THI CHON HSG TINH MÔN TOÁN 12 (10.11-VONG1)

Tỡm điều kiện cần và đủ của a để dóy số trờn cú giới hạn hữu hạn.. Cho tam giỏc nhọn ABC cú phõn giỏc trong AD D nằm trờn cạnh BC.. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của D trờn AB, AC.. Gọ

Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi

học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2010 - 2011

Môn thi: Toán Ngày thi: 07/10/2010 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1 (4,0 điểm)

Giải hệ phương trỡnh sau trờn tập số thực:

2

1 5 57

25









Cõu 2 (4,0 điểm)

x  a x   x x     n

Tỡm điều kiện cần và đủ của a để dóy số trờn cú giới hạn hữu hạn.

Cõu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giỏc nhọn ABC cú phõn giỏc trong AD (D nằm trờn cạnh BC) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của D trờn AB, AC Gọi H là giao điểm của BF và CE Chứng minh rằng AH vuụng gúc với BC.

Cõu 4 (4,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú diện tớch S, BC a CA b AB c  ,  , 

Chứng minh rằng:

 b c a a  2  c a b b  2  a b c c  2 2 3

S

Cõu 5 (4,0 điểm)

Cho số nguyờn dương n 2 và tập M   1; 2; 3; ; n  Với mỗi tập con A khỏc rỗng của M ta ký hiệu A là số phần tử của tập A, minA và maxA tương ứng là phần tử nhỏ

A M, A

min A max A A

- - - Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức

Đề chính thức

(Híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm gåm 04 trang)

M«n: to¸n (Ngµy 07/10/2010)

-I Hướng dẫn chung

1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng

phần như hướng dẫn quy định.

2 Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong Hướng dẫn chấm phải đảm

bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.

II áp án v thang i mĐáp án và thang điểm à thang điểm điểm ểm

Câu 1

(4,0 đ)

Hệ phương trình đã cho tương đương với

2

57

25









47

25



 





1.0

47

25



 



1.0

Đặt a2x y b x ;  2y

Hệ đã cho trở thành

47 25

ab a b





  



2

94

25



 





2

2

144 1

25

a b



 

  





1.0

7 5 12 25 17 5 132 25

a b ab

a b

VN ab

 

 

 

 

  

 

 



  



 









 



 ;  ( ; )3 4

5 5

a b

  hoặc ( ; )4 3

5 5

 ;  ( ; )2 1

5 5

x y

  hoặc (11 2; )

25 25 (thỏa mãn)

1.0

Câu 2

(4,0 đ)

Nếu a  1 hoặc a 2, khi đó 2x2 x3 Giả sử tồn tại limx n c, ta có:

c c  cc hoặc c 2 (mâu thuẫn) Suy ra   1 a 2 1.0 (*) Ta chứng minh nếu tồn tại k sao cho 0  xk  1 thì dãy hội tụ Thật vậy:

Dãy x k2l đơn điệu giảm vì 3  

k l k l k l k l

x   x x  x   Vì vậy tồn tại

1.0

(**) Ta chứng minh nếu tồn tại k sao cho 0x k 2 thì dãy hội tụ Thật vậy:

1

0x k  2 x k  x k 2 Nếu x k2 x k1 2

Nếu x k l  0, l thì dãy x k l  đơn điệu giảm và bị chặn dưới do đó hội tụ

Nếu xk l  0 thì 0 x k l 11 Theo chứng minh (*) dãy   xn hội tụ.

1.0

Từ đó, 0 a 2 thì 0 x1 2 suy ra dãy có giới hạn

Nếu    1 a 0 0x22, suy ra dãy có giới hạn

Vậy điều kiện cần và đủ để dãy có giói hạn là  1 a2

1.0

Câu 3

(4,0 đ)

Gọi K là hình chiếu của A trên BC

0.5

Vì K, E, F theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB nên:

KB FC EA KB FC EA

KC FA EB

Từ giả thiết ta có EA = FA; ED = FD, do đó:

KB FC EA KB KA FC ED cot tan cot tanB C C B 1

KA KC FD EB

Vậy theo định lý Ceva, với chú ý AK, BF, CE không thể đôi một song song, ta có

Điều đó có nghĩa là AK đi qua H Vậy AH vuông góc với BC 0.5

A

F H

E

1

A

B

1

C

A

1 B

x

Câu 4

(4,0 đ)

Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 1: Với a b c, , là ba cạnh của một tam giác có diện tích S thì:

2(ab bc ca  ) a2 b2 c24S 3

Chứng minh: Vận dụng kết quả x y z  23xy yz zx   Ta có

(p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )2 3 (p p a p b p c )(  )(  )

(với

2

a b c

 (p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )S 3

2 2 2

1.0

Bổ đề 2: Với a b c, , là ba cạnh của một tam giác có diện tích S và x y z, , là các số thực dương Ta luôn có

2 3

S

Chứng minh:

2

Áp dụng Bổ đề 1 ta có

2 3

S

1.0

Trở lại bài toán:

Gọi A1, B1, C1 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của các góc A, B, C của tam giác ABC

Ta có

2 1

 

 



2

2 '

a

 

 

1.0

2 2 2

'

 

Tương tự

, '

 



'

 



  với C A y A B z1 1 , 1 1

'

Áp dụng Bổ đề 2, đối với tam giác A1B1C1 ta có

2 ' 3

S

b c  c a  a b 

2 3

S

(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

1.0

Câu 5

(4,0 đ)

Với mỗi 1 k n  ,

k

k

A E



Khi đó

1

n k k



Với mỗi A a a1; ; ;2 a kE k đặt *  

1 ; 1 ; ; 1 k

A   n a n  a n  a

Ta có

,

k

A E A A E k A M A k    A A M A k*  ,  

k

k

A E



1.0

Giả sử minA a m 1, axA a k Khi đó * *

1

minA   n 1 a m k, axA n  1 a

Do đó minA m axAminA*maxA* 2 A2(n 1) 2k

k

k

A E



1.0

1

1

n

k n k



Thay x 1, ta có 1  

0

n

n k



       Vậy T 2n n.2n 1 n 1

1.0

HÕt