Về một lớp các md đại số tổng quát và lớp các md (5,kc) phân lá

Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm Lie và đại số Lie, đã phát triển vượt bậc, ứng dụng mạnh mẽ không chỉ trong Toán học mà cả trong Vật Lý hiện đại đặc bi

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LỜI CAM ĐOAN

Đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS

Lê Anh Vũ và TS Nguyễn Hà Thanh Các kết quả thực hiện chung với tác giả khác đã nhận được sự đồng thuận của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kết quả đạt được trong luận án mà không được trích dẫn là kết quả tôi đã nghiên cứu được

Người cam đoan

Nguyễn Anh Tuấn

M ỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13

1.1 Lớp MD và phương pháp quỹ đạo Kirillov 13

1.1.1 Lớp MD 13

1.1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 16

1.2 Tôpô phân lá 18

1.2.1 Phân lá 18

1.2.2 Phân lá đo được 21

1.2.3 Phân lá trên đa tạp Riemann 22

1.3 C*-đại số liên kết với phân lá 25

1.3.1 Phạm trù các C*-đại số 25

1.3.2 C*-đại số liên kết với phân lá 29

1.4 K-lý thuyết đối với các C*-đại số 33

1.4.1 Hàm tử K0 và hàm tử K1 33

1.4.2 Tính chất cơ bản của các K-hàm tử 34

Chương 2 – LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n-1) 36

2.1 Các ví dụ và phản ví dụ điển hình 37

2.1.1 Đại số Lie affine thực 37

2.1.2 Lớp MD(4,1) và lớp MD(4,3) 37

2.1.3 Lớp MD(5,1) và lớp MD(5,4) 38

2.1.4 Đại số Lie Heisenberg thực 40

2.1.5 Đại số Lie Kim cương thực 41

2.1.6 Các MD-đại số với các MD-nhóm đơn liên tương ứng có các quỹ đạo đối phụ hợp 0-chiều hoặc 2-chiều 42

2.2 Lớp MD(n,1) và lớp MD(n,n–1) 43

2.2.1 Phân loại lớp MD(n,1) 43

2.2.2 Phân loại lớp MD(n,n–1) 50

2.3 Một số nhận xét 56

Chương 3 – LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ 60

3.1 Hình học của các MD(5,kC)-phân lá 61

3.1.1 K-quỹ đạo của các MD(5,kC)-nhóm 61

3.1.2 Sự hình thành lớp các MD(5,kC)-phân lá 66

3.1.3 Phân loại tôpô lớp các MD(5,kC)-phân lá 70

3.1.4 Đặc trưng hình học của các MD(5,kC)-phân lá 73

3.2 C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá 77

3.2.1 Đặc trưng C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử 77

3.2.2 K- lý thuyết đối với các MD(5,kC)-phân lá 81

3.3 Một số nhận xét 88

KẾT LUẬN 90

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO 95

PHỤ LỤC 102

Hình 3.1 Các lá của 1 trong ¡ 4×(¡ \ 0{ } ) 102

Hình 3.2 Các lá của  1 trong 3-phẳng {t=δ,s=s} 102

Hình 3.3 Các lá của 3,4 trong 3-phẳng {x=α,z= 1030} Hình 3.4 Các lá của 3,4 trong 3-phẳng {δz=γ st, t=δs} 103

Hình 3.5 Các lá của 3,8 1,( π 2) trong 3-phẳng z t= =0 104

Hình 3.6 Các lá của 3,8 1,( π 2) trong 3-phẳng {x t− = −α δ,s= 1040} Hình 3.7 Các lá của 4,5 trong 3-phẳng {δz=γ st, z=γs} 105

Hình 3.8 Các lá của 4,5 trong 3-phẳng {δy=β δt, z=γt} 105

Hình 3.9 Các lá của 4,12 1,( π2) trong 3-phẳng y= =z 0 106

Hình 3.10 Các lá của 4,12 1,( π2) trong 3-phẳng t= =s 0 106

Hình 3.11 Các lá của 4,14 0,1,( π 2) trong 3-phẳng t= =s 0 107

Hình 3.12 Các lá của 4,14 0,1,( π 2) trong 3-phẳng y= =z 0 107

CHỈ MỤC 108

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) trong khi nghiên cứu về một

số loại phép biến đổi hình học đã đặt nền móng cho một lý thuyết đặc biệt về sau

gọi là Lý thuyết Lie

Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm Lie và đại số Lie, đã phát triển vượt bậc, ứng dụng mạnh mẽ không chỉ trong Toán học mà cả trong Vật Lý hiện đại (đặc biệt là Thuyết tương đối) và đã được chứng minh là

“chìa khóa” để giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến Hình học và Phương trình Vi phân, kết nối Toán học lý thuyết với thế giới hiện thực [10, Mở đầu] Gần đây, Lý thuyết Lie còn thâm nhập vào lĩnh vực Xác suất & Thống kê, Phân tích định lượng trong kinh tế, Toán tài chính [7, 34, 36, 60] Chính vì tầm ảnh hưởng mạnh mẽ đó,

Lý thuyết Lie nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng toán học Tuy nhiên,

bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie là phân loại nhóm Lie và đại số Lie lại là bài toán

rất khó và cho đến nay vẫn còn là bài toán mở

Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp các nhóm Lie liên thông đơn liên, chúng ta có một song ánh giữa tập các nhóm Lie liên thông đơn liên và tập các đại số Lie Bởi vậy, mỗi phép phân loại trên một lớp nào đó các nhóm Lie liên thông đơn liên (tương ứng, đại số Lie) đều có thể “phiên dịch”' thành một phép phân loại trên lớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thông đơn

liên) Trong luận án này, tác giả tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie

Theo Định lý Levi [46] năm 1905 & Malcev [49] năm 1945, mọi đại số Lie hữu hạn chiều trên một trường có đặc số 0 đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một đại số con nửa đơn và một ideal giải được Do đó, bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được Trong đó, bài toán phân loại các đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết triệt để bởi Cartan [16] năm 1894 (trên £ ) và bởi Gantmacher [30] năm 1939 (trên ¡ ) Bởi

vậy, chúng ta chỉ còn phải xét bài toán phân loại các đại số Lie giải được

Đối với lớp các đại số Lie giải được, mặc dù có một vài phép phân loại trong trường hợp thấp chiều nhưng việc phân loại trong trường hợp số chiều tùy ý vẫn còn

là một bài toán mở Cho đến nay, có ít nhất hai cách tiếp cận bài toán này: phân loại

theo số chiều hoặc phân loại theo cấu trúc Về hướng phân loại theo số chiều, tức

là phân loại các đại số Lie giải được có cùng một số chiều cố định nào đó, có một số kết quả chính như sau:

• Năm 1893, Lie & Engel [47] phân loại các đại số Lie phức giải được thấp chiều

• Đại số Lie giải được 3-chiều, 4-chiều và 5-chiều lần lượt được phân loại bởi Bianchi [5] năm 1903, Kruchkovich [42] năm 1954 và Mubarakzyanov [52] năm 1963

• Năm 1990, kết hợp với kết quả của Mubarakzyanov [53] năm 1963, Turkowski [80] phân loại các đại số Lie giải được 6-chiều Cũng trong năm này, Patera & Zassenhaus [59] phân loại các đại số Lie giải được 4-chiều trên trường hoàn thiện

• Một vài phân loại không đầy đủ các đại số Lie lũy linh 7-chiều và 8-chiều lần lượt được đưa ra bởi Gong [33] năm 1998 và Tsagas [78] năm 1999,…

Dường như cách tiếp cận theo số chiều rất khó vượt qua số chiều 6 Tuy nhiên,

có thể tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie giải được với một hay một vài tính chất bổ sung nào đó Về hướng cách tiếp cận này, có một số kết quả chính dưới đây:

