Thuyết tương đối rộng và việc giảng dạy cho sinh viên khoa lý như một chuyên đề đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường

Trong đa tạp n chiều ta có hệ tọa độ cũ xP 1 P xP 2 P,...,xP n P và hệ tọa độ mới ?̅? Ta có phương trình liên hệ giữa mới và cũ: để đơn giản ta viết Như đã biết trong phần giải tích, đị

Tập hợp các điểm trên sẽ cho ta đường cong và mặt cong Ta nối tắt là đường và mặt Cũng giống như trong không gian Euciide 3 chiều, đường có một bậc tự do và phụ thuộc vào

một tham số cho bởi phương trình:

xP a P = xP a P(u) ; a= l,2, n (1) Đôi khi để đánh số các đường ta đưa thêm vào tham số thứ hai n khí đó

xP a P

xP a P (u,n) (2)

Mặt m chiều trong đa tạp n chiều (m < n) sẽ có m bậc tự do và nó phụ thuộc vào m tham số cho bởi phương trình:

xP a P = xP a P(uP 1 P,uP 2 P, uP m P) (3)

Nếu như m = n-l thì mặt này gọi là siêu mặt - Hypersurface

xP a P = xP

a P(uP 1 P,uP 2 P, uP n-1 P) a=l,2, n

Từ đây ta có thể đưa về phương trình:

f(xP 1 P,xP 2 P, ,xP n P) = 0 Phương trình này có tên là phương trình liên kết

Trong đa tạp n chiều ta có hệ tọa độ cũ xP

1 P

xP 2 P, ,xP n P

và hệ tọa độ mới 𝑥̅𝑛

Ta có phương trình liên hệ giữa mới và cũ:

để đơn giản ta viết

Như đã biết trong phần giải tích, định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa

độ mới phụ thuộc tuyến tính Nếu các độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác không

Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sẽ cho ta ma trận đơn vị

Ví dụ trong không gian 3 chiều ta có

Chuyển sang không gian n chiều ta có :

Ta qui định nếu chỉ số lặp lại hai lần có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó Các chỉ số này gọi là chỉ số câm

Còn chỉ số xuất hiện ở cả hai vế gọi là chỉ số tự do

§3 : TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN

1 Khái niệm hiệp biến và phản biến

Xét vectơ X trong mặt phẳng với hai vectơ cơ sở eR 1 R, eR 2 Rnhư hình vẽ

Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau, ta có hai cách mô tả vectơ X

a Chiếu vuông góc vectơ x lên hai trục ta được xR 1 R, xR 2

b Chiếu vectơ X song song theo từng trục ta được xR 1 R,xR 2

Tóm lại nếu biết xR 1 R, xR 2 R và xP

1 P, xP 2

Pta đều xác định được vectơ X

xR 1 R, xR 2 R: thành phần hiệp biến của vectơ X

xP 1 P, xP 2 P: thành phần phản biến của vectơ X Trong trường hợp hai trục tọa độ vuông góc nhau ta thấy thành phần phản biến và hiệp biến trùng nhau

2 Xét đa tạp n chiều

Điểm P có các tọa độ là xP

a P, còn điểm Q có xP

a P + dxP a

P Vectơ dxP

a P

nối hai điểm với nhau:

Trong hệ tọa độ xP

1 P,P PxP 2 P, , xP n

Pvectơ trên sẽ có các thành phần tương ứng là dxP

a P

Tương tự ương hệ tọa độ mới các thành phần tương ứng của vectơ trên

sẽ là d𝑥P

a

Ta có công thức liên hệ :

(1) Bây giờ ta định nghĩa:

Vectơ phản biến hay tenxơ phản biến hạng 1 là tập hợp những, đại lượng XP

atrong hệ tọa độ (xP

1 P,xP 2 P, ,xP n P)=(xP a P) tại điểm P mà tuân theo quy luật:

Trong đó ma trận được lấy giá trị tại điểm P (đạo hàm trước rồi sau đó thay giá trị tương ứng tại P)

Ví dụ : cho đường cong xP

a P = xP a P(u) trong không thời gian bốn chiều (a= 0,1,2,3)

Vectơ dxa

du 2Tlà vectơ tiếp tuyến của đường cong XP

a P

du ,dxdu2,dxdu3 tạo thành tenxơ phản biến hạng một

Từ đây ta tổng quát hóa :

Tenxơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng xP

ab P trong hệ tọa độ xP

a P

mà chúng tuân theo quy luật biến đổi sau

Các đại lượng 𝑋P

ab P3T

là thành phần của tenxơ hạng 2 trong tọa độ 𝑋P

ZP b

Pđúng là tenxơ hạng 2

Hoàn toàn tương tự ta định nghĩa tenxơ hiệp biến hạng 1 (vectơ hiệp biến ) là một tập

hợp các đại lượng ký hiệu XR a R trong hệ tọa độ XP

a P

mà khi chuyển tọa độ tuân theo quy luật:

3T Các l ập thành ma trận được xác định tại điểm P

3T Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn:

Ta cũng định nghĩa tenxơ hỗn hợp hạng 3 :

đôi khi ta ký hiệu tenxơ hạng p phân biến và hạng q hiệp biến:

Tenxơ hạng không là một vô hướng, và ta hay ký hiệu bằng chữ Φ

3 Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý?

Giả sử ta có 2 tenxơ XR ab R và YR ab R trong hệ tọa độ nào đó (hệ quy chiếu) thỏa mãn tính

chất:

XR ab R = YR ab R (8)

Ta chuyển sang hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới )bằng cách nhân cả 2 vế với:

Từ đây suy ra phương trình tenxơ (7) đã đúng trong hệ tọa độ nào thì cũng sẽ đúng trong hệ tọa độ bất kỳ khác (8)

Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ tọa độ (không phụ thuộc vào hệ quy chiếu)

§4;ĐẠI SỐ TENXƠ

l.Phép cộng

Chỉ thực hiện với các tenxơ cùng loại:

Tenxơ là đối xứng với hai chỉ số trên hoặc dưới nếu ta hoán vị các chỉ số đó cho nhau

mà tenxơ không đổi

❖ Chú ý: với tenxơ hạng ba trong không gian n chiều sẽ gồm nxnxn thành phần tất cả

Khi đó đa tạp có tên : không gian Euclid n chiều

Ví dụ: xét tọa độ Descartes trong không gian 3 chiều

(2) có dạng giống (1) Vậy ta có thể nói đa tạp 3 chiều + hệ tọa độ Descartes tạo nên không gian Euclide 3 chiều

Bây giờ từ (1) ta chuyển sang hệ tọa độ mới xa:

Trong đó

Vậy đa tạp với hệ tọa độ mới xP

a P

có dsP 2 P = gR ab RdxP

a P

dxP b

P gọi là không gian Riemann n chiều Các gR ab R gọi là tenxơ mêtric hiệp biến

gP

ac

P

gọi là tenxơ mêtric phản biến

Đôi khi ta định nghĩa sau :

Ví dụ : Bề mặt quả đất là không gian Rieneann 2 chiều khoảng cách giữa hai điểm (θ, φ) và (θ + d θ, φ + d φ )

Suy ra

I

§ 6 : ĐẠO HÀM LIE

1 Cho đại lượng vô hướng Φ Rõ ràng vô hướng Φ không thay đổi khi chuyển hệ tọa độ

Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của Φ thì ta được một trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không

Tương tự tenxơ TR ab R được xác định tại mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không gian Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng

2 Cho 2 trường vectơ bất kỳ X và Y, giao hoán tử Lie của 2 vectơ trên tác dụng lên hàm bất

kỳ f sẽ được định nghĩa như sau :

với fR 1 R, fR 2 R hai hàm bất kỳ; α,β = const thực, và Lie giao hoán tử thỏa mãn:

Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là toán tử tuyến tính và toán tử này giống phép

vi phân

Trong hệ trục toa độ xa ta định nghĩa vectơ X:

Bây giờ ta xét thành phần thứ a của giao hoán tử Lie

Từ đây ta định nghĩa đạm hàm Lie của vectơ Y theo hướng vectơ X được viết như sau:

Ta chấp nhận một số tính chất sau:

là vô hướng

* Đạo hàm Lie một tenxơ theo hướng X là đạo hàm riêng mà không cần sử dụng tenxơ mêtric (không cần sử dụng hệ thống liên thông)

§ 7 : ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN

1 Khái niệm dịch chuyển song song

Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển nó sao cho lúc nào vectơ cũng song song vòi chính nó Nói cách khác, ta dịch chuyển sao cho độ

lớn và hướng của nó không thay đổi

Trong không gian cong Riemann dịch chuyển song song một vectơ dọc theo C nghĩa

là địch chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C luôn không đổi Lúc này các thành phần của vectơ sẽ thay đổi cho dù độ lớn của nó không đổi

2 Đạo hàm hiệp biến

Xét một trường vectơ phản biến bất kỳ AP

a P Tại điểm P ứng với tọa độ xP

Pvectơ có giá trị là AP

a P + dAP a P Bây giờ ta dịch chuyển song song vectơ AP

a

Pđến điểm Q Vectơ sẽ thay đổi một lượng được ký hiệu δAP

a P

Ta lập hiệu:

Đại lượng δAa ta có thể hoàn toàn có thể đặt bằng:

Trong đó: một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa độ ta chọn Có thể bằng không hoặc khác không có tên là hệ số liên thông hay ký hiệu Christoffel loại hai

Còn dấu (-) hoàn toàn là do quy ước của ta

(dấu chấm phẩy (;) có nghĩa là đạo hàm hiệp biến)

Ta có thể xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310)

3 Đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến

Như đã biết nếu ta dịch chuyển song song một vô hướng thì đại lượng này không thay đổi Nói cách khác tích vô hướng của hai vectơ cũng sẽ không thay đổi khi dịch chuyển song song

Xét tích vô hướng của hai vectơ AR a R BP

b P Do không thay đổi khi dịch chuyển song song nên:

Phần trong ngoặc gọi là đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến

Tương tự ta chứng minh được đạo hàm hiệp biến các tenxơ hạng cao hơn:

(11)

(12)

(13)

4 Ta tìm sự liên hệ giữa đạo hàm lie và đạo hàm hiệp biến :

để trả lời câu hỏi trên ta xét:

(14)

(15) nhân từ trái (14) với XP

b P

và (15) với YP

b P

rồi trừ cho nhau :

5T

Ta chỉ xét các hệ số liên thông: nên hai số hạng cuối cùng có 5Tcùng cấu trúc

Do vậy chúng triệt tiêu nhau Cuối cùng ta được:

Trong biểu thức của đạo hàm He ta có thể thay đạo hàm thường bằng đạo

hàm hiệp biến Với điều kiện là đối xứng với hai chỉ số dưới

§ 8: ĐẠO HÀM TUYỆT ĐỐI

1 Ở bài 7 ta đã có:

2T

Chia hai vế cho du với u : thông số của họ đường cong xP

a P = xP a P(u)

Biể thức (2) gọi là đạo hàm tuyệt đối của AP

a P

(8) phương trình cho đường trắc địa xP

a P Thông số u gọi là thông số Affine ta hay kí

Xét một đường vô hướng Φ

Mặc dù: nhưng trong trường hợp tổng quát chưa chắc

Nếu không gian cong của ta không xoắn thì

kí hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ số dưới

2 Ta có định lý sau:

gR bc Rlà tenxơ mêtric đối xứng Nếu không gian của ta không xoắn thì

Chứng minh :

(7)

ta lấy (5)-(6)-(7) và chú ý tới tính đối xứng của

nhân cả hai vế với gP

1 Trong mục này ta tìm phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý tác

dụng tối thiểu Trong cơ học, có hệ sẽ chuyển động từ P đến Q sau cho biến phân của hàm, tác dụng bằng không

Còn trong hình học: đường cong nối hai điểm P và Q sẽ ngắn nhất khi biến phân của hàm tác dụng bằng không

Ta chọn hàm L có đặc trưng độ dài Như đã biết:

(1)

(2)

Hàm tác dụng

Bằng phương pháp biến phân ta nhận được phương trình Lagrange - Euler

Thay kết quả vừa tìm được vào phương trình (4) và sau một vài biến đổi ta nhận được

phương trình (5) trùng với phương trình (8) bài 8

Thông số u trong trường hợp này gọi là thông số Affine, thường ký hiệu bằng chữ s hoặc

Nếu ta đặt gọi là hàm lagrange

Thì phương trình lagrange- Euler vẫn có dạng:

trực giao nhau khi

Nếu: gR ab RXP

a P

YP b

P= 0 thì vextơ XP

a P

gọi là vectơ null Vectơ null có độ dài bằng không nhưng các thành phần của nó khác không, trong khi vectơ zero có độ dài bằng không với tất cả các thành phần bằng không

khi vectơ là vectơ null (7)

Do vectơ null nằm dọc theo hướng ánh sáng nên hàm = 0 dành cho tia sáng (hạt photon)

Khi vectơ có độ dài bằng đơn vị

Đối với vật m chuyển động với vận tốc < c ta cũng áp dụng phương trình lagrange - Euler (phương trình đường trắc địa)

Nếu ta sử dụng ký hiệu:

(6)

§ 12 : H Ệ TỌA ĐỘ TRẮC ĐỊA

Tại điểm P bất kỳ ta luôn chọn được hệ tọa độ mà trong đó

Hệ tọa độ này có tên hệ tọa độ trắc địa Đối với các nhà vật lý thì đó là hệ quy chiếu quán tính

Nếu tại mọi điểm trong toàn không gian thì không gian gọi là phẳng

Ta có định lý : điều kiện cần và đủ để không gian phẳng là tenxơ Riemann = 0

Từ RR abcd R = RR cdab Rsuy ra ten xơ Ricci đối xứng

gP

ab

P

RR ab R= R : độ cong vô hướng, hay vô hương Ricci

Tenxơ Einstein được định nghĩa như sau :

§ 14 : PHƯƠNG TRÌNH ĐỘ LỆCH TRẮC ĐỊA Xét họ đường trắc địa theo thông số λ và được đánh số n

xP a P = xP a P (λ,n) 1T

Véc tơ tiếp tuyến

Vectơ nối hai đường trắc địa ngay cạnh nhau

uP d P

mô tả lực thủy triều hấp dẫn 1T

Chú ý: phần chứng minh

1T

( Bạn đọc có thể tham khảo trong Hughton và Tod- trang 79)

Tenxơ tuyệt đối hay tenxơ thường Tenxơ tương đối

Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn Với tenxơ tương đối trong công thức biến 6Tđổi luôn

có thêm thức số JP

w P ta nói tenxơ mật độ với trọng lượng w(Tensor density of weight w)

6T

Ta chấp nhận mà không chứng minh qui tắc đạo hàm hiệp biến tenxơ mật độ:

6T = các số hạng giống như là tên thường w

1T Ví dụ:

1T Nếu 𝜙 là vô hướng mật độ:

6T Xét trường hợp đặc biệt khi w 5T6T= 5T6T+ l;c = a

mật độ vô hướng với trọng lượng +1 (7)

ới tenxơ bất kỳ Ta ới (-g)1/2 ẽ tạo nên tenxơ mật độ với trọng lượng +1

Ta áp dụng công thức đạo hàm hiệp biến của mật độ vồ hướng với trọng lượng +2

CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

§1 CÁC NGUYÊN LÝ TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐi RỘNG •

Sự phân bố của vật chất xác định tính chất hình học của không gian quanh nó

Nói cách khác, vật chất sẽ nói cho không gian biết phải cong như thế nào, còn không gian sẽ chỉ cho vật chất biết phải chuyển động ra sao - John Wheeler

Thí nghiệm thang máy Einstein :

Thang máy đứng yên tại mặt đất, phi hành gia thả quả táo, quả táo sẽ rơi tự do xuống

với gia tốc g

Thang máy chạy thật êm tại khoảng không vũ trụ với gia tốc 𝑔⃗ = 𝑎⃗ Phi hành gia thả

quả táo, quả táo vẫn rơi xuống sàn giống như trường hợp đứng yên tại mặt đất Nếu động cơ thang máy chạy thật êm thì sẽ có lúc phi hành gia không phân biệt được lúc nào thang máy đứng yên tại mặt đất, lúc nào thang máy chuyển động với gia tốc 𝑎⃗ = 𝑔⃗ trong khoảng không

vũ trụ

Chuyển động tự do trong hệ quy chiếu không quán tính giống như chuyển động của

vật trong hệ quy chiếu quán tính có trường ngoài là trường hấp dẫn

Nếu thang máy quay, ta luôn có thể thay thế bằng trường hấp dẫn tương đương có bản

chất đã tính đến lực ly tâm và lực Coriolis

Chú ý:

Không thể áp dụng nguyên lý này cho toàn không gian vì tại vô cùng trường hấp dẫn thật sẽ

→ 0 trong khi trường hấp dẫn tương đương có thể tiến tới vô cùng lớn (chuyển động quay

chẳng hạn)

Nguyên lý này áp dụng cho vùng không gian hẹp

Mọi phương trình vật lý đều được diễn tả bởi phương trình hiệp biến (dưới dạng Tenxơ) Nghĩa là nó có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu Điều này không có nghĩa mọi

hệ quy chiếu là tương đương nhau trong toàn không gian Kết quả đo được sẽ khác nhau nhưng dạng của phương trình thì không đổi

Einstein lý luận rằng mọi người quan sát - quán tính hay không quán tính - đều có khả năng tìm ra các định luật vật lý Nếu điều đó không đúng thì rõ ràng chúng ta đã không thể tìm ra định luật vật lý nào hết vì quả đất của ta là hệ quy chiếu không quán tính

Hệ tọa động trong phép tenxơ = Hệ quy chiếu bất kỳ trong vật lý

5 Hệ quả từ nguyên lý tương đương :

m : khối lượng quán tính

Do ta có thể thay thế lực gây gia tốc 𝑎⃗ bằng lực hấp dẫn gây 𝑔⃗ = 𝑎⃗ ra nên khối lượng quán tính tự nó phải bằng khối lượng hấp dẫn

mR Quán tính R= mR Hấp dẫnDicke tại princclon và Braginski tại Moscow đã đo và kết quả của sự sai khác giữa hai loại

khối lượng trên ≈ 10P

-12 P

§2 PHƯƠNG TRÌNH PALATINI:

Theo định nghĩa tenxơ Ricmann có dạng :

Tại điểm P bất kỳ ta chọn hệ tọa độ trắc địa Khi đó :

Lúc này tenxơ Riemann sẽ có dạng :

* Chú ýU : trong hệ tọa độ trắc địa đạo hàm của hệ số liên thông sẽ khác không mặc dù

bản thân hệ số liên thông bằng không

Bây giờ ta thực hiện phép thay đổi sau :

Do là tenxơ nên cũng là tenxơ

=> Phương trình (7) là phương trình tenxơ Phương trình tenxơ này đúng trong hệ tọa độ trắc địa nhưng cũng đúng trong hệ tạo độ bất kỳ Ta có thể tổng quát hóa :

(8) và (9) có tên phương trình palatini

2 Tenxơ Riemann của ta có chứa đạo hàm riêng 2 lần của metric nên ta hy vọng phương trình trường hấp dẫn sẽ có mặt tenxơ RR ab R(phương trình 2 Newton có đạo hàm 2 lần quĩ đạo theo t)

RR ab 0T

Tích phân lấy trong vùng 0T3TΩ ϵ3T4T 0T4Tkhông - thời gian 40T2T 0T2Tchiều Ta phải thêm điều kiện của phương pháp biến phân là 0T4TδgR ab R 0T4Tsẽ bằng zero lại biên d0T3TΩ 0T3Tcủa vùng 0T3TΩ 0T3T(giống như trong cơ lý thuyết)

Do nên

(5)

Chú ý

SI = 0 khi và chỉ khi –(-g)P

1/2 P

GP cd P = 0 vì δgR cd R bất kỳ

(8)

Với cách chọn hàm lagrange tương hứng với trường hấp dẫn và nhờ nguyên lý tác

dụng tối thiểu ta tìm được phương trình Einstein - lagrange :

Phương trình này có tên phương trình Einslein dành cho chân không (Vacuun) - cho không - thời gian nằm ngoài vật chất tạo ra trường

chú ý :

§4 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN TỔNG QUÁT :

Ở phần trước ta tìm được phương trình Einstein cho chân không Muốn tìm phương trình

tổng quát ta phải cộng thêm hàm lagrange tương ứng với sự có mặt của 1T v ật chất Ta gọi là maltcr lagrange

1T

Bây giờ hàm tác dụng có dạng

Với k: hệ số kết nối

Bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta tính được :

Hoàn toàn tương tự ta tính được :

(9)

TP

ab

P

: tenxơ hạng hai nào đó nói lên ảnh hưởng của vật chất trong vùng Ω đang xét

Sau này ta sẽ chứng minh được Tab là lenxơ năng - động lượng (The cncrgy –momentum

Sau này ta tính được

1 Đây là phương trình vi phân xác định các tenxơ metric gab từ tenxơ năng - động lượng Tab Điều này phù hợp với nguyên lý Mach : Sự phân bố vật chất xác định tính chất hình

học của không gian Khi Tab = 0 ta có phương trình cho vùng không gian nằm ngoài vật

chất sinh ra trường (chân không)

2 Các phương trình Einstein rất khó giải vì nó là phương trình không tuyến tính => Ta không thể áp dụng nguyên lý chồng chất về mặt vật lý có, nghĩa là từ một vấn đề vật lý

phức tạp ta không thể phân tích thành các thành phần đơn giản hơn để nghiên cứu

3 1T2TPhương trình vi phân không tuyến tính sẽ cho ta rất nhiều nghiệm trong đó có nhiều nghiệm không có ý nghĩa vật lý vì vậy các nghiệm cần phải được thực nghiệm kiểm chứng

2T thay lại

rằng bạn đã giải quyết vấn đề một cách đơn giản đến vậy Việc tìm ra nghiệm của bạn thật tuyệt vời

Xét không gian nằm ngoài vật thể cô lập, tĩnh và có tính đối xứng cầu Khi dó ta có

thể coi như 2T5T g R ab R 2T5Tkhông phụ thuộc vào t

Do các gR ab Rluôn đưa được về dạng chéo nên cuối cùng ta chỉ cần xác định 4 phần tử

gR 00 R, 2T5TgR 1 1 R , gR 22 R, gR 33 R 2T5TBắt đầu từ tọa độ cầu trong không gian 3 chiều :

trong không thời gian 4 chiều hoàn toàn tương tự ta có dạng đơn giản nhất của dSP

2 P khi các Metric không phụ thuộc thời gian và có tính đối xứng cầu:

(1)

Do hàm mũ luôn dương nên ta chọn :

Trong trường hợp tổng quát ta có Trong trường hợp tổng quát ta có

Trong cơ học Newton ta thường xét chuyển động của các hành tinh trong mặt phẳng nên bây

gi ờ trong thuyết tương đối rộng ta cũng xét chuyển động của các hành tinh trong mặt phẳng xích đạo

1T

Xét trường hợp :

Thay vào (7) :

(8) Xét (5)

Do

0T

Ta tìm nghiệm dưới dạng :

Sau khi tính toán được:

Tóm lại nghiệm tổng quát (14) với độ chính xác bậc một có dạng :

(17) Hay

T: chu kỳ - Thời gian hành tinh quay hết một vòng

Kết quả quan sát năm 1971 Tính toán lý thuyết

(Trong 100 năm)

Theo thuyết tương đối hẹp, ảnh sáng trong chân không sẽ truyền theo đường thẳng Theo thuyết tương đối rộng ánh sáng sẽ truyền theo đường trắc địa null (null -geodesic) Ta

sẽ xét tia sáng đi trong trường hấp dẫn gây bởi mặt trời

Ta xây dựng hàm lagrangc cho ánh sáng với gab – schwarzschild