MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG XƯƠNG. LUẬN VĂN THẠC SỸ

Khoảng gần 20 năm gần đây, một hướng nghiên cứu ứng dụng mới của sóng siêu âm: SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG XƯƠNG được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm phát triển nhằm mục đích chế tạo các

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC

ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG

XƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ

Hà Nội, tháng 10/2019

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

MÔ PHỎNG SÓNG CƠ TRUYỀN TRONG CẤU TRÚC

ĐA LỚP VÀ ỨNG DỤNG TRONG SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả mới được công bố trong luận văn là trung thực và chưa được ai công bố trong bất

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và làm việc tại Học viện khoa học và công nghệ Việt

Nam, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Lâm Hoài, tôi đã học hỏi được rất

nhiều kiến thức Vật lý, Toán học Để hoàn thành được Luận án Thạc sĩ này và để có thể trở thành một người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến người thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu

quý cũng như lòng kính trọng của mình Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và TS Nguyễn Thị Lâm Hoài đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận án Thạc

Sĩ

Tôi xin cảm ơn Trường THPT Yên Khánh B - Khánh Cư – Yên Khánh - Tỉnh Ninh Bình nơi tôi công tác, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành việc học tập

và nghiên cứu trong thời hạn 2 năm

Tôi xin chân thành cảm ơn Học viện khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại học viện, phòng sau đại học đã

hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận án

Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước chân tôi

Hà Nội, tháng 10 năm 2019

MỤC LỤC

Chương 1 TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG 3

1.1 Vai trò và cấu tạo của xương 3

1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương 3

1.1.2 Phân loại xương 4

1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương 6

1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương 7

1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực 7

1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi 8

1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson 8

1.2.4 Tính dị hướng 9

1.2.5 Độ xốp 9

1.3 Các bệnh về xương 9

1.3.1 Loãng xương 9

1.3.2 Gãy xương 10

1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các bệnh liên quan đến xương 10

1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm 10

1.4.2 Định lượng siêu âm xương 12

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 15

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn 15

2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn 15

2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM 15

2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM 18

2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư 18

2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn 20

2.3 Quy trình thực hiện Galerkin FEM 22

2.3.1 Giải phương trình vi phân đơn giản bằng Galerkin FEM 22

2.3.2 Tóm lược quy trình giải thuật Galerkin FEM 26

Chương 3 SỰ TRUYỀN CỦA SÓNG DẪN SIÊU ÂM TRONG CẤU TRÚC ĐA LỚP MÔ TẢ XƯƠNG DÀI 28

3.1 Sóng dẫn và phép định lượng sóng dẫn siêu âm trong xương dài 28

3.2 Mô hình đa lớp cho xương dài 32

3.3 Phương trình truyền sóng 33

3.3.1 Phương trình truyền sóng trong chất rắn 33

3.3.2 Phương trình truyền sóng trong chất lỏng 34

3.3.3 Các điều kiện biên 34

3.4 Giải phương trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích 35

3.5 Các tham số dùng trong mô phỏng 36

3.6 Bản xương phẳng đặt trong không khí 37

3.6.1 Tín hiệu miền thời gian 37

3.6.2 Biến đổi Randon và hệ thức tán sắc 38

3.6.3 Ảnh hưởng của tần số sóng siêu âm 39

3.6.4 Ảnh hưởng của độ dày bản xương 41

3.6.5 Ảnh hưởng của vị trí nguồn 42

3.7 Bản xương phẳng phủ bởi lớp mô mềm 43

Kết luận chung 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

Các sóng siêu âm Y học với tần số từ 1-10MHz (Medical Ultrasounds),

có đóng góp rất lớn trong lĩnh vực chăm sóc sức khỏe con người, phổ biến nhất

là trong lĩnh vực tim mạch và sản khoa Khoảng gần 20 năm gần đây, một hướng nghiên cứu ứng dụng mới của sóng siêu âm: SIÊU ÂM ĐỊNH LƯỢNG XƯƠNG được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm phát triển nhằm mục đích chế tạo các linh kiện siêu âm y học mới với mục đích chẩn đoán và theo dõi các bệnh lý liên quan đến xương (loãng xương, gãy xương), dần dần thay thế cho phương pháp chẩn đoán xương truyền thống sử dụng X-ray Lợi thế lớn nhất của siêu âm định lượng xương (Bone QUS) so với X-ray là QUS không gây ion hóa tế bào sống, vì vậy có thể dùng cho cả trẻ em và phụ nữ mang thai Mặt khác, do bản chất là các dao động cơ học, sóng siêu âm được đánh giá là

có khả năng phản ánh tốt hơn các tính chất cơ học của xương mà X-ray không

thể đo được, ví dụ như độ đàn hồi của xương Ngoài ra thiết bị vi mô thường

có thể thiết kế nhỏ gọn, có thể cầm tay được với giá thành không cao Đến nay Bone-QUS đã đạt được một số thành tựu tương đối quan trọng trong việc đo mật độ xương ở các vị trí nơi xương thường có hình dạng có thể coi là phẳng

và cấu trúc xốp như gót chân, ngón tay, xương hông Một số thiết bị vi mô dạng này đã được thương mại hóa và bán ra thị trường

