Hiện tượng vận chuyển điện tử trong các cấu trúc nano bán dẫn dựa trên vật liệu phân cực algan gan và penta graphene nanoribbon TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ……..….***………… PHẠM THỊ BÍCH THẢO HIỆN TƯỢNG VẬN CHUYỂN ĐIỆN TỬ TRONG CÁC CẤU TRÚC NA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

…… ….***…………

PHẠM THỊ BÍCH THẢO

HIỆN TƯỢNG VẬN CHUYỂN ĐIỆN TỬ TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO BÁN DẪN DỰA TRÊN VẬT LIỆU PHÂN CỰC AlGaN/GaN

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -

Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS Nguyễn Thành Tiên

Người hướng dẫn khoa học 2: GS.TS Đoàn Nhật Quang

Phản biện 1: PGS.TS Đinh Văn Trung

Phản biện 2: GS.TS Đào Tiến Khoa

Phản biện 3: TS Phạm Ngọc Đồng

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ …’, ngày … tháng … năm 20…

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

P❤➛♥ ♠ð ✤➛✉

❚r♦♥❣ t❤í✐ ✤↕✐ ♥❣➔② ♥❛②✱ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ ❜→♥ ❞➝♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ ❝â ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ♥❤➜t ✤➳♥ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✲ ❝æ♥❣

♥❣➔♥❤ ❝æ♥❣ ♥❣❤✐➺♣ ❜→♥ ❞➝♥✱ ♠↕❝❤ t➼❝❤ ❤ñ♣ ❤♦➦❝ ♣✐♥ q✉❛♥❣ ✤✐➺♥ ✈➝♥ ❞ü❛tr➯♥ s✐❧✐❝✳

❙✐❧✐❝ ✈➔ ❣❡❝♠❛♥✐ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❝→❝ ❝❤➜t ❜→♥ ❞➝♥ t❤➳ ❤➺ ✤➛✉✳ ❈→❝ ❝❤➜t

❜→♥ ❞➝♥ t❤➳ ❤➺ t❤ù ❤❛✐ ❜❛♦ ❣ç♠ ❣❛❧❧✐✉♠ ❛rs❡♥✐❞❡ ✭●❛❆s✱ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠

ð ♥❤✐➺t ✤ë ♣❤á♥❣ ❧➔ ✶✳✹✷ ❡❱✮ ✈➔ ✐♥❞✐✉♠ ♣❤♦s♣❤✐❞❡ ✭■♥P✱ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠

ð ♥❤✐➺t ✤ë ♣❤á♥❣ ✶✳✸✺ ❡❱✮ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✼✵✳ ❇→♥ ❞➝♥t❤➳ ❤➺ t❤ù ❤❛✐ ❝❤õ ②➳✉ ✤÷ñ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤✐➳t ❜à tè❝ ✤ë ❝❛♦✱ t❤✐➳t

❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ ❝❤♦ ❝→❝ t❤✐➳t ❜à ✤✐➺♥ tû ✈➔ q✉❛♥❣

✤✐➺♥ tû✳ ❈→❝ ❝➜✉ tró❝ ♥➔② ❝â ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠ tø ✈ò♥❣ ❤ç♥❣ ♥❣♦↕✐ ❣➛♥ ✭✵✳✼

❡❱✱ ■♥◆✮ ✤➳♥ ✤➳♥ ✈ò♥❣ ❝ü❝ t➼♠ ①❛ ✭✻✳✷ ❡❱✱ ❆❧◆✮✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ s♦ ✈î✐ ❝→❝ ❝❤➜t

❜→♥ ❞➝♥ ♥❤â♠ ■■■✲❱ ✈➔ ■■✲■❱ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✱ sü ♣❤➙♥ ❝ü❝ tü ♣❤→t ✈➔ →♣ ✤✐➺♥tr♦♥❣ ●❛◆ ✈➔ ❆❧◆ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✇✉③t③✐t❡ ❧î♥ ❤ì♥ ❦❤♦↔♥❣ ♠÷í✐ ❧➛♥✳ ❉♦ ✤â✱

❞➝♥ ✤✐➺♥ tèt✳ ❉↕♥❣ t❤ò ❤➻♥❤ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ ❝❛r❜♦♥ ❧➔ ❇✉❝❦♠✐♥st❡r ❋✉❧❧❡r❡♥❡s

