TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP A3 - GIẢI TÍCH 2. GIẢNG VIÊN: TS. NGUYỄN ĐỨC TRUNG

ng cong trong không gian... Hoàn l u, vecto xoáy... ng cong trong không gian.

Trang 1

Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 1

TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2

N M H C: 2016 -2017

TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

Trang 2

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn

Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và

cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c

i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách làm bài t p và trình b y b c i h c

Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p

c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t Hy v ng v i s chu n b s m và t t, các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b

Trang 3

 i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,

ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng

bi t v i đ ng link chính cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: i s tuy n tính

o Toán A2: Gi i tích 1

 i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao

C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t

ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C

g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho

t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán

A, Toán B và Toán C i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p

đ c t ng h p t các thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i ngành:

Trang 4

đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

và v n d ng sáng t o !

Trang 5

M C L C Ch ng 1: Hàm s nhi u bi n 9

§1 T ng quan hàm s nhi u bi n 9

1.1 nh ngh a hàm nhi u bi n 9

1.1.1 nh ngh a : 9

1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s 9

1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s .10

1.3 Tính liên t c c a hàm s hai bi n s : 10

1.3.1 Khái ni m: 10

1.3.2 Chú ý: 11

§2 o hàm riêng .12

2.1 o hàm riêng: 12

2.1.1 nh ngh a: 12

2.1.2 Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: 12

2.2 o hàm riêng c p cao: 13

2.2.1 nh ngh a : 13

2.2.2 nh lý : 14

§3: Vi phân toàn ph n và vi phân c p hai 19

3.1 inh ngh a : 19

3.2 i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : 19

3.3 ng d ng c a vi phân toàn ph n vào tính g n đúng: 20

3.4 i u ki n đ bi u th c P x y dx Q x y dy ,   , là m t vi phân toàn ph n: 20

Trang 6

3.5 Ph ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ ng cong t i m t đi m .20

3.5.1 ng cong trong không gian .20

3.5.2 Ph ng trình c a ti p tuy n .21

3.5.3 Pháp di n c a đ ng cong : 21

§4 o hàm c a hàm s h p o hàm c a hàm s n .24

4.1 o hàm c a hàm s h p 24

4.1.1 nh ngh a: 24

4.1.2 nh ngh a 2: 24

4.2 o hàm c a hàm s n 24

4.2.1 nh ngh a hàm n: 25

4.2.2 o hàm c a hàm n 25

§5 C c tr .30

5.1 C c tr t do c a hàm s hai bi n s : 30

5.1.1 nh ngh a 30

5.1.2 i u ki n c n c a c c tr .30

5.1.3 i u ki n đ c a c c tr : 30

5.2 C c tr có đi u ki n: 31

5.2.1 Khái ni m: 31

5.2.2 nh lý: 31

5.3 Giá tr l n nh t và bé nh t c a hàm hai bi n s trong m t mi n đóng gi i n i .32

Ch ng 2: Tích phân b i 34

§1 Tích phân kép: 34

1.1 Phép đ i bi n s trong tích phân kép 34

1.1.1 Phép đ i bi n s t ng quát 34

Trang 7

1.1.2 Phép đ i bi n s trong t a đ c c 37

1.1.3 Phép đ i bi n s trong t a đ c c suy r ng 43

§2 Tích phân b i ba 45

2.1 nh ngh a và tính ch t 45

2.2 Tính tích phân b i ba trong h t a đ Descartes 46

2.3 Ph ng pháp đ i bi n s trong tích phân b i ba 49

§3 Các ng d ng c a tích phân b i 62

3.1 Tính di n tích hình ph ng 62

3.2 Tính th tích v t th .68

Ch ng 3: Tích phân đ ng 75

§1 Tích phân đ ng lo i I 75

1.1 nh ngh a 75

1.2 Các công th c tính tích phân đ ng lo i I 75

§2 Tích phân đ ng lo i II 78

2.1 nh ngh a 78

2.2 Các công th c tính tích phân đ ng lo i II 78

2.3 Công th c Green 82

2.4 ng d ng c a tích phân đ ng lo i II 88

2.5 i u ki n đ l y tích phân đ ng không ph thu c đ ng l y tích phân .89

Ch ng 4:Tích phân m t 92

§1 Tích phân m t lo i I 92

1.1 nh ngh a 92

1.2 Các công th c tính tích phân m t lo i I 92

2 Tích phân m t lo i II 95

2.1 nh h ng m t cong 95

Trang 8

2.2 nh ngh a tích phân m t lo i II 95

2.3 Các công th c tính tích phân m t lo i II 95

2.4 Công th c Ostrogradsky, Stokes 98

2.5 Công th c liên h gi a tích phân m t lo i I và lo i II .102

Ch ng 5: Lý thuy t tr ng 105

§1 Tr ng vô h ng 105

1.1 nh ngh a 105

1.2 o hàm theo h ng 105

1.3 Gradient 106

§2 Tr ng vecto 110

2.1 nh ngh a 110

2.2 Thông l ng, dive, tr ng ng .110

2.3 Hoàn l u, vecto xoáy .110

2.4 Tr ng th - hàm th v .111

Trang 9

 D đ c g i là liên thông trong 2

R n u v i M M b t k thu c D luôn có 1, 2

th n i v i nhau b i đ ng cong liên t c n m hoàn toàn trong D

 D đ c g i là m n u nh ng đi m biên L c a D không thu c D

 D đ c g i là đóng n u m i đi m biên L c a D đ u thu c D

 D đ c g i là đ n liên n u nó b gi i h n b i nhi u đ ng cong kín r i nhau

t ng đôi m t

1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s

Gi s Z  f x y , xác đ nh trong mi n D c a m t ph ng xOy

Trang 10

Cho hàm s f M  f x y , , xác đ nh trong mi n D ch a đi m M0x y0, 0

, có th tr đi m M Ta nói r ng L là gi i h n c a 0 f x y  , khi đi m M x y  ,

d n t i đi m M0x y n u v i m i dãy 0, 0 Mnx y thu c D d n t i n, n M 0 ta đ u có

Trang 13

Ký hi u đ o hàm riêng c p hai nh sau :

Trang 15

Ví d 2.2: Kh o sát s liên t c và s t n t i, liên t c c a đ o hàm riêng c a các hàm s f x y sau :  ,

Trang 16

L i gi i:

Trang 18

L i gi i:

Trang 20

Gi s các hàm s P x y Q x y   , , , có các đ o hàm riêng liên t c trong m t

mi n D nào đó Bi u th c P x y dx Q x y dy ,   , là m t vi phân toàn ph n khi và

3.5 Ph ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ ng cong t i m t đi m

3.5.1 ng cong trong không gian

Trang 21

Khi t bi n thiên trong I đi m M v ch nên m t đ ng cong C liên t c trong

3

R Ta nói r ng xx t ,y y t z , z t  là các ph ng trình tham s c a đ ng cong C

M trên đ ng cong C n u t n t i là ti p tuy n c a C t i M0 i m P x y z , , 

thu c ti p tuy n C t i M khi và ch khi 0 M P 0 cùng ph ng v i r t ' 0 , ngh a là

Trang 23

Trang 24

Cho z f u v , , trong đó uu x y v , , v x y , là nh ng hàm s c a hai

bi n s đ c l p x,y Khi đó z f u x y v x y    , , ,  là hàm s h p c a x,y

nh lý :

N u hàm s z f u v , là hàm s kh vi c a u,v và các hàm s uu x y , ,

 ,

vv x y có các đ o hàm riêng ' , ' , ' , 'u x u y vx v thì t n ty i các đ o hàm riêng ,

Trang 25

,

x y

F x yy

Trang 26

Ví d 4.2:

L i gi i:

Trang 28

L i gi i:

Trang 29

Ví d 4.5:

L i gi i:

Trang 30

§5 C c tr 5.1 C c tr t do c a hƠm s hai bi n s :

Nh ng đi m mà t i đó các đ o hàm riêng c p m t b ng 0, g i là đi m d ng

5.1.3 i u ki n đ c a c c tr :

