Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm. Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục. a) Giải phương trình.. b) Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 100 học[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
3 3 2
y x x Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2
x
f x
x
1;3Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Câu 3 (1,0 điểm).
2 1
a) Giải bất phương trình
log 9x log x5 x b) Giải phương trình
Câu 4 (1,0 điểm)
2
ln x
y
x
y 0, x 1,x e. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ,
Oxyz A 2; 1;3 AOzO, Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ ,
cho điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục Viết phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với mặt phẳng
Câu 6 (1,0 điểm).
2cos 2x8sinx 5 0 ( x ).a) Giải phương trình
b) Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT có 100 học sinh, trong đó có 60 học sinh nam và 40 học sinh nữ Nhà trường chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ đội thanh niên tình nguyện đó để tham gia một tiết mục văn nghệ chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có đúng 1 học sinh nữ
S ABCD , a SA E BC SC, SAB 30 o
a S ABCD DE SCCâu 7 (1,0 điểm) Cho hình
chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi là trung điểm của góc giữa và mặt phẳng bằng Tính theo thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng ,
Oxy ABCD BD B . x y 5 0 E F D B AC , B D CE 5 A4;3 C0; 5 Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính
Đỉnh thuộc đường thẳng có phương trình Các điểm và lần lượt là hình chiếu vuông góc của và lên Tìm tọa độ các đỉnh biết và ,
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình
x x x x x x x
, ,
a b c a2 b2 c2 1.Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(HDC gồm 07 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài
học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với Câu 7 và Câu 8, nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
Câu 1 (1,0 điểm).
D *) Tập xác định:
*) Sự biến thiên:
2
y' = 3x - 6x = 3x(x - 2) y' = 0
0 2
x
x + Chiều biến thiên: ,
y'
y'
0, 0;2
x
x
;0 2;
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
0;2 Hàm số nghịch biến trên khoảng 0,25
CĐ
x = 0,y = y(0)= 0+ Cực trị: Hàm số đạt giá trị cực đại tại
CT
x = 2, y = y(2)= -4 Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại
x
+ Giới hạn và tiệm cận:
x
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
0,25
+ Bảng biến thiên:
0,25
*) Đồ thị hàm số:
Ox 0;0 , 3;0 Đồ thị hàm số giao với trục tại các điểm:
Trang 3Oy 0;0 Đồ thị hàm số giao với trục tại điểm:
0,25
Câu 2 (1,0 điểm).
1;3 2 1
2
x
f x
x
Hàm số liên tục trên đoạn
2
2 1
f '(x)
2 x
2 2
x
1 2 1 1 7
f 2 2 2 1 3;
2 2
f 3 2 3 1 19
f
1;3
7
2
f x f
1;3
min ( )f x f 2 3
Từ đó ta có:
f x 1;3 3 x 2.Vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng khi
f x 1;3 7
2 x 1 Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng khi
0,25
Câu 3 (1,0 điểm).
a)
2 1
3 x 2.3x 1 0
2
3.3 x 2.3x 1 0
3.3x 1 3 x 1 0
0,25
0,25
Trang 4
S 0; .Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm:
0
0
x
x
x
b) Điều kiện xác định:
Khi đó ta có phương trình:
log 9x log x5 log 9 log3 3xlog32 x5
0,25
1
2
2 3
(thỏa mãn điều kiện xác định)
9
x Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0,25
Câu 4 (1,0 điểm)
điểm
2
ln x
0, x 1;e
x Vì: nên diện tích hình phẳng cần tìm là:
ln x ln x
1
t ln x dt dx
x
Đặt:
x 1 t 0 Đổi cận: Với ta được
x e t 1 Với ta được
0,25
1 1
0 0
1
S t dt t
3
Khi đó:
0,25
.
3 Vậy: Diện tích hình phẳng cần tìm bằng 0,25
Câu 5 (1,0 điểm)
A 2; 1;3 Oz k 0;0;1 Mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục
0 x 2 0 y 1 1 z 3 0 z 3 0. Mặt phẳng có phương trình: 0,25
0;0;0
O R d O, 3.
Mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng có bán
2 2 2 9.
Câu 6 (1,0 điểm)
2cos 2x8sinx 5 0 2(1 2sin ) 8sin 2x x 5 0 a)
Trang 52sinx 1 2sin x 3 0
2
x 2sinx 3 0 x ,
Z
2 6
( ) 5
2 6
k
( do )
2 , 5 2 ( Z)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm : 0,25
b) Không gian mẫu:
:
“ 3 học sinh bất kỳ từ 100 học sinh của đội thanh niên tình nguyện”
3
:
A Biến cố “ 3 học sinh bất kỳ từ 100 học sinh của đội thanh niên tình nguyện
sao cho có đúng 1 học sinh nữ ”
602 140 70800
n A C C
Xác suất cần tìm là
0,25
Câu 7 (1,0 điểm)
điểm
Vì
0,25
A
I
S
D
E
K H
Trang 6 30o
hình chiếu vuông góc của trên mp Vậy góc hợp bởi với là
3
a
ABCD C DE AD I Trong dựng đường thẳng qua song song với cắt tại
, , ,
A,
AI
AK CI K CI AH SK H SK 1
Từ A kẻ , kẻ
2
SA CI
1 , 2 AH SCI dA,SCI AH.
5
CI
Ta có
, 1 , 1 38
Câu 8 (1,0 điểm).
điểm
Trang 7CH || AB CH AD Gọi H là trực tâm tam giác ACD, suy ra nên (1)
Mặt khác AH||BC ( cùng vuông góc với CD ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCH là hình bình hành nên CH=AB (3)
Từ (3) và (4) suy ra: (cạnh huyền và góc nhọn) Vậy CE = AF.
0,25
900
2x y 5 0 Phương trình đường thẳng AC:
FAC F a a ;2 5 AF CE 5
5 3
a a
Vì nên Vì
a F Với (không thỏa mãn vì F nằm ngoài đoạn AC)
a F AFEC E1; 3
Với (thỏa mãn) Vì
0,25
(2;4)
EF
2 5 0
B5;0BF qua F và nhận làm một véc tơ pháp tuyến, do đó BF có phương trình: B là giao điểm của và BF
Trang 8EF
2 5 0
x y Đường thẳng DE qua E và nhận làm một véc tơ pháp tuyến,
DE có phương trình:
(1; 3)
AB
3 5 0
x y Đường thẳng DA qua A và nhận làm một véc tơ pháp tuyến,
DA có phương trình:
DE nên tọa độ D là nghiệm của hệ phương trình: Kết luận:
0,25
Câu 9 (1,0 điểm).
7.
-1 x Điều kiện xác định:
Phương trình đã cho tương đương với:
2
0,25
7
-1 x x 3 2 x 1 7 x 4 4Với điều kiện ta có: 0,25 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
x 1 7 x 2 1 1 x 1 7 x 16 x 1 7 x 4
0,25
* Từ đó ta có phương trình tương đương với:
x 3 2 x 1 7 x 4 4
x 3.
x = 3.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất : 0,25
Câu 10 (1,0 điểm)
điểm
, ,
a b c a2 b2 c2 1Vì là các số thực dương thoả mãn điều kiện nên ta có:
0 , , 1
1
1
1
a b c
3 3
Thật vậy, ta xét :
2
3 3
a
0;1
a
(luôn đúng với )
Trang 92 2
3 3
a
a
a
3 3
a b c ab bc ca a b c Mặt khác ta lại có:
3 3
ab bc ca
2 2 2
ab bc ca a b c ab bc ca abc +) Xét:
P ab bc ca ab bc ca ab bc ca
Suy ra
0,25
t ab bc ca 0 t 1. Đặt
điều kiện
3 3 2 2
Pt t t f t ( ) t3 3 t2 2 t 0;1 Khi đó
Xét hàm số trên ( )
f t 0;1 f t '( ) 3 t2 2 3 t 2 0 Dễ thấy
liên tục trên và
0,25
f t t t t 0;1 Vậy hàm số
nghịch biến trên
0;1 ( ) 1 3 3.
Min f t f
0;1
( ) ( ) 3 3.
P f t Min f t
Từ đó ta suy ra
3 3
MinP
1 3
a b c
Vậy khi
0,25
-