Tương giao giữa parabol và đường thẳng I.[r]
Trang 1Tương giao giữa parabol và đường thẳng
I Kiến thức cơ bản cần nhớ về tương giao giữa parabol và đường thẳng
Cho đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax^2 (a khác 0)
Số giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
ax mx n ax mx n
+ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
+ Phương trình (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
+ Phương trình (1) vô nghiệm thì (d) không cắt (P)
II Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P):
2
y x và đường thẳng (d): y = x + m
a, Xác định tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi m = 6
b, Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và parabol
Lời giải:
a, Với m = 6, ta có (d): y = x + 6
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol (P) và đường thẳng (d) là:
Ta có b2 4 ac 1 4 6 25 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1
3 2
b x
a
và 2
2 2
b x
a
Với x = 3 ta có y = 9
Với x = -2 ta có y = 4
Vậy với m = 6 thì parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm có tọa độ A(3; 9) và B(-2; 4)
b, Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):
Trang 22 2 0
x x m x x m (1)
Ta có b2 4 ac 1 4 m 1 4 m
Nếu
1
4
thì phương trình (1) vô nghiệm hay parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung
Nếu
1
4
thì phương trình (1) có nghiệm kép hay parabol (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) tại một điểm
Nếu
1
4
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai parabol (P) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt
Bài 2: Cho parabol (P):
2
y x
và đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Tìm a
và b để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1; 1)
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
x ax b x ax b (1)
Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại một điểm thì phương trình (1) có
nghiệm kép hay
2 2
4
a
Với
2
4
a
b
thay vào y = ax + b ta có
2
4
a
y ax
Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm A(1; 1) nên đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 1) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng (d) có:
2
2 2
4
a
Với a = 2 thì b = -1
Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là: y = 2x - 1
Trang 3Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + 2 và parabol (P):
2
y x Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phép tính
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x x x x (1)
Ta có b2 4 ac 1 8 9 0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1
1 2
b x
a
và 2
2 2
b x
a
Với x = 1 thì y = 1
Với x = -2 thì y = -5
Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ A(1; 1) và B(2; -5)
Bài 4: Cho parabol (P):
2
1 2
y x
và đường thẳng (d): y m 1 x m 2 3
Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
1
Ta có: ' b'2 ac m 1 2 2 m2 6 3 m2 2 m 7
Có
2
m m m m m m
hay ' 0 m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Vậy không tồn tại giá trị của m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
Trang 4III Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng
Bài 1: Cho parabol (P):
2
y x
a, Tìm hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng y = 3x – 1
b, Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng
9 6 2
y x
c, Tìm giá trị của a, b sao cho đường thẳng y = ax + b tiếp xúc (P) và đi qua A(0; 2)
d, Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại B(1; 2)
e, Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng y = 2mx + 1
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx – 2 và parabol (P):
2
y x Tìm m để:
a, (P) không cắt (d)
b, (P) tiếp xúc với (d) Tìm tọa độ điểm tiếp xúc đó?
c, (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
d, (P) cắt (d)