+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.. + Hệ quả 2: nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai[r]
Trang 1Bất đẳng thức Cô si
Bản quyền thuộc về upload.123doc.net.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
1 Phát biểu
+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau
+ Nghĩa là:
- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:
2
a b
ab
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b
- Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:
1 2
1 2
n
x x x n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 xn
2 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm
+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng Với a, b > 0, ta chứng minh:
2
a b
ab
2
0
Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm
3 Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
Trang 2+ Hệ quả 1: nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số
đó bằng nhau
+ Hệ quả 2: nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi
hai số đó bằng nhau
II Bài tập về bất đẳng thức Cô si lớp 9
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
7
A x
x
với x > 0
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và
7 0
x ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
7
x
(do x > 0) Vậy minA2 7 x 7
Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện
2
x y Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức A x y
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
2
x y x y
4
Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
Trang 3Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
4
2
x y
x y
Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4
Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:
3 2
b c c a a b
Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1 Ta sẽ sử dụng
phương pháp làm trội làm giảm như sau:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:
Tương tự ta có
Cộng vế với vế ta có:
3.
a b c
9
3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
III Bài tập về bất đẳng thức Cô si
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Trang 4a,
x 4 x 9
B
x
với x > 0
(gợi ý: biến đổi
13
rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)
b,
x 10 2
C
x
với x > 0
c,
3
x
D
x
với x > 2
(gợi ý: biến đổi
D
đẳng thức Cô si)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P x
với x > y > 0
(gợi ý: biến đổi
Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:
a b c 1 1 1 9
a b c
(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
6
(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)
Tải thêm tài liệu tại: