Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn đó giảm 54m2 so với diện tích ban đầu.. Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh
Trang 1GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỪ ĐỀ THI 2019
CỦA CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚC
(Tài liệu dành cho học sinh lớp 9 ôn thi vào cấp 3, lưu hành nội bộ)
Câu 1
Cho một mảnh vườn hình chữ nhật
Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn đó
giảm 54m2 so với diện tích ban đầu
Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn đó
tăng 32m2 so với diện tích ban đầu
Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn đó
LG
Gọi chiều rộng ban đầu là x (m), x>0
Gọi chiều dài ban đầu là y (m), y>0, y>x
Nếu giảm chiều rộng đi 3m và tăng chiều dài thêm 8m thì diện tích mảnh vườn đó
giảm 54 m2 so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình:
(x−3 ) (y+8 – 54) xy = xy+8x−3y−24−xy=548x−3y=78 1( )
Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và giảm chiều dài đi 4m thì diện tích mảnh vườn đó
tăng 32 m2 so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình:
Vậy chiều rộng ban đầu là 69m, chiều dài ban đầu là 158m
Câu 2
Một mảnh vườn hình chữ nhật
Biết chiều dài hơn chiều rộng 5m
Nếu tăng chiều dài thêm 10m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn đó
tăng gấp đôi
Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó
Giải
Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m), chiều rộng của mảnh vườn là y (m), x>y>0
Vì chiều dài hơn chiều rộng 5m nên ta có phương trình: x - y = 5
Nếu tăng chiều dài thêm 10m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn đó
tăng gấp đôi nên ta có phương trình: (x+10)(y+5)=2xy
( 10)( 5) 2 , (2)
x y
x y xy
− =
Từ phương trình (1) ta rút ra x=5+y thế vào phương trình (2) ta được:
Th ầ y Ngô Long
Trang 2(5 10)( 5) (2 5) ( 15)( 5) 2 ( 5) 0
y Thoa man
= −
Vậy: Chiều rộng của mảnh vườn mà 15 m, chiều dài là 20 m
Câu 3
Một sân trường hình chữ nhật
Có chu vi sân trường là 220m
3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 50m
Tính diện tích sân trường
Giải
Gọi chiều dài sân trường là x (m), chiều rộng sân trường là y (m), x>y>0
Có chu vi sân trường là 220m nên ta có phương trình (x+y).2=220
3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 50m nên ta có phương trình: 3x-4y=50
thoa man
Câu 4
Cho một tam giác vuông
Cạnh huyền bằng 17cm
Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7cm
Tính diện tích của tam giác vuông đó
Giải
Gọi 2 cạnh góc vuông là x (cm) và x+7 (cm), x>0
Vì cạnh huyền bằng 17 nên ta có phương trình:
x + x+ = x +x + x+ = x + x− =
Giải phương trình ta được x=8 (thỏa mãn), x=-15 (loại)
Th ầ y Ngô Long
Trang 3Suy ra 2 cạnh góc vuông là 8 cm và 15 cm nên diện tích là 8.15 60
Câu 5
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 450
km với vận tốc không đổi
Vận tốc xe thứ nhất lớn hơn vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ nhất đến trước
xe thứ hai 1,5 giờ
Tính vận tốc mỗi xe
Giải
Gọi vận tốc xe thứ 2 là x (km/h), x>0 Thì vận tốc xe thứ nhất là x+10 (km/h)
10
10
x − x =
+
2
2
x Thoa man
=
Vậy vận tốc xe thứ 2 là 50 km/h, vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h
Câu 6
Bạn Linh đi xe đạp từ nhà đến trường với quãng đường 10 km Khi đi từ trường về
nhà, vẫn trên cung đường ấy, do lượng xe tham gia giao thông nhiều hơn nên bạn
Linh phải giảm vận tốc 2 km/h so với khi đến trường Vì vậy thời gian về nhà
nhiều hơn thời gian đến trường là 15 phút Tính vận tốc của xe đạp khi bạn Linh đi
từ nhà đến trường
Giải
Đổi đơn vị: 15 phút = ¼ giờ
Th ầ y Ngô Long
Trang 4Gọi vận tốc của xe đạp khi bạn Linh đi từ nhà đến trường là x (km/h) (x 2)
2
x − (giờ)
x (giờ)
Vận tốc của xe đạp khi bạn Linh đi từ trường về nhà là x −2 (km/h)
x − x =
−
10
x
x
= −
Nhận xét : x = −8 loại, x =10 thỏa mãn
Vậy vận tốc của xe đạp khi bạn Linh đi từ nhà đến trường là 10 km/h
Câu 7
Quãng đường từ A đến B dài 60 km
Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A mất tổng cộng 8h
Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 4 km/ h
Giải
Gọi vận tốc thật của ca nô là x (km/h), x>0
Thời gian ca nô đi từ A đến B là
+
60
x 4giờ Thời gian ca nô đi từ B đến A là
−
60
Theo bài ra ta có phương trình
=
1
2
Vậy vận tốc thực của ca nô là 16 km/h
Câu 6
Nhân dịp Tết Thiếu nhi 01/6, một nhóm học sinh cần chia đều một số lượng quyển
vở thành các phần quà để tặng cho các em nhỏ tại một mái ấm tình thương
Th ầ y Ngô Long
Trang 5Nếu mỗi phần quà giảm 2 quyển thỡ các em sẽ cú thờm 2 phần quà nữa
Hỏi ban đầu cú bao nhiờu phần quà và mỗi phần quà cú bao nhiờu quyển vở
Giải
,
x y
(x− 2)(y+ 2)=xy
(x− 4)(y+ 5)=xy
Ta cú hệ phương trỡnh
( )( )
( )( )
Cõu 8
Tỡm một số cú hai chữ số biết rằng:
Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nú bằng 18 (số đảo ngược của một số là
một số thu được bằng cỏch viờt cỏc chữ số của nú theo thứ tự ngược lại)
Tổng của số ban đầu với bỡnh phương số đảo ngược của nú bằng 618
Giải
Gọi số cần tỡm là ab a( *;0 a 9;0 b 9 ) Số đảo ngược là :ba
Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nú bằng 18 nờn ta cú phương trỡnh:
Tổng của số ban đầu với bỡnh phương số đảo ngược của nú bằng 618 nờn ta cú
phương trỡnh:
( )
=
= −
11
Cõu 9
Một người dự định đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cỏch nhau 90km trong một thời
gian đó định
Sau khi đi được 1 giờ, người đú nghỉ 9 phỳt Do đú, để đến tỉnh B đỳng hẹn, người
ấy phải tăng vận tốc thờm 4 km/h
Tớnh vận tốc lỳc đầu
Giải
Th ầ y Ngụ Long
Trang 6Gọi vận tốc ban đầu của người đó là x (km/h), x>0
x giờ
Thực tế:
Quãng đường người đó đi được trong 1 giờ đầu tiên là x km
Quãng đường còn lại là 90 – x km
4
x x
−
Vì người đó đến B theo đúng thời gian dự định nên ta có phương trình:
=
=
3
Vậy vận tốc ban đầu của người đó là 36 km/h
Câu 10
trước xe thứ hai 15 phút
Tính vận tốc của mỗi xe
Giải
Đổi đơn vị: 15 phút = ¼ giờ
Gọi vận tốc xe thứ 2 là x (km/h), x>0
Thì vận tốc xe thứ nhất là x+10 (km/h)
10
2
2
x x
+
Vậy: Vận tốc của xe thứ 2 là 40km/h, vận tốc của xe thứ nhất là 50km/h
Th ầ y Ngô Long
Trang 7Câu 11
Quãng đường AB dài 120 km Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B Mỗi
giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km nên đến trước ô tô thứ hai
30 phút Tính vận tốc của ô tô thứ nhất
Giải
Đổi đơn vị 30 phút = ½ giờ
Gọi vận tốc xe thứ 2 là x (km/h), x>0
Thì vận tốc xe thứ nhất là x+12 (km/h)
12
Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ 2 là ½ giờ nên ta có phương trình:
48
x − x = =
+
Vậy vận tốc xe thứ 2 là 48 km/h, vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h
Câu 12
Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học
nghiệm Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký
Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia so với số hs đăng ký của trường A và
trường B lần lượt là 80% và 89,5% Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của
mỗi trường
Giải:
Vì tổng số học sinh đăng ký của 2 trường là 760 nên x + y = 760 (1)
Tổng số học sinh tham gia là 85%.760 = 646 học sinh
Theo bài ra ta có phương trình: 80%x + 89,5%y = 646 (2)
Giải hệ gồm phương trình (1) và (2) ta được x=360, y=400
Vậy ban đầu trường A có 360 học sinh đăng ký, trường B có 400 học sinh đăng ký
Câu 13
Trong lúc học nhóm, bạn Nam yêu cầu bạn Linh và bạn Mai mỗi người chọn một
số tự nhiên sao cho hai số này hơn kém nhau là 6 và tích của chúng bằng 280 Vậy
hai bạn Linh và Mai phải chọn những số nào
Giải
Th ầ y Ngô Long
Trang 8Vì tích của 2 số bằng 280 nên ta có pt:
=
Vậy 2 số mà 2 bạn Linh và Mai chọn là 14 và 20
Câu 14
điểm cách bến A 8 km
Tính vận tốc thực của thuyền biết khoảng cách từ bến A đến B là 24 km
Hướng dẫn: Gọi C là vị trí thuyền và bè gặp nhau lần 2, khi đó thời gian bè đi từ A
đến C bằng thời gian thuyền đi từ A đến B rồi quay lại C chú ý vận tốc của bè
bằng vận tốc dòng nước
Giải
Gọi vận tốc của thuyền là x (km/h), x>4
4
4
x − giờ
x + x =
2
Câu 15
Một xe ô tô và xe máy khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đi đến địa điểm B
cách nhau 60 km với vận tốc không đổi, biết vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe
máy là 20km/h và xe ô tô đến B sớm hơn xe máy là 30 phút Tính vận tốc mỗi xe
Th ầ y Ngô Long
Trang 9Gọi vận tốc của xe máy là x km / h( ) ĐK x0
Vận tốc của xe ô tô là x+20 km / h( )
h x
h
x+20
2
60 60 1
120 x 20 120 x x x 20 120 x 2400 120 x x 20x x 20x 2400 0
x −x 20 = 2 + − = + + − = + + − = +
2
x 20x 2400 0
1
x = − +10 50=40 (t/m đk)
2
x = − −10 50= −60 (không t/m đk)
Vận tốc của xe ô tô là 40+20 =60 km / h( )
Câu 16
Để chuẩn bị cho mùa giai sắp tới, một vận động viên đua xe ở Đồng Tháp đã luyện
tập leo dốc và đổ dốc trên cầu Cao Lãnh Biết rằng đoạn leo đốc và đổ dốc ở hai
bên đầu cầu có độ dài cùng bằng 1km Trong một lần luyện tập, vận động viên khi
đổ dốc nhanh hơn vận tốc khi leo dốc là 9km/h và tổng thời gian hoàn thành là 3
phút Tính vận tốc leo dốc của vận động viên trong lần tập luyện đó
Hướng dẫn:
Giải
Gọi vận tốc khi leo dốc là x km/h, x>0
Thì vận tốc khi xuống dốc là x+9 km/h
x giờ
9
20
36
x + x = =
+
Th ầ y Ngô Long
Trang 10Vậy vận tốc khi leo dốc là 36km/h
Câu 17
giảm chiều dài đi 10m thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích
hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu
Giải
Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m), x>0
Chiều rộng hình chữ nhật là y (m), y> 0, x>y
Nếu tăng chiều rộng lên 3m và giảm chiều dài đi 10m thì diện tích hình chữ nhật
mới là (y+3)(x-10)=360 (2)
Giải hệ gồm phương trình (1) và (2) ta được x=40, y=9
Vậy chu vi hình chữ nhật là 98 (m)
Câu 18
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong
Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm
4 công việc
Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ thì xong
Giải
Gọi thời gian người 1 làm 1 mình xong công việc là x ( giờ), x>0
Gọi thời gian người 2 làm 1 mình xong công việc là y ( giờ), x>0
4
Giải hệ ta được x=24, y= 48
Vậy người 1 làm một mình 24 giờ thì xong công việc
Vậy người 2 làm một mình 48 giờ thì xong công việc
Câu 19
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10
mét Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét
Nửa chu vi là: 28 : 2 = 14 (m)
Th ầ y Ngô Long
Trang 11Giải
Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét) Điều kiện: 0 < x < 14
=> Chiều rộng mảnh đất là 14 – x (mét)
Ta có chiều dài lớn hơn chiều rộng nên x > 14 – x => x > 7
Vì độ dài đường chéo là 10 mét nên ta có phương trình
6( )
=
= Vậy chiều dài mảnh đất là 8 mét, chiều rộng là 14 – 8 = 6 (mét)
Câu 20
Hai công nhân cùng làm 1 công việc thì hoàn thành trong 16 giờ
Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ 2 làm trong 2 giờ thì cả 2 người
Hỏi nếu làm 1 mình thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Giải
Gọi thời gian người 1 làm 1 mình xong công việc là x (giờ), x>16
Gọi thời gian người 2 làm 1 mình xong công việc là y (giờ), y>16
x + y =
6
Đặt
1
24
6
48
x
y
b
(thỏa mãn)
Vậy người thứ 1 làm 1 mình xong công việc trong 24 giờ, người thứ 2 làm 1 mình
xong công việc trong 48 giờ
Câu 21
Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km
Th ầ y Ngô Long
Trang 12Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long rồi nghỉ ở đó 8 giờ 20 phút, sau đó trở về
Hải dương hết tất cả 12 giờ
Biết vận tốc ô tô lúc về nhanh hơn vận tốc ô tô lúc đi là 10 km/h
Tính vận tốc của ô tô lúc đi
Đáp số: 50km/h
Câu 22
Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 144 km Một ô tô khởi hành từ thành
phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường Sau khi ô tô đi
được 20 phút, ô tô thứ hai cũng đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn
hơn vận tốc của ô tô thứ nhất là 6km/h (vận tốc không đổi trên cả quãng đường)
Biết rằng cả hai ô tô đến thành phố B cùng một lúc
Tính vận tốc của hai xe ô tô
Đáp số: Vận tốc ô tô 1 là 48km/h, vận tốc ô tô 2 là 54 km/h
Câu 23
chéo của hình chữ nhật này
Câu 24
Lớp 9A có 35 học sinh và lớp 9B có 40 học sinh
Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 15 học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt loại giỏi,
lớp 9C có 20% học sinh đạt loại giỏi và toàn khối 9 có 30% học sinh đạt loại giỏi
Hỏi lớp 9C có bao nhiêu học sinh ?
Giải
Suy ra số học sinh khối 9 là : 35+40 +x
5
Theo đề bài toàn khối 9 có 30% đạt học sinh giỏi nên ta có phương trình
0,3x 0,2x − = 27 22,5 − 0,1x = 4,5 = x 45(t/ m)
Vậy lớp 9C có 45 học sinh
Câu 25
Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt
80 tấn, tăng 20% so với năm 2016
Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch bao nhiêu tấn cam
Đáp số: 150 tấn
Câu 26
Hai người cùng xây một bức tường
Th ầ y Ngô Long
Trang 13Sau khi làm được 4 giờ, người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục xõy thờm 8 giờ
nữa thỡ hoàn thành bức tường
Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ một người xõy thỡ sau bao lõu bức tường được hoàn thành,
biết rằng người thứ nhất xõy bức tường đú nhanh hơn người thứ hai 6 giờ ?
Giải
x cụng việc,
6
12
y x
y x
y x
= +
Kết hợp với điều kiện ta cú x= 12,y= 18
Vậy nếu chỉ một người xõy thỡ người thứ nhất hoàn thành sau 12 giờ, người thứ hai
hoàn thành sau 18 giờ
Cõu 27
Bạn Nam mua hai mún hàng và phải trả tổng cộng 480.000 đồng, trong đú đó tớnh
cả 40.000 đồng thuế giỏ trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT)
Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng
thứ hai là 8%
Hỏi nếu khụng kể thuế VAT thỡ bạn Nam phải trả mỗi mún hàng là bao nhiờu tiền
Gọi a, b lần lượt là 2 mặt hàng mà Nam mua (0 a, b 480.000)
Theo đề vì mặt hàng thứ nhất có thuế GTGT là10% và mặt hàng thứ 2 có
thuế GTGT là 8%
Ta có hệ phương trình:
=
a 240.000
(thỏa)
b 200.000 Vậy giá 2 mặt hàng lần lượt là 240.000 đồng và 200.000 đồng
Cõu 28
Một tam giỏc vuụng cú chu vi bằng 24 cm
Độ dài hai cạnh gúc vuụng hơn kém nhau 2 cm
Tớnh diện tớch tam giác vuụng đú
Đỏp số: 6cm, 8 cm
Th ầ y Ngụ Long
Trang 14Câu 29
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A trên quãng đườn AB dài 120km
Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10km, nên đã đến B sớm hơn ô
tô thứ hai 0,4 giờ
Tính vận tốc của ô tô thứ nhất
Đáp số: 60 km/h
Câu 30
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km
Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn
thời gian đi là 36 phút
Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B
Giải
x giờ
x 3 + giờ
=
2
Vậy vận tốc lúc đi là 12 km/h
Câu 31
Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham
gia phong trào xây dựng “Tủ sách nhân ái”
Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là 540
quyển
Biết mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 là 1 quyển
Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách
Giải
−
−
− −
6(540 x) 5x
600
Th ầ y Ngô Long
Trang 15Cõu 32
Một hỡnh chữ nhật cú chu vi bằng 28 cm
Biết rằng nếu tăng chiều dài thờm 1cm và tăng chiều rộng thờm 2 cm thỡ diện tớch
25cm Tớnh chiều dài và chiều rộng của hỡnh chữ nhật
Đỏp số: Chiều dài 9 cm , chiều rộng 5 cm
Cõu 33
Hai bạn Hũa và Bỡnh cú 100 quyển sỏch
của Bỡnh
Hỏi lỳc đầu mỗi bạn cú bao nhiờu quyển sỏch ?
Gọi x là số sách của B ì nh (x * / x 100)
số sách của Hòa :100 x
Sau khi Hòa cho Bình10 cuốn thì số sách của mỗi bạnlà
Hòa :90 x, Bình :x 10
3 Vì khi đó số sách của Hòa bằng số sách của Bình nên ta có phương trình
2
Vậy số sách của Bình là : 30 cuốn,số sách của Hòa là :100 30 70(cuốn)
=
Cõu 34
Một trường học A cú tổng số giỏo viờn là 80 Hiện tại, tuổi trung bỡnh của giỏo
viờn là 35 Trong đú, tuổi trung bỡnh của giỏo viờn nữ là 32 và tuổi trung bỡnh của
giỏo viờn nam là 38 Hỏi trường học đú cú bao nhiờu giáo viờn nữ và bao nhiờu
giỏo viờn nam?
Giải
Gọi x, y lần lượt là số giỏo viờn nữ, số giỏo viờn nam của trường A
Điều kiện: x, y là số nguyờn dương
Theo đề ta cú phương trỡnh x + y = 80
Tổng số tuổi của giỏo viờn nữ là 32x, tổng số tuổi của giỏo viờn nam là 38y
Theo đề ta cú phương trỡnh 32x + 38y=35.80 = 2800
x y
+ =
Giải hệ phương trỡnh ta được x= 40 và y=40 (thỏa món điều kiện)
Vậy trường học A cú 40 giỏo viờn nữ và 40 giỏo viờn nam
Một xe ụ tụ đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc khụng
đổi Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nờn quóng đường giảm được 36 km so
Th ầ y Ngụ Long