Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung lớn BC (A khác B và C), vẽ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (E thuộc AC và F thuộc AB). Gọi H là gi[r]
Trang 1Bài toán về điểm cố định trong đường tròn
I Cách giải bài toán về điểm cố định trong đường tròn
Để giải được bài toán về điểm cố định ta có thể chứng minh theo các cách sau:
+ Chứng minh khoảng cách từ một điểm cố định đến một điểm cố định khác thuộc đường thẳng là không đổi
+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường thẳng cố định
+ Để chứng minh điểm nằm trên đường tròn cố định ta cần chứng minh nó là điểm cuối hay trung điểm của một cung cố định
II Bài tập ví dụ cho các bài tập về bài toán điểm cố định trong đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn (O) luôn thay đổi và ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng và
sắp xếp theo thứ tự đó Kẻ AM, AN là hai tiếp tuyến với (O) I là trung điểm của BC
AO cắt MN tại H và (O) tại P và Q (P nằm giữa A và O) BC cắt MN tại K
a, Chứng mminh A, M, I, O, N thuộc cùng một đường tròn
b, Chứng minh tíchch AB.AC = AH.AO và K cố định khi (O) thay đổi
Lời giải:
a, + Xét tứ giác AMON có AMO ANO 900 900 1800
Trang 2mà hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay 4 điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AO (1)
+ Trong đường tròn (O) có I là trung điểm của BC OI BC OIA 900
Suy ra điểm I thuộc đường tròn đường kính AO (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm A, M, O, N, I cùng thuộc một đường tròn
b, Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:
MAC chung
AMB ACM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Suy ra hai tam giác AMB và ACM đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc
AM AB
AC AM
(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
2 .
AM AB AC
+ Có OM = ON (= R), AM = AM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra AO là đường trung trực của MN
Suy ra AO vuông góc với MN tại H
+ Xét tam giác AMO vuông tại M có đường cao MH:
2 .
AM AH AO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (4)
+ Từ (3) và (4) suy ra AB.AC = AH.AO (5)
+ Xét tam giác AHK và tam giác AIO có:
AHK AIO
OAI chung
Suy ra tam giác AHK và tam giác AIO đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc
Trang 3.
AH AK
AH AO AK AI
AI AO
(6)
Từ (5) và (6) suy ra
.
AK AI AB AC AK
AI
Vì A, B, C cố định nên Ab, AC, BC không đổi
Mà I là trung điểm của BC nên I cố định hay AI không đổi
Suy ra không đổi Suy ra AK không đổi hay K cố định (vì A cố định)
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D
và E AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N
a, Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?
b, Chứng minh tích OM.OD + ON.OE không đổi
Lời giải:
a, + Có DA và DC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D Suy ra DA = DC
lại có OA = OC
suy ra DO là đường trung trực của AC Suy ra Do vuông góc với AC
Trang 4mà M là giao điểm của OD và AC Suy ra OMC 900
+ Tương tự ta cũng có ONC 900
+ Có DC và DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D suy ra OD là phân giác của AOC
EC và EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E suy ra OE là phân giác của COD
Có AOC COD 1800
Suy ra
2
DOC EOC MON
+ Xét tứ giác OMCN có OMC ONC MON 900
Suy ra tứ giác OMCN là hình chữ nhật
b, + Xét tam giác AOD vuông tại A có AM vuông góc với DO
Suy ra AO2 OM ON OM ON R2(1)
+ Xét tam giác OBE vuông tại B có BN vuông góc bới OE
Suy ra OB2 ON OE ON OE R 2(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM OD ON OE 2 R2
Do R không đổi nên OM.OD + ON.OE không đổi
III Bài tập tự luyện các bài toán về điểm cố định trong đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định, một điểm A thay đổi trên cung
lớn BC (A khác B và C), vẽ BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (E thuộc AC
và F thuộc AB) Gọi H là giao điểm của BE và CF Chứng minh rằng:
a, Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
b, BF.BA + CE.CA = BC2
c, Đường thẳng đi qua H và vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R), điểm A trên cung lớn BC (A
không trùng với B, C và A không là điểm chính giữa cung) Gọi H là hình chiếu
Trang 5vuông góc của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AA'
a) Chứng minh rằng tứ giác BHEA nội tiếp và HE AC
b) Chứng minh HE.AC = HF.AB
c) Khi A di động,chứng minh tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác HEF cố định
Bài 3: Cho đường tròn tâm O và điểm M cố định không đổi Qua M vẽ cát tuyến bất
kì cắt (O) tại A và B Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi (xét hai trường hợp M nằm trong đường tròn và M nằm ngoài đường tròn)
Bài 4: Cho I là một điểm cố định trong đường tròn (O; R) Kẻ hai dây AB và CD
vuông góc với nhau tại I Chứng minh AB2 CD2 không đổi khi AB thay đổi
Tải thêm tài liệu tại: