Một chứng minh cho bài toán mở rộng định lýđường thẳng Simson Nguy n Lê Ph ễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí ước và Nguyễn Chương Chí c và Nguy n Ch ễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí ương
Trang 1Một chứng minh cho bài toán mở rộng định lý
đường thẳng Simson
Nguy n Lê Ph ễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí ước và Nguyễn Chương Chí c và Nguy n Ch ễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí ương Chí ng Chí
Tóm t t:ắt: Chúng tôi trình bày m t ch ng minh cho v n đ m r ng đ nh lý ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ấn đề mở rộng định lý ề mở rộng định lý ở rộng định lý ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ịnh lý
đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng Simson c a Đào Thanh Oai ẳng Simson của Đào Thanh Oai ủa Đào Thanh Oai.
Đ nh lý đ ịnh lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng Simson kh ng đ nh r ng: ẳng Simson của Đào Thanh Oai ẳng Simson của Đào Thanh Oai ịnh lý ằng: Tam giác Pedal c a m t ủa Đào Thanh Oai ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý
đi m P t ương ứng với tam giác ABC suy biến thành một đường thẳng khi ng ng v i tam giác ABC suy bi n thành m t đ ứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ới tam giác ABC suy biến thành một đường thẳng khi ến thành một đường thẳng khi ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng khi ẳng Simson của Đào Thanh Oai.
và ch khi đi m P n m trên đ ỉ khi điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC ằng: ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC ại tiếp của tam giác ABC ến thành một đường thẳng khi ủa Đào Thanh Oai.
Đã có r t nhi u nghiên c u đ a ra các cách m r ng khác nhau cho đất nhiều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ư ở rộng khác nhau cho đường ộng khác nhau cho đường ườngng
th ng Simson [3][4][5] Năm 2014 Đào Thanh Oai đ xu t m t v n đ mều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ất nhiều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ộng khác nhau cho đường ất nhiều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ở rộng khác nhau cho đường
r ng đ p cho đ nh lý Simson đăng t i [2].ộng khác nhau cho đường ẹp cho định lý Simson đăng tại [2] ịnh lý Simson đăng tại [2] ại [2]
Problem [2]: Cho tam giác ABC n i ti p đ ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ến thành một đường thẳng khi ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn (O), có H là tr c tâm, P ực tâm, P
là m t đi m b t kỳ trên (O) Đ ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ấn đề mở rộng định lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng d b t kỳ qua O c t PA, PB, PC t i ẳng Simson của Đào Thanh Oai ấn đề mở rộng định lý ắt PA, PB, PC tại ại tiếp của tam giác ABC
D, E, F G i X, Y, Z l n l ần lượt là hình chiếu của D, E, F lên BC, CA, AB Chứng ượt là hình chiếu của D, E, F lên BC, CA, AB Chứng t là hình chi u c a D, E, F lên BC, CA, AB Ch ng ến thành một đường thẳng khi ủa Đào Thanh Oai ứng minh cho vấn đề mở rộng định lý minh X, Y, Z thu c cùng m t đ ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng và đ ẳng Simson của Đào Thanh Oai ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng đó đi qua trung ẳng Simson của Đào Thanh Oai.
đi m c a HP ủa Đào Thanh Oai.
Trang 2L u ý: trong tr ư ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng h p đ ợt là hình chiếu của D, E, F lên BC, CA, AB Chứng ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng d đi qua đi m P thì D=E=F=P, khi đó ẳng Simson của Đào Thanh Oai.
ta sẽ có bài toán chính là đ nh lý v đ ịnh lý ề mở rộng định lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng Simson quen thu c ẳng Simson của Đào Thanh Oai ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý
Ch ng minh: ứng minh:
Nh n xét: Vai trò c a X, Y, Z là bình đ ng nên ta ch c n ch ng minh Y, Z, Mủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ỉ cần chứng minh Y, Z, M ần chứng minh Y, Z, M ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường
th ng hàng
B đ 1:ổ đề 1: ề 1: Cho tam giác PBC n i ti ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ến thành một đường thẳng khi p đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn (O), có các đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng cao BK,
CL c t nhau t i ắt PA, PB, PC tại ại tiếp của tam giác ABC U Đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng d b t kỳ qua O c t đ ẳng Simson của Đào Thanh Oai ấn đề mở rộng định lý ắt PA, PB, PC tại ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng th ng PB, ẳng Simson của Đào Thanh Oai PC t i ại tiếp của tam giác ABC
E, F Ch ng minh đ ứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng kính CE và BF c t nhau t i hai đi m, ắt PA, PB, PC tại ại tiếp của tam giác ABC trong đó m t đi m n m trên (O) ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ằng: và U n m trên tr c đ ng ph ằng: ục đẳng phương của hai ẳng Simson của Đào Thanh Oai ương ứng với tam giác ABC suy biến thành một đường thẳng khi ng c a hai ủa Đào Thanh Oai.
đ ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn.
Trang 3T K
F F'
E
P
B'
B
L C'
Q
U O
C
Hình 1
Ch ng minh: ứng minh: Ký hi u (CE), (BF), (BC) là đệu (CE), (BF), (BC) là đường tròn đường kính CE, BF, ườngng tròn đườngng kính CE, BF, BC
K đẻ đường kính BB', CC' của (O) Gọi Q là giao của C'E và (O) ườngng kính BB', CC' c a (O) G i Q là giao c a C'E và (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ọi Q là giao của C'E và (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M
Do ∠EQC=90° => Q thu c (CE) G i F' là giao c a B'Q và PCộng khác nhau cho đường ọi Q là giao của C'E và (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M
Áp d ng đ nh lý Pascal cho l c giác BB'QC'CP n i ti p ta có:ụng định lý Pascal cho lục giác BB'QC'CP nội tiếp ta có: ịnh lý Simson đăng tại [2] ụng định lý Pascal cho lục giác BB'QC'CP nội tiếp ta có: ộng khác nhau cho đường ếp ta có:
BB'∩C'C=O, B'Q∩CP =F', QC'∩PB=E nên O, E, F' th ng hàng => F' trùng F
=>Q thu c (BF) V y giao đi m th nh t c a (CE), (BF) là Q thu c (O)ộng khác nhau cho đường ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ất nhiều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ộng khác nhau cho đường
G i T là giao đi m th 2 c a (CE) và (BF), ta có BK, CL, TQ là ba tr c đ ngọi Q là giao của C'E và (O) ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ụng định lý Pascal cho lục giác BB'QC'CP nội tiếp ta có:
phương Chíng c a ba đủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ườngng tròn (BC), (BF) và (CE) =>BK, CL, TQ đ ng quy t i U.ồng quy tại U ại [2]
B đ 2:ổ đề 1: ề 1: Cho tam giác ABC n i ti p đ ột chứng minh cho vấn đề mở rộng định lý ến thành một đường thẳng khi ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn (O) có H là tr c tâm, P là ực tâm, P
đi m n m trên đ ằng: ường thẳng Simson của Đào Thanh Oai ng tròn, g i U là tr c tâm tam giác PBC, ch ng minh UA ực tâm, P ứng minh cho vấn đề mở rộng định lý
và HP có chung trung đi m.
Trang 4U
V
A'
H
O A
P
Hình 2
Ch ng minh: ứng minh: V i A b t kỳ trên (O), k đớc và Nguyễn Chương Chí ất nhiều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ẻ đường kính BB', CC' của (O) Gọi Q là giao của C'E và (O) ườngng kính AA’, có A’B//HC (cùng vuông góc v i AB), A’C//HB (cùng vuông góc v i AC) => BHCA’ là hình bìnhớc và Nguyễn Chương Chí ớc và Nguyễn Chương Chí hành =>HA’ và BC có chung trung đi m V => AH=2OV.ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O)
Tương Chíng t PU=2OV=AH => APUH là hình bình hành => HP và UA có cùngự PU=2OV=AH => APUH là hình bình hành => HP và UA có cùng chung trung đi m M.ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O)
Bây gi quay tr l i v i bài toán, ta đi ch ng minh Y, M, Z th ng hàng ở lại với bài toán, ta đi chứng minh Y, M, Z thẳng hàng ại với bài toán, ta đi chứng minh Y, M, Z thẳng hàng ới bài toán, ta đi chứng minh Y, M, Z thẳng hàng ứng minh: ẳng hàng.
Trang 5D
R
Z
F
E
C1
L
B
U
P
Y
T
G N M
Q
O
C A
Hình 3
G i N là giao đi m c a AU và (O), R là giao đi m c a UZ và (BF), G là giaoọi Q là giao của C'E và (O) ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M
đi m c a UY và (CE) G i C1 là giao đi m c a CL và (O) =>UC1= 2ULểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ọi Q là giao của C'E và (O) ểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M
Do UA.UN = UC.UC1 => UM.UN = UC.UL = UT.UQ = UY.UG
Có ∠QGU=∠QGY=∠QCY=∠QCA=∠QNA=∠QNU và
∠QRU=∠QRZ=180°-∠QBZ=180°-∠QBA=∠QCA=∠QGU
=>Q, N, G, U, R cùng thu c m t động khác nhau cho đường ộng khác nhau cho đường ườngng tròn
Xét phép ngh ch đ o c c U phịnh lý Simson đăng tại [2] ảo cực U phương tích UT.UQ biến Q, G, N, R =>T, Y, M, Z, ự PU=2OV=AH => APUH là hình bình hành => HP và UA có cùng ương Chíng tích UT.UQ bi n Q, G, N, R =>T, Y, M, Z,ếp ta có:
hàng
=>Y, M, Z th ng hàng
(Ta cũng có th có đểm thứ nhất của (CE), (BF) là Q thuộc (O) ược Y, M, Z thẳng hàng qua việc chứng minh c Y, M, Z th ng hàng qua vi c ch ng minh ệu (CE), (BF), (BC) là đường tròn đường kính CE, BF, ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ∠UMY +
∠UMZ=180° Th t v y t phừ phương ương Chí tích c a U đ i v i các đng ủa X, Y, Z là bình đẳng nên ta chỉ cần chứng minh Y, Z, M ối với các đường tròn ta sẽ ớc và Nguyễn Chương Chí ườngng tròn ta sẽ
và UMZ đ ng d ng => ồng quy tại U ại [2] ∠URN = ∠UMZ T đó k t h p v i đi u đã có là: ngũừ phương ếp ta có: ợc Y, M, Z thẳng hàng qua việc chứng minh ớc và Nguyễn Chương Chí ều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường
Nh v y b ng 2 cách ta đã ch ng minh đư ằng 2 cách ta đã chứng minh được Y, M, Z thẳng hàng và cả hai ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ược Y, M, Z thẳng hàng qua việc chứng minh c Y, M, Z th ng hàng và c haiảo cực U phương tích UT.UQ biến Q, G, N, R =>T, Y, M, Z,
phương Chíng pháp đ u đ c l p, không ph thu c vào X Nh th hoàn toànều nghiên cứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ộng khác nhau cho đường ụng định lý Pascal cho lục giác BB'QC'CP nội tiếp ta có: ộng khác nhau cho đường ư ếp ta có:
Trang 6tương Chíng t ta cũng ch ng minh đự PU=2OV=AH => APUH là hình bình hành => HP và UA có cùng ứu đưa ra các cách mở rộng khác nhau cho đường ược Y, M, Z thẳng hàng qua việc chứng minh c X, M, Z và X, M, Y th ng hàng => X, Y, Z,
M th ng hàng (đpcm)
Cuối cùng chúng tôi xin cảm ơn tất cả các thành viên của hội toán học ”Bài
toán hay – Lời giải đẹp – Đam mê toán học” và đặc biệt ông Trần Quốc Bình và ông Nguyễn Văn Lợi đã cho những lời khuyên hết sức quý báu và tạo
cho chúng tôi một bầu không khí lý tưởng trong lao động toán học tập thể
References:
[1] H.S.M Coxeter, S.L Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967
[2] T O Dao, Advanced Plane Geometry, message 1781, September 26, 2014
[3] C J Bradley and J T Bradley, Countless Simson line configurations, Math Gazette, Vol 80, No 488, Jul., 1996
[4] O Giering, Affine and Projective Generalization of Wallace Lines, Journal for Geometry and Graphics Vol 1 (1997), No 2, 119-133
[5] P Pech, On the Simson-Wallace Theorem and its Generalizations, Journal for Geometry and Graphics, Vol 9 (2005), No 2, 141-153
Email address :
Nguyễn Lê Phước: Nguyenlephuoc2006@gmail.com
Nguy n Ch ễn Lê Phước và Nguyễn Chương Chí ương Chí ng Chí : guyenchuongchi@yahoo.com N
