Trần Anh Tùng 2019 Đề bài: Trong bảng 10x10 điền các số nguyên sao cho cứ hai ô vuông chung cạnh thì chứa hai số nguyên bằng nhau hoặc liên tiếp.. Chứng minh trong bảng đó tồn tại một s
Trang 1Trần Anh Tùng 2019
Đề bài: Trong bảng 10x10 điền các số nguyên sao cho cứ hai ô vuông chung cạnh
thì chứa hai số nguyên bằng nhau hoặc liên tiếp Chứng minh trong bảng đó tồn tại một số xuất hiện ít nhất 6 lần
Lời giải: Giả sử số nguyên bé nhất bảng là số 1, số lớn nhất là m và m > 19
Nếu số 1 nằm ở vị trí không phải là một trong 4 góc của hình vuông to, còn số m nằm tùy ý, ta xét mọi đường đi từ số 1 đến số m ( đi theo đường đi ngắn nhất để tới
số m ) như vậy ta sẽ không có cách điền số thỏa mãn bài toán
Vậy số 1 nằm ở một trong 4 góc của hình vuông to và số m nằm ở góc đối với số 1 của hình vuông to Với m > 19 thì ta cũng không có cách điền số thỏa mãn bài toán Suy ra m 19 , vậy ta có tối đa 19 số nguyên phân biệt được điền vào bảng 10x10 Theo nguyên lý dirichlet suy ra có ít nhất một số nguyên xuất hiện
[100/19]+1 = 6 lần
Tổng quát: Với hình vuông NxN thì tồn tại 1 số xuất hiện ít nhất :
2
1
2 1
N N
lần
Kết quả mạnh hơn: Chứng minh tồn tại 1 số xuất hiện ít nhất 10 lần
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19