Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC.. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (6,0 điểm)
1 Cho hàm số y=x3+mx2+1 có đồ thị ( )C m
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ( )d y: = -1 x
cắt đồ thị ( )C m
tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị ( )C m
tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau
2 Cho hàm số
( )2 1 2
x y x
+
= + có đồ thị ( )C
Gọi A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2)
là các điểm cực trị của ( )C
với x1<x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho T =2MA2- MB2+2MA- MB
uuur uuur
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: 1log1 3(2 2) log3 2 3(2 1)
2 + x+ = + x+
2 Cho các số thực a b c, , Î ê úé ùë û2;8 và thỏa mãn điều kiện abc =64 Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P =log22a+log22b+log22c
Câu III (5,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với AD =2 ,a AB =BC =CD =a,
cạnh SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD
sao cho NS=2ND Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng
6 43 43
a
, tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
2 Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC =· 60o Đường phân giác của góc ·ABC cắt
AC tại I Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC
tạo thành các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V V1, 2 Tính tỉ số 21
V
V .
Câu IV (1,0 điểm) Tìm họ nguyên hàm
x
x x
+
=
+ +
ò
Câu V (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2 3
ïï
Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy ( )a n
xác định
1
2 1
1
1, 1 2
a
n
ìï = ïïï
ï = + " ³ ïï
quát a n và tính lima n.
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo
danh
Giám thị coi thi
HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO
Câu I 1. Cho hàm số y=x3+mx2+1 có đồ thị ( )C m
Tìm các giá trị của tham số m
để đường thẳng ( )d y: = -1 x cắt đồ thị ( )C m tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến
của đồ thị ( )C m
tại hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau
Hướng dẫn
Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:
( ) ( )
2
0 0; 1 0
1 0 *
é = Þ -ê
+ + = Û ê + + =
ê Dễ thấy k A = Þ0 y tt = - 1 suy ra không có tiếp
tuyến vuông góc nhau tại A Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của
(*)
Ta có
1 2
1 2
1
x x
ïí
-ïî và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì
1 31 2 2 3 2 2 1
Þ - + = - Þ = Þ = ± , thỏa mãn D =m2- 4>0
Vậy các giá trị của m là m = ± 5
Câu I 2. Cho hàm số
( )2 1 2
x y x
+
= + có đồ thị ( )C
Gọi A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2)
là các điểm cực trị của ( )C
với x1<x2 Tìm điểm M trên trục tung sao cho
T = MA - MB + MAuuur- MBuuur
đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn.
Trang 3Ta có ( )2 1 2
là hoành độ các điểm cực trị hay A(- 3; 4 ,- ) (B - 1;1)
Gọi I là điểm thỏa mãn 2IAuur- IBuur = Þ0 I (- 5; 9- )
T = MAuuur - MBuuur + MAuuur- MBuuur = MIuuur+IAuur - MIuuur+IBuur +MIuuur
Nên Tmin =32Û y= - 9Û M(0; 9- )
Câu II 1. Giải phương trình: 1log1 3(2 2) log3 2 3(2 1)
2 + x+ = + x+
Hướng dẫn.
2
4 2 3 4 2 3
Þ =çç ÷÷+ççç ÷÷Û = + - = < <
÷
( )
f t =a a b+ b< "t
suy ra f t( )
nghịch biên trên ¡ nên f t =( ) 0
có nghiệm duy nhất t= Þ1 x= +1 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Câu II 2. Cho các số thực a b c, , Î ê úé ùë û2;8 và thỏa mãn điều kiện abc =64 Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P =log22a+log22b+log22c
Hướng dẫn.
Đặt log2a=x,log2b=y,log2c= Þz x y z, , Î é ùê ú1;3 ,x+ + =y z 6
Ta cần tìm GTLN của
2 2 2
P =x +y +z Không giảm tổng quát ta giả sử 1£ x£ £ £ Þy z 3 xÎ é ùê úë û1;2 ,zÎ é ùê úë û2;3.
P =x +z + - z x- = z - - x z+ + x - x
(Parabol đồng biến đối với z vì
= - Î ê úë û
) Þ P £ 2.32- 6 6( - x) +36 2+ x2- 12x=2x2- 6x+18 14£
( tại
x= È =x ) suy ra Pmax =14Û x=1,y=2,z=3 (loại y=1,x=2,z=3).
Vậy Pmax =14Û a=2,b=4,c=8 (và các hoán vị).
Trang 4Câu III 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với
2 ,
AD = a AB =BC =CD =a , cạnh SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của SB
và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho NS =2ND Biết khoảng cách từ S đến mặt
phẳng (AMN) bằng
6 43 43
a
, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Hướng dẫn.
Gọi E là trung điểm của AD thì dễ dàng chứng minh được ABCE là hình thoi cạnh a,
CDE là tam giác đều cạnh a Kẻ CH vuông góc với ED thì
3 2
a
CH =
và là đường cao
của hình thang cân ABCD, suy ra
2
3 3 4
ABCD
a
Lấy a 1 Dựng hệ tọa độ Axyz như
hình vẽ, với
3 1; ;0 , 0;2;0 , 0;0;3
2 2
Bæççç ö÷÷÷÷D S h
độ các điểm
3 1 3; ; , 0; ;2
h
Mæç ö æ÷Nç hö÷
÷
ç ÷ çç ÷÷
Ta có
é ù= -ç - ÷÷
uuuur uuur
, khi
đó phương trình mặt phẳng (AMN) là
2 3
3
Khoảng cách
2 2
,
4 43
3
h
d S AMN
suy ra
h = æçççç h + ö÷÷÷÷= h + Þ h= Þ Sæççç ö÷÷÷÷
ç
chópS ABCD. là:
1 6 7 3. . 3 3 21
Câu III 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC =· 60o Đường phân giác của góc
·ABC cắt AC tại I Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm
I tiếp xúc với cạnh BC Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V V1, 2 Tính tỉ số
1 2
V
V .
Trang 5Hướng dẫn.
Đặt AB =a, khi đó
3
3
Khi cho tam
giác ABC và nửa hình tròn tâm I quay xung xung quanh AC thì tạo thành khối nón
tròn xoay và khối cầu Ta có:
1
3
4
4
9
non cau
a
p p
Câu IV Tìm họ nguyên hàm
1 ln
ln 1 1
x
x x
+
=
+ +
ò
Hướng dẫn.
x x+ + = Þt x x+ = -t Þ + x dx= t- dt, suy ra
( ) 2(t 1) 2 2ln ( ) 2 ln 1 2ln( ln 1 1)
t
Câu V Giải hệ phương trình:
2 2 3
ïï
Hướng dẫn.
+ Xét x = - 2 thì từ phương trình đầu ta có y = - 2 thế vào phương trình thứ hai không thỏa mãn Lập luận tương tự đối với y = - 2 ta suy ra điều kiện x y > -, 2 + Biến đổi phương trình thứ nhất:
+ ç + ÷÷
+ = ççç ÷÷- Û + = - > Û = Û = >
Thế vào phương trình thứ hai: 33x2- 8x+ =5 x3- 6x2+12x- 7 (*)
Trang 6Đặt 33x2- 8x+ = Þ5 t 3x2- 8x+ =5 t3, từ (*) ta có 3 ( ) (3 ) 3
t + =t x- + x- =u +u
Hay (t u t- ) ( 2+tu u+ 2+ = Û1) 0 t= = -u x 1
Từ đó ta được:
( )3
3x - 8x+ =5 x- 1 Û x - 6x +11x- 6= Û0 x=1,x=2,x=3
(thỏa mãn)
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm ( ) ( ) ( ) ( )x y Î, { 1;1 , 2;2 , 3;3}
Câu VI Cho dãy ( )a n
xác định
1
2 1
1
1, 1 2
a
n
ìï = ïïï
ï = + " ³ ïï
và tính lima n.
Hướng dẫn.
Dễ thấy dãy số đã cho là dãy số dương và tăng Giả sử 1
2
2
n
a = - +- " ³n
, khi đó
ta có:
1 1
a =
(đúng tới n +
1)
2
2
n
a = - +- " ³n
2
2
n
HẾT …
Mời bạn đọc cùng tham khảo