Gi s M0x y0, 0là m t đi m d ng c a hàm s f x y , và hàm s f x y , có các đ o hàm riêng c p hai lân c n đi m M0 t // 

0, 0 xx

A f x y , // 

0, 0 xy

A , c c đ i n u A 0

 N u 2

0

B AC  thì f x y  , không đ t c c tr t i M0

Trang 31

' '

'

x y x x

f fg

Trang 32

5.3 Giá tr l n nh t vƠ bé nh t c a hƠm hai bi n s trong m t mi n đóng gi i

n i

Mu n tìm giá tr l n nh t và bé nh t c a hàm s f x y , trong m t mi n đóng gi i n i D ta th c hi n các b c sau:

 Tính các giá tr c a f t i các đi m d ng thu c mi n D

 Tính các giá tr c a f t i các đi m biên c a D

 S l n nh t trong các giá tr đã tính trên là giá tr l n nh t, s bé nh t trong các giá tr đã tính trên là giá tr bé nh t c n tìm

Ví d 5.1:

L i gi i:

Trang 33

Trang 34

I  f x y dxdy , trong đó

 ,

f x y liên t c trên D Th c hi n phép đ i bi n s xx u v y , ,  y u v , (1) th a mãn:

 xx u v y , ,  y u v , là các hàm s liên t c và có đ o hàm riêng liên

0' ',

u v

x x

D x yJ

 M c đích c a phép đ i bi n s là đ a vi c tính tích phân t mi n D có hình dáng ph c t p v tích phân trên mi n Duvđ n gi n h n nh là hình thang cong ho c hình ch nh t Trong nhi u tr ng h p, phép

đ i bi n s còn có tác d ng làm đ n gi n bi u th c tích phân f x y  ,

Trang 35

y x

x y

uu

D u vJ

u vx

D x yJ

Trang 36

I  x  y dxdy , trong đó : 1 4

4

xyD

Trang 37

1.1.2 Phép đ i bi n s trong t a đ c c

Trong r t nhi u tr ng h p, vi c tính toán tích phân kép trong t a đ c c đ n

gi n h n r t nhi u so v i vi c tính tích phân trong t a đ Descartes, đ c bi t là khi

mi n D có d ng hình trong, qu t tròn, cardioids, và hàm d i d u tích phân có

bi u th c 2 2

x  y T a đ c a đi m M x y là b  ,  r, , trong đó :

cossin

Trang 38

4 cos 4

Trang 41

11

Trang 42

2 3

0, 0

x y

x y xD

Trang 45

§ 2 Tích phơn b i ba 2.1 nh ngh a vƠ tính ch t

sao cho max

  mà Vi 0 In ti n t i m t giá tr h u h n I, không ph thu c vào cách chia

Khi đó ta nói r ng hàm s f x y z kh tích trong mi n V  , , 

Do tích phân b i ba không ph thu c vào cách chia mi n V thành các mi n nh nên ta có th chia V b i ba h m t th ng song song v i các m t ph ng t a đ , khi

Trang 46

2.2 Tính tích phơn b i ba trong h t a đ Descartes

C ng gi ng nh vi c tính toán tích phân kép, ta c n ph i đ a tích phân ba l p

v tích phân l p Vi c chuy n đ i này s đ c th c hi n qua trung gian là tích phân kép

S đ trên cho th y vi c tính tích phân ba l p đ c chuy n v tính tích phân kép ( vi c tính tích phân kép đã đ c nghiên c u bài tr c ) ng nhiên vi c chuy n đ i này ph thu c ch t ch vào hình dáng c a mi n V M t l n n a, k

n ng v hình là r t quan tr ng N u mi n V đ c gi i h n b i m t

zz x y zz x y , trong đó zz x y z1 , , z x y2 , là các hàm s liên t c trên mi n D, D là hình chi u c a mi n V lên m t ph ng Oxy thì ta có :

Thu t toán chuy n tích phân ba l p v tích phân hai l p

1 Xác đ nh hình chi u c a mi n V lên m t ph ng Oxy

2 Xác đ nh biên d i zz x y1 , và biên trên z z x y2 , c a V

3 S d ng công th c (2.1) đ hoàn t t vi c chuy n đ i

n đây m i vi c ch m i xong m t n a, v n đ còn l i bây gi là:

Trang 47

Có hai cách đ xác đ nh : Dùng hình h c ho c là d a vào bi u th c gi i tích c a

mi n V M i cách đ u có nh ng u và nh c đi m riêng Cách dùng hình h c tuy khó th c hi n h n nh ng có u đi m là r t tr c quan, d hi u Cách dùng bi u th c

gi i tích c a V tuy có th áp d ng cho nhi u bài nh ng th ng khó hi u và ph c

t p Chúng tôi khuyên các em sinh viên hãy c g ng th cách v hình tr c Mu n làm đ c đi u này, đòi h i các b n sinh viên ph i có k n ng v các m t cong c

b n trong không gian nh m t ph ng, m t tr , m t nón, m t c u, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit 1 t ng, h n n a các b n c n có trí t ng t ng t t đ hình dung ra s giao c t c a các m t

Trang 48

T t nhiên chúng ta có th thay đ i vai trò c a z trong hai đ nh lý trên b ng x

ho c y Hai đ nh lý trên có th đ c ch ng minh d dàng b ng ph ng pháp đ i

bi n s

Ví d 2.01.8.Tính

Vzdxdydz

 trong đó mi n V đ c xác đ nh b i :

10

42

Trang 49

0sin

Trang 50

 , ,z y z cùng v i các đ o hàm riêng c a nó là các hàm s liên t c trên mi n đóng Vuvw c a m t ph ng O'uvw

 Công th c (2.2) xác đ nh song ánh VuvwV

 , , w, ,  0

D x y zJ

C ng gi ng nh phép đ i bi n trong tích phân kép, phép đ i bi n trong tích phân

b i ba c ng bi n biên c a mi n V thành biên c a mi n Vuvw, bi n mi n V b ch n thành mi n Vuvw b ch n

w 2

uv

Trang 55

t

cossin

1

x yV

Trang 60

Phép đ i bi n trong t a đ c u suy r ng

T ng t nh khi tính tích phân kép , khi mi n V có d ng hình ellipsoit ho c hình c u có tâm không n m trên các tr c t a đ thì ta s s d ng phép đ i bi n s trong t a đ c u suy r ng Khi đó ta ph i tính l i Jacobian c a phép đ i bi n

1 N u mi n V có d ng hình ellipsoit ho c hình c u có tâm không n m trên các tr c t a đ nên ngh t i phép bi n s trong t a đ c u suy

Trang 61

I abc d d r r abc

Trang 62

§ 3 Các ng d ng c a tích phơn b i 3.1 Tính di n tích hình ph ng

x x

yyy

Trang 63

1 2uv

yu

ux

D

vx

vy

2 2

2,

3, 2

y y

D u v x xJ

Trang 64

a y

D y

x a ya

Trang 65

r        

nên

2 cos 3

Trang 67

sin cossin cos

sin cos0

sin cos

D

ar

2 2

Trang 68

tr có đ ng kính sinh song song v i tr c

Oz, đáy là mi n D trong m t ph ng Oxy,

phía trên gi i h n b i m t cong

Trang 70

x yz

Trang 71

1D

2 0

Trang 72

3 2

2 2 2 2 sin

0 0

2

0 3

3 2 3

a

r a r

Trang 75

Ch ng 3: Tích phơn đ ng

§ 1 Tích phơn đ ng lo i I 1.1 nh ngh a

Cho hàm s f x y  , xác đ nh trên m t cung ph ng AB Chia cung AB thành n cung nh , g i tên và đ dài c a chúng l n l t là 1, 2,

  không ph thu c vào cách chia cung AB và cách ch n các

đi m Mi đ c g i là tích phân đ ng lo i I c a hàm s f x y d c theo cung  ,

1.2 Các công th c tính tích phơn đ ng lo i I

1 N u cung AB cho b i ph ng trình y y x a ,   thì : x b

Định dạng
Số trang	113
Dung lượng	2,82 MB