• Năm 1973, Gauger [31] đưa ra một phân loại triệt để các đại số Lie meta-abel không quá 7-chiều và gần như đạt được kết quả triệt để đối với 8-chiều

• Năm 1995, Arnal & Cahen & Ludwig [3] liệt kê các đại số Lie (không nhất

thiết giải được) mà các K-quỹ đạo của các nhóm Lie liên thông tương ứng có

số chiều là 0 hoặc 2 Bảng liệt kê này sau đó được bổ sung đầy đủ bởi Shashkov [71] năm 2012 (trên £ ) và Konyaev [41] năm 2014 (trên ¡ )

• Năm 1999, Galitski & Timashev [29] phân loại các đại số Lie meta-abel

Luận án này tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải được theo c ấu trúc Cụ

thể hơn, tác giả xét bài toán phân loại các đại số Lie bằng cách bổ sung tính chất về

số chiều của các K-quỹ đạo của các nhóm Lie liên thông, đơn liên tương ứng với đại

số Lie đó Ý tưởng của việc xét tính chất bổ sung này được gợi ý từ phương pháp

quỹ đạo Kirillov [40] năm 1962 Cho đến nay, phương pháp quỹ đạo vẫn là một trong những phương pháp quan trọng nhất trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie và đại

số Lie

Hai ví dụ cụ thể rất đáng chú ý là các K-quỹ đạo của nhóm Lie Heisenberg

(2m+ -chiều 1) H2m+1 và nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều ¡ .H3, xét theo số chiều,

đều chỉ có hai tầng: tầng 0-chiều hoặc tầng có chiều cực đại Từ đó, Diep [22] đã đề

xuất việc khảo sát lớp các nhóm Lie giải được (và đại số Lie tương ứng) có tính

chất tương tự mà được gọi là các MD-nhóm và MD-đại số Cụ thể hơn, một

MDn-nhóm là một nhóm Lie thực giải được n-chiều mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc số chiều cực đại Đại số Lie của một MDn-nhóm được gọi là một MDn-đại số Trong trường hợp đặc biệt khi số chiều cực đại bằng đúng n thì chúng ta có SMD-

nhóm và SMD- đại số

Năm 1984, Son & Viet [74] đã phân loại triệt để lớp SMD Lớp này chỉ bao gồm

đại số Lie giao hoán n-chiều ¡ n(n≥1), đại số Lie 2-chiều aff ¡ ( ) các phép biến đổi affine của đường thẳng thực và đại số Lie 4-chiều aff £ các p( ) hép biến đổi affine của đường thẳng phức Tuy nhiên, bài toán phân loại lớp MD lại phức tạp hơn nhiều Năm 1990, lớp MD4 được phân loại đầy đủ bởi Vu [2, 82] Nhiều năm tiếp

sau, cho đến năm 2007, vẫn không có thêm kết quả nào đáng kể về lớp MDn với

4

n>

Để giảm bớt tính phức tạp khi phân loại lớp MDn, chúng ta xét thêm một hạn chế

về số chiều của ideal dẫn xuất thứ nhất của mỗi đại số Lie thuộc lớp MDn đó Cụ

thể hơn, chúng ta sẽ lần lượt xét các lớp con MD( )n k, c ủa lớp MDn bao gồm các MDn- đại số có ideal dẫn xuất thứ nhất là k-chiều và phân loại lớp MDn dựa trên

việc phân loại từng lớp con MD( )n k, với 1≤ ≤ −k n 1 Theo ý tưởng này, gần đây,

từ 2008 đến 2011, lớp MD5 đã được phân loại triệt để [83, 85] Như vậy, những kết

quả về phân loại lớp MD( )n k, trong trường hợp tổng quát hay trong các trường hợp riêng cũng là những đóng góp cho bài toán về phân loại đại số Lie thực giải được theo hướng tiếp cận bằng cấu trúc [10, tr 87]

Trên các K-quỹ đạo có cấu trúc symplectic tự nhiên và đóng một vai trò quan

trọng trong lý thuyết của các hệ khả tích bởi vì nhiều hệ cơ học quan trọng có thể được biểu diễn trên các quỹ đạo như vậy [26] Một điểm đặc biệt đáng chú ý khác

đó là: từ sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo (tầng 0-chiều hoặc tầng có chiều

cực đại), nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiều thì các K-quỹ đạo chiều cực đại của một

MD-nhóm chính là một họ những đa tạp con liên thông, đôi một rời nhau; hơn nữa,

họ này tạo thành một phân lá Từ việc nghiên cứu các phân lá symplectic đã thúc đẩy Arnal & Cahen & Ludwig [3] quan tâm nghiên cứu lớp các nhóm Lie mà các K-

quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc 2 mà sau đó được hoàn thiện bởi Shashkov [71] và Konyaev [41]

Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân lá bắt đầu xuất hiện trong công trình của Reeb [61] năm 1952 và nhanh chóng phát triển thành Tôpô phân lá – một chuyên ngành

thuộc lĩnh vực Hình học và Tôpô Ngày nay, lý thuyết phân lá đã trở thành một công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân thông thường và Tôpô vi phân [55,

Mở đầu] Chính vì vậy, phân lá trở thành một đối tượng cực kỳ thú vị trong Hình

học hiện đại

Chúng ta xét một ví dụ như sau: trong mặt phẳng thủng gốc 2 { }

\ O

¡ , xét trường vector W = −y∂∂x+x∂∂y Trong lý thuyết đa tạp khả vi, tồn tại duy nhất đường cong

tích phân γ của W trong 2 { }

a +b và xoay ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1) Nói cách khác, hệ ( )∗ với điều

Hình 1: Các đường cong tích phân của trường vector W = −y∂∂x +x∂∂y⋅

kiện đầu ( ) 2 ( ) 2

    có họ nghiệm  lập thành một phân lá 1-chiều, đối

chi ều 1 trên đa tạp mở 2 { }

\ O

¡ và mỗi một đường tròn như vậy được gọi là một lá

Trong trường hợp tổng quát, tập các nghiệm của một hệ phương trình vi phân lập thành một phân lá xác định bởi một phân bố khả tích sinh bởi các trường vector mà

tổ hợp của các trường vector đó là các phương trình trong hệ phương trình vi phân

cần tìm nghiệm Lý thuyết phân lá, do đó, nhanh chóng nhận được nhiều sự quan tâm của cộng đồng toán học Tóm lại, K-quỹ đạo là “chiếc cầu nối” giữa lớp MD và

lớp phân lá Bởi vậy, bài toán nghiên cứu lớp MD là có ý nghĩa khoa học: thứ nhất, nghiên cứu lớp MD là một bộ phận của việc nghiên cứu giải quyết bài toán phân

loại các đại số Lie theo cấu trúc khi xét thêm tính chất đặc biệt về số chiều K-quỹ

đạo; thứ hai, rõ ràng việc nghiên cứu lớp MD chính là một sự kết hợp thật sự đáng quan tâm giữa lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, đại số Lie với lý thuyết tôpô phân lá Trong tôpô phân lá, một trong những điều đáng quan tâm là các tính chất hình học của các lá trong mỗi phân lá (V, ) bởi vì mỗi lá của  chính là một họ nghiệm của một hệ phương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất hình học của các lá cũng chính là đặc trưng tôpô của họ nghiệm Đặc biệt, nếu trên đa tạp phân lá V có một cấu trúc Riemann thì tính chất hình học của các lá càng trở nên phong phú Cụ thể hơn, những lớp phân lá với các tính chất hình học đặc biệt, chẳng hạn phân lá trắc địa hoàn toàn, phân lá Riemann hay phân lá eliptic, hyperbolic và parabolic có nhiều ý nghĩa và được nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát

Một hướng khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý thuyết phân lá và đại

số toán tử Cụ thể hơn, chúng ta thu mỗi lá của  về một điểm nhờ quan hệ tương đương thuộc cùng một lá và nhận được không gian tôpô V  mà được gọi là không

gian lá của phân lá (V, ) Sau đó, sử dụng K-lý thuyết hình học, tức là thay việc

khảo sát V  bằng việc khảo sát cấu trúc C*-đại số C V0( ) các hàm giá trị phức, liên tục trên V  và triệt tiêu ở vô cùng Tuy nhiên, K-lý thuyết hình học thường

chỉ thích hợp với các không gian compact địa phương, Hausdorff Trong khi đó, cho

dù V có là đa tạp trơn thì không gian lá V , với tôpô thương của V, thường không

Hausdorff, thậm chí không nửa tách Do đó, C V0( ) không cung cấp thông tin đủ cần thiết về V  Đây là một trở ngại trong nghiên cứu tôpô phân lá

Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, Connes [19] đã liên kết một cách chính tắc mỗi phân lá (V, ) với một C*-đại số ký hiệu là *( )

C V  và đề ra ý tưởng là khảo sát *( )

C V  thay vì C V0( ) Bởi thế, đối với mỗi phân lá (V, ) cho trước, bài toán mô tả cấu trúc C*-đại số Connes *( )

C V  của phân lá đang xét trở thành một trong những vấn đề quan tâm hàng đầu của lý thuyết tôpô phân lá Một câu hỏi lập

tức nảy sinh là làm thế nào để mô tả cấu trúc của *( )

C V  ? Ngược dòng lịch sử, lý thuyết về các C*-đại số được bắt đầu bởi công trình của Gelfand & Neumark [32] năm 1943 Người ta nhanh chóng nhận thấy lý thuyết C*-đại số có ứng dụng trong Toán học cũng như trong Vật Lý, Cơ học Do đó, lý thuyết các C*-đại số ngay lập tức nhận được rất nhiều sự quan tâm của cộng đồng toán học Tuy nhiên, cũng giống như lý thuyết Lie, bài toán cơ bản trong lý thuyết về các C*-đại số là phân loại và mô tả cấu trúc C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn chưa được giải quyết một cách triệt để

Năm 1975, Diep [21] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều

Brown-Douglas-Fillmore [11], gọi là K-hàm tử BDF, để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm

của nhóm Lie Aff ¡( ) các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực Năm 1976, Rosenberg [65] đã sử dụng phương pháp này (mà Rosenberg gọi là “Z’ep’s method”) để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm của nhóm Lie Aff £ các ( )phép biến đổi affine trên đường thẳng phức và một vài nhóm giải được khác Năm

1977, Diep [22] đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng cấu trúc toàn cục các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng

Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc

trưng cấu trúc cho các C*-đại số phức tạp hơn Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai hướng nghiên cứu như sau:

• Hướng thứ nhất: tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo một cách nào đó để

có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số

• Hướng thứ hai: tìm một lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie

mà C*-đại số nhóm tương ứng có khả năng mô tả được bằng các K-hàm tử

Theo hướng thứ nhất, năm 1980, Kasparov [38] đã thành công trong việc tổng

quát hóa các K- hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các

KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều và đặc trưng thành công C*-đại số nhóm

của nhóm Lie Heisenberg 3-chiều H3 Cho đến nay, đó là công cụ tôpô-đại số mạnh nhất để nghiên cứu các C*-đại số

Trong luận án này, tác giả xuất phát theo hướng thứ hai với bài toán tìm lớp các

nhóm Lie mà C*- đại số nhóm của nhóm Lie đó có thể đặc trưng được bằng phương pháp K- hàm tử

Nhìn chung, phương pháp k-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu

trúc phổ [24, Chương 3] không quá phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ có thể đồng nhất với đối ngẫu của nhóm Đặc biệt, đối với nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov [40] cho thấy tập đối ngẫu của nhóm có liên hệ trực tiếp với không

gian các K-quỹ đạo của nhóm đó Do đó, nếu chọn được các nhóm Lie có không

gian các K-quỹ đạo khá đơn giản thì có thể đặc trưng các C*-đại số nhóm của nhóm

Lie đó bằng phương pháp K-hàm tử Vì sự phân tầng của không gian các K-quỹ đạo

của SMD-nhóm khá đơn giản nên dựa trên phép phân loại lớp SMD, Son & Viet [74] cũng đã mô tả triệt để cấu trúc C*-đại số nhóm của các SMD-nhóm bằng

phương pháp K-hàm tử

Một câu hỏi rất tự nhiên là: có thể mô tả C*-đại số Connes *( )

,

phân lá (V, ) bằng phương pháp K-hàm tử không? Đáng chú ý, câu trả lời là

khẳng định! Năm 1985, Torpe [77] đã thành công trong việc sử dụng phương pháp

K-hàm tử để đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các phân lá Reeb trên mặt xuyến 2 và mặt cầu đơn vị  3 Năm 1990, Vu [82] cũng đã thành công trong việc

nghiên cứu bài toán tương tự trên lớp các MD4-phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều

cực đại của các MD4-nhóm

Xâu chuỗi những sự kiện trên, chúng ta có thể tóm lược như sau:

• Tiếp cận bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiều theo cấu

trúc, cụ thể là xét thêm tính chất bổ sung là số chiều các K-quỹ đạo, đã dẫn tới bài toán nghiên cứu lớp con các MDn-đại số của lớp các đại số Lie thực

giải được

• Đến lượt mình, lớp các MDn-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MDn- đại số sẽ “sinh ra” lớp các MDn-phân lá mà C*-đại số Connes liên kết với mỗi MDn-phân lá đều thích hợp với phương pháp K-hàm tử Như vậy,

chúng ta tìm được một lớp các C*-đại số – lớp các C*-đại số liên kết với lơp

MDn-phân lá – có thể đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử

Những lập luận trên cho thấy việc kết hợp giữa hướng nghiên cứu phân loại đại

số Lie giải được theo cấu trúc với hướng nghiên cứu về cấu trúc C*-đại số Connes

liên kết với các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD-nhóm bằng phương pháp K-hàm tử là một vấn đề có ý nghĩa khoa học Vì vấn đề đặt ra là rất

rộng và đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp nên luận án này chỉ tập trung vào hai vấn đề cốt yếu như sau:

• Những kỹ thuật của Vu [82] trên lớp MD(4,1)-đại số và lớp MD(4,3)-đại số,

Vu & Shum [83] trên lớp MD(5,1)-đại số và lớp MD(5,4)-đại số được phát triển để nghiên cứu một lớp MD-đại số tổng quát là lớp các MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều hoặc đối chiều 1

• Những kỹ thuật của Vũ [2] trên lớp MD4-phân lá, Vu & Thanh [84] trên lớp MD(5,3C)-phân lá và Hòa [1] trên lớp MD(5,4)-phân lá được vận dụng và

phát triển để nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân lá

Đó cũng chính là cơ sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu của

luận án này là Về một lớp các MD-đại số tổng quát và lớp các MD(5,kC)-phân lá

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án này này có hai mục đích chính:

1 Thứ nhất, nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo

c ấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo Cụ thể hơn, trên cơ sở phân tích các

kết quả có được từ các lớp MD(2,1), MD(4,1), MD(4,3), MD(5,1) và MD(5,4), kết hợp với việc khảo sát hai trường hợp điển hình đại số Lie Heisenberg thực h2m+1 và đại số Lie Kim cương thực ¡ h2m+1, tác giả nghiên

cứu bài toán phân loại lớp các MD-đại số tổng quát (số chiều hữu hạn tùy ý)

có ideal dẫn xuất thứ nhất là 1-chiều hoặc đối chiều là 1

2 Thứ hai, nghiên cứu một lớp các phân lá cụ thể theo cả hai hướng trong tôpô

phân lá Chi ti ết hơn, tác giả xét các MD(5,kC)-phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo

chiều cực của các MD(5,kC)-nhóm với 1 ≤ ≤k 4 Vấn đề nghiên cứu này được

cụ thể hóa thành những bước như sau:

• Trên cơ sở phân loại các MD(5,kC)-đại số bất khả phân của Vu & Shum

[83] và kết quả mô tả K-quỹ đạo của MD(5,3C)-nhóm của Vu & Thanh

[84], mô tả K-quỹ đạo của lớp các MD(5,kC)-nhóm tương ứng và chỉ ra sự hình thành lớp các MD(5,kC)-phân lá Sau đó, tiến hành phân loại các MD(5,kC)-phân lá và khảo sát tính chất hình học của các lá của các

MD(5,kC)-phân lá trên phương diện toàn cục

• Nghiên cứu K-lý thuyết đối với các MD(5,kC)-phân lá bằng cách mô tả

tường minh giải tích hoặc đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số liên kết với

các MD(5,kC)- phân lá bằng phương pháp K-hàm tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án này bao gồm:

• Lớp MD( )n,1 và lớp MD(n n, −1) tổng quát với số chiều hữu hạn tùy ý

• Lớp MD(5,kC)-phân lá liên kết với các MD(5,kC)-nhóm bất khả phân và lớp

các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,kC)-phân lá

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận án này được thực hiện bằng cách đọc tài liệu, phân tích tổng hợp và thảo luận nhóm kết hợp trên cơ sở học kỹ thuật của các phương pháp toán học như sau:

• Phương pháp quỹ đạo Kirillov [40], đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ

đạo đã được Vu [82] cải tiến cho phù hợp với lớp MD

• Phương pháp của Tôpô phân lá kết hợp với Hình học giải tích

• Phương pháp K-hàm tử để mô tả các C*-đại số với một vài cải tiến thích hợp

• Các kỹ thuật cơ bản của Đại số tuyến tính và Hình học vi phân

5 Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu

Việc thực hiện thành công đề tài này có ý nghĩa khoa học như sau:

• Kết quả tổng quát trên lớp MD( )n,1 và lớp MD(n n, − 1) bổ sung một kết quả trong bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo hướng tiếp cận

bằng cấu trúc Đồng thời, chỉ ra được một đặc trưng mới của đại số Lie

Heisenberg – một đại số Lie cổ điển với nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật Lý

• Các đặc trưng hình học của lớp các MD(5,kC)-phân lá bổ sung các ví dụ và

phản ví dụ cụ thể về lớp các phân lá đơn giản nhất có thể có trên một lớp đa tạp Riemann đặc biệt là không gian Euclid

• Cuối cùng, kết quả trên lớp các C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá cũng góp phần tìm ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử

6 Bố cục của luận án

Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục bao gồm phần

mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung và phần kết luận Cụ thể hơn:

• Phần mở đầu: giới thiệu đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu,

phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và nội dung của luận án

• Chương 1: trình bày vắn tắt những kiến thức chuẩn bị được sử dụng trong

những chương về sau

• Chương 2 – 3: trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu được với đầy đủ phép

chứng minh

• Phần kết luận: đề xuất những vấn đề mở có thể nghiên cứu tiếp theo

Các kết quả đạt được của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế như sau:

• Hội nghị Toán học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động lực học và Tôpô (GEDYTO 2011) tháng 04/2011 tại Trường Đại học Sư phạm

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012 tại Đại học

Sư phạm, Đại học Huế

• Hội nghị Toán học và Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 tại Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan

• Hội nghị về nhóm, biểu diễn nhóm và các vấn đề liên quan tháng 11/2013 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP Hồ Chí Minh

• Hội thảo khoa học tháng 10/2012, tháng 11/2014 và tháng 10/2015 tại Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh

• Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 14 tháng 10/2015 tại trường Đại học Bách khoa, ĐHQG TP Hồ Chí Minh

Chương 1

1.1 Lớp MD và phương pháp quỹ đạo Kirillov

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại khái niệm lớp MD được đề xuất bởi Diep [22] và ý tưởng cơ bản của phương pháp K -quỹ đạo được đưa ra bởi Kirillov

[40] Trường cơ sở được xét trong suốt mục này là trường số thực

1.1.1 Lớp MD

Định nghĩa 1.1 (Đại số Lie) Không gian vector n-chiều G được gọi là một đại số

Lie n- chiều nếu trên G trang bị thêm móc Lie [ ]⋅ ⋅ , có tính chất song tuyến tính,

phản xứng và thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi [ ]x y z, ,   + [ ]y z x, ,   + [ ]z x y, , =0với mọi , ,x y z∈G Nếu [ ]⋅ ⋅ ≡ thì , 0 G được gọi là giao hoán Tâm của đại số Lie

G là tập hợp Z( )G = ∈{z G:[ ]z x, = ∀ ∈0, x G} Một đại số Lie được gọi là bất khả

phân nếu không thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai đại số con thực sự

Định nghĩa 1.2 (Nhóm Lie) Nhóm G được gọi là nhóm Lie n - chiều nếu đồng

thời là một đa tạp khả vi n-chiều sao cho phép toán 1

( , )x y a xy− khả vi Nhóm Lie

G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán

Ghi chú 1.3 Theo kết quả cơ bản trong lý thuyết Lie, mỗi nhóm Lie G sẽ xác định

duy nhất một đại số Lie G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, ký hiệu là Lie ( )G Ngược lại, với mỗi đại số Lie G cho trước, luôn tồn tại duy nhất nhóm

Lie liên thông, đơn liên G sao cho G=Lie ( )G

Ví dụ 1.4 Nhóm nhân GLn( )¡ các n-ma trận thực khả nghịch là một nhóm Lie 2

n chiều và Lie GL( n( )¡ )=Matn( )¡ là đại số Lie 2

-n -chiều các n-ma trận thực với móc

Lie [A B, ]=AB BA− Có thể xem đó là nhóm Lie Aut V( ) các tự đẳng cấu của

không gian vector V với phép hợp thành ánh xạ và đại số Lie Lie Aut( ( )V )=End( )V

các tự đồng cấu của V với móc Lie [ ]f g, = f go −g fo

Định nghĩa 1.5 (Đồng cấu, đẳng cấu) Ánh xạ tuyến tính (tương ứng, đẳng cấu

tuyến tính) f :(G1,[ , ]⋅ ⋅ →1) (G2,[ , ]⋅ ⋅ g2) iữa các đại số Lie được gọi là đồng cấu đại

số Lie (tương ứng, đẳng cấu đại số Lie) nếu f ( [X Y, ]1)= f X( ) ( ),f Y 2 với mọi

1

X Y∈ Đồng cấu nhóm (tương ứng, đẳng cấu nhóm) f G: 1→G2 giữa các nhóm

Lie được gọi là đồng cấu nhóm Lie (tương ứng, đẳng cấu nhóm Lie) nếu f khả vi

Định nghĩa 1.6 (Biểu diễn phụ hợp) Cho nhóm Lie G và G=Lie( )G Đồng cấu nhóm Ad :G→Aut(G), ( ) ( 1) ( )

Định nghĩa 1.7 (Biểu diễn đối phụ hợp) Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của

ở đó ký hiệu ,F Y để chỉ giá trị của F∈G* tại Y∈G được gọi là biểu diễn đối

phụ hợp hay K-biểu diễn của G trong G*

Định nghĩa 1.8 (K-quỹ đạo) Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ

F∈G ký hiệu Ω =F {K g F g( ) : ∈G}

Để xác định số chiều của các K-quỹ đạo, chúng ta thường xét dạng song tuyến

tính, phản xứng Kirillov B F trên G tương ứng với F như sau:

xuất G G⊃ 1 ⊃G2 ⊃ L Nếu dim G < +∞ thì chuỗi này sẽ dừng, tức là tồn tại

số Khi cần nhấn mạnh số chiều là n thì ta sẽ có MDn-nhóm, MDn-đại số, lớp MDn

Ví dụ 1.12 Đại số Lie affine thực 2-chiều aff( )¡ = X Y, :[X Y, ]=Y , đại số Lie Heisenberg thực 3-chiều h3= X Y Z, , :[ , ]X Y =Z hay đại số Lie Kim cương 4-chiều

[ ] [ ] [ ]3

.h = X Y Z T, , , : T X, = −X T Y, , =Y X Y, , =Z

Khi số chiều cực đại của K-quỹ đạo bằng đúng số chiều của nhóm thì chúng ta

có SMD-nhóm, SMD- đại số và lớp SMD Lớp SMD tổng quát đã được phân loại

Son & Viet [74] năm 1984 Tuy nhiên, bài toán phân loại lớp MDn chỉ mới giải

quyết khi n≤5 [83, 85] và trong trường hợp tổng quát vẫn còn mở Để giảm bớt tính phức tạp, chúng ta xét ideal dẫn xuất thứ nhất và có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.13 (Lớp MD( )n k , MD, (n kC và MD, ) (n kNC ) Cho , ) G là một

MDn-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất G1

dimG k= 0< < thì k n G được gọi là MD( )n k -, đại số Thêm nữa,

nếu G1 giao hoán (tương ứng, G1 không giao hoán) thì G được gọi là MD

(n kC -, ) đại số (tương ứng, MD(n kNC -, ) đại số)

2 Lớp MD( )n k , MD, (n kC và MD, ) (n kNC , ) tương ứng là tập tất cả các MD( )n k -, đại số, MD(n kC -, ) đại số và MD(n kNC -, ) đại số

Mệnh đề 1.15 (Điều kiện cần của lớp MD [74, Định lý 4]) Nếu G là một

MD-đại số thì ideal dẫn xuất thứ hai G2 phải giao hoán

Mệnh đề 1.16 ([22, Mệnh đề 2.1]) Cho G là một MD-đại số Nếu F∈G* không đồng nhất triệt tiêu trong G1 thì K- quỹ đạo ΩF có chiều cực đại

Mệnh đề 1.17 ([85, Định lý 2.1.5]) Không tồn tại MD-đại số G mà ideal dẫn xuất

dimG =dimG −1 Nói cách khác, nếu

0<dimG =dimG −1 thì G không phải là MD-đại số

Mệnh đề 1.18 ([85, Bổ đề 2.2.3]) Nếu G là một đại số Lie thực, giải được với

1

dimG =2 thì G1 giao hoán

Mệnh đề 1.19 ([85, Bổ đề 2.1.6]) Nếu G là một MDn-đại số với n≥ 5 và

1

dimG = −n 1 thì dimΩ ∈F { }0, 2 với mọi F∈G*

1.1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo

Theo phương pháp quỹ đạo Kirillov [40], đối với mỗi nhóm Lie G, vấn đề được quan tâm là mô tả các K-quỹ đạo ΩF của G với mỗi F∈G* Hơn nữa, chúng

ta muốn có một phương pháp mô tả ΩF trong trường hợp luật nhóm của G chưa

được cho một cách tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie G =Lie( )G Một cách hữu ích là khảo sát ánh xạ mũ và tính chất tự nhiên của chúng

Ký hiệu exp :G G→G là ánh xạ mũ của G và exp : End( )G →Aut( )G là ánh

xạ mũ của Aut( )G Gọi ad :G→End( )G là vi phân của Ad xác định bởi ( ) [ ]

adX Y = X Y, với ,X Y∈G Chúng ta có biểu đồ giao hoán sau:

( ) ( )

= là ma trận của exp ad( )X trong cơ sở { }X Công i

thức ( )1.2 cho thấy nếu (α1;…;αn) là tọa độ của F∈G* thì tọa độ ( ;x1 …;x n) của

Hơn nữa, nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Chúng ta cần tìm một điều kiện để expG là toàn ánh Vì expG luôn là vi phôi địa phương nên nếu expG là vi phôi toàn cục (khi đó, G được gọi là nhóm

exponential) thì hiển nhiên có đẳng thức trong ( )1.4 Dưới đây là một phần của Định lý Dixmier [23] & Saito [69] trong phép phân loại nhóm exponential

Mệnh đề 1.21 ([9, Chương III, Bài tập §9.17]) Cho G là nhóm Lie thực đơn liên

hữu hạn chiều với G =Lie( )G và ánh xạ mũ exp :G G →G Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

1 expG là toàn ánh

2 Với mọi X∈G, toán tử adX chỉ có giá trị riêng thuần ảo (trong £ ) là 0

Điều kiện trên thực sự rất mạnh Trong nhiều trường hợp, một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức trong ( )1.4 Cụ thể là:

Mệnh đề 1.22 ([2, Bổ đề 1.5]) Giả sử G liên thông Nếu họ { F( )G } G*

F∈

thành một phân hoạch của G* và mọi ΩF′( )G ,F′∈Ω đều cùng mở hoặc cùng F

F F

Ω ∈ thì ΩF( )G = Ω với mọi F F∈G*

1.2 Tôpô phân lá

Mục này trình bày lại một số vấn đề cơ bản của tôpô phân lá Về những vấn đề

chi tiết hơn, xin xem trong [12, 14, 15, 28, 43, 76] Trong suốt mục này, V luôn là một đa tạp (thực) trơn n-chiều với X V là tập các trường vector trơn trên V ( )

Ghi chú 1.24 Luận án này chỉ xét các C∞

-phân lá nên gọi tắt là phân lá

Định nghĩa 1.25 (Phân bố) Một phân bố p-chiều V trên V là một ánh xạ kết hợp

mỗi điểm x V∈ với một không gian vector con p-chiều Vx của không gian tiếp xúc

x

T V Số đối chiều của V là codimV n p= − Phân bố V được gọi là trơn nếu với

mỗi x V∈ , tồn tại lân cận U của x và p trường vector trơn X1 , … ,X p trên U sao

cho hệ vector {X1( )y ,…,X p( )y } là cơ sở của Vy với mọi y U∈ Trường vector X

được gọi là thuộc vào phân bố V nếu X x∈Vx với mọi x V∈

Ghi chú 1.26 Luận án này chỉ xét các phân bố trơn nên gọi tắt là phân bố

Định nghĩa 1.27 (Phân bố khả tích) Đa tạp con dìm L⊂V được gọi là đa tạp con

tích phân của V nếu T L x =Vx với mọi x∈L Phân bố V được gọi là khả tích nếu qua mọi điểm của V đều tồn tại một đa tạp con tích phân của V

Mệnh đề 1.28 (Frobenius [75, Chương 3, Định lý 5.1]) Phân bố V trên V là khả tích khi và chỉ khi V là đối hợp, tức là với mọi X Y, ∈X( )V thuộc vào V thì

[X Y , ] cũng thuộc V

Nếu V là phân bố khả tích p-chiều trên V thì họ tất cả các đa tạp con tích phân tối đại của V lập thành một phân lá p-chiều trên V [67, Chương 1] Ngược

lại, nếu  là phân lá p- chiều trên V thì trường các không gian tiếp xúc của tất cả

các lá của  lập thành một phân bố đối hợp p-chiều T trên V [75, Chương 3],

gọi là phân bố tiếp xúc của  Nhờ Mệnh đề 1.28, chúng ta có một định nghĩa khác

về phân lá như sau:

Định nghĩa 1.29 (Phân lá) Một phân lá p-chiều (V,V) là một cặp gồm đa tạp trơn

V cùng với một phân bố khả tích p-chiều V trên V Phân bố V được gọi là phân

bố xác định phân lá Số chiều dimV và số đối chiều codimV tương ứng được gọi

là số chiều và số đối chiều của phân lá (V,V) Mỗi đa tạp con tích phân liên thông

tối đại L của V được gọi là một lá của phân lá (V,V) và ta códimL= dimV

Định nghĩa 1.32 Cho phân lá (V, Nếu có phân thớ trơn :) p V → sao cho mỗi B

thớ là một lá của  thì ta bảo  được cho bởi phân thớ : p V → Nếu có nhóm B

Lie G tác động trơn, tự do hoặc tự do địa phương lên V sao cho mỗi G-quỹ đạo là một lá của  thì ta bảo  được cho bởi tác động của G

Ví dụ 1.33 (Phân lá tuyến tính trên mặt xuyến 2) Trên 2

x y ∈ ¡ Vì ρ bảo toàn các lá của % nên %cảm sinh một phân lá

 trên mặt xuyến 2 = ¡ 2 ¢2 gọi là phân lá tuyến tính Về mặt hình học, phân lá

 có được bằng cách uốn các đường thẳng có hệ số góc α ở trên vòng quanh mặt xuyến 2

 Nếu α ∈¤ thì các lá của  là các đường cong đóng, vi phôi với 1

 và chính là 1 nếuα = 0 Ngược lại, nếu α ∉¤ thì các lá của  không compact, vi phôi với ¡ và trù mật trong 2

Tất cả các phân lá cùng chiều trên V đều có cùng cấu trúc địa phương vì phân hoạch V thành các tấm rời nhau, mỗi tấm vi phôi với một p-phẳng trong n

¡ Tuy nhiên, Ví dụ 1.33 ở trên cho thấy trên toàn cục thì có thể rất khác nhau Do đó, vấn

đề của Tôpô phân lá là nghiên cứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá mà một trong những vấn đề toàn cục đáng chú ý là xét không gian lá của một phân lá

Định nghĩa 1.34 (Không gian lá) Trên đa tạp phân lá V, chúng ta xét quan hệ

tương đương như sau: x y: khi và chỉ khi ,x y thuộc cùng một lá Tập thương V :

ký hiệu là V  và trang bị cho tôpô thương Không gian tôpô V  được gọi là

không gian lá của phân lá (V, )

Nhìn chung, tôpô trên V  thường không có nhiều “tính chất tốt”: có thể không Hausdorff và nhiều khi chỉ có tôpô thô Tuy nhiên, nếu (V, cho bởi phân )thớ :p V → thì không gian lá V  B chính là đáy B , còn khi (V, ) cho bởi tác

động của nhóm Lie G thì V  lại là không gian V G các G-quỹ đạo

Trên lớp phân lá có nhiều loại quan hệ tương đương khác nhau (xem [43, Mục 5] hoặc [28, Mục 1.3]) Luận án này chỉ xét dạng tương đương vi phôi như sau:

Định nghĩa 1.35 (Phân lá tương đương) Hai phân lá cùng chiều 1 và 2 trên V được gọi là tương đương hay cùng kiểu nếu có một vi phôi (trơn) của V ánh xạ các

lá của 1 lên các lá của 2 Theo quan điểm của tôpô phân lá, hai phân lá tương đương được đồng nhất cả về mặt địa phương lẫn toàn cục

1.2.2 Phân lá đo được

Ví dụ 1.33 ở trên cũng cho thấy: mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng các

lá có thể không compact Nếu lá L không compact, chúng ta khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của L từ những thông tin địa phương cho bởi phân bố xác định phân lá Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho

phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục

của L [19, Mở đầu] Vì vậy, một trong những điều được quan tâm khi nghiên cứu

tôpô phân lá là đếm số lượng các lá compact, không compact Để làm được điều này

cần phải trang bị cho không gian lá một độ đo thích hợp Năm 1982, Connes [19] đã đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với không gian lá của phân lá

Định nghĩa 1.36 (Đa tạp con hoành) Giả sử  là một phân lá trên V Đa tạp con

N ⊂ V được gọi là hoành nếu T V x =T N x ⊕ x với mọi x∈N, ở đó x =T L x là

không gian tiếp xúc tại x của lá L chứa x

Định nghĩa 1.37 (Tập hoành Borel) Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được

gọi là tập hoành Borel nếu B L∩ đếm được, với mỗi lá L của phân lá

Định nghĩa 1.38 (Phân lá đo được) Một độ đo hoành Λ đối với phân lá (V, là )một ánh xạ s -cộng tính Ba Λ( )B từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0,+∞ ]

sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:

1 Tính đẳng biến Borel: nếu ψ : B1 →B2 là song ánh Borel và ψ( )x thuộc lá

chứa x với mọi x∈B1 thìΛ( )B1 = Λ( )B2

2 Λ( )K < +∞ nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành

Phân lá (V, đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được )

Nếu  là phân lá p- chiều trên V xác định bởi phân bố khả tích V định hướng

được thì có một sự liên hệ giữa độ đo hoành và độ đo thông thường trên V như sau

• Chọn một hướng cho V Khi đó, phân thớ ∧ V được phân tích thành hai p

X∈C∞ ∧ V + và một độ đo µ nào đó trên V

• Nếu (U,ϕ) là một bản đồ phân lá thì U có thể đồng nhất với tích trực tiếp

N× Π của một đa tạp con hoành N nào đó và một tấm mẫu Π Khi đó, hạn chế µ U

của µ trên U chẻ ra thành tích hai độ đo µ trên N N và µΠ trên Π Ký hiệu µ là X

độ đo dọc theo mỗi lá xác định bởi yếu tố thể tích X

• Độ đo µ được gọi là X -bất biến nếu µ và µX Π là tỷ lệ đối với mọi bản đồ phân lá (U,ϕ) Hai cặp (X,µ) và (Y,υ) ( µ là X- bất biến, υ là Y-bất biến) là tương

đương nếu có hàm trơn ϕ∈C∞( )V sao cho Y =ϕX vൠϕυ=

Mệnh đề 1.39 ([19, Mục 1-2]) Nếu (V, ) cho bởi V định hướng được thì có một

X∈C∞ ∧ V +

và độ đo X-bất biến µ trên V) và tập các độ đo hoành trên (V, )

1.2.3 Phân lá trên đa tạp Riemann

Ở địa phương, các phân lá p-chiều trên V sẽ phân hoạch V thành các tấm rời nhau, mỗi tấm vi phôi với một p-phẳng trong n

¡ Nếu điều đó cũng đúng trên toàn cục thì sẽ dẫn đến lớp các phân lá rất đặc biệt Để làm được điều đó, chúng ta cần

trang bị cho V một mêtric Riemann g, tức (V,g) là một đa tạp Riemann n-chiều

Định nghĩa 1.40 ([56, Chương 4, Định nghĩa 12, Mệnh đề 13]) Đa tạp Riemann

con L của V được gọi là trắc địa hoàn toàn1 nếu dạng cơ bản thứ hai của L đồng

nhất triệt tiêu

1

Totally geodesic

Định nghĩa 1.41 (Phân lá trắc địa hoàn toàn [67, Định nghĩa 2.4]) Phân lá 

trên (V g , ) được gọi là trắc địa hoàn toàn nếu tất cả các lá của  đều là những đa tạp con trắc địa hoàn toàn của (V g , ) Khi đó, T được gọi là phân bố trắc địa Trong Định nghĩa 1.41 đã có sẵn mêtric Riemann g trên V Tuy nhiên, nếu 

không trắc địa hoàn toàn đối với g thì  vẫn có thể trắc địa hoàn toàn đối với một

mêtric Riemann g′ ≠ thích hợp nào đó Bởi vậy, chúng ta có định nghĩa: g

Định nghĩa 1.42 (Phân lá khả trắc địa [67, Định nghĩa 1.36]) Phân lá  trên đa

tạp V được gọi là khả trắc địa nếu tồn tại một mêtric Riemann g trên V sao cho 

là trắc địa hoàn toàn đối với g

Ví dụ 1.43 Phân lá đường tròn trên 2 { }

Mệnh đề 1.44 ([67, Chương 2]) Phân lá  trên (V g là trắc địa hoàn toàn nếu , )

mỗi đường trắc địa γ trong (V g , ) tiếp xúc với một lá L của  tại một điểm thì tiếp xúc với L tại mọi điểm của γ; tức là γ nằm hoàn toàn trên L

Bây giờ, giả sử  là phân lá p- chiều trên V với phân bố tiếp xúc T Chúng

ta gọi thương N: =TV T là phân bố chuẩn tắc của  Vì trên V có mêtric

Riemann nên tại mỗi x V∈ , chúng ta có không gian bù trực giao x

Định nghĩa 1.45 (Phân lá Riemann [67, Định nghĩa 2.5]) Phân lá  trên đa tạp

V được gọi là phân lá Riemann (hay phân lá mêtric) nếu tồn tại một mêtric Riemann g trên V sao cho phân bố trực giao T⊥ ≡N là phân bố trắc địa Mêtric

Riemann g thỏa mãn điều kiện như vậy được gọi là mêtric kiểu phân thớ2 [63, Chương 4, Định nghĩa 4.1]

Ghi chú 1.46 Không phải mọi phân lá đều có mêtric kiểu phân thớ [62, Hệ quả 5]

Nhận xét 1.47 Ký hiệu  là phân lá trên V mà phân bố tiếp xúc là T⊥ ⊥ ≡N ,

gọi là phân lá đối ngẫu của  Định nghĩa 1.45 cho thấy g là mêtric kiểu phân thớ

đối với  khi và chỉ khi  ⊥ là trắc địa hoàn toàn đối với g Bởi vậy, có thể nói

phân lá khả trắc địa và phân lá Riemann là đối ngẫu của nhau [51, Phục lục C]

 không phải là mêtric kiểu phân thớ đối với 

Mệnh đề 1.49 ([51, Mệnh đề 3.5 – 6.1], [62, Mệnh đề 2]) Mêtric Riemann g trên

đa tạp V là mêtric kiểu phân thớ đối với phân lá  trên V khi và chỉ khi mỗi đường trắc địa γ trong (V g , ) thì hoặc là trực giao với mọi lá hoặc là không trực giao với bất kỳ lá nào của  mà γ có giao với lá đó

Mệnh đề 1.50 ([63, Ví dụ 4.7]) Nếu phân lá  cho bởi phân thớ tầm thường địa phương (trơn) : p V → B thì tồn tại duy nhất mêtric Riemann trên V sao cho  là phân lá Riemann

Mệnh đề 1.51 ([63, Ví dụ 4.13], [89, Mục 3]) Nếu phân lá  cho bởi phép ngập

Riemann [44] f V: → B (các lá của  l à các tập mức 1( ) ( )

f− b b∈B của f ) thì 

là phân lá Riemann và mêtric Riemann trên V là mêtric kiểu phân thớ đối với 

Mệnh đề 1.52 ([63, Ví dụ 4.10], [89, Mục 3]) Nếu nhóm Lie G tác động trơn đẳng cự lên (V g , ) sao cho tất cả các quỹ đạo có cùng chiều thì các quỹ đạo là các

lá của một phân lá Riemann  và g là mêtric kiểu phân thớ đối với 

2

Bundle-like metric

1.3 C*- đại số liên kết với phân lá

Mục này trình bày một số vấn đề cơ bản về lý thuyết C*-đại số và nêu lại quá trình xây dựng C*-đại số liên kết với phân lá Những vấn đề xa hơn của C*-đại số

có thể xem trong [20, 24, 73] Trường cơ sở trong suốt mục này là trường số phức

1.3.1 Phạm trù các C*-đại số

Định nghĩa 1.53 (Đại số Banach) Đại số (kết hợp) A với một chuẩn ⋅ đầy đủ và

thỏa mãn ab ≤ a b với mọi ,a b∈ thì được gọi là một đại số Banach A

Định nghĩa 1.54 (*-đại số) Đại số (kết hợp) A được gọi là ∗- đại số nếu trên A có

a được gọi là liên hợp của a

Định nghĩa 1.55 (C*-đại số) Một C*-đại số A là một đại số Banach đồng thời là

một ∗-đại số và thỏa mãn điều kiện * 2

a a = a với mọi a∈A Nếu phép nhân giao

hoán (tương ứng, có đơn vị) thì A được gọi là giao hoán (tương ứng, có đơn vị)

C*-đại số A được gọi là tách được nếu chứa một tập con trù mật, đếm được

Định nghĩa 1.56 (Phép chiếu và phần tử unita) Phần tử p A∈ mà * 2

Định nghĩa 1.57 (C*-đại số con, ideal, C*-đại số thương) Tập con đóng I của

C*-đại số A được gọi là C*-đại số con nếu I đóng đối với phép cộng, phép nhân,

phép nhân vô hướng và tự liên hợp ( *)

I =I Nếu I có thêm tính chất hút ( , xy yx∈ I

với mọi x∈I y, ∈A ) thì được gọi là ideal và tập thương A I trở thành một C*-đại

số, gọi là C*-đại số thương, với phép toán theo đại diện và chuẩn inf

-Ví dụ 1.59

• £ với phép đối hợp λ* = là một C*-đại số có đơn vị λ

• Một hàm f nhận giá trị phức, liên tục trên không gian compact địa phương, Hausdorff X được gọi là triệt tiêu tại vô cùng nếu {x∈X : f x( ) ≥ε} là tập compact

trong X với mọiε > 0 Tập C0( )X các hàm như vậy phép toán xác định theo điểm, phép đối hợp *

f x là một C*-đại số không có đơn vị

Khi X compact Hausdorff thì C0( )X =C X( ): tập các hàm nhận giá trị phức liên tục trên X C X là ( ) một C*-đại số có đơn vị là hàm hằng f x( )≡ 1

• Trang bị cho tập B H( ) các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian

Hilbert H phép cộng và phép nhân vô hướng xác định theo điểm, phép nhân là phép hợp thành, chuẩn là chuẩn của toán tử và phép đối hợp là phép lấy toán tử liên hợp thì B H ( ) trở thành một C*-đại số có đơn vị 1B H( ) = idH Trong B H( ), tập ( )

K H các các toán tử compact trên H là một ideal đóng trong B H nên ( ) K H ( )

cũng là một C*-đại số Khi H tách được, vô hạn chiều thì K H sẽ được ký hiệu ( )

là K; lúc này, K không có đơn vị và tách được

Nếu A là một C*-đại số không có đơn vị thì tập A%={ (a;α):a∈A,α∈£} với phép cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần, phép nhân là ( )( ) (a;α b;β := ab+βa+α αβb; ) và phép đối hợp là ( )* ( * )

a α = a α sẽ trở thành một C*-đại số có đơn vị ( )0;1 với chuẩn ( ; ) : sup{ A: , A 1}

A

a α %= ax+αx x∈A x ≤

Định nghĩa 1.60 (Đơn vị hóa một C*-đại số) A% được gọi là đơn vị hóa của A

hay C*- đại số nhận được từ A bằng cách thêm vào phần tử đơn vị

Ví dụ 1.61 0 % £ ≅ Trường hợp ít tầm thường hơn khi xét compact hóa một điểm

Bây giờ, cho A là một ∗-đại số Một C*-chuẩn trên A là một chuẩn p trên A

a I+ = p a với a∈A thì ta xác định được một chuẩn trên ∗-đại số thương A I

Gọi B là đầy đủ hóa [68, tr 82] của A I đối với chuẩn này Khi đó, phép nhân và

phép đối hợp mở rộng một cách duy nhất trên B , tức là B trở thành C*-đại số

Định nghĩa 1.62 (Đầy đủ hóa của một ∗-đại số) Chúng ta gọi B đầy đủ hóa của

gọi là tích tensor cực tiểu và tích tensor cực đại, ký hiệu là A⊗min B vàA⊗maxB

Định nghĩa 1.63 (C*-đại số hạch) A được gọi là hạch nếu với mọi B, trên Ae B

chỉ có duy nhất C*-chuẩn Khi đó, A⊗max B= ⊗A min B và ký hiệu là A⊗B

Trên một nhóm compact địa phương G luôn tồn tại duy nhất (sai khác hằng số dương) độ đo Haar trái µ [88, Mục 1.3] Với mỗi x∈G, nếu µx( )E :=µ( )E x thì

L G →B H không suy biến (một biểu diễn không suy biến của ( )

π =∫ π µ cảm sinh duy nhất biểu diễn unita của

G Đặt f  :=sup{π( )f :π lµ biÓu diÔn bÊt kh¶ quy cña G} thì ⋅  là chuẩn trên ( )

Định nghĩa 1.64 (C*-đại số nhóm) Đầy đủ hóa của 1( )

L G đối với ⋅ được gọi là

C*- đại số nhóm của G và ký hiệu là *

( )

C G

Ký hiệu 2( )

L G là tập các hàm phức có bình phương khả tích trên G Xét biểu

diễn chính quy trái ( ( 2( ) ) )

: L G B L G

L G Với 1( )

f ∈L G , bằng cách đặt f r = λ( )f thì ta xác định được một chuẩn trên 1( )

thì nhóm G được gọi là amenable

Bây giờ giả sử nhóm compact địa phương G tác động lên C*-đại số A bởi

đồng cấu nhóm α:G→Aut( )A , tức là ánh xạ ta αt( )x liên tục với mọi x∈A

Cặp (π ρ, ) gồm biểu diễn không suy biến π: A→B H( ) của A và biểu diễn unita

t∈G, được gọi là biểu diễn hiệp biến của bộ ba (G A, ,α )

Không gian vector C G A c( , )={f∈C G A f cã gi¸ compact( , ) } với phép nhân

t G

,

L G A là đầy đủ hóa của C G A c( , ) đối với ⋅

Nếu (π ρ, ) là một biểu diễn hiệp biến của (A G, ,α) thì với mỗi 1( )

,

f ∈L G A , bằng cách đặt ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( )

Định nghĩa 1.66 (Tích xiên) Tích xiên của A bởi G, ký hiệu AαG hoặc đơn giản

ˆA, là đầy đủ hóa của 1( )

f f lµ biÓu diÔn hiÖp biÕn cña A G

Định nghĩa 1.67 ( * - đồng cấu G- đẳng biến) Giả sử G tác động lên các C*-đại số

A và B bởi các đồng cấu nhóm α:G→Aut( )A và β:G→Aut( )B Một *-đồng cấu :

f A→ được gọi là B G - đẳng biến nếu f oα( )g =β( )g o với mọi g Gf ∈

Mỗi *-đồng cấu G-đẳng biến h A: →B của các C*-đại số đều cảm sinh một * đồng cấu đối ngẫu ˆ ˆ h A: → xác định bởi công thức: Bˆ

1.3.2 C*- đại số liên kết với phân lá

Tiểu mục này sẽ trình bày sơ lược quá trình xây dựng C*-đại số liên kết với một phân lá được đưa ra bởi Connes [19] năm 1982

Định nghĩa 1.69 (Mầm hàm [12, Chương 4, §1, Định nghĩa 1]) Cho X, Y là các

không gian tôpô và x∈X Trên tập các ánh xạ X ⊃ →V Y (V là lân cận của x), xét quan hệ tương đương: f g: nếu tồn tại lân cận W của x sao cho f W =g W Lớp

tương đương của f được gọi là mầm của f tại x Khi X Y= , chúng ta có nhóm (X x, )

Γ các mầm của các đồng phôi địa phương giữ bất động x với phép hợp thành

Mệnh đề 1.70 ([63, Mệnh đề 5.4]) Giả sử L là lá của phân lá đối chiều q, x∈L và

h là một phép nhúng của n

¡ hoành với phân lá sao cho h( )0 = Nếu phân lá x thuộc lớp k

C thì h cũng được giả sử là thuộc lớp k

C Khi đó, tồn tại một đồng cấu

Định nghĩa 1.71 (Nhóm holonomy [63, Định nghĩa 5.6]) Đồng cấu holonomy của

lá L là đồng cấu trong Mệnh đề 1.79 Ảnh của đồng cấu holonomy được gọi là

nhóm holonomy của lá L và phủ holonomy là phủ có nhóm cơ bản là hạt nhân của

đồng cấu holonomy

Nếu phân lá cho bởi phân thớ hoặc các lá đơn liên thì nhóm holonomy của các

lá đều tầm thường Chúng ta gọi các lá như vậy là lá không có holonomy

Định nghĩa 1.72 (Phỏng nhóm holonomy [63, Định nghĩa 2.42]) Đồ thị hay

phỏng nhóm holonomy H của một phân lá là họ các bộ ba (x y, ,[ ]α với x, y thuộc )

cùng một lá L nào đó, α là một đường trơn từng khúc từ x tới y trong L và [ ]α là lớp tương đương holonomy của α Hai bộ ba (x y, ,[ ]α và ) (x y′ ′, ,[ ]β ) là tương đương nếu x= x′ , y= và holonomy của đường cong y′ α β− 1

vector phức 1-chiều Cho dù H có Hausdorff hay không, chúng ta vẫn có không

gian vector C c∞(H,Ω1/ 2)={f :γ ∈Ha f( )γ ∈Ω1/ 2 γ f tr¬n vµ cã gi¸ com pact} gọi là

không gian các nửa mật độ trơn trên H Khi đó, C c∞(H,Ω1/ 2) tích chập và phép đối hợp tương ứng là:

Với mỗi ∈x V, gọi H x là phủ holonomy của lá chứa x Chúng ta có một biểu

diễn tự nhiên πx của ∞( Ω1/ 2)

Định nghĩa 1.74 (C*-đại số liên kết với phân lá [19, Mục 5-6]) C*-đại số liên kết

với phân lá (V,), ký hiệu *( )

0

,

C V C V G , ở đó tích xiên lấy theo tác động tự nhiên của G lên C V 0( ) cảm sinh từ tác động của G lên V

Mệnh đề 1.78 ([19, Mục 5]) Cho phân lá (V,) Giả sử V' là một đa tạp con mở của đa tạp phân lá V và ′ = V′ là hạn chế của lên V' Gọi H' và H tương ứng

là phỏng nhóm holonomy của (V′ ′, ) và (V,) Khi đó, H' là tập con mở của H và phép bao lồng C c∞(H′ Ω, 1/ 2)OC c∞(H,Ω1/ 2) được mở rộng tới một * - đồng cấu (bảo toàn chuẩn) ι *( ′ ′ → ) *( )

:C V, C V,

Mệnh đề 1.79 ([19, Mục 5]) Giả sử phân lá (V,) được cho bởi phân thớ (với thớ liên thông) p V: →B Khi đó, phỏng nhóm holonomy H của (V,) chính là đa tạp con { ( )x y; ∈ ×V V p x: ( )=p y( ) } của × V V và *( )≅ ( )⊗K

V V

V V nhưng vẫn có thể xác định biểu diễn πx(x V V ∈ \ ′) của *-đại

số C c∞(H H\ ′ Ω, 1/ 2) trong L H2( x \ H′ Ωx, 1/ 2) Đầy đủ hóa tương tự như trong phép xây dựng *( )

0→C V′ ′, ι→C V, →µ C V \V′ ′′, →0 ( )1.5 Hơn nữa, tính khớp cùng lắm cũng chỉ bị