k − b 2k = +(a b a) ( 2k 1 − − a 2k 2 − b a + 2k 3 2 − b a b − − 2 2k 3 − + ab 2k 2 − − b 2k 1 − )

12) a n + b n = +(a b a) ( n 1 − − a b a b a b n 2 − + n 3 2 − − + 2 n 3 − − ab n 2 − + b n 1 − ) với n lẻ

B BÀI TẬP:

Bài 1 Rút gọn biểu thức:

a) ( 2 2 2) (2 2 2 2)2

a + b + c − a − b − c

b) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2

a b c + + − + a b − + b c − + c a

Giải :

a) ( 2 2 2) (2 2 2 2)2

a + b + c − a − b − c

b) ( ) (2 ) (2 ) (2 )2

a b c + + − + a b − + b c − + c a

= + + + a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca + + −(a 2 + + b 2 2ab) (− b 2 + + c 2 2bc) (− c 2 + + a 2 2ca)

= + + +a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a+ + − − −2 b2 2ab b− − −2 c2 2bc c− − −2 a2 2ca

= −(a 2 + + b 2 c 2)

Bài 2 Tính giá trị biểu thức:

a) A 123 123 154 = ( + )+ 77 2

b) B 85= 2+752+652+552−452−352−252−152

c) C 1= − + − + +2 22 32 42 20152−20162

d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1)

e)

E

=

−

Giải:

a) Ta có: A 123 123 154 = ( + ) + 77 2 = 123 2 + 123.154 77 + 2

2 2 ( )2

b) Ta có: B 85= 2+752+652+552−452−352−252−152

c) C 1= − + − + +2 22 32 42 20152−20162

2033136 2

d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1) = 324 – (312 + 1)(312 – 1) = 324 – (324 – 1) = 1

e)

2

135 65

E

+

Bài 3 Tính giá trị biểu thức:

a) A x= 6−6x5+6x4−6x3+6x2−6x 6+ với x = 5.

b) B x= 6−50x5+50x4−50x3+50x2−50x 50+ với x 49

c) C x= 3+3x2+3x với x = 99

d) D 3 x = ( 2 + y 2) (− 2 x 3 + y 3) với x + y =1

e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015 với x+y =101

Giải:

a) Ta có: x 5= ⇒ + =x 1 6 Suy ra:

b) Ta có: x 49= ⇒ + =x 1 50 Suy ra:

C x = + 3x + 3x x = + 3x + 3x 1 1 + − = x 1 + − = 1 99 1 + − = 1 999999

d) D 3 x = ( 2 + y 2) (− 2 x 3 + y 3) = 3x 2 + 3y 2 − 2 x y x( + ) ( 2 − xy y + 2)

= 3x 2 + 3y 2 − 2 x( 2 − xy y + 2) = x 2 + 2xy y + 2 = 1

e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015

= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (3x2 + 3y2 + 6xy) + (3x + 3y) + 2015

= (x + y)3 – 3(x + y)2 + 3(x + y) – 1 + 2016

= (x + y – 1)3 + 2016 = 1003 + 2016 = 1002016

Bài 4

a) Cho

1 D

b) Tính

Giải:

a) Đặt

, ta có:

2 2011

2013 = − 2013 = −

và

2013.2015 = 2015 2013 =

2015 155 1

155

D

b) Đặt

, ta có:

1975

* Nhận xét: Khi tính giá trị một biểu thức, tùy từng trường hợp có thể thay số

bằng chữ hoặc thay chữ bằng số cho phù hợp để bài toán đơn giản, thuận lợi hơn

Bài 5

a) Rút gọn biểu thức: A 24 5 = ( 2 + 1 5) ( 4 + 1 5) ( 8 + 1 5) ( 16 + 1)

b) So sánh A 10 9 = ( 2 + 1 9) ( 4 + 1 9) ( 8 + 1 9) ( 16 + 1) và B 9= 32 −1

Giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

A 10 9 = + 1 9 + 1 9 + 1 9 + = + 1 9 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1

( ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 16 ) 32

Vậy B = 8A

Bài 6 So sánh:

a) 2011.2013 + 2012.2014 và 20122 + 20132 – 2

b)

x y

x y

−

+ và

2 2

− + + với x > y >0

Giải:

a) Ta có:

* Cách 1: 2011.2013 + 2012.2014 = (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 20122 – 1 + 20132 – 1 = 20122 + 20132 – 2

* Cách 2: 20122 + 20132 – 2= = 20122 – 1 + 20132 – 1

= (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 2011.2013 + 2012.2014

b) Với x > y > 0, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

x y x y

Bài 7 Tìm x, y, z biết:

5x x 3 x 3 − + − 2x 3 − − 5 x 2 + + 34x x 2 + = 1

x − 2x y + + 4y 5 + + − z 3 = 0

c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

Giải:

5x x 3 x 3 − + − 2x 3 − − 5 x 2 + + 34x x 2 + = 1

x − 2x y + + 4y 5 + + − z 3 = 0

2

x 1 y 2 z 3 0

x 1; y 2; z 3

⇔ − = + = − =

c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0 ⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

⇔ (x + y + z)2 = 0; ( x + 5)2 = 0; (y + 3)2 = 0

⇔ x = - 5 ; y = -3; z = 8

Bài 8 Chứng minh rằng:

a) ( 2 2) ( 2 2) ( ) (2 )2

a b c + + = + + + a b c 3 a b b c c a + + +

a) Ta có:

a b c + + =  + +  = + a b c a b + + c 3 a b c a b +  + +  c

= + + a 3 b 3 3ab a b( + + +) c 3 3 a b( + ) ( ac bc + ) + c 2 

( ) ( ) ( )

Bài 9.

a) Cho a2+ + = + +b2 c2 ab bc ca, chứng minh a = b = c

b) Cho ( ) (2 ) (2 )2

P = x y + + + y z + + z x

Q =(x y y z + ) ( + + +) (y z z x) ( + + +) (z x x y) ( + )

Chứng minh rằng: Nếu P = Q thì x = y = z

Giải:

a) Ta có:

a b o

a c 0

− =





 − =



b) Đặt x + y = a; y + z =b; z + x = c, ta có: P a= + +2 b2 c2; Q = ab + bc + ca

( ) ( ) ( )

a b 0

a c 0

= ⇒ − =

− =





 − =



Bài 10 Chứng minh rằng:

a) Nếu a + b + c = 0 thì a3+ + =b3 c3 3abc

b) Nếu a + b + c + d = 0 thì a 3 + + + = b 3 c 3 d 3 3 ab cd c d( − ) ( + )

Giải:

a) Ta có:

( )

3 3

3

+ + = ⇒ + = − ⇒ = − +

= − 3ab a b( + ) = 3abc

a b c d 0 + + + = ⇒ + = − + ⇒ + a b c d a b = − + c d

⇒ + + a 3 b 3 3ab a b( + = − − −) c 3 d 3 3cd c d( + )

⇒ + + + = − a 3 b 3 c 3 d 3 3ab a b( + −) 3cd c d( + )

⇒ + + + a 3 b 3 c 3 d 3 = 3ab c d( + −) 3cd c d( + )

⇒ + + + = a 3 b 3 c 3 d 3 3 c d ab cd( + ) ( − )

Bài 11 Chứng minh rằng:

a) Tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương b) n2+ + n 1 không là số chính phương (n N * ∈ )

Giải:

a) Xét 4 số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 (a Z ∈ ) , ta có:

2

2 2

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương

n < n + + < n 1 n + 2n 1 + ⇒ n < n + + < n 1 n 1 +

Số n2+ + n 1 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên n2+ + n 1 không là số chính phương

Bài 12

a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính: B = a4 + b4 + c4

b) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 =

1

2(a2 + b2 + c2)2

Giải:

a) Từ a2 + b2 + c2 = 14 => (a2 + b2 + c2)2 = 196

⇒ a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 = 196

⇒B = a4 + b4 + c4 = 196 – 2 (a2b2 + b2 c2 + a2c2)

Từ a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0

⇒ ab + bc + ac =

− (a 2 + b 2 + c ) 2 = − 14= −

7

2 2 ⇒ (ab + bc + ac)2 = 49 ⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 = 49

⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 – 2abc(a + b + c) = 49

Vậy B = 196 – 2 49 = 196 – 98 = 98

b) Từ a + b + c = 0 ⇒ a = – (b + c) ⇒ a2 = (b + c)2

⇒ a2 – b2 – c2 = 2bc ⇒ (a2 – b2 – c2)2 = 4b2c2

⇒ a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2c2 – 2a2c2 = 4b2c2

⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2

⇒ 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2

⇒ 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2 )2

⇒ a4 + b4 + c4 =

1

2(a2 + b2 + c2)2

Bài 13 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2 Tính giá trị của biểu thức x4 + y4 + z4

Giải:

Từ x + y + z = 0 ⇒ x = – (y + z) ⇒ x2 = (y+ z)2

⇒ x2 = y2 + z2 + 2yz ⇒ x2 – y2 – z2 = 2yz ⇒ (x2 – y2 – z2)2 = 4y2z2

⇒ x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2 z2 = 4y2z2

⇒ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2

⇒ 2(x4 + y4 + z4 ) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 = (x2 + y2 + z2)2 = a4

⇒ x4 + y4 + z4 =

4

a

2

Bài 14 Cho a + b + c = 1 và 1 1 1+ + = 0

a b c Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1

Giải:

Từ a + b + c = 1 ⇒ (a + b + c)2 = 1 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1

⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac) = 1 (*)

Từ

+ +

Từ (*) và (**) suy ra a2 + b2 + c2 = 1

Bài 15 Chứng minh nếu 1 1 1+ +

a b c = 2 và a + b + c = abc thì 12+ 12 + 12 = 2

Giải:

Từ 1 1 1+ +

2

1 1 1

+ +

c a b abc = 4

Vì a + b + c = abc ⇒

+ +

c a b abc = 1 ⇒ 2 + 2 + 2

a b c = 4 – 2 = 2

Bài 16 Cho a, b, c là các số hữu tỉ, đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

N = + +

(a b) (b c) (c a) là bình phương của một số hữu tỉ

Giải:

Xét

2

a b b c c a

= N + − +( − ) − +− − −

2(c a) 2(a b) 2(b c)

⇒ N =

2

a b b c c a

Vậy N là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 17 Cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; x y z= =

a b c Tính giá trị của biểu thức:

P = xy + yz + zx

Giải:

Đặt x y z= =

a b c = k => x = ak ; y = bk ; z = ck

⇒ P = xy + yz + zx = k2ab + k2bc + k2ac = k2(ab + bc + ac)

Từ a + b + c = 1 ⇒ (a + b + c)2 = 1 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1

⇒ 1 + 2(ab + bc + ac) = 1 ⇒ ab + bc + ac = 0

⇒ P = k2.0 = 0

Bài 18: Cho x y z+ +

a b c = 1 và a b c+ +

x y z = 0 Tính A = x22 +y22+z22

Giải:

Từ x y z+ +

x y z

⇒ A = 1 – 2( + +

xy yz zx

ab bc ac) = 1 – 2

xyc yza xzb abc

Từ a b c+ +

xyc yza xzb abc = 0 ⇒ yza + xzb + xyc = 0

⇒ A = 1 – 2

0 abc = 1

Bài 19 Cho a, b, c thoả mãn (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a)2 + (c + a – 2b)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Chứng minh rằng a = b = c

Giải:

Ta có:

(a + b – 2c)2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab – 4bc – 4ac

(b + c – 2a)2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc – 4ac – 4ab

(c + a – 2b)2 = a2 + c2 + 4b2 + 2ac – 4ab – 4bc

⇒ (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a )2 + (c + a – 2b)2 = 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2

⇒ 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2

Bài 20 Cho a > b > 0, thỏa mãn:

a) 3a2 + 3b2 = 10ab, tính

a b M

-= +

b) 2a2 + 2b2 = 5ab, tính

N

a b

+

=

-Giải:

a) Ta có:

2

M

-ç

1

M

2

=

⇒

(vì a > b > 0 nên M > 0)

b) Tương tự

Bài 21 Cho x =

1 2 3

11 15

n chö õsoá 1; y = 1 2 3

11 19

n chö õsoá 1 Chứng minh rằng xy + 4 là số chính

phương

Giải:

Ta có: y =

1 2 3

11 19

n chö õsoá 1 = 1 2 3

11 15

n chö õsoá 1+ 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

hay xy + 4 =

14 2 432 11 17

n chö õsoá 1 là số chính phương.

Bài 22 Cho x 0 ≠ và x + =1 a

x Tính các biểu thức sau theo a:

2

1

A x

3

1

B x

x = 6 +

6

1

C x

7

1

D x

x

Giải:

Ta chứng minh được, khi n>1, ta có:

Ta tính được A a = 2 − 2 B a 3a = − 3 C a 6a 9a 2= −6 4+ 2−

Bài 23: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) A 4x = 2 + 4x 11 +

b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

c) C x = 2 − 2x y + 2 − 4y 7 +

Giải:

a) A 4x = 2 + 4x 11 4x + = 2 + 4x 1 10 + + =(2x 1 + )2+ 10 10 ≥

⇒ Min A = 10 khi = −

1 x

2.

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)

= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36

⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.

c) C x = 2 − 2x y + 2 − 4y 7 +

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 ≥ 2

⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài 24: Tìm GTLN của các biểu thức:

a) A = 5 – 8x – x2

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y

c) C =(2x 1 − )2− 32x 1 2 2x 1 − + = − 2− 32x 1 2 − +

Giải:

a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21

⇒ Max A = 21 khi x = -4

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7

= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7

⇒ Max B = 7 khi x = 1, = −

1 y

2.

c) C =(2x 1 − )2− 32x 1 2 2x 1 − + = − 2− 32x 1 2 − +

Đặt t 2x 1 = − thì t ≥ 0 Do đó N = t2 – 3t + 2 = −3 2 −

2

1

4.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t − = ⇔ =3 0 t 3

Do đó N = −1

4 khi

Vậy min N = − ⇔ =1 x 5

4 4 hay x = −1

4.

Bài 25: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3

Giải:

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

2

2 2

2

Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó x2 +y2 ≥ 1

2 và x2 +y2 = ⇔ = = 1 x y 1

Ta có: M≥ 1(x2 +y )2

2 và (x2 +y )2 ≥ ⇒ 1 M≥ 1 1 1. =

Do đó M ≥ 1

4 và dấu “=” xảy ra ⇔ = = x y 1

2

Vậy GTNN của M = ⇔ = =1 x y 1

Bài 26: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2

Giải:

(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

⇔[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

⇔x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0

⇔x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0

⇔x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2

⇔(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2

Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0

2

Vì t = x2 + y2 nên : GTLN của x2 + y2 =

+

2

GTNN của x2 + y2 =

−

2

Bài 27: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

P = a + b + c – ab – bc – ca

Giải:

Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)

= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a,b,c 1 ≤ ≤ )

Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0

Vậy GTNN của P = 0

Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;

⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0

⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac ≤ − 1 abc 1 ≤

Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈[ ]0;1

Vậy GTLN của P = 1

Bài 28: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2

Giải:

Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x

Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4

= 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2

Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1

Bài 29: Cho M = a 3 4 a 1 + − − + a 15 8 a 1 + − − Tìm TGNN của M

Giải:

M = a 3 4 a 1 + − − + a 15 8 a 1 + − −

= a 1 4 a 1 4 − − − + + a 1 8 a 1 16 − − − + = ( a 1 2 − − ) (2+ a 1 4 − − )2

Điều kiện để M xác định là a – 1 ≥ <=> ≥ 0 a 1

Ta có: M = a 1 2 − − + a 1 4 − −

Đặt x = a 1 − điều kiện x ≥ 0, ta có:

M = M = − + − = − + − x 2 x 4 x 2 4 x x 2 4 x 2 … − + − =

Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 x 4 £ £ ⇔ 2 £ a 1 4 - £ ⇔ 4 a 1 16 £ - £ ⇔ 5 a 17 £ £