Phương pháp toán tử fk tìm nghiệm số chính xác cho bài toán ion h2+ hai chiều trong điện trường

Kết quả nghiên cứu:  Công thức tính toán bằng FK-OM cho ion H2 hai chiều khi tính đến biểu diễn hàm sóng; diễn khác của bài toán nguyên tử hai chiều thông qua phép biến đổi Lev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN ION H2+ HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

MÃ SỐ: CS2015.19.69

Cơ quan chủ trì: Khoa Vật lý

Chủ nhiệm đề tài: TS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN ION H2+ HAI CHIỀU TRONG ĐIỆN TRƯỜNG

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Mục lục

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 4

PHẦN I: MỞ ĐẦU 9

PHẦN II: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 11

2.1 Nội dung nghiên cứu 11

2.1.1 Phương pháp toán tử FK cho bài toán ion H2 ba chiều 11

2.1.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán ion H2 hai chiều 16

2.1.3 FK-OM cho bài toán ion H2 hai chiều có xét tiệm cận hàm sóng 20

2.1.4 FK-OM cho bài toán ion H2 hai chiều trong điện trường 24

2.1.5 FK-OM cho dao động tử phi điều hòa dạng giếng thế đôi 26

2.2 Kết quả nghiên cứu 29

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

BẢN SAO THUYẾT MINH ĐỀ TÀI 63

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 25 tháng 10 năm 2016

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

2 Mục tiêu: Áp dụng phương pháp toán tử FK để tìm nghiệm số chính xác cho bài

ion hai chiều trong điện trường

3 Tính mới và sáng tạo: Các kết quả thu được có ý nghĩa khoa học và mới

4 Kết quả nghiên cứu:

 Công thức tính toán bằng FK-OM cho ion H2 hai chiều khi tính đến biểu diễn

hàm sóng;

diễn khác của bài toán nguyên tử hai chiều thông qua phép biến đổi Levi-Civita, kết quả này có ý nghĩa trong việc gợi ý khả năng cải tiến phương pháp cho bài toán đang nghiên cứu bằng cách sử dụng phép biến đổi Levi-Civita kết hợp phép

biến đổi Laplace

5 Sản phẩm:

- Sản phẩm công bố: 03 bài báo khoa học trên tạp chí trong nước:

1 Nguyễn Thị Hồng Lanh, Cao Hồ Thanh Xuân, Hoàng Văn Hưng, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2015), “Phương pháp FK giải phương trình Schrödinger cho

nhiên & Công nghệ), tr 67-74

2 Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2016), “The FK Operator Method for

Two-Dimensional Sextic Double Well Oscillator”, Tạp chí khoa học ĐH Sư

phạm TP HCM số 6 (Khoa học tự nhiên & Công nghệ), tr 5-11

3 Nguyễn Thị Hồng Lanh, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2016), “Phương pháp FK

Sư phạm TP HCM (đã được nhận đăng)

- Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn 01 học viên cao học đã bảo vệ thành công luận

văn

Nguyễn Thị Hồng Lanh (2015), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho ion H2 hai chiều”, luận văn thạc sĩ ngành Vật lý nguyên

tử, trường ĐH Sư phạm Tp HCM

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Kết quả thu được là một trong những ứng dụng cụ thể của phương pháp toán tử FK

để giải phương trình Schrödinger cho các bài toán hệ nguyên tử hai chiều, đây là một bước cần thiết để hoàn chỉnh phương pháp nhằm áp dụng cho các hệ vật lý phức tạp hơn

Xác nhận của cơ quan chủ trì

TRƯỞNG KHOA VẬT LÝ

TS Cao Anh Tuấn

Chủ nhiệm đề tài

TS Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Ho Chi Minh City, October 25, 2016

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

SOLUTIONS FOR THE PROBLEM OF TWO-DIMENSIONAL MOLECULAR

2 Objective(s): Applying the FK Operator Method (FK-OM) for finding the exact

possibility of developing the method for the case of existence of external electric field

3 Creativeness and innovativeness: The obtained results have scientific significance

and are original

4 Research results:

of molecular ion H2;

 Calculating essential formulae for a two-dimensional of molecular ion H2 in an

electric field;

another form of a two-dimensional atomic system via the Levi-Civita transformation, this result is significance in proposing an improvement of the method for the problem under investigation by combining simultaneously the

Levi-Civita and the Laplace transformation

5 Products:

+ Publication: 03 national journal article:

1 Nguyen Thi Hong Lanh, Cao Ho Thanh Xuan, Hoang Van Hung, Hoang Do Ngoc Tram (2015), “The FK operator method for solving the Schrödinger

2 Hoang Do Ngoc Tram (2016), “The FK Operator Method for

Two-Dimensional Sextic Double Well Oscillator”, Sci HCMC UP 6 (Nat Sc &

Tech.), 5-11

3 Nguyen Thi Hong Lanh, Hoang Do Ngoc Tram (2016), “The FK operator

Sci HCMC UP (accepted)

+ Education: 01 Master student

Nguyen Thi Hong Lanh (2015), “The FK operator method for solving the

Atomic Physics, HCMC University of Education

6 Effects, transfer alternatives of research results and applicability: The obtained

results are one of applications of FK operator method to solving Schrödinger equations for two dimensional atomic systems, which is an essential step in the process of accomplishing the method for the Schrödinger equation of more complicated physics systems

Approval

of the Implementing Institution

Dean of Physics Department

Principle Investigator

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Ion phân tử hydro H2 là phân tử đơn giản, gồm hai hạt nhân hydro và một electron, đã được nghiên cứu từ rất lâu [2] nhưng vẫn nhận được nhiều sự quan tâm

cao cung cấp dữ kiện đầu vào chính xác cho các nghiên cứu về phát xạ sóng điều hòa bậc cao, chụp ảnh nguyên tử, phân tử bằng xung laser [3] Ngoài ra, việc mô tả

phổ của sao neutron trong thiên văn học [10] Mặt khác, đây cũng là bài toán cơ bản dùng để kiểm tra tính hiệu quả của các phương pháp giải phương trình Schrödinger cho các bài toán hệ nguyên tử nhiều tâm do sự đơn giản của nó và đã được áp dụng bởi nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp GPS (generalized pseudospectral method) với độ chính xác 11 chữ số thập phân, phương pháp FC (free-complement method) với độ chính xác 18 chữ số thập phân [1, 3]

2 Việc giải quyết bài toán ion phân tử H2 ba chiều không đơn giản do số bậc tự do lớn, do đó, trong các nghiên cứu về ion phân tử này, ngoài các nghiên cứu trực tiếp với hệ ba chiều, nhiều mô hình đơn giản hóa được sử dụng, trong đó phổ biến là mô

lượng tử hai chiều cũng là một trong những chủ đề được quan tâm trong vật lí chất rắn do các hiệu ứng đặc biệt khi giảm số chiều Đặc biệt, sự thành công trong việc tạo ra các hệ bán dẫn hai chiều trong thực tế như hệ bán dẫn đơn lớp TMDs (Transition Metal Dichacolgenides) đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học đối với các hệ hai chiều [11, 17] Ngoài ra, trong bán dẫn hai chiều tồn tại sự liên kết giữa electron và lỗ trống và có thể hình thành giả hạt exciton dương (một electron liên kết với hai lỗ trống) có cấu trúc tương tự ion H2 [16]

3 Để tìm hiểu cấu trúc cũng như tính chất của các phân tử, nhiều nghiên cứu về ion