✤÷ñ❝ ♣❤→t ❤✐➺♥ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✹ ❜ð✐ ❘✐❝❤❛r❞ ❙♠❛❧❧❡② ✈➔ ❝ë♥❣ sü✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱è♥❣ ♥❛♥♦ ❝❛r❜♦♥ ♠ët ❝❤✐➲✉ ✤÷ñ❝ ■✐❥✐♠❛ ♣❤→t ❤✐➺♥ ✤➛✉ ♥➠♠ ✶✾✾✵✳

◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉②➯♥ s➙✉ ✈➲ ❣r❛♣❤❡♥❡✱ ♠ët ✈➟t ❧✐➺✉ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✭✷❉✮ ❜❛♦ ❣ç♠

❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❝❛r❜♦♥ tr♦♥❣ ♠↕♥❣ ❧ö❝ ❣✐→❝ t✉➛♥ ❤♦➔♥ ❜➢t ✤➛✉ tø ♥➠♠ ✷✵✵✹✳

✣➦❝ t➼♥❤ ✤→♥❣ ❝❤ó þ ♥❤➜t ❝õ❛ ❣r❛♣❤❡♥❡✱ ✤➙② ❧➔ ❧♦↕✐ t✐♥❤ t❤➸ ♠ä♥❣ ♥❤➜t

✤÷ñ❝ ❜✐➳t ✈î✐ ✤ë ❝ù♥❣ ❝ü❝ ❧î♥✱ ✤ë ✤➔♥ ❤ç✐ ✈➔ ✤ë ❞➝♥ ♥❤✐➺t ✈÷ñt trë✐✳ ❱î✐ ❝➜✉tró❝ ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➲ ♠➦t ❧î♥ ❦❤♦↔♥❣ ✷✻✼✺ ♠2✴❣✱ ❣r❛♣❤❡♥❡ t❤➸ ❤✐➺♥

♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➟t ❧þ ✤ë❝ ✤→♦✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ t✐♥❤ t❤➸ ❜❛ ❝❤✐➲✉✱ t➜t ❝↔

❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû tr♦♥❣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❧➔ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ tû ❜➲ ♠➦t✱ tù❝ ❧➔ ❝❤ó♥❣ ❝â t❤➸t❤❛♠ ❣✐❛ ✈➔♦ ❝→❝ ♣❤↔♥ ù♥❣ ❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ t÷ì♥❣ t→❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ✣✐➲✉ ♥➔②

t↕♦ tr✐➸♥ ✈å♥❣ ❧î♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤❛② ✤ê✐ ❝→❝ ✤➦❝ t➼♥❤ ❝õ❛ ❣r❛♣❤❡♥❡✳ ❚r♦♥❣ ♥❤✐➲✉

♥➠♠ q✉❛✱ ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤➣ ✤÷ñ❝t❤ü❝ ❤✐➺♥✳ ❈ö t❤➸✱ ✈✐➺❝ tê♥❣ ❤ñ♣ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✤ì♥ ❧î♣✱ ✤❛ ❧î♣ ❤❛② ❣r❛♣❤❡♥❡

❝❤♦ t❤➜② ❤②❞r♦ ❤â❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ t➠♥❣ ✤ë ❞➝♥ ♥❤✐➺t ❝õ❛ P●✱ ✈✐➺❝ ♣❤❛ t↕♣ ❙✐✱

❇✱ ◆✱ ●❡ ✈➔ ❙♥ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ❣✐↔♠ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠ ❝õ❛ P●✱ ❤❛② ✈✐➺❝ ♣❤❛t↕♣ ❦✐♠ ❧♦↕✐ ❝❤✉②➸♥ t✐➳♣ ❝â t❤➸ ❧➔♠ t➠♥❣ ❤♦➦❝ ❣✐↔♠ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠ ✤ç♥❣t❤í✐ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ✤→♥❣ ❦➸ sü ❤➜♣ ♣❤ö ❤②❞r♦✳ ❱î✐ t➾ ❧➺ ❜➲ ♠➦t ✈➔ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣

❝➜♠ ❧î♥✱ P● ❝â ❧ñ✐ ❝❤♦ sü ❤➜♣ ♣❤ö ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➙♥ tû ❦❤➼✳ ❉♦ ♥❤ú♥❣ ✤➦❝ t➼♥❤

✈➟t ❧þ ✈➔ ❤â❛ ❤å❝ ✈÷ñt trë✐✱ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② P● ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤æ♥❣q✉❛ ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ❝❤♦ t❤➜② ❝❤ó♥❣ ❝â t✐➲♠ ♥➠♥❣ t♦ ❧î♥ ✤➸ →♣

✲ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sè✱ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝t❤❛♠ sè ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➔ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝→❝ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ✈➟t ❧þ ❜➡♥❣ ✤ç t❤à✳

✲ ❙û ❞ö♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë ❦➳t ❤ñ♣ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ❦❤æ♥❣ ❝➙♥

❜➡♥❣ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t ✤➦❝ t➼♥❤ ✤✐➺♥ tû ✭❝➜✉ tró❝ ✈ò♥❣✱ ♠➟t ✤ë tr↕♥❣ t❤→✐✱ ✳✳✳✮ ✈➔t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû ✭✤➠❝ tr÷♥❣ ■✭❱✮✱ ♣❤ê ❚✭❊✮✱ ✳✳✳✮ tr♦♥❣ ❤➺ ✈➟t

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝➜✉ tró❝ ❞à ❝❤➜t✳ ❙ü ❦❤æ♥❣ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ ♥↔② s✐♥❤ tr♦♥❣t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t ❞➝♥ ✤➳♥ sü t❤❛② ✤ê✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤✐➺♥ ✈➔ q✉❛♥❣ q✉❛♥trå♥❣✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ♥❤÷ sü ❣✐❛♠ ❝➛♠ ❤↕t t↔✐ ✭❞♦ sü ❜➜t ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ✈ò♥❣ ❞➝♥

❤❛② ✈ò♥❣ ❤â❛ trà✮ ❤❛② sü ❣✐❛♠ ❝➛♠ ❜ù❝ ①↕ ✭❞♦ sü ❜➜t ❧✐➯♥ tö❝ ✈ò♥❣ ❝➜♠✮✳

❈➜✉ tró❝ ❤❛✐ t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t ✤÷ñ❝ t↕♦ t❤➔♥❤ tø ♠ët ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ♠ä♥❣

✭✤ë ❞➔② ❦❤♦↔♥❣ ✶✵✵ ♥♠✮ ❦➭♣ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ❧î♣ ❜→♥ ❞➝♥ ❦❤→❝ t↕♦ r❛ ♠ët ❣✐➳♥❣t❤➳ tr♦♥❣ ✈ò♥❣ ❞➝♥ ❤❛② ✈ò♥❣ ❤â❛ trà ✈➔ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ♠ët ❣✐➳♥❣

❤÷ð♥❣ ✤➳♥ ❝÷í♥❣ ✤ë ♣❤➙♥ ❝ü❝ tü ♣❤→t✳

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❙ü s➢♣ ①➳♣ ♥❣✉②➯♥ tû tr➯♥ ♠➦t ●❛ ✈➔ ◆ ❝õ❛ t✐♥❤ t❤➸ ●❛◆✳ ▼ô✐t➯♥ ❝❤➾ ❤÷î♥❣ ♣❤➙♥ ❝ü❝ tü ♣❤→t✳

❙ü ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❜ê s✉♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ♥✐tr✐❞❡ ♥❤â♠ ■■■ ❞♦ sù❝ ❝➠♥❣

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➙♥ ❝ü❝ →♣ ✤✐➺♥ Pz✳ ❈→❝ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ✤✐➺♥ t➼❝❤ t↕✐ t✐➳♣ ❣✐→♣

❞à ❝❤➜t ✈➔ ❦❤➼ ✤✐➺♥ tû ❤❛✐ ❝❤✐➲✉ ✭✷❉❊●✮ ✤➲✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❝↔ ♣❤➙♥ ❝ü❝ →♣

✤✐➺♥ Pz ✈➔ ♣❤➙♥ ❝ü❝ tü ♣❤→t Psp✳ ●✐→ trà Psp tr♦♥❣ ✈➟t ❧✐➺✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✱tr♦♥❣ ❦❤✐ Pz❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝õ❛ sù❝ ❝➠♥❣ ✈➔ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ tø ❜✐➸✉ t❤ù❝s❛✉✿

❝♠2/❱✳s✳ ▼➟t ✤ë ❤↕t t↔✐ ✷❉❊● ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ❝❤➾♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ✤ê✐

✤ë ❞➔② ❧î♣ r➔♦ ❆❧●❛◆ ❝ô♥❣ ♥❤÷ t❤❛② ✤ê✐ ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❦✐♠ ❧♦↕✐ ❆❧✳ ❑❤✐ ①↔②r❛ sü ♣❤➙♥ ❝ü❝ ♠↕♥❤ ✭∼ ✶ ▼❱❝♠−1✮✱ ✤✐➺♥ tû ✤÷ñ❝ ✤➞② t➽♥❤ ✤✐➺♥ ❣➛♥ ✈î✐

❜➲ ♠➦t ❆❧●❛◆✴●❛◆ ✈➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ sâ♥❣ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ ✤➳♥ ❣➛♥ ❜➲

♠➦t ❞à ❝❤➜t✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ sü ❣✐❛ t➠♥❣ t→♥ ①↕ ❜➜t tr➟t tü ❤ñ♣ ❦✐♠ ✈➔t→♥ ①↕ ♥❤→♠ ❜➲ ♠➦t✳ ✣➙② ❧➔ ❝→❝ q✉→ tr➻♥❤ t→♥ ①↕ ❝❤✐➳♠ ÷✉ t❤➳ ð ♥❤✐➺t ✤ët❤➜♣✱ ✈➔ ♥❣❛② ❝↔ ð ♥❤✐➺t ✤ë ♣❤á♥❣ ❦❤✐ ✷❉❊● ❝â ♠➟t ✤ë ❝❛♦✳

✶✳✷ ❱➟t ❧✐➺✉ ❣r❛♣❤❡♥❡ ✈➔ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡

✶✳✷✳✶ ❱➟t ❧✐➺✉ ❣r❛♣❤❡♥❡

●r❛♣❤❡♥❡ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❧î♣ ❣r❛♣❤✐t❡ ❝â ✤ë ❧✐♥❤ ✤ë♥❣ ❤↕t t↔✐ ❝❛♦✱ tr♦♥❣

❦❤♦↔♥❣ ✷✵✵✵✕✺✵✵✵ ❝♠2✴❱s✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❝â ❦❤↔ ♥➠♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝❤♦tr❛♥s✐st♦r ❤✐➺✉ ù♥❣ tr÷í♥❣ ✭❋❊❚✮ ❤♦↕t ✤ë♥❣ ð t➛♥ sè ❝❛♦✳ ●r❛♣❤❡♥❡ ❝ô♥❣t❤➸ ❤✐➺♥ ✤ë tr♦♥❣ s✉èt q✉❛♥❣ ❤å❝ ❝❛♦ ❧➯♥ ✤➳♥ ✾✼✱✼ % ♥➯♥ ❧➔ ♠ët ù♥❣ ✈✐➯♥t✐➲♠ ♥➠♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ ♣✐♥ ♠➦t trí✐✱ ❧÷✉ trú ❞ú ❧✐➺✉ ❜❛ ❝❤✐➲✉✳ ◆❣♦➔✐r❛✱ ❣r❛♣❤❡♥❡ ❝á♥ ❝â ✤ë ❞➝♥ ♥❤✐➺t✱ ♠♦❞✉❧ ❨♦✉♥❣ ❝❛♦ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❜➲ ♠➦t

❝ù✉ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ✤➦❝ t➼♥❤ ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡ ✤➣ ✤÷ñ❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥✳ ❑➳tq✉↔ ❦❤↔♦ s→t ❝➜✉ tró❝ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡ ♣❤❛ t↕♣ t❤❛② t❤➳ ❙✐✱ ❇✱ ◆ ❝❤♦ t❤➜②✱

✤✐➺♥ tû✱ ❝➜✉ tró❝ ✈ò♥❣✱ ♠➟t ✤ë tr↕♥❣ t❤→✐✱ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ ✈➔ ✤➦❝ tr÷♥❣

■✭❱✮✳

❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr÷î❝ ✤➙②✳

❍➻♥❤ ✷✳✶✿ ▼æ ❤➻♥❤ ♣❤❛ t↕♣ ✤✐➲✉ ❜✐➳♥ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❆❧●❛◆✴●❛◆✳

❆❧●❛◆ ✈➔ ●❛◆✿ V0= ∆Ec(x)✱ ✈î✐ x ❧➔ ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❦✐♠ ❧♦↕✐ ❆❧ tr♦♥❣ ❆❧●❛◆✳

❚❤➳ ❣➙② ❜ð✐ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝✿ ❉♦ ♣❤➙♥ ❝ü❝ tü ♣❤→t ✈➔ ♣❤➙♥ ❝ü❝

→♣ ✤✐➺♥✱ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❞à ❝❤➜t ♥✐tr✐❞❡ tç♥ t↕✐ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❞÷ì♥❣ ❜❛♦q✉❛♥❤ ❜➲ ♠➦t t✐➳♣ ❣✐→♣✳ ◆❤ú♥❣ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♥➔② t↕♦ r❛ ♠ët ✤✐➺♥ tr÷í♥❣ ✤ç♥❣

hV■i = E■+4πe

2n■

εa

 d + s2κ+ A

2

k c

2+ 4c + 6

 ✭✷✳✷✵✮

♣❤➥♥❣ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ ζ′(z = 0)t➠♥❣ ❧➯♥✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ tr♦♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ r➔♦ ❤ú✉ ❤↕♥✱

❤➔♠ sâ♥❣ ❝â t❤➸ ①✉②➯♥ q✉❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥✱ ✈➻ ✈➟② ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ sâ♥❣

❞à❝❤ ❝❤✉②➸♥ ✈➲ ♣❤➼❛ r➔♦ ✈➔ ❣✐→ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ζ(0) ❣✐↔♠✳ ❑➳tq✉↔ ❧➔ t→♥ ①↕ ♥❤→♠ ❦➳t ❤ñ♣ ✭❈❘✮✱ sü ❦➳t ❤ñ♣ ❣✐ú❛ ♥❤→♠ ❜➲ ♠➦t ✈➔ ♥❤→♠

❤ú✉ ❤↕♥✳

❈❤÷ì♥❣ ✸

❍✐➺♥ t÷ñ♥❣ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❞à ❝❤➜t ♣❤➙♥ ❝ü❝

τ =

12π¯hE❋

4

2 (t + 1)32 c4+ 4c3+ 8c2+ 8c + 4
+ t 4c4+ 12c3+ 18c2+ 18c + 9
+ t2 2c4+ 4c3+ 6c2+ 6c + 3
 ✭✸✳✺✮

✈î✐

t = q/k, a = κ/k ✭✸✳✻✮

❚÷ì♥❣ q✉❛♥ tr÷í♥❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❞♦ ❤✐➺✉ ù♥❣ tr❛♦ ✤ê✐ ♥❤✐➲✉ ❤↕t ❝õ❛ ✷❉❊●

2c(t + 1)2+

✈î✐ t = q/k ✈➔ a = κ/k✳

✤ë ❧✐♥❤ ✤ë♥❣ ❞♦ t→♥ ①↕ ♥❤→♠ ❦➳t ❤ñ♣ t➠♥❣ ❦❤✐ t➠♥❣ ♠➟t ✤ë ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥

❝ü❝ σ/e✱ ✈➔ t→♥ ①↕ ♥➔② t➠♥❣ ♥❤➭ ❦❤✐ ♠➟t ✤ë NI t➠♥❣✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ ✤ë ❧✐♥❤

✤ë♥❣ ❞♦ t→♥ ①↕ ❆❉ ❣✐↔♠ ❦❤✐ ♠➟t ✤ë ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝ t➠♥❣✱ ✈➔ t➠♥❣ ❦❤✐

✸✳✷✳✷ ❙♦ s→♥❤ ✈î✐ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠

❱➟♥ ❝❤✉②➸♥ ❝õ❛ ✷❉❊● ð ♥❤✐➺t ✤ë t❤➜♣ tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❞à ❝❤➜t ♣❤➙♥ ❝ü❝

❜à ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ t→♥ ①↕ ❆❉ ✈➔ ❈❘ r➜t ♥❤↕② ✈î✐ sü ♣❤➙♥ ❜è ✷❉❊● ❣➛♥ t✐➳♣

❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ ♥➔②✱ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❣✉ç♥ ❣✐❛♠ ❣✐ú ❧➯♥ ❤➔♠sâ♥❣ ✤✐➺♥ tû✿ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝ ð t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t✱ ✐♦♥ ❞♦♥♦r ✈➔ ✷❉❊●

✤÷ñ❝ ①➨t ✤➳♥✳ ❚ø ✤â✱ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ❝õ❛ ✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝ ð t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t

✈➔ ♠➟t ✤ë ❞♦♥♦r ✤➳♥ ✤ë ❧✐♥❤ ✤ë♥❣ r✐➯♥❣ ♣❤➛♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❦❤↔♦ s→t✳ ❉♦ ❝→❝ ✤↕✐

❧÷ñ♥❣ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ♠➟t t❤✐➳t ✈î✐ ♥❤❛✉ ♥➯♥ ❦❤✐ ♠ët t❤❛♠ sè ❜à t❤❛② ✤ê✐ s➩

❧➔♠ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ✤➳♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❦❤→❝✳ ❈ö t❤➸✱ ❦❤✐ t❤❛② ✤ê✐ ❤➔♠ ❧÷ñ♥❣ ❆❧tr♦♥❣ ❤ñ♣ ❦✐♠ ❞➝♥ ✤➳♥ sü t❤❛② ✤ê✐ ❝❤✐➲✉ ❝❛♦ r➔♦ V0(x)✱ ♠➟t ✤ë ✤✐➺♥ t➼❝❤

♣❤➙♥ ❝ü❝ σ (x)✱ ♠➟t ✤ë ✷●❊❉ ns(x)✱ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣ sè ♥❤→♠✿ ∆ (x) , Λ (x)✳

❑➳t q✉↔ ❝❤♦ t❤➜②✿

✲ ❑➯♥❤ ✷❉❊● ♥➡♠ r➜t ❣➛♥ ✈î✐ t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t✱ ✈➔ ❞♦ ✤â✱ ❦➯♥❤ ♥➔② ❝ât❤➸ r➜t ♥❤↕② ✈î✐ ❜➜t ❦ý q✉→ tr➻♥❤ ✈➟t ❧þ ♥➔♦ ①↔② r❛ t↕✐ t✐➳♣ ❣✐→♣ ❞à ❝❤➜t ❝õ❛

→♣ ❞ö♥❣✳

❈❤÷ì♥❣ ✹

❍✐➺♥ t÷ñ♥❣ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû tr♦♥❣ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡

❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❨✉❛♥ ✈➔ ❝ë♥❣ sü✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ EB ❝õ❛ ❙❙P●◆❘ ♣❤❛t↕♣ ◆✱ P ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲✐ ✈➔ ❝ë♥❣ sü✳

❚❤æ♥❣ sè ❝➜✉ tró❝

❇↔♥❣ ✹✳✶ ♠æ t↔ t❤æ♥❣ sè ❝➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠➝✉ ❦❤↔♦ s→t s❛✉ ❦❤✐ tè✐ ÷✉✳

❈â t❤➸ t❤➜② rã ✤ë ❞➔✐ ❧✐➯♥ ❦➳t ❝â sü t❤❛② ✤ê✐ ✤→♥❣ ❦➸ ð ♥❤ú♥❣ ❝❛r❜♦♥ ❧✐➯♥

❦➳t ✈î✐ ♥❣✉②➯♥ tû ♣❤❛ t↕♣✳ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ t❤✉ ✤÷ñ❝✱ ✤ë ❞➔✐ ❧✐➯♥ ❦➳t t➠♥❣ ❞➛♥t❤❡♦ t❤ù tü ❙❙P●◆❘ ≈ ◆✲❙❙P●◆❘ ❁ P✲❙❙P●◆❘ ❁ ❙✐✲❙❙P●◆❘✳ ❑➳t q✉↔

tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ✹✳✷✳ ❙❙P●◆❘ t❤✉➛♥ ✈➔ ❙✐✲❙❙P●◆❘ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ❜→♥ ❞➝♥

✈î✐ ✤ë rë♥❣ ✈ò♥❣ ❝➜♠ ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ✷✳✻ ❡❱ ✈➔ ✷✳✷ ❡❱✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❙❙P●◆❘t❤✉➛♥ ❝â ✈ò♥❣ ❝➜♠ trü❝ t✐➳♣ ✈î✐ ✤➾♥❤ ✈ò♥❣ ❤â❛ trà ✈➔ ✤→② ✈ò♥❣ ❞➝♥ ð Γtr♦♥❣ ❦❤✐ ❙✐✲❙❙P●◆❘ ❝â ✈ò♥❣ ❝➜♠ ❣✐→♥ t✐➳♣✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❝➜✉ tró❝ ✈ò♥❣ ❝õ❛

❝â t❤➸ ❜ä q✉❛✳ ❑➳t q✉↔ t÷ì♥❣ tü ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ t➜t ❝→❝ ❝➜✉ tró❝

❙❙P●◆❘ ✤÷ñ❝ ♣❤❛ t↕♣ ❙✐✱ ◆✱ P✳

❝õ❛ ◆✲❙❙P●◆❘ ✤↕t ❝ü❝ ✤↕✐ ð ✵✳✽ ❱✱ ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ❝õ❛ P✲❙❙P●◆❘ ✤↕t

❝ü❝ ✤↕✐ ð ✵✳✺ ❱✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ❝ü❝ ✤↕✐ ð ❤❛✐ ♠➝✉ ◆✲❙❙P●◆❘

❧î♥ ❤ì♥ ❦❤♦↔♥❣ 109❧➛♥ s♦ ✈î✐ ❤➺ ✤÷ñ❝ ♣❤❛ t↕♣ ❙✐ ✈➔ ❤➺ t❤✉➛♥✳ ❑➳t q✉↔ tr➯♥

❝❤➾ r❛ r➡♥❣✱ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ♠↕♥❤ ♠➩ ❧➯♥ ✤➦❝ t➼♥❤ I(V )✳

✣➸ ❧➔♠ rã ❧þ ❞♦ ❞➝♥ ✤➳♥ sü ❦❤→❝ ❜✐➺t ✤→♥❣ ❦➸ ❣✐→ trà ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣tr♦♥❣ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♥❤â♠ ✈➟t ❧✐➺✉✿ ❙❙P●◆❘ t❤✉➛♥✱ ❙✐✲❙❙P●◆❘ ✈➔ ◆✲❙❙P●◆❘✱P✲❙❙P●◆❘✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ✈ò♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤✐➺♥ ❝ü❝ ✭tr→✐ ✈➔ ♣❤↔✐✮

✈➔ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ ð ✤✐➺♥ t❤➳ ❜➡♥❣ ✶✳✵ ❱ ✤÷ñ❝ t➼♥❤ t♦→♥ ✭❤➻♥❤ ✹✳✻✮✳

▼ët ✤✐➸♠ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➺ ❦❤↔♦ s→t ❧➔ sü ❤✐➺♥ ❞✐➺♥ ❝õ❛ ✤✐➺♥trð ✈✐ ♣❤➙♥ ➙♠✳ ✣➸ ✤→♥❤ ❣✐→ ❤✐➺✉ s✉➜t ❝õ❛ ✤✐➺♥ trð ✈✐ ♣❤➙♥ ➙♠✱ t✛ ❧➺ Ip/Iv

❍➻♥❤ ✹✳✽✿ ❈➜✉ tró❝ ✈ò♥❣ ✤✐➺♥ ❝ü❝ tr→✐✱ ✤✐➺♥ ❝ü❝ ♣❤↔✐ ✈➔ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ ❝õ❛P✲❙❙P●◆❘ t↕✐ ❛✮ ✵✳✺ ❱ ✈➔ ❜✮ ✵✳✾ ❱✳ ❝✮ ✈➔ ❞✮ ❚r↕♥❣ t❤→✐ t→♥ ①↕ t↕✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà

♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ✈î✐ ✏✐s♦✈❛❧✉❡✑ ❜➡♥❣ ✵✳✷✳

✈î✐ Ip❧➔ ❝÷í♥❣ ✤ë ✧✤➾♥❤✧ ✈➔ Iv ❝÷í♥❣ ✤ë ✧✤→②✧ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤♦t❤➜②✱ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠➝✉ ✤➲✉ ❝â ✤✐➺♥ trð ✈✐ ♣❤➙♥ ➙♠ ♥❤ä ❤ì♥ ✶✵✳

✣➸ ❧➔♠ rã t❤➯♠ sü ❦❤→❝ ❜✐➺t ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ✈➔ sü ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ✧✤➾♥❤✧ ❤❛②

✧✤→②✧ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ tr♦♥❣ ❝→❝ ♠➝✉ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♣❤êtr✉②➲♥ q✉❛ t↕✐ ✤✐➺♥ t❤➳ ①→❝ ✤à♥❤ ✈î✐ ❝➜✉ tró❝ ✈ò♥❣ ✤✐➺♥ ❝ü❝ tr→✐✱ ♣❤↔✐ ❝õ❛

❧↕✐ t❤➸ ❤✐➺♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ❦✐♠ ❧♦↕✐✳ ❈÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ♠➝✉ ♥➔② t➠♥❣ ❦❤♦↔♥❣

109 ❧➛♥ ❞♦ t➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❡❧❡❝tr♦♥ tü ❞♦ ✈➔ sè ❦➯♥❤ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦➳tq✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ♣❤ê tr✉②➲♥ q✉❛ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ♣❤ò ❤ñ♣ ✈î✐ ✤➦❝ t➼♥❤ I(V )✳ ✣✐➺♥trð ✈✐ ➙♠ ❧➔ ♠ët ✤➦❝ ✤✐➸♠ ♥ê✐ ❜➟t ❝õ❛ ❙❙P●◆❘✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ✈î✐ ◆✲❙❙P●◆❘

✈➔ P✲❙❙P●◆❘✳ ◆❤ú♥❣ ✤➦❝ t➼♥❤ ♥➔② ❧➔♠ ❝❤♦ ❝→❝ ♠➝✉ ❦❤↔♦ s→t trð t❤➔♥❤

♥❤ú♥❣ ù♥❣ ✈✐➯♥ t✐➲♠ ♥➠♥❣ ✤➸ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤✐➳t ❜à ✤✐➺♥ tû ♥❛♥♦✳

✤✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❧➯♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû ❝õ❛ ❤➺ ✈➟t ❧✐➺✉✳

✲ ✣è✐ ✈î✐ ✈➟t ❧✐➺✉ ♣❤➙♥ ❝ü❝ ❞↕♥❣ ♠î✐ ♥❤÷ ❝→❝ ♥❛♥♦r✐❜❜♦♥✱ ❝ö t❤➸ ❧➔ ❝➜✉tró❝ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡ ♥❛♥♦r✐❜❜♦♥✱ tø ❧÷ñ❝ ❦❤↔♦ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ r➜t

❝➛♠ ❧÷ñ♥❣ tû✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❣✐❛♠ ❝➛♠ ♣❤➙♥ ❝ü❝✳ ❚❤æ♥❣ q✉❛ ✤â✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜✐➸✉t❤ù❝ ❤➔♠ tü t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ✤ë ❧✐♥❤ ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ✤✐➺♥ tû tr♦♥❣ ❝➜✉ tró❝ ❞à

❝❤➜t ♣❤➙♥ ❝ü❝ ♣❤❛ t↕♣ ✤✐➲✉ ❜✐➳♥ ❆❧●❛◆✴●❛◆✳

❱➲ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ sè✿

✲ ❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sè✱ ❧➟♣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛✿

✰ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ t❤❛♠ sè ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ❝❤÷ì♥❣tr➻♥❤ ♠→② t➼♥❤ tø ✤â ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ♥➠♥❣ ❧÷ñ♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ð tr↕♥❣ t❤→✐ ❝ì ❜↔♥✳

✲ ❱✐➺❝ ♣❤❛ t↕♣ ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ♠↕♥❤ ♠➩ ✤➳♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ❝➜✉ tró❝ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➟♥

❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû ❝õ❛ ❝→❝ ❝➜✉ tró❝ ❙❙P●◆❘✳ ❈ö t❤➸✱ ❙❙P●◆❘ ✈➔ ❙✐✲❙❙P●◆❘t❤➸ ❤✐➺♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ❜→♥ ❞➝♥✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ◆✲❙❙P●◆❘ ✈➔ P✲❙❙P●◆❘ t❤➸ ❤✐➺♥

✤➦❝ t➼♥❤ ❦✐♠ ❧♦↕✐✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❝÷í♥❣ ✤ë ❞á♥❣ tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠➝✉ ◆✲❙❙P●◆❘ ✈➔P✲❙❙P●◆❘ t➠♥❣ ✾ ❜➟❝ ✤ë ❧î♥ s♦ ✈î✐ ♠➝✉ t❤✉➛♥✳ ✣➦❝ t➼♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ➙♠ ❝ô♥❣

❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ✤➦❝ ❜✐➺t tr♦♥❣ ❝→❝ ♠➝✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✣➙② ❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ♠î✐ ♠➔ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝✳

❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❤➺ ✈➟t ❧✐➺✉ ❆❧●❛◆✴●❛◆ ✈➝♥ ✤❛♥❣ t❤✉ ❤ót ✤÷ñ❝ sü q✉❛♥ t➙♠

♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝↔ ❧þ t❤✉②➳t ❧➝♥ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱ P●◆❘ ❧➔ ♠ëttr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➟t ❧✐➺✉ t✐➲♠ ♥➠♥❣ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥❣ ✤✐➺♥ tû✳ ✣✐➲✉

♥➔② t↕♦ ❝ì ❤ë✐ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ t✐➳♣ tö❝ ♠ð rë♥❣ ❤÷î♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t✐➳♣ t❤❡♦

♥❤÷✿ ❦❤↔♦ s→t ❤✐➺♥ t÷ñ♥❣ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥ tû ❝õ❛ ✈➟t ❧✐➺✉ ❆❧●❛◆✴●❛◆ ❜➡♥❣

♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ ♠➟t ✤ë tr➯♥ ❝→❝ ❤➺ ♠→② t➼♥❤ ❤✐➺✉ ♥➠♥❣ ❝❛♦✱ ❦❤↔♦s→t sü ↔♥❤ ❤÷ð♥❣ ✈à tr➼ t↕♣ ❤♦➦❝ ✤ç♥❣ ♣❤❛ t↕♣ ❧➯♥ ✤➦❝ t➼♥❤ ✈➟♥ ❝❤✉②➸♥ ✤✐➺♥

tû ❝õ❛ ❝➜✉ tró❝ ♣❡♥t❛✲❣r❛♣❤❡♥❡ ♥❛♥♦r✐❜❜♦♥✳