Định lý điểm bất động và sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân trong không gian banach

Haõy tính cođng sinh ra laøm cho ñieôn tích e2 dòch chuyeơn töø ñieơm M1 coù hoaønh ñoô r1 ñeân ñieơm M2 coù hoaønh ñoô r2... PHẦN II TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

GVHD : Thạc sĩ TRẦN HOÀNG SVTH : NGÔ THỊ THANH THẢO KHÓA : 2000 – 2004

Thành phố Hồ Chí Minh 2004

PHẦN I

TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN VÀ ỨNG DỤNG

§1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I-Định nghĩa tích phân xác định :

Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], F(x) là nguyên hàm của f(x)

)()()

()(x F x F b F a

(

b

a dt t f dx x f

b.Ở định nghĩa, ta giả thiết a < b Nếu a > b thì định nghĩa :

a

b

)()

(

b

a dx x f dx x f

Tất nhiên : ∫ =

a

a

0)

( dx x f

c.Từ định nghĩa ta thấy ngay hàm f khả tích trên [a,b] thì phải giới nội trên đó

II-Tính chất cơ bản của tích phân :

Định lý 1: Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên một đoạn chứa các điểm a, b và

x f dx

x g x

iii Nếu a ≤ b và f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ (a,b) thì ∫ ≤∫

b

a

b

a dx x g dx x

f( ) ( ) ;

iv Nếu a ≤ b thì ∫ ≤∫

b

a b

a

dx x f dx x

0

)(2)( ; nếu f là hàm lẻ thì ∫

−

=

a

a dx x

f( ) 0

Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình) : Giả sử f(x) khả tích trên [a,b] và trên đoạn

này thì m ≤ f(x) ≤ M Khi đó,∃µ ∈ [m,M] sao cho :

a

f(x)dx µ (b – a) Nói riêng, nếu f liên tục trên [a,b] thì ∃ c∈ [a,b] để

∫ =

b

a

a)-(bf(c)f(x)dx

Giá trị µ = − ∫b

a

f(x)dx1

a

b gọi là giá trị trung bình của f trên [a,b]

III-Phương pháp tính tích phân:

1.Phương pháp đổi biến số :

a.Đổi biến dạng u =u(x)

Định lý 3ù : Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈ ( a,b) và có

f(x)dx = g(u)du thì trong (a,b) ta có : ∫ f(x)dx=∫g(u)du

b Đổi biến dạng x = ϕ(t)

Định lý 4 : Giả sử f(x) là hàm số liên tục đối với x trên [a,b] và x = ϕ(t) là hàm số

khả vi, đơn điệu đối với t trên [a,b] và lấy giá trị trên [a,b]

Khi đó ta có: ∫ f(x)dx=∫ f[ ( )ϕ( )t ]ϕ'( )t dt

2.Phương pháp tích phân từng phần :

Định lý 5 : Giả sử u =u(x), v=v(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈ ( a,b)

Khi đó trong (a,b) ta có :

∫u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) −∫v ( x ) u ' ( x ) dx

3.Tích phân hàm hữu tỉ :

a.Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản :

1 1

1 , k ≠ 1, a ≠ 0 (iii) ∫x2 +Adxbx+c

Phương pháp: + Biến đổi x2 + bx + c = ( )

4

42

AbBc

bxx

bxAcbxx

BAx

++

−+

+

=++

+

2 2

2Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng : ∫du u và tích phân dạng (iii)

Ví dụ 1 : Tính ∫ +++ dx

x x

x

1

3 2

2

1

1 2

++

=+

++

2

13

23

4)1ln(

4

321

21

)1

2 2

2

x arctg x

x x

dx x

x

x x

x P m n

b1 Bậc Pn(x) < bậc Qm(x) (n < m)

Ví dụ 2 : Tính I = ∫ 3 −1

x xdx

11

1

2 2

−++++

=++

++

−

=++

x C Bx x

x A x

x

C Bx x

A x

x x x

−

=+0

1C

A

CBA

OBA

C B A

⇒ I = ∫ − ∫ +− +

x x

dx

1

13

113

++

−

−

2

13

323

31ln

6

11ln3

b2 Bậc Pn(x) ≥ bậc Qm(x) ,( n ≥ m)

Ta chia Pn(x) cho Qm(x), phân tích

)(

)(

x Q

x P m

n đưa về dạng (b1)

Ví dụ 3: Tính I = ∫ ++ dx

x

x x

1

2

3 4

Ta có : ∫ ++ dx

x

x x

+

−+

+

2

13

23

11ln

6

11ln3

1-2

m

R hữu tỉ;m,n,r,s ∈N

Phương pháp :Giả sử k là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số n,…,s thì

), ,

(

s

r n

m

=

= .Đặt x = tk, ta được: ∫R x x x s dx =∫R tk tm tr k

r n m

) , , , ( )

, , , ( 1 1 tk-1 dt, thành một tích phân của hàm hữu tỉ

Ví dụ 4: Tính I = ∫ −+

)1(4

8 4

dx x

=+

−

C arctgt t

t

dt t

tdt dt

t t

t

t

8)1ln(

41

818

8)1

(

2 2

7 2

baxd

cx

baxx

r n

m

), ,

x

3

123

1ln

2

11

−

+

=+

++

+++

−

x

x t C

t arctg t

t

c) Dạng ∫R(x, ax +bx+c)dx, a ≠0

Phương pháp: +Nếu a>0 thì đặt ax2 +bx+c =± a x+t

Từ đó: x=

t a b

c t

b t c

−

−

±

+ Nếu ax2 +bx +c có hai nghiệm thực a vàb thì đặt : ax2 +bx+c =(x−a)t

Bởi vì : ax2 + bx + c = a(x- a)(x-b) = (x-a)2t2 nên ta có : x = 2 2

ta

ta

−

a

−b

Ví dụ 6: Tính I = ∫ + +

1

2

x x dx

Đặt x2 + x+1 = x+t thì x =

t

t

21

2 2

)21(

)1(

2

−

−+

−

−+

−

−

C t t

t d t

dt dt

t

t t t

t

t

21ln2

1

)21(2

1

2)

21(

)1(

2.1

21

2 2 2

= -ln1 + 2x− 2 x2 +x+ 1 +C

Ví dụ 7: Tính I = ∫ + −

43

2

x x dx

Đặt x2 +3x−4 =(x+4)t thì x= 22

1

41

t t

dt

1

1 1

2

2 ln +C = ln

1 4

1 4

−

− +

− + +

x x

x

5 Tích phân các hàm lượng giác :

a Dạng ∫R(cosx, sinx)dx,( với R(.,.) là biểu thức hữu tỉ của sinx, cosx)

Phương pháp chung :+ Đặt t = tg

t + , cosx = 22

+Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ

Ví dụ 8: Tính ∫sin x dx+1 Đặt t = tg

2

x => dx = 2

1

2t

dt+ ; sinx= 2

2 2

1

2.11

2

1

t dt

t

x tg

−

21

21

2

* Đặc biệt : Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx

Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx

Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tgx

b Dạng ∫cosax cosbxdx, ∫sinax sinbxdx, ∫cosax sinbxdx,

Phương pháp : Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng

Ví dụ 9: Tính ∫cos3xsin5xdx

Ta có : ∫cos 3xsin 5xdx = ∫ ∫ +

1 2

sin 2

1 8

sin 2 1

c Dạng ∫sinn xdx;∫cosn xdx

Phương pháp :

+ Cách 1 : Áp dụng dạng a) phần đặc biệt

+ Cách 2 : Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc:

cos2x =

2

2cos

1+ x,sin2x =

2

2cos

1− x đưa cosnx, sinnx về hàm lượng giác có bậc nhỏ hơn hoặc dùng công thức tích phân từng phần, suy ra công thức truy hồi

2 cos 1

2 4

= ∫ + x+ (1 + cos 4x)dx

8

1 2 cos 2

1 4 1

= x+ x+ sin 4x+C

32

1 2 sin 4

1 8 3

Ví dụ11:Tính I = ∫ dx

x

x

sincos3Đặt t = sinx, dt = cosxdx

⇒ I = ∫ − = t −t +C = x + x+C

t

dt t

2

sinsin

ln2

ln)1

f( ) = > −∞∫

b

a

alim f(x)dx (1b)

♦Định nghĩa 3 : Giả sử f(x) xác định trong (-∞, +∞) , khả tích trên [a,b],b∈R, a

< b, tích phân suy rộng của f(x) trong ( -∞,+∞) kí hiệu và xác định như sau :

f( ) +∞∫

c dx x

f( ) với c∈ R ( 1c) Nếu các tích phân suy rộng (1a), (1b), 1c) là 1 số hữu hạn thì ta nói các tích phân suy rộng đó hội tụ, ngược lại nếu nó là số vô hạn hoặc không tồn tại ta nói nó phân kỳ

Ví dụ12 :Tính các tích phân suy rộng sau :

a +∞∫ +

1

2

) 1

1+

11

⇒Tích phân suy rộng này phân kỳ

2.Tiêu chuẩn hội tụ :

* Trường hợp f(x) ≥ 0 :

Định lý 6 :Nếu f(x) ≥ 0 trên [a,+ ∞) thì +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ khi và chỉ khi ∃ M >0

sao cho ∫b ≤Μ

a

dx x

f( ) , ∀b ∈[a,+ ∞)

Định lý 7 : ( Tiêu chuẩn so sánh1) Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả tích

trên [a,b], ∀ b ≥ a và f(x) ≤ g(x) ,∀x≥a Khi đó :

+ Nếu +∞∫

a dx x

g( ) hội tụ thì +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ

+ Nếu +∞∫

a dx x

f( ) phân kỳ thì+∞∫

a dx x

g( ) phân kỳ

Định lý 8 : ( Tiêu chuẩn so sánh 2 ) : Giả sử f(x) và g(x) không âm và khả

tích trên [a,b], ∀ b ≥ a và k

x g

x f

+∞

> ( )

)(

a)Nếu k = 0, +∞∫

a dx x

g( ) hội tụ => +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ b)Nếu 0 < k < + ∞, thì hai tích phân cùng tính chất

c)Nếu k = + ∞ : +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ => +∞∫

a dx x

g( ) hội tụ

+∞∫

a dx x

g( ) phân kỳ => +∞∫

a dx x

f( ) phân kỳ

Định lý 9: +∞∫ >

a

a x

dx

)0(

dx

) 0 (

a hội tụ khi a>1,phân kỳ khi a ≤ 1

f( ) hội tụ khi và chỉ khi :

'

) (

∫

+∞

) ( hội tụ

+ Nếu +∞∫

a

dx x

f( ) hội tụ, ta nói là +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ tuyệt đối

+ Nếu +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ nhưng +∞∫

a dx x

f( ) phân kỳ thì ta nói +∞∫

a dx x

f( ) hội tụ không tuyệt đối hoặc bán hội tụ

Với các tích phân suy rộng ∫

∞

−

a

dx x

f( ) và+∞∫

∞

−

dx x

f( ) ta có các tiêu chuẩn tương tự

II-Tích phân suy rộng loại 2 :

1-Định nghĩa : Giả sử f(x) khả tích trên [a,c], ( ∀c∈ [a,b]) và

dx x f c

a b

clim> −∫ ( ) = ∫b

a dx x

f( ) (1) thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng ( loại 2) của f(x) trên [a,b] Nếu (1) hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng f x dx

dx x

f( )lim = f x dx

b a

f ) ( = ∫d

a

dx x

b d

∫ ( )

( tức là tích phân hội tụ khi và chỉ khi hai vế của tích phân phải hội tụ )

2.Tiêu chuẩn hội tụ :

a hội tụ khi 0 <a < 1, phân kì khi a ≥ 1

Định lí 12 : Nếu f(x) ≥ 0 trên [a,b] -> +∞ khi x -> b- thì f x dx

s f(x)

g( ) phân kì

Định lí 14 : Giả sử f và g không âm và k

x g

x f b

> ( )

)(lim

a.Nếu k = 0 : ∫b

a dx x

g( ) hội tụ

∫b

a dx x

x x

0 sin 3

1

1ln

Ta thấy hàm dưới dấu tích phân trong (0,1] nên có thể áp dụng ĐL so sánh

2 < 1) nên tích phân cần

xét cũng hội tụ

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

I Tính diện tích hình phẳng :

1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) liên tục đơn trị trên [a,b] và các đường x=a, x=b với f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a,b] được tính theo công thức : S = ∫ [ − ]

b

a

dx x g x

f( ) ( )

0 a b

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho theo phương trình tham số

x = x(t), y = y(t) và đường x = a, x= b, trục Ox, được tính theo công thức :

S = ∫2

1

)(')

(

t

t

dt t x t

y với a = x(t1), b= x(t2) x(t), x’(t), y(t) liên tục trên [t1, t2]

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = f(x) và trục Ox trên [a,b] được

tính theo công thức :

S = ∫b

a

dx x

f( )

= ∫ −∫b

c c

a

dx x f dx x

86

2

2 0

3 2

dx

x x

Vậy S = S1 +S2 = 4

3

8 3

4

= + (đvdt)

II.Thể tích vật thể :

1- Vật thể bất kỳ :

Thể tích vật thể hữu hạn giới hạn bởi 1 mặt cong và 2 mặt phẳng x = a, x = b có tiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục Ox tại x, a≤ x ≤ b là S(x) liên tục trên [ a,b] được tính theo công thức :

V = ∫b

a dx x

S( )

2- Vật thể tròn xoay

Thể tích vật thể tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi đường x = a, x = b,

y = b f(x) ≥ 0 liên tục trên [a,b], trục Ox , quay quanh trục Ox được tính theo công thức :

V = π∫1

0

2

dxx

f ( )

Ví dụ 17: Tính thể tích vật tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x2, y = x quay quanh trục Ox

Giải :

Thể tích của vật thể tròn xoay đã cho là :

V = V1 - V 2

Với V1 là thể tích tròn xoay do hình phẳng giới

hạn bởi y = x, x=1, trục Ox, quay quanh Ox :

V1 = ∫1( )

0

2

dx x

22

1

0

=x

ø V2 do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ,

x=1,trục Ox, quay quanh Ox:

V2 = ( ) 5 1 5

0

5 1

0

2

π∫ x dx x Vậy V =

10

3 5 2

ππ

π − = (đvtt)

III Độ dài cung phẳng :

1 Độ dài cung L từ A (a,f(a)) đến B (b,f(b)) của đường cong y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b] được tính theo công thức :

Ví dụ 18: Tính độ dài d của cung phẳng của đường y = lnx từ điểm có hoành độ

x1 = 3 đến điểm có hoành độ x2 = 8

8 3

2

1

x Đặt u = x2 +1=>u2 =x2 +1 => xdx = udu

1

1 1

1 1+

=

2 Độ dài cung L từ A (x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) của đường cho theo

phương trình tham số x = x(t), y = y(t) có x’(t), y’(t) liên tục và biến thiên đơn điệu trên [t1, t2] được tính theo công thức :

(đdL) = ∫2 +

1

2 2

IV Diện tích mặt tròn xoay :

Diện tích của mặt tròn xoay do cung đường cong y = f(x), x∈[a,b] quay quanh trục Ox tạo thành được tính theo công thức :

S = π∫ +

b

a

dxxfx

f( ) 1 '2( )2

Ví dú19: Tính dieôn tích cụa maịt xuyeân do ñöôøng troøn x2 + (y – b)2 = a2 ( b>a>0) quay xung quanh trúc Ox táo thaønh

xx

ab

xx

ab

xa

dxab

a

a a

a

2 2

2244

p( )

2-Tính cođng cụa moôt löïc bieân thieđn

Giạ söû coù moôt chaât ñieơm coù khoâi löôïng baỉng moôt chuyeơn ñoông töø a ñeân b döôùi taùc ñoông cụa moôt löïc f höôùng theo trúc Ox, löïc naøy tái ñieơm x ∈[a,b] coù cöôøng ñoô laø F(x) Cođng thöùc sinh ra khi löïc laøm chaât ñieơm chuyeơn ñoông töø a ñeân b ñöôïc tính theo cođng thöùc :

A = ∫ba

dxx

F )(

Ví dú 20: Löïc ñaơy cụa hai ñieôn tích e1 vaø e2 cuøng daâu ñaịt caùch nhau moôt

khoạng r cho bôûi cođng thöùc : F = 122

r

e

e Giạ söû ñieôn tích e1 ñöôïc ñaịt coâ ñònh táiñieơm goẫc coù hoaønh ñoô x = 0 Haõy tính cođng sinh ra laøm cho ñieôn tích e2 dòch chuyeơn töø ñieơm M1 coù hoaønh ñoô r1 ñeân ñieơm M2 coù hoaønh ñoô r2

Aùp dúng cođng thöùc tređn ta coù :

A = ( )

1 2 2 1 2

2 1 r

rreedrree

PHẦN II

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TRÊN KHÔNG GIAN

BANACH VÀ ỨNG DỤNG

§1-KHÔNG GIAN BANACH I-Định nghĩa không gian tuyến tính định chuẩn :

1-Định nghĩa:

* Định nghĩa1:Giả sử E là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K vàø

R* =[0,+∞)⊂ R Hàm số P : E → R* (x → P(x) ) được gọi là chuẩn trên E , nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau đây :

(I) P(x) ≥ 0 ; P(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

(II) P(λx) = |λ|P(x) , với mọi x ∈ E và λ ∈ K

(III) P(x+y) ≤ P(x) + P(y) , với mọi x , y ∈ E

* Định nghĩa 2 : Một không gian tuyến tính E mà trên nó có xác định một

chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn Giá trị của chuẩn tại x ∈ E thường ký hiệu là x Khi đó các điều kiện từ (I) đến (III) được viết như sau: (I) x ≥ 0 ; x = 0 khi và chỉ khi x= 0

Và như vậy trường vô hướng K = K1 là không gian định chuẩn

II- Dãy Cauchy :

Một dãy {xn} trong không gian chuẩn E được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu :

III-Sự hội tụ trong không gian định chuẩn:

Cho xn là dãy trong không gian định chuẩn E:

+ xn→ xo (dãy xn hội tụ tới xo) nghĩa là x n −x o → 0

+ Nếu xn→ xo thì x n → x o Hay chuẩn x là một hàm liên tục

+ Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì ∃ k > 0 sao cho:

n

x ≤ k

IV- Định nghĩa không gian Banach :

1- Định nghĩa :Một không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian

tuyến tính định chuẩn đầy ( gọi tắt là không gian chuẩn đầy ) nếu mọi dãy cơ bản của E đều hội tụ

Không gian chuẩn đầy được gọi là không gian Banach

là một không gian chuẩn

♦ Bây giờ ta nói về sự hội tụ trong E Ta có dãy :

xk = ( x1(k) , x2(k) , … , xn(k) ) → x = ( x1 , … , xn )

Khi và chỉ khi :xj(k) → xj ( k → ∞ , j = 1,n )

Thật vậy, ta có :

( ( ) ( )) ( n)

k n k

x x x

x1 , , − 1, , = ( ( ) ( ) n)

k n k

x x x

x1 − , ,1 − = ( )

1

x k − + … + ( )

n k

x − → 0 khi và chỉ khi : ( )

j k

x − → 0 với mọi j = 1 ,n ♦Bây giờ ta chứng minh rằng E là không gian Banach

Giả sử { }x k là dãy cơ bản trong E Khi đó với mỗi j = 1 ,n , ta có :

( ) ( )1

j k

Chứng tỏ rằng : { }x k ⊂ E hội tụ tới x = (x1 , …, xn ) ∈ E

Từ đó , vì K là không gian Banach nên Kn cũng là không gian Banach

§2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

I-Tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi :

D

∫ , tồn tại và xác định một hàm

I :U → F

I(u) = f( )x u dx

D

∫ , , u ∈ U Biểu thức ở vế phải đẳng thức trên đây gọi là tích phân phụ thuộc tham số

u ∈ U với miền lấy tích phân không đổi D

2- Tính chất :

a-Tính liên tục :

Định lý1 : Giả sử f : D x U → F là hàm với giá trị trong không gian

Banach F ,D ⊂ Rn là tập compac có thể tích , còn U là không gian mêtric Khi đó hàm

Định lý2 :Giả sử D⊂ Rn là tập compac có thể tích , U là tập mở trong

không gian Banach E và f :D × U → F là hàm liên tục trên D × U với giá trị

trong không gian Banach F Nếu :

D

∫ , , u ∈ U xác định và khả vi liên tục trên U Ngoài ra

x arctg (u ≠0)

F’(u) = dx

u x u

1

= -∫1 +0

2 2

x u

xdx = - ( )1

0

2 2

ln2

Định lý 3:Giả sử D và U là các tập compac có thể tích Rn và Rm tương ứng,

F là không gian Banach Nếu hàm f : D × U → F liên tục thì hàm I: U → F cho bởi I(u) = f( )x u dx

D

∫ , khả tích trên U và

( )u du I

x , x ∈ [ 0 , 1 ] là hàm khả tích trên đoạn [ 0 , 1 ]