2

trường – nhất là trường laser (đo sóng điều hòa phát xạ, xác suất ion hóa, năng lượng phá vỡ liên kết hóa học, cấu trúc tinh tế…) [12] Mặt khác, trong các hệ bán dẫn đơn lớp TMDs, các nghiên cứu cũng chỉ ra rằng năng lượng liên kết của các

chịu ảnh hưởng nhiều của trường ngoài

4 Phương pháp toán tử FK [4] là một trong những phương pháp tìm nghiệm số

chính xác, bao gồm cả hàm sóng lẫn năng lượng, cho phương trình Schrödinger Phương pháp đã được phát triển và thu được những kết quả khả quan cho hệ nguyên

tử hai chiều [7, 8] khi đặt trong từ trường ngoài Trong công trình này, với mục tiêu

là phát triển phương pháp, chúng tôi tiếp tục áp dụng phương pháp toán tử FK cho

và có mặt điện trường Mặc dù lời giải cho bài toán ba chiều trong trường hợp không có điện trường ngoài đã được đưa ra, nhưng qua phân tích cho thấy bài toán

ba chiều do có đối xứng trụ, toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục đối xứng được bảo toàn, làm giảm số bậc tự do của hệ Đối với bài toán hai chiều phẳng, tính chất này không được đảm bảo nên bài toán hai chiều đang xét không phải là trường hợp đơn giản hóa của hệ ba chiều Đồng thời với các ứng dụng vật lý

ý nghĩa

5 Trong đề tài này, nhằm hoàn thiện phương pháp toán tử FK cho các bài toán hệ

nguyên tử hai chiều, mục tiêu của chúng tôi là tiếp tục phát triển phương pháp để

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi tiến hành các nội dung sau:

việc thực hiện đề tài này, FK-OM với phép biến đổi Laplace được sử dụng, quy trình chung được giới thiệu làm cơ sở cho các tính toán ở phần sau

thấy với độ chính xác chỉ đủ cho các phân tích giải tích

- FK-OM với hàm sóng tiệm cận nguyên tử cho ion phân tử H2 hai chiều Khi áp dụng trực tiếp FK-OM, độ chính xác của nghiệm thu được chưa đạt như mong muốn, chúng tôi chỉ ra một trong những nguyên nhân là do bộ hàm sóng cơ sở được

sử dụng là bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa trong khi bài toán đang xét là bài

toán nguyên tử, phân tử Do đó, chúng tôi viết lại hàm sóng có xét thêm biểu hiện

tiệm cận của hàm sóng nguyên tử Tuy nhiên kết quả cho thấy với cách cải tiến này các phần tử ma trận là quá phức tạp và đòi hỏi nhiều tài nguyên tính toán, đồng thời, với việc sử dụng thuần túy phép biến đổi Laplace, bài toán không khử được suy biến cũng là một khó khăn trong quá trình tính toán

- Với các phân tích ở trên, chúng tôi xác định các công thức cần thiết để tìm nghiệm

tiếp, do chỉ sai khác một số hạng đơn giản so với trường hợp không có điện trường, kết quả được dự đoán sẽ có độ chính xác tương tự như bài tao1n không xét điện trường ngoài

- Để cải tiến phương pháp, một gợi ý là sử dụng phép biến đổi Levi-Cvita để đưa bài toán đang xét về dạng dao động tử phi điều hòa, là bài toán mà FK-OM cho nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

2.1 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1.1 Phương pháp toán tử FK cho bài toán ion H2 ba chiều

Born-Oppenheimer trong hệ đơn vị nguyên tử:

electron với hai hạt nhân; R là khoảng cách giữa hai hạt nhân Ở đây, ta sử dụng hệ đơn

bài toán không phụ thuộc vào giá trị tham số này, chỉ có các thành phần tách ra phụ

không với độ chính xác cao; (4) Sử dụng các sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tìm nghiệm số chính xác cho bài toán Các kết quả cụ thể trong quá trình tính toán được mô

tả như dưới đây:

Hamiltonian trong biểu diễn đại số có dạng như sau:

vào nhằm hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán Các toán tử này thỏa các hệ thức giao hoán:

Các biểu thức giao hoán (4) và (5) chính là cơ sở cho các tính toán đại số

Phần chính và phần nhiễu loạn của Hamiltonian có biểu thức như sau:

2 2 4

Z dt

t i i i i i i t

Do hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục z bảo toàn, ta xây dựng bộ

sau:

 ), các toán tử u u u là tổ hợp của các toán tử sinh hủy ˆ ˆ ˆ1, 2, 3

(3), được đưa ra để chéo hóa hình chiếu moment động lượng lên trục Oz

i h

H

Z Z n

' 2 ' /2 ' 2 ' /2 ' 2 ' 2

.

q n j p m h r

n j p n j q m r dt t

' ' ' 0 ' 0 ' '

( )

" ' 0 ' 0 ' ( 1)

Sơ đồ vòng lặp và ngôn ngữ lập trình FORTRAN 90 được sử dụng, ta thu được các

tốc độ hội tụ của bài toán là tối ưu Trong bài báo này, để tiện lợi trong quá trình so sánh kết quả với các công trình trước đây, khoảng cách liên hạt nhân được chọn có giá trị

2

các tính toán trong bài báo này có thể được sử dụng để giải bài toán một điện tử liên kết



Năng lượng của ion H2 ở các trạng thái khác nhau được trình bày trong bảng 1 Ngoài ra, phương pháp toán tử FK còn cho phép thu được cả hàm sóng của hệ thông qua các hệ số khai triển ( )s

kj

Kết quả năng lượng ở trạng thái cơ bản và kích thích thứ nhất trùng ba chữ số thập phân và có sai số nhỏ hơn 0,03% so với kết quả được đưa ra trong công trình [3] Kết quả cho các trạng thái kích thích cao hơn có sai số lớn hơn và tốc độ hội tụ chậm hơn

60 là -0.428349675112, sai số so với kết quả công trình [3] là 0,1% Độ chính xác này chưa cao so với các phương pháp khác Có thể xác định nguyên nhân là do bộ hàm sóng

cơ sở đang sử dụng là nghiệm của dao động tử điều hòa trong khi đây là bài toán cho nguyên tử Do đó, trong các bước phát triển tiếp theo, cần có những cải tiến để thu được nghiệm chính xác hơn

cho thấy năng lượng đang hội tụ dần về giá trị chính xác khi số vòng lặp tăng lên Ở vòng lặp thứ 90, độ chính xác cho năng lượng là hai chữ số thập phân cho trạng thái cơ bản và ba chữ số thập phân cho trạng thái kích thích thứ nhất

Như vậy, phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace đã được áp

chứng tỏ rằng phương pháp toán tử FK với phép biến đổi Laplace có thể áp dụng được cho các bài toán hệ nhiều tâm Tuy nhiên, để khai thác hết tiềm năng của phương pháp

và thu được kết quả có ý nghĩa về độ chính xác như trường hợp bài toán exciton trung hòa cần có sự cải tiến Chúng tôi nhận thấy rằng việc sử dụng bộ hàm sóng cơ sở là hàm sóng của dao động điều hòa trong khi phương trình Schrödinger đang giải là phương trình cho nguyên tử chính là hạn chế, do đó chúng tôi cũng đề xuất hướng cải tiến bằng cách đưa thành phần tiệm cận e mũ của hàm sóng nguyên tử hydro vào hàm sóng của

áp dụng phương pháp cho trường hợp hai chiều của bài toán, là hệ vật lý bản thân cũng có ý nghĩa và đang được quan tâm trong thời gian gần đây

2.1.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán ion H2 hai chiều

2

Born-Oppenheimer trong hệ đơn vị nguyên tử:

tọa độ lần lượt là R/ 2, 0 và R/ 2, 0, R là khoảng cách giữa hai hạt nhân; tọa độ của

electron là x y,  Ở đây, ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử như đã nêu trong phần trên

2

H , ta chọn Z1Z21

Tương tự như trong phần trên, ta cũng sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa thành phần thế năng tương tác Coulomb ra khỏi mẫu số và viết lại Hamiltonian trong biểu diễn đại số của các toán tử sinh hủy (3) và (5) như sau:

chiều, không có sự đối xứng theo trục z, do đó toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz không phải là đại lượng bảo toàn, nên đây không phải là trường hợp đơn giản hóa của bài toán ba chiều

Ta tính được năng lượng gần đúng bậc không:

Sơ đồ vòng lặp xác định năng lượng và hàm sóng ở bậc bổ chính (s) được xây

dựng tương tự như trong phần trước:

s

n n

đại số như sau:

Z Z

R Z

/ 2 2

Các phần tử ma trận thỏa tính chất đối xứng: 1 2 1 2 1 2 1 2

Chúng tôi đã xây dựng được chương trình tính toán dựa trên ngôn ngữ FORTRAN

bản và trạng thái kích thích thấp Bảng 2 thể hiện kết quả năng lượng liên kết của

2

H , không kể số hạng Z Z1 2 /R để tiện so sánh với kết quả trong công trình [12] Kết quả cho thấy có sự trùng khớp với kết quả thu được trong công trình [12], chứng tỏ phương pháp toán tử FK có thể sử dụng cho bài toán này Mặt khác, phương pháp toán tử FK cũng cho phép thu hàm sóng của hệ thông qua các hệ số khai triển ( )1 2s

j j

2

0

n n 1.0

n  n 0.1

-7.134582035025815 -7.189032289991462 -7.219042792430178 -7.226687893779113 -7.233582871263082 -7.237053372924140 -7.241234581744969 -7.243592634526935 -7.246763509163307 -7.248707469103446 -7.251413298210454

-0.133643042677192

-3.183731241571831 -3.446164782158334 -3.483209486651852 -3.505930141330892 -3.512076507084016 -3.515815245345216 -3.519490795890641 -3.522933314005299 -3.523733802423030 -3.525308987475544 -3.526747481681508 -3.528270990171724

-0.786171718401323

-0.849820569086812 -0.875794523843851 -0.883323233366193 -0.888999572608477 -0.891117809601075 -0.893156489904430 -0.894075097064164 -0.895063480529541 -0.895550120251380 -0.896110790324210 -0.896403574758659 -0.896748417640714

Công

trình [12] -7.292183886382096 -3.543666987253950 -0.899094129617362

Tuy nhiên, ta thấy rằng độ chính xác của nghiệm thu được là từ một đến hai chữ số thập phân dù vẫn có thể sử dụng cho các phân tích giải tích nhưng độ chính xác là không

cao Qua kết quả này, ta có thể chỉ ra một số nguyên nhân để từ đó có thể phát triển

bảng ta thấy nghiệm đang hội tụ dần về kết quả chính xác hơn theo công trình [12], có

thể dự đoán nếu tăng số vòng lặp hơn nữa thì kết quả sẽ có độ chính xác cao hơn Tuy

nhiên, để có thể tăng số vòng lặp, cần có sự cải tiến trong chương trình tính toán để tiết

kiệm tài nguyên Thứ hai, về mặt phương pháp, ta thấy bài toán đang xét là bài toán

nguyên tử trong khi bộ hàm sóng được khai triển theo hàm sóng của dao động tử điều

hòa Đây chính là một gợi ý để cải tiến phương pháp

Kết luận

Trong phần này, phương pháp toán tử FK kết hợp với phép biến đổi Laplace đã

2

H hai chiều Chúng tôi thu được năng lượng cho trạng thái cơ bản và kích thích thấp với độ chính xác là hai chữ số

thập phân Kết quả này một lần nữa khẳng định phương pháp toán tử FK có thể áp dụng

được cho các bài toán hệ nhiều tâm, tuy nhiên, để nghiệm thu được có độ chính xác cao

hơn, cần có sự cải tiến Các kết quả này cũng chính là cơ sở phân tích để có thể phát

triển phương pháp toán tử FK Chúng tôi nhận thấy rằng việc sử dụng bộ hàm sóng cơ

sở là hàm sóng của dao động điều hòa trong khi phương trình Schrödinger đang giải là

phương trình cho nguyên tử chính là hạn chế Do đó, chúng tôi cũng đề xuất hướng cải

tiến bằng cách xét thành phần tiệm cận e mũ của hàm sóng nguyên tử hydro trong bước

tính toán tiếp theo

2.1.3 FK-OM cho bài toán ion H2 hai chiều có xét đến tiệm cận hàm sóng

Ta xét phương trình (13), phương trình này tương tự như phương trình Schrödinger

2 2

2 2

2 2

2

3/2 0 2

2

2 22

2 1

   

2 1 1

2

2 22

2

2 22

1 1

2

2 22

2 2 1 1 1 2 3 9 7 10 8 5 4 6

1 2 2 1 2 3 9 7 10 8 2 5 4

4 2 1 '/ 2 / 2 ' 2 2 2 3 2 2

' '/ 2 / 2 2 2 2 1

t

t n n n n j j j j j j j j j j q t

n n n j j j j j j j i j j

dt t

Kết hợp các phần tử ma trận (29) cùng với sơ đồ vòng lặp (21) về nguyên tắc cho phép

ta tính được nghiệm số của bài toán Tuy nhiên, trong thực tế lập trình, do số chỉ số trong các phần tử ma trận của Hamiltonian quá lớn, đòi hỏi nhiều tài nguyên tính toán

và tốc độ hội tụ không cao, do đó, việc sử dụng hàm sóng khai triển không đạt hiệu quả như mong đợi Do đó, trong bước tiếp theo, chúng tôi tiến hành áp dụng FK-OM trực

sóng

2.1.4 FK-OM cho bài toán ion H2 hai chiều trong điện trường

hợp có mặt điện trường ngoài Do vẫn trong quá trình đánh giá phương pháp, ở đây chúng tôi xét điện trường tĩnh

, 2

là cường độ điện trường không thứ nguyên theo phương Ox và Oy, đơn vị của cường độ

0

e

trường chỉ khác Hamiltonian (13) trong trường hợp không có điện trường ở số hạng sau:

, 0 0 0 x (0,2 2 ) 1 1 2 4 3 2 4 3

2 3 2 1/2 2

2.1.5 FK-OM cho dao động tử phi điều hòa dạng giếng thế đôi

Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi đã nghiên cứu phát triển FK-OM cho bài toán dao động tử phi điều hòa dạng giếng đôi Trong các công trình [4, 7] đã chỉ ra rằng có mối liên hệ giữa bài toán hệ nguyên tử hai chiều và bài toán dao động tử điều hòa hai chiều Thông qua phép biến đổi Levi-Civita:

sóng cơ sở được chọn mặc dù vẫn là bộ hàm của dao động tử điều hòa trong không gian

(u, v) nhưng thực chất đó là bộ hàm sóng nguyên tử trong không gian (x, y) Chính vì

thế, việc phát triển phương pháp toán tử cho bài toán dao động tử dạng giếng đôi có ý nghĩa trong việc gợi ý sử dụng phép biến đổi Levi-Civita cho bài toán đang xét

Thế dao động tử phi điều hòa dạng giếng đôi có biểu thức:

lượng, tần số dao động và hệ số phi nhiễu loạn

Để thuận lợi, phương trình Schödinger không thứ nguyên được sử dụng:

Tương tự như các phần trước, chúng ta sẽ áp dụng quy trình của phương pháp toán

tử FK để tìm nghiệm số cho bài toán Ta viết lại Hamiltonian của bài toán trong biểu diễn của các toán tử sinh hủy (3) và (5)

của các toán tử (3) sao cho toán tử hình chiếu moment động lượng quỹ đạo có dạng

hàm riêng (38) ở trên (n 0,1, 2, ;m  0,1, 2, ); trạng thái chân không 0  được định nghĩa:

Kết quả và thảo luận

Chương trình tính toán trên ngôn ngữ FORTRAN 90 được xây dựng cho phép thu được nghiệm số cho trạng thái bất kì với hệ số phi nhiễu loạn và tần số bất kì Chương trình đã được kiểm tra cho các trạng thái với số lượng tử lên đến 500 với độ chính xác đến 6 chữ số thập phân Trong các kết quả chỉ ra, có một số kết quả rất “đẹp” về mặt toán học, được dự đoán là những điểm cho nghiệm giải tích chính xác Ví dụ, trạng thái 0,