Có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng trong siêu âm xương: Cấu hình đo xung-phản xạ, cấu hình truyền qua và cấu hình truyền dọc Các phép đo có thể

được thiết lập trên các mẫu vật liệu giả xương (phantom), trên mẫu xương chết (in vitro) hay trực tiếp trên các cơ thể sống (in vivo) Nguồn phát phát ra xung

siêu âm truyền qua mẫu vật tới nguồn thu Về mặt lý thuyết, tín hiệu thu được

có chứa đầy đủ thông tin về tính chất của xương như mật độ, độ đàn hồi… Tuy nhiên do tính chất phức tạp của mẫu xương việc đoán nhận cũng như phân tích tín hiệu để lấy ra được các thông tin này là không hề đơn giản Bởi vậy, sự hiểu

biết về sự truyền của sóng vi mô trong các cấu trúc xương này là hết sức cần thiết để làm cơ sở cho việc phân tích và đoán nhận tính chất của tín hiệu vi mô thu được trong các phép đo

Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến sóng dẫn siêu âm (ultrasonic guided wave UGW) truyền trong cấu trúc xương dài Các nghiên cứu về sóng dẫn trong xương dài qua cấu hình truyền dọc rất được quan tâm phát triển gần đây với các nhóm nghiên cứu mạnh nằm ở các nước Phần Lan, Pháp, Canada

và Trung Quốc Mục đích của luận văn là mô phỏng tín hiệu sóng siêu âm thu được trong cấu hình đo truyền dọc dựa trên mô hình toán học cho sóng truyền trong các cấu trúc xương dài, và khảo sát sự phụ thuộc của tín hiệu vào các thông số của phép đo

Về mặt phương pháp, chúng tôi mô hình hóa cấu trúc xương như một vật liệu đa lớp rắn/lỏng xen kẽ Phần xương cứng được mô tả như vật liệu rắn trong khi đó phần da và tủy xương mang tính chất của chất lỏng Chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bán giải tích (SAFE) được phát triển bởi tiến sĩ Nguyễn Vũ Hiệu và cộng sự để tính toán sự truyền của sóng siêu âm trong trong các mô hình này

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Trình bày cấu trúc, chức năng và tính chất cơ học của xương Chương 2: Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 3: Mô phỏng sự truyền của sóng siêu âm trong cấu trúc đa lớp xương

Chương 1 TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA XƯƠNG

1.1 Vai trò và cấu tạo của xương

1.1.1 Vai trò, chức năng của bộ xương

Bộ xương giúp tạo hình và đảm bảo cho hoạt động của cơ thể Các xương

liên kết với nhau tạo thành khung cứng và điểm tựa để nâng toàn bộ cơ thể, giúp cho người có tư thế đứng thẳng Xương kết hợp với cơ tạo nên hệ đòn bẩy

mà điểm tựa là các khớp xương, đảm bảo cho hoạt động của cơ thể Sự tăng trưởng về chiều cao và khả năng hoạt động của con người phụ thuộc rất lớn vào khung xương

Hình 1.1 Cấu tạo bộ khung xương của con người [1]

Bộ xương có chức năng bảo vệ cho các cơ quan nội tạng Thật vậy những

khoảng trống tạo bởi bộ xương là nơi giữ các cơ quan nội tạng nội tạng: hộp

sọ giữ bộ não; xương sống chứa tủy sống; xương sườn tạo thành hộp bảo vệ hai

cơ quan quan trọng là phổi và tim…Xương là nơi dự trữ các chất mỡ, các muối khoáng, đặc biệt là Canxi và phốt pho và điều hòa các khoáng chất trong cơ thể

khi cần thiết Tủy xương là nơi tạo ra huyết cầu cho cơ thể Trung bình, có 2,6

triệu tế bào hồng cầu được sản xuất từ tủy xương

1.1.2 Phân loại xương

a) Phân loại xương theo hình dạng

Dựa theo hình dạng, ta có thể phân biệt các loại xương như sau:

Xương phẳng (hay xương dẹt): Là các xương có dạng bản phẳng ta có thể

tìm thấy các xương này ở hộp sọ, xương bả vai, xương chậu hay xương gót chân Xương ức, xương sườn cũng có thể coi là xương phẳng Các xương này thường có cấu trúc xốp và tương đối nhẹ

Hình 1.2 Cấu trúc xương phẳng và xương dài

Xương ống (hay xương dài): Có cấu trúc dạng ống, khoảng trống ở giữa

được lấp đầy bởi tủy bao gồm xương ở các chi trên (xương cánh tay, xương cẳng tay, xương đốt bàn tay) và xương ở các chi dưới (xương đùi, xương cẳng chân, xương mác, xương đốt bàn chân) Xương dài có chức năng hỗ trợ trọng

lượng của cơ thể và tạo điều kiện cho việc di chuyển (Hình 1.2).

Xương ngắn: Thường gặp ở các khớp nối như xương cổ tay, cổ chân, bàn

tay, bàn chân Chúng có kích thước ngang, dọc, trước, sau gần bằng nhau

Xương đặc

Vỏ xương

Xương xốp

Xương ngắn gộp lại với nhau có thể chịu được áp lực rất lớn, là nơi chịu trách

nhiệm chính cho các vận động phức tạp của cơ thể (Hình 1.3)

Hình 1.3 Xương ngắn ( xương bàn tay bàn chân) và xương có hình dạng

bất định (xương sống)

Xương có hình dạng bất định: là các xương có hình dạng khá phức tạp, có

thể gặp ở xương đốt sống (Hình 1.3) và một số xương trong vùng chậu như

pubis, ilium và ischium

Ngoài ra còn có xương vừng và xương có hốc khí: Các xương vừng là những cấu trúc xương nhỏ, tròn bám vào các gân gấp của bàn chân và thường

ở vị trí rất gần so với khớp Xương giúp giảm ma sát và áp lực của gân gấp khi gân qua đoạn gần khớp Xương có hốc khí có chứa không khí bên trong như xương trán, xương hàm, thân xương bướm

b) Phân loại xương theo thành phần cấu tạo

Xương đặc: Chiếm 70% khối lượng xương của cơ thể, có cấu trúc rắn chắc,

và khối lượng riêng lớn Xương đặc là loại xương chủ yếu cấu tạo nên thân của xương dài

Xương xốp: Thường gặp ở các đầu các xương ống, các xương ngắn và xương

dẹt Ở các xương dài cũng có một lớp mỏng xương xốp nằm ở phần trong của ống xương, tiếp giáp với tủy sống Xương xốp có cấu tạo gồm các lá xương đan chéo vào nhau tạo ra nhiều hốc lớn, thông nhau và chứa đầy tủy sống

1.1.3 Cấu trúc vi mô của xương

Ở thang nano mét, xương được hợp thành bởi các phân tử collagen được xắp xếp thành các sợi nhỏ Các sợi nhỏ này lại được xếp lại tạo thành các sợi

xơ Các tinh thể khoáng xương được sắp hàng xen kẽ với các sợi xơ và các sợi

sơ đã khoáng hóa này xắp xếp thành phiến xương có độ dày đặc trưng khoảng vài micro mét Định hướng của các sợi xơ phụ thuộc vào các phiến xương và

có thể thay đổi trong các lớp phụ của phiến

Hình 1.4 Cấu trúc vi mô của xương [2]

Cách tổ chức này giống như kiểu cấu trúc gỗ dán xoắn Một osteon tương đương một cấu trúc hình trụ với đường kính 100‐300 micrometters bao gồm một số lá xương xắp xếp quanh kênh Haversian chứa các mạch máu và dây thần kinh Một osteon còn được gọi là một cấu trúc đơn vị (BSU) của xương Tại vùng ngoại vi của mỗi osteon, giữa khoảng cách của các osteons với osteons liền kề hoặc mô kẽ, có dòng chảy của chất khoáng, rất giàu proteoglycan Trong xương xốp, mỗi bản xương có độ dày dao động quanh 100 micrometters được

tạo thành từ các sợi xương sắp xếp song song

1.2 Các đại lượng cơ học đặc trưng cho xương

1.2.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực

Tác dụng một lực vào mặt cắt của xương sao cho hướng của lực song song với trục xương, ta thấy độ biến thiên của chiều dài xương phụ thuộc vào lực tác dụng theo dạng đồ thị sau ( hình 1.5):

Hình 1.5 Sự phụ thuộc chiều dài của xương vào lực tác dụng lên xương

Hệ số góc của phần tuyến tính trên đồ thị là độ cứng của xương Độ cứng phản ánh khả năng chịu tác dụng lực của xương, có độ lớn phụ thuộc nhiều vào cấu trúc hình học của xương Độ cứng được tính bởi: , ở đó F là độ lớn lực tác dụng lên xương (tính bằng N), và ∆l là độ biến dạng của xương (tính bằng mm)

Giới hạn chịu lực của xương được định nghĩa là lực tối đa mà xương chịu được mà không bị gãy, hỏng, được xác định bằng giá trị của lực tại điểm cực trị của đường cong trên Các xương khác nhau có giới hạn chịu lực khác nhau Giá trị của độ cứng và giới hạn chịu lực của một số xương trong cơ thể người được thể hiện dưới Bảng 1.1

Loại xương Độ cứng (N/m) Giới hạn chịu lực (N)

Bảng 1.1 Độ cứng và giới hạn chịu lực của một số loại xương[2]

1.2.2 Ứng suất, sức căng và độ đàn hồi

Ứng suất  là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích (A), được xác định bởi công thức: ¾ = F=A¾ = F=A

Sức căng  được tính bằng tỷ lệ giữa độ biến dạng (∆l) và chiều dài ban đầu (lo) của xương:   l l/ 0

Độ đàn hồi (E) hay suất Young phản ánh khả năng đàn hồi của xương được định nghĩa bằng độ dốc của tiếp tuyến trên đường cong ứng suất:

1.2.3 Suất đàn hồi thể tích và hệ số Poisson

Suất đàn hồi thể tích đo lường khả năng chịu nén của khối vật chất theo tất cả các hướng, xác định bởi V P

V



  

 Ở đó, P là áp suất và V là thể tích của mẫu

Khi chịu lực, xương có khả năng bị biến dạng theo cả hai hướng dọc theo

và vuông góc với phương của lực tác dụng Hệ số Poisson được định nghĩa là

tỉ số giữa sức căng theo phương vuông góc với phương tác dụng lực và sức căng song song với phương truyền lực:

( l / l ) ( / )

1.3 Các bệnh về xương

1.3.1 Loãng xương

Loãng xương (còn được gọi xốp xương hay thưa xương) là một bệnh lý của hệ thống xương, đặc trưng bởi sự giảm tỷ trọng khoáng chất của xương (Bone Mineral Density‐BMD) hay giảm trọng lượng của một đơn vị thể tích xương (Bone Mass Content – BMC), đồng thời với sự giảm bề dày lớp vỏ xương Loãng xương thường xảy ra âm thầm, các triệu chứng lâm sàng không

thể hiện các một cách tức thời và rõ ràng Loãng xương khiến cho sức chống

đỡ và chịu lực của xương giảm đi, xương sẽ trở nên mỏng mảnh, dễ gãy, dễ lún

và dễ xẹp, đặc biệt ở các vị trí chịu lực của cơ thể như: cột sống, cổ xương đùi, đầu dưới xương quay, xương dần trở nên mỏng mảnh, yếu và dễ gãy khi bị chấn thương dù rất nhẹ, thậm chí không rõ chấn thương

Loãng xương do nhiều nguyên nhân khác nhau gây ra, bao gồm: kém phát triển thể chất từ khi còn nhỏ, còi xương, suy dinh dưỡng; có tiền sử gia đình cha, mẹ bị loãng xương hoặc gãy xương; ít hoạt động thể lực, ít hoạt động ngoài trời, bất động quá lâu ngày do bệnh tật hoặc do nghề nghiệp; có thói quen sử dụng nhiều rượu, bia, cà phê, thuốc lá; bị mắc một số bệnh hoặc đang sử dụng dài hạn một số thuốc có tác dụng phụ gây ảnh hướng đến sức khỏe của xương

1.3.2 Gãy xương

Gãy xương là tình trạng tổ chức xương bị phá hủy do tác động cơ học, có thể

là một vết nứt nhỏ trên thân xương hay tình trạng xương bị phá hủy hoàn toàn Nguy cơ bị gãy xương phụ thuộc một phần vào lứa tuổi Xương gãy khá phổ biến ở trẻ nhỏ, tuy nhiên gãy xương ở trẻ em thường ít phức tạp hơn gãy xương

ở người lớn Người lớn tuổi có xương giòn hơn dẫn đến nguy cơ gãy xương do

té ngã Người bị loãng xương cũng có nguy cơ gãy xương cao hơn người khỏe mạnh Gãy xương nghiêm trọng có thể có các biến chứng nguy hiểm nếu không được điều trị kịp thời; các biến chứng có thể bao gồm tổn thương mạch máu hoặc dây thần kinh và nhiễm trùng xương ( viêm tủy xương ) hoặc mô xung quanh Thời gian phục hồi khác vết gãy phụ thuộc vào độ tuổi và sức khỏe của bệnh nhân và mức độ nghiêm trọng của vết gãy

1.4 Kĩ thuật siêu âm và vai trò của nó trong chẩn đoán và điều trị các bệnh liên quan đến xương

1.4.1 Các kĩ thuật siêu âm

Siêu âm (Ultrasound/Sonography) là một kỹ thuật chẩn đoán hình ảnh không xâm lấn, áp dụng phổ biến trong y tế, phương pháp tạo ảnh là sử dụng

sóng siêu âm (sóng âm tần số cao) để xây dựng và tái tạo hình ảnh về cấu trúc bên trong cơ thể hỗ trợ chẩn đoán và điều trị bệnh Do hình ảnh siêu âm được ghi nhận theo thời gian thực nên nó có thể cho thấy hình ảnh cấu trúc và sự chuyển động của các bộ phận bên trong cơ thể kể cả hình ảnh dòng máu đang chảy trong các mạch máu Siêu âm thường được dùng để khảo sát các mô mềm

và cơ quan nội tạng trong cơ thể, và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực y học như sản khoa, tim mạch

Hiện các thiết bị siêu âm y học thường dùng một đầu dò có cả hai chức năng phát/thu để tiến hành siêu âm Sóng siêu âm phát ra từ đầu dò truyền vào bên trong cơ thể Do trở kháng âm của các phần cơ thể là không đồng nhất một phần sóng siêu âm bị hấp thụ, một phần truyền qua và một phần bị phản xạ trở lại trở lại đầu dò Đầu dò thu nhận sóng âm phản hồi, qua quá trình xử lý số liệu sẽ cho ra các hình ảnh siêu âm mà chúng ta nhìn thấy qua hiển thị màn hình

Các kĩ thuật siêu âm phần mềm [3]

Siêu âm kiểu A (A-mode): ghi lại sóng phản hồi bằng những xung nhọn,

mà vị trí tương ứng với chiều sâu và biên đô tỷ lệ thuận với cường độ của âm vang (echo) Kiểu A ít có giá trị về chẩn đoán mà thường dùng để kiểm tra sự chính xác của máy siêu âm

Siêu âm kiểu B (B-mode) mỗi sóng xung kiểu A đều được ghi lại bằng một chấm sáng nhiều hay ít tùy theo cường độ của âm dội Sự di chuyển của đầu dò trên da bệnh nhân cho phép ghi lại cấu trúc âm của các mô trong cơ thể nằm trên mặt phẳng quét của chùm tia, đây là phương pháp siêu âm cắt lớp (Echotomography) Hình thu được từ các âm vang này sẽ được lưu trữ trong bộ nhớ và chuyển thành tín hiệu trên màn truyền bằng các chấm trắng, đen, xám Siêu âm kiểu B này được ứng dụng trong các loại máy siêu âm xách tay đen trắng hay siêu âm phủ màu xách tay

Siêu âm kiểu Động (M-mode) là một kiểu hai chiều với tốc độ quét

nhanh, tạo nên hình ảnh theo thời gian thực (real time) Với siêu âm kiểu M âm

vang sẽ ghi lại theo kiểu A, nhưng chuyển động theo thời gian nhờ màn hình quét ngang thường xuyên Do đó những cấu trúc đứng yên trên màn hình là một đường thẳng, còn những cấu trúc chuyển động là một đường cong ngoằn nghèo tùy theo sự chuyển động của cơ quan thăm khám Siêu âm kiểu này thường dùng để khám tim

Siêu âm kiểu Doppler sử dụng hiệu ứng Doppler để đánh giá và quan sát

các dòng máu chảy trong mạch máu, đặc biệt được ứng dụng trong chẩn đoán

các bệnh tim mạch Với siêu âm kiểu 3D hiện nay có 2 loại, đó là loại tái tạo

lại hình ảnh nhờ các phương pháp dựng hình máy tính và một loại được gọi là 3D thực sự (Live 3D, 3D real time, 4D) Siêu âm 3D do một đầu dò có cấu trúc khá lớn, mà trong đó người ta bố trí các chấn tử nhiều hơn theo hình ma trận, phối hợp với phương pháp quét hình theo chiều không gian nhiều mặt cắt, các mặt cắt theo kiểu 2D này được máy tính lưu giữ lại và dựng thành hình theo không gian 3 chiều

1.4.2 Định lượng siêu âm xương

Rất nhiều ứng dụng của kĩ thuật siêu âm đã được triển khai trên các mô mềm sinh học, tuy nhiên chỉ đến 20 năm gần đây người ta mới bắt đầu nghiên cứu để ứng dụng siêu âm trong việc chẩn đoán và chữa trị các bệnh về xương,

mở ra sự phát triển của ngành định lượng siêu âm định lượng xương (QUS) 8] Đến nay, QUS đã đạt được một số các thành tựu nhất định như có thể chẩn đoán mật độ xương với độ chính xác tương đương với kỹ thuật đo mật độ tia X [9,10], hay theo dõi sự hồi phục của vết nứt xương, gãy xương[11] Những lợi thế như không chứa các tia có khả năng ion hóa tế bào nên có thể dùng cho cả trẻ sơ sinh và phụ nữ có thai [12], rẻ tiền, nhỏ gọn, dễ di chuyển khiến cho QUS trở thành đối tượng nghiên cứu hấp dẫn do tính ứng dụng cao trong việc chăm sóc sức khỏe con người

[4-Trong QUS, có ba kĩ thuật đo chính được sử dụng là [2]:

Kĩ thuật đo xung – phản xạ: giống như siêu âm phần mềm, kĩ thuật đo

xung phản xạ sử dụng một đầu dò đơn hoạt động như cả nguồn phát và nguồn

thu Đầu dò này phát các xung sóng siêu âm truyền vào trong xương và thu lại phần tính hiệu bị phản xạ Vận tốc truyền sóng phản ánh tính chất của xương

do vậy có thể tính được dựa vào độ dày xương và thời gian trễ của tín hiệu phản

xạ v = 2d=tv = 2d=t với d là độ dày của xương [3]

Kỹ thuật đo truyền ngang: sử dụng một cặp đầu dò phát/ thu đặt trên

hai mặt đối diện nhau của mẫu xương Đầu phát phát ra tín hiệu siêu âm, đi qua mẫu xương Tín hiệu truyền qua được ghi lại bởi đầu thu Qua việc so sánh tính hiệu này với một tín hiệu qua môi trường tham chiếu (thường được chọn

là nước), người ta có thể rút ra được các thông số quan trọng của mẫu xương như vận tốc khối và hệ số suy giảm tần rộng [13-16]

Hình 1.7: Kĩ thuật đo truyền ngang trong định lượng siêu âm xương[2]

Kĩ thuật đo truyền dọc là kĩ thuật định lượng siêu âm sử dụng một tập

hợp các các đầu dò phát và thu được xếp thẳng hàng với nhau dọc theo trục xương Thông số quan trọng trong phép đo này là thời gian tới (TOF) và vận tốc của tín hiệu tới đầu tiên (FAS) Tần số sóng siêu âm sử dụng trong câú hình này nằm trong khoảng 100 kHz đến 2.0 MHz, thấp hơn đáng kể so với tần số lâm sàng được sử dụng trong siêu âm thông thường của các mô mềm

Hình 1.8: Kĩ thuật đo truyền dọc trong định lượng siêu âm xương [2]

Kĩ thuật đo truyền dọc thường được dùng trong các phép đo định lượng siêu âm trên xương dài Qua các phép đo, người ta có thể ước lượng mật độ, chiều dày cũng như độ đàn hồi của xương [17-20]

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn

2.1.1 Lịch sử phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method -FEM) hay nhiều khi còn gọi là giải tích phần tử hữu hạn (Finite Element Analysis - FEA) được phát triển vào cuối những năm 1940, ban đầu để phục vụ nhu cầu phát triển của kĩ thuật hàng không trong việc tạo ra những cấu trúc cho máy bay có khả năng chịu lực cao khi bay với tốc độ lớn Do chưa có sự hỗ trợ của máy tính hiện đại, các kĩ sư đã phát triển một phương pháp dựa trên các ma trận để tính các lực tác động vào các phần của cấu trúc bay khi biết độ dịch chuyển/biến dạng của cấu trúc đó, và ngược lại, để tính độ dịch chuyển của cấu trúc khi biết lực là các phương pháp tiền thân của phương pháp phần tử hữu hạn Thuật ngữ phần tử hữu hạn (FEM) được dùng đầu tiên bởi Clough [21] vào năm 1960 khi nghiên cứu ứng suất phẳng và được dùng phổ biến đến hiện nay Trong các thập kỉ 60-70, FEM được phát triển và ứng dụng trong rất nhiều các lĩnh vực của khoa học kĩ thuật FEM là phương pháp tính toán số nặng, sử dụng các ma trận với số chiều cao Một trong những phần mềm sử dụng FEM đầu tiên - NASTRAN - được phát triển vào những năm 1960 phục vụ chương trình thám hiểm không gian của Mỹ Hiện nay cũng có rất nhiều phần mềm tính toán được phát triển sử dụng FEM, có thể kể đến ANSYS ,ALGOR, hay COSMOS/M Với năng lực của máy tính hiện nay, hầu hết các phần mềm này đều chạy được trên máy tính cá nhân, giải quyết rất nhiều bài toán tĩnh học hay động học của các cấu trúc, bài toán truyền nhiệt, sự chảy của chất lỏng, các bài toán điện từ, sóng trong các môi trường đàn hồi hay sóng địa chất…

2.1.2 Các khái niệm và kĩ thuật cơ bản của FEM

Giả sử ta có một miền vật liệu với những tính chất vật lý xác định Để cho dễ hình dung ta xét trường hợp miền có dạng phẳng (Hình 2.2) Nguyên tắc tính toán của FEM dựa trên việc chia nhỏ miền xác định của bài toán thành

nhiều vùng con với kích thước hữu hạn, được gọi là các “phần tử” Hình 2.2b

cho thấy một phần tử hình tam giác bao phủ một vùng con hữu hạn của miền xác định Ta thấy “phần tử” có thể có hình dạng bất kì Các đỉnh của phần tử

được đánh số, các điểm ở đỉnh gọi là các nốt (nodes) Một nốt là một điểm mà

giá trị của biến trường sẽ được tính tường minh trong FEM Các nốt nằm trên

biên của phần tử được mô tả ở trên được gọi là các nốt ngoài và có thể giúp

phần tử liên kết với các phần tử lân cận khác Ngoài ra ta cũng có thể lấy các

nốt không nằm trên biên phần tử được gọi là các nốt trong và không thể liên

kết với bất cứ phần tử khác nào Hình 2.2 b biểu diễn các phần tử tam giác chỉ

có các nốt ngoài

Hình 2.2 Sự chia nhỏ miền khảo sát với phần tử hình tam giác trong

phương pháp phần tử hữu hạn [22]

Nhìn vào hình 1c, ta thấy một phần tử bất kì đều liên kết với các phần tử

khác qua nốt ngoài của chúng (element connectivities) Điều kiện rằng, các biến trường của hai phần từ có giá trị như nhau tại mọi nốt liên kết hai phần tử đó cho phép ta thiết lập phương trình FEM cho tất cả các nốt trong toàn vùng Điều kiện này được gọi là điều kiện liên tục của biến trường, đảm bảo cho tính vật

lý của nghiệm và sự thiết lập phương trình cho các nốt trên toàn vùng được gọi

là sự ghép nối (assembling) Có thể thấy độ chính xác của phương pháp phụ

thuộc vào việc định nghĩa các phần tử Số phần tử càng nhiều, số nốt càng lớn thì độ chính xác càng cao Một số ví dụ kinh điển về thiết lập FEM trong tính toán chính xác các kết cấu tĩnh học trong chương 2,3,4 của tài liệu tham khảo [22], ở đó người ta quan tâm tới lực và độ dịch chuyển tại một số điểm gián đoạn của cấu trúc cơ học Tuy vậy, trong các bài toán truyền sóng, truyền nhiệt…ta cần tìm trường vật lý biểu diễn quá trình tại mọi điểm

thuộc miền xác định Phương pháp Galerkin-FEM được phát triển [23,24] nhằm giải quyết vấn đề này Nội dung chính của phương pháp sẽ được trình bày chi

tiết ở mục 2.2 Điểm mấu chốt của Galerkin FEM là sử dụng các hàm ngoại

suy đã biết để mô tả sự biến thiên của các biến trường tại một điểm bất kì nằm

trong phần tử Giá trị gần đúng của biến trường tại một điểm bất kì có tọa độ (x,y) được suy ra từ các giá trị biến trường tại các nốt Ví dụ, cho phần tử ba nốt biểu diễn trên đây, giả sử giá trị của trường được xác định tại các nốt 1, 2,

và 3 lần lượt được xác định là và , ta có thể tìm biến trường bằng biểu thức gần đúng dưới đây:

Á(x; y) = N1(x; y)Á1+ N2(x; y)Á2+ N3(x; y)Á3Á(x; y) = N1(x; y)Á1+ N2(x; y)Á2+ N3(x; y)Á3 (1) Trong đó và là các hàm ngoại suy (interpolation functions) hay

hàm định dạng (shape functions) thỏa mãn một số điều kiện nhất định tại các

nút Thông thường, người ta sử dụng các hàm ngoại suy dạng đa thức Nếu các biến trường là vô hướng (như nhiệt độ trong bài toán truyền nhiệt chẳng hạn),

thì các phần tử tam giác cho bởi phương trình (1) được gọi là có 3 bậc tự do

Nếu biến trường là một véc tơ, ví dụ như véc tơ độ dịch chuyển trong phương trình truyền sóng 2 chiều thì các phần tử tam giác này có 6 bậc tự do Tóm lại,

số bậc tự do của phần tử bằng tích của số nốt của phần tử với số giá trị cần tính

của biến trường tại một nốt

Một chương trình tính toán sử dụng FEM thường có 3 giai đoạn:

a) Giai đoạn tiền xử lý, cần có những thủ tục:

-Định nghĩa vùng xác định hình học của bài toán

-Định nghĩa loại phần tử sẽ được sử dụng

-Định nghĩa tính chất hình học của phần tử

-Định nghĩa tính chất vật liệu cho phần tử

-Định nghĩa liên kết giữa các phần tử để tạo lưới (assembling)

-Định nghĩa các điều kiện ràng buộc vật lý (điều kiện biên)

b) Thiết lập tính toán

-Tính toán các biến trường cơ bản

-Tính toán các biến trường thứ phát

c) Hậu xử lý

-Kiểm tra tính hội tụ của nghiệm

-Kiểm tra tính vật lý của nghiệm

2.2 Phương pháp trọng số thặng dư và Garlerkin FEM

Vấn đề mà luận văn này quan tâm tới cũng giống như phần lớn các bài toán trong khoa học và kĩ thuật đều được quy định bởi một phương trình vi đối với biến vật lý tương ứng, thỏa mãn những điều kiện biên nhất định Trong một

số trường hợp đơn giản ta có thể tìm nghiệm chính xác của bài toán (lời giải mạnh strong formulation) Tuy nhiên, trong đại đa số các trường hợp, sự phức tạp của phương trình vật lý cùng với sự phức tạp trong cấu trúc hình học của miền xác định và điều kiện biên khiến cho khả năng tìm được nghiệm chính xác là thấp, ta phải phát triển những kĩ thuật để tìm nghiệm gần đúng của phương trình và Galerkin FEM là một trong những kĩ thuật này Galerkin FEM được phát triển dựa trên một kĩ thuật gần đúng cơ bản hơn: Phương pháp trọng

số thặng dư

2.2.1 Phương pháp trọng số thặng dư

Phương pháp trọng số thặng dư là phương pháp gần đúng để giải quyết các phương trình vi phân bằng cách sử dụng một tập hợp hàm cơ bản được chọn thỏa mãn trước các điều kiện biên, và sử dụng một tích phân để tối thiểu hóa sai số trung bình trên toàn bộ miền xác định của bài toán Để đơn giản, chúng tôi trình bày ở đây một ví dụ Xét phương trình vi phân một chiều

(2) với điều kiện biên

(3) Phương pháp trọng số thặng dư tìm nghiệm gần đúng của phương trình dưới dạng:

(4)

Với là nghiệm gần đúng, được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp của các tích giữa hằng số cần được xác định với hàm thử Điều kiện tiên quyết

với hàm thử là chúng liên tục trên vùng đang được xét và thỏa mãn chính xác

các điều kiện biên Thay nghiệm ở phương trình (4) vào phương trình (2) ta định nghĩa sai số thặng dư như sau:

(5)

ở đó là phần thặng dư Chú ý rằng thặng dư cũng là một hàm của các hệ số Phương pháp trọng số thặng dư đòi hỏi rằng, các hệ số được tìm sao cho

(6)

với là tập hợp hàm trọng số ngẫu nhiên Ta thấy rằng, tích phân

trên cho ta một hệ n phương trình tuyến tính với cho n ẩn số Phương trình

(6) đòi hỏi rằng tổng các sai số với trọng số bất kì trên toàn bộ miền xác định

là bằng 0 Chúng ta cần chú ý rằng, do điều kiện rằng các hàm thử thỏa mãn điều kiện tại các biên, nên lời giả là chính xác tại biên, tuy vậy tại một điểm bất

kì, lời giải có sai số khác 0 Phương pháp trọng số thặng dư có thể tìm thấy lời giải trùng với nghiệm chính xác trong một số trường hợp đặc biệt, nhưng do

“may mắn” hơn là có tính quy luật Trong các trường hợp 2, 3 chiều việc tìm

ra các hàm thử thích hợp cho phương trình vi phân cũng là việc tương đối khó khăn Ta có thể thấy một số các biến thể của phương pháp trọng số thặng dư như phương pháp lặp điểm, lặp vùng con, bình phương tối thiểu hay phương

pháp Galerkin Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn trùng với hàm thử:

(7)

Bởi vậy, các ẩn số được xác định bởi n phương trình:

(8)

2.2.2 Phương pháp Galerkin cho phần tử hữu hạn

Phương pháp trọng số thặng dư đã trình bày trong phần trên sử dụng các hàm thử có tính toàn cục, tức là mỗi hàm thử được sử dụng trong toàn miền và từng hàm đều thỏa mãn điều kiện biên Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày

sự ứng dụng của phương pháp này trong FEM

Giả sử chúng ta xem xét phương trình vi phân một chiều

(9) thỏa mãn điều kiện biên

(10)

Chia miền xác định thành M “phần tử” bởi M+1 điểm chia sao cho

và Ta tìm nghiệm của phương trình dưới dạng

(11)

ở đó là lời giải tại nốt thứ ( ) cần phải tìm trong bài toán và

là hàm thử tương ứng Ở đây có sự khác biệt lớn hàm thử trong FEM: Các hàm chỉ nhận giá trị khác 0 trong khoảng Hàm thử đơn giản nhất có dạng đa thức bậc nhất được định nghĩa như sau:

(12)

Ta thấy rõ ràng rằng các hàm thử không gì khác chính là các hàm ngoại suy tuyến tính sao cho nghiệm trong khoảng [ ] là tổ hợp tuyến tính của các giá trị nốt lân cận và Ví dụ, trong khoảng ta có:

(13) Chú ý rằng các hàm thử ở đây được chọn là tuyến tính Các hàm ngoại suy dạng đa thức bậc cao hơn cũng có thể được sử dụng Thay biểu thức của vào phương trình (9), ta có biểu thức của thặng dư :

(14)

Áp dụng phương pháp trọng số thặng dư Galerkin, lấy các hàm trọng số giống hệt các hàm thử, ta thu được

(15)

với Chú ý rằng trong khoảng chỉ có hai hàm thử

là khác 0, do vậy phương trình trên chuyển thành

(16)

Tính tích phân trên ta được hệ phương trình cho giá trị cần

tính của các giá trị nốt Công thức này gọi là công thức yếu (weak

formulation) với ý nghĩa nghiệm là gần đúng Việc thiết lập công thức yếu cho

hệ đang khảo sát làthao tác quan trọng nhất của phương pháp Galerkin FEM Công thức 16 có thể viết lại dưới dạng ma trận:

(17)

[K] được gọi là ma trận độ cứng của hệ (stiffness matrix), {y} là véc tơ

“dịch chuyển” ở các nốt và {F} là véc tơ “lực” tại các nốt Phương trình 17 là

dạng hình thức của Galerkin FEM, bao gồm cả bước tính toán cho từng phần

tử và bước kết nối các phần tử Như đã nói ở trên, phương trình 17 biểu diễn một cách nguyên tắc phương pháp Galerkin FEM Trong các tính toán thực tế