ToanThayTan giới hạn hàm số (lý thuyết + bài tập vận dụng) ăn chắc 8

GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ 3... • Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất... a n Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy un không có giới hạn.

fb.com/toanthaytan 1

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN

TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u n có công bội q thỏa q <1 Khi đó tổng

1 2 n

S u= +u + +u + gọi là tổng vô hạn của CSN và

→+∞ = +∞ ⇔ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một

số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC

Quy tắc 1: Nếu limu = ±∞ n , limv = ±∞ n thì lim( )u v n n được cho như sau;

limu n limv n lim(u v n n) +∞

Quy tắc 2: Nếu limu = ±∞ n , limv n=l thì lim( )u v n n được cho như sau;

limu n Dấu của l lim(u v n n)

v được coi như sau;

Dấu của l Dấu của v n

lim n n

u v

+∞

−∞

−∞

fb.com/toanthaytan 3

Vấn đề 1 Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp:

• Để chứng minh limu = n 0 ta chứng minh với mọi số a >0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số n a sao cho u n <a ∀ >n n a

• Để chứng minh limu n=l ta chứng minh lim(u n− =l) 0

• Để chứng minh limu = +∞ n ta chứng minh với mọi số M >0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên n M sao cho u n >M ∀ >n n M

• Để chứng minh limu = −∞ n ta chứng minh lim(−u n)= +∞

• Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

a n

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví dụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

82

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim 1

1

n + bằng:

M n

++ bằng:

fb.com/toanthaytan 7

Ta có: 3n32 n 3n 1 M n n M

n n

−+ bằng:

n

a n

fb.com/toanthaytan 8

Bài 13 Giá trị của lim 2 1

1

n C

+

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim2 22 3 1

n n

51

sin 2 1

2

11

n n A

n

−+

2

n B

=

+ bằng:

n D

k

k u

( )2

1

q q

1

n n n

n u

Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n k= , chia cả tử và mẫu cho k

1 1

1

11

lim

11

I

a b

b

+ +

Từ công thức truy hồi ta có: x n+1 >x n, ∀ =n 1,2,

Nên dãy ( )x n là dãy số tăng

Giả sử dãy ( )x n là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại limx n =x

Với x là nghiệm của phương trình : 2

k

+Tìm limu n với n 1n 2n 2011n

−

n n k

+ + nên suy ra limu = n 1

Bài 69 Tìm limu n biết

dau can

2 2 2

n n

Bài 72 Cho a b, ∈ ⊻,( , ) 1;a b = n∈{ab+1,ab+2, } Kí hiệu r n là số cặp số ( , )u v ∈ ⊻× ⊻

sao cho n au bv= + Tìm lim n 1

Ta có au0+bv0 =n au bv, + =n suy ra a u u( − 0)+b v v( − 0) 0= do đó tồn tại k nguyên dương

sao cho u u= 0+kb v, =v0−ka Do v là số nguyên dương nên 0

1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói rằng hàm số f x( ) xác định

trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ( )x n bất kì,

1.3 Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số y= f x( ) xác định trên ( ;a +∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi

dãy số ( ) :x n x n >a và x → +∞ n thì ( )f x n →L Kí hiệu: lim ( )

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi −∞ hoặc+∞

2 Các định lí về giới hạn

(hayx→ +∞;x→ −∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x→x0

(hayx→ +∞;x→ −∞)

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không

áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

1

x

x B

2

x

x C

n n

Ta có: limx n=limy n=0 và lim ( ) 1; lim ( ) 0f x n = f y n =

Nên hàm số không có giới hạn khi x →0

2 Tương tự ý 1 xét hai dãy: ;

2

x

x x

fb.com/toanthaytan 32

Với mọi dãy ( ) : limx n x = n 1 ta có: lim 1 2

2

n n

x x

1

x

x x

n

x x

2

x

x x

→

+ −

bằng định nghĩA

x x

n

x x

1lim

2

x

x x

2

x

x x

→

+

= +∞

−

4lim

3 1 khi 12

( )

khi 13

x x

fb.com/toanthaytan 36

1

khi 01

f x

x x

x

x B

fb.com/toanthaytan 37

9

+ D.1

4

x

x A

tan

x

x B

1 khi 2( )

Bài.10 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại

0

x =

2 2

5 3 2 1 0( )

5 3 2 1 0( )

1 khi 1( )

x x

f x A

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f x( ) có nghiệm x=x0 thì ta có :

( )lim( )

x x

f x A

g x

→

= , nếu giới hạn này có dạng 0

0 thì ta tiếp tục quá trình như trên

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax2 +bx+c có hai nghiệm x x1, 2 thì ta luôn có sự phân tích 2

n x

x A

x

x B

fb.com/toanthaytan 42

1 Đặt t= −x 1 ta có: 3

0

2 1 1 2lim

3

t

t B

x

x I

ax A

+ α −+

fb.com/toanthaytan 46

Bài 12 Tìm giới hạn 43

0

1 1lim

x

x D

x D

4( 1) (5 3) 2 5 3 4lim

t

t t

x C

fb.com/toanthaytan 55

Bài 2 Tìm giới hạn 3 4 6

1lim1

x

x E

1 1

0 1

1 1

lim

41

x

x C

Do đó:

22lim

x

x A

x

x B

1 1

0 1

1 1

x B

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn lim( 2 1 )

→+∞

n x

x

x A

x x

1lim sin

ax A

2sin 2 sin cos

sin 2 2 sin 2 cos 2

2 sin2

x

x A

1 cos 2

x

x C

2 lim( ) ( ) (1 cos 2 cos 2 ).

sin( )

m n x

x A

Bài 11 Tìm giới hạn lim(sin 1 sin )

sin 3

x

x B

x B

x

x C

x

x D

sin(tan )

x

x E

x x

ax M

sin 3

x

x B

x B

x

x C

x

x D

sin(tan )

x

x E

sin(tan )tan

x

x x E

x x

2 2

sin2

2 sin

2

fb.com/toanthaytan 75

2 2

2

sin2sin

2

12lim

x

x M

x x