Bảng 3 Năng lượng của dao động tử phi điều hòa dạng giếng thế đôi, những giá

trị in đậm tương tứng với những trạng thái được dự đoán cho nghiệm giải tích chính xác

n m 0,   2. m0,   5. m  3,   3 m  100,   100

0 -1.414214E+00 -2.000000E+00 -6.000000E+00 -3.847569E+05

1 1.414214E+00 2.000000E+00 3.521549E-07 -3.845569E+05

2 5.315649E+00 6.605241E+00 6.000000E+00 -3.843569E+05

3 1.052921E+01 1.223973E+01 1.246183E+01 -3.841570E+05

4 1.675396E+01 1.880020E+01 1.958590E+01 -3.839571E+05

5 2.384386E+01 2.617903E+01 2.739994E+01 -3.837572E+05

6 3.170412E+01 3.429697E+01 3.587924E+01 -3.835574E+05

7 4.026593E+01 4.309356E+01 4.498910E+01 -3.833576E+05

8 4.947621E+01 5.252089E+01 5.469567E+01 -3.831578E+05

9 5.929236E+01 6.253985E+01 6.496834E+01 -3.829580E+05

10 6.967924E+01 7.311776E+01 7.577999E+01 -3.827583E+05

11 8.060717E+01 8.422677E+01 8.710661E+01 -3.825586E+05

12 9.205067E+01 9.584280E+01 9.892689E+01 -3.823589E+05

13 1.039876E+02 1.079448E+02 1.112218E+02 -3.821593E+05

14 1.163983E+02 1.205140E+02 1.239744E+02 -3.819597E+05

15 1.292654E+02 1.335338E+02 1.371691E+02 -3.817601E+05

16 1.425733E+02 1.469892E+02 1.507920E+02 -3.815606E+05

17 1.563079E+02 1.608665E+02 1.648303E+02 -3.813610E+05

18 1.704564E+02 1.751533E+02 1.792723E+02 -3.811615E+05

19 1.850070E+02 1.898383E+02 1.941071E+02 -3.809621E+05

20 1.999488E+02 2.049110E+02 2.093248E+02 -3.807626E+05

Kết luận

Như vậy, việc sử dụng phương pháp toán tử FK cho phép thu được nghiệm số của bài toán dao động tử phi điều hòa dạng giếng thế đôi Điều này gợi ý rằng có thể sử

để đưa bài toán về dạng dao động tử phi điều hòa nhằm tăng độ chính xác cho bài toán Tuy nhiên, do đây là bài toán phân tử, nên các biến tọa độ phức tạp hơn, đòi hỏi phải kết hợp cả phép biến đổi Laplace và cần có sự nghiên cứu sâu hơn

2.2 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Nguyễn Thị Hồng Lanh, Cao Hồ Thanh Xuân,

Hoàng Văn Hưng, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2015),

“Phương pháp FK giải phương trình Schrödinger cho

số 12 (Khoa học tự nhiên & Công nghệ), tr 67-74

ISSN 1859-3100

Tạp chí khoa học trong nước

2

Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2016), “The FK Operator

Method for Two-Dimensional Sextic Double Well

Oscillator”, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm TP HCM

số 6 (Khoa học tự nhiên & Công nghệ), tr 5-11

ISSN 1859-3100

Tạp chí khoa học trong nước

3

Nguyễn Thị Hồng Lanh, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

(2016), “Phương pháp FK giải phương trình

2

H hai chiều”, Tạp chí khoa học

ĐH Sư phạm TP HCM (nhận đăng)

ISSN 1859-3100

Tạp chí khoa học trong nước

2.2.2 Kết quả đào tạo

Hướng dẫn 01 học viên cao học đã bảo vệ thành công luận văn:

Nguyễn Thị Hồng Lanh (2015), “Phương pháp toán tử giải phương trình

2

H hai chiều”, luận văn thạc sĩ ngành Vật lý nguyên tử, trường ĐH

Sư phạm Tp HCM

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Hồng Lanh và tgk

_

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK

TÓM TẮT

phân tử hydro H2 Kết quả thu được là các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản 1s và trạng thái kích thích đầu tiên 2s với sai số dưới 0,03% Mặc dù các tính toán cụ thể được thực hiện cho H2, nhưng nguyên tắc và quy trình tính toán có thể áp dụng cho các ion phân tử tương tự nhưng không đối xứng.

Từ khóa: phương pháp toán tử FK, phương trình Schrödinger, năng lượng, ion phân

tử hydroH2

ABSTRACT

The FK operator method for solving the Schrödinger equation of ion H 2 +

The FK operator method is used for solving the Schrödinger equation of the

excited states 2s with error less than 0,03% Although in the paper, calculations are

và một electron Nó đã được nghiên cứu vào những ngày đầu của cơ học lượng tử [9, 10] và vẫn nhận được nhiều sự quan tâm đến hiện nay [3, 4, 7] Việc xác định hàm

các nghiên cứu về phát xạ sóng điều hòa bậc cao, chụp ảnh nguyên tử, phân tử bằng

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(78) năm 2015

_

xung laser [4] Ngoài ra việc mô tả chính xác ion cung cấp những thông tin cần thiết đối với các nghiên cứu quang phổ của sao neutron trong thiên văn học [8] Mặt khác, đây cũng là bài toán cơ bản dùng để kiểm tra tính hiệu quả của các phương pháp giải phương trình Schrödinger cho các bài toán hệ nguyên tử nhiều tâm do sự đơn giản của

nó và đã được áp dụng bởi nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp GPS (generalized pseudospectral method) với độ chính xác 11 chữ số thập phân, phương pháp FC (free-complement method) với độ chính xác 18 chữ số thập phân [3, 4] Trong công trình này, chúng tôi áp dụng phương pháp toán tử FK [5] để giải phương trình Schrödinger cho ion phân tử hydro H2 Phương pháp này đã được áp dụng thành công cho các bài toán nguyên tử, phân tử, đặc biệt là bài toán hệ nguyên tử hai chiều, cho phép thu được năng lượng và hàm sóng chính xác [6] Đối với bài toán

ba chiều, phương pháp cũng đã áp dụng bước đầu để xác định nghiệm số cho bài toán nguyên tử hydro, trong đó có sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa toán tử tọa độ trong thành phần tương tác Coulomb ra khỏi mẫu số, đưa Hamiltonian về dạng thuận lợi cho biến đổi đại số, và xây dựng hàm sóng cơ sở cho bài toán hệ nguyên tử ba chiều [1, 2] Việc áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán ion H2 là một bước phát triển phương pháp và cũng là bước đầu để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn và chưa có

Cấu trúc bài báo gồm có ba phần chính: phần thứ nhất giới thiệu phương pháp

thảo luận; cuối cùng là phần kết luận và dự kiến phát triển của đề tài

trong hệ đơn vị nguyên tử:

trong đó Z1, Z2 là điện tích hạt nhân 1 và hạt nhân 2; R1, R2 lần lượt là khoảng cách giữa

electron với hai hạt nhân; R là khoảng cách giữa hai hạt nhân Ở đây, ta sử dụng hệ đơn

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Hồng Lanh và tgk

_

Schrödinger trong biểu diễn đại số; (2) Tách Hamitonian thành hai phần như lý thuyết nhiễu loạn, trong đó phần chính chỉ chứa các toán tử trung hòa (các toán tử chứa số toán tử sinh bằng số toán tử hủy), có nghiệm là dao động tử điều hòa, phần còn lại được xem là nhiễu loạn; (3) Xây dựng bộ hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng chung của dao động tử điều hòa và toán tử hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z do hệ vật lý có tính đối xứng trụ Từ đó, xác định nghiệm chính xác bậc không (nghiệm riêng của phần chính) Chú ý rằng trong các toán tử sinh-hủy, ta có đưa thêm tham số tự do  vào Hamiltonian của bài toán không phụ thuộc vào giá trị tham số này, chỉ có các thành phần tách ra phụ thuộc vào  Do đó việc chọn giá trị phù hợp sẽ giúp thu được nghiệm chính xác bậc không với độ chính xác cao; (4) Sử dụng các sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tìm nghiệm số chính xác cho bài toán Các kết quả cụ thể trong quá trình tính toán được mô tả như dưới đây:

Hamiltonian trong biểu diễn đại số có dạng như sau: