TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:. 1.[r]
Trang 1I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1/ Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ;
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du
Nếu hàm số u u x ( )đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a b ;
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )
f x dx g u x u x dx g u du thì
( )
( )
u b b
I f x dx g u du
B
ài tập
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3
2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5
6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2
0
1
x x dx
7
1
2
0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
9
3
x dx
x
10
1
0
1
11
2
3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
Trang 2
18
2 1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22
2 1
2
0
x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25
2
0
sin
1 3
x dx cosx
26
4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28
6
0
1 4sin xcosxdx
29
1 2
0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
32
3
x dx
x
33
1
0
1
34
2
3 1
1
1dx
x x
35 1
1 ln
e
x dx x
36 1
sin(ln )
e
x dx x
37 1
1 3ln ln
e
dx x
38
2ln 1
1
e e x
dx x
39
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
40 1
sin(ln )
e x
dx x
41 1
1 3ln ln
e x x
dx x
4
2ln 1
1
e e x
dx x
43
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
44
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
45
1
0
5
Trang 346
2
4
0
sin 1 cos
47
4
2
0
4 x dx
2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng
a x a x và x2 a2 (trong trong đó
a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với
2 2
x a t t
hoặc x a cos , t t 0;
Với
2 2
x atgt t
hoặc x acotgt t , 0;
Với
a
t
hoặc
; cos
a x
t
0; \
2
t
.
B
ài tập : Hãy tính các tích sau:
a)
4
2
0
4 x dx
b)
1
2
01
dx x
c)
9
2
0
9 x dx
d)
2
2
0 4
dx x
e)
2 2 2
2 0
1 x
f)
√ 5
2√3
dx
x√x2+4
g)
1
2 0
1 x dx
h)
3
0
1
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cụng thức tớch phõn từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phõn các hàm sụ́ dờ̃ phát hiợ̀n u và dv
Trang 4@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
Đặt
cos
@ Dạng 2:
( ) ln( )
Đặt
ln( ) ( )
( )
dx du
x
@ Dạng 3:
sin cos
ax bx
bx
Đặt:
1
ax
u e
b
Bài tập
1)
0
1
x e 3 xdx 2)
0
π
2
(x − 1)cos xdx 3)
0
π
6
(2 − x)sin 3 xdx 4)
0
π
2
x sin 2 xdx
5)
1
e
x ln xdx 6)
1
e
(1− x2) ln x dx 7)
1
3
4 x ln x dx 8)
0
1
x ln(3+x2) dx
9)
1
2
(x2+1).ex dx 10)
0
π
x cos x dx 11)
0
π
2
x2.cos x dx 12)
0
π
2
(x2
+2 x) sin x dx
13)
2
5
1
ln xdx
x
14)
2 2
0
x cos xdx
15)
1 x
0
e sin xdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
2
1
x ln xdx
18)
3 2 0
x sin xdx cos x
19)
2
0
xsin x cos xdx
20)
4
2
0
x(2 cos x 1)dx
III.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gÆp
1 TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:
ax bx c
.
Trang 5(trong đó
ax bx c với mọi x ;
)
Xét b2 4 ac.
+)Nếu 0 thì
2
2
dx I
b
a x
a
tính đợc
+)Nếu 0 thì 1 2
I
a x x x x
,
(trong đó
)
1
1
ln x x
I
+) Nếu 0thì
2
2
I
a x
Đặt
1
1
b) Tính tích phân:
mx n
ax bx c
.
f x
liên tục trên đoạn ;
) +) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
mx+n
ax2
+bx+c =
A (2 ax+b)
ax2
+bx +c +
B
ax2
+bx +c
+)Ta có I=
α
β
❑mx+n
ax2+bx+c dx=
α
β
❑ A (2 ax+b)
ax2+bx +c dx+
α
β
❑ B
ax2+bx+c dx
Tích phân
α
β
❑A (2 ax+b)
ax2+bx+c dx = A ln|ax2
+bx+c|¿ε β
Trang 6Tích phân
2
dx
ax bx c
tính đợc
c) Tính tích phân
( ) ( )
b
a
P x
Q x
với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1, , ,2 n
thì đặt
( )
( )
n n
A
P x
Q x x x x
+ Khi Q x ( ) x x2 px q , p2 4 q 0
thì đặt
2
( )
( )
Q x x x px q
+ Khi Q x ( ) x x 2
với thì đặt
2
( ) ( )
A
Q x x x x
Bài tập
a/
1
2 0
4 11
x
dx
b/
1
2
dx
x x
c/
1
2
x dx
x
d/
−2
0
2 x+2
x2
+2 x −3dx
e/
−1
1
dx
x2+2 x +5 f/
3
5
2 x − 1
x2−3 x +2dx g/
a
b
1 (x + a)(x +b)dx h/
0
1
x3
+x+1
x +1 dx
i/
0
1
dx
x2+4 x +3 k/
2
3
3 x2+3 x +3
x3−3 x+2 dx l/
2
3
x +2
x − 1dx m/
0
1
x2+2 x +3
IV.Tích phân hàm vô tỉ
.Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ : Tính tích phân:
1
dx I
.
.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác
Trang 7Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng
Ví dụ :Tính
I=
0
1
x3√1 − x2dx
Bài tập:
5
2
dx
x 2
b/
1
2
x
1+√x −1dx
c/
0
1
dx 1+√1+ 3 x
d/
2
1
x 4 x dx
e/
2 2 2
2 0
1 x
f/
√ 5
2√3
dx
x√x2+4
V TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
−3
3
|x2−1|dx2
0
2
|x2− 4 x+3|dx 3
0
2
|x2− x|dx 4
4 2
1
x 3x 2dx
5.
3
1
2
x dx
6
2
2
2
1
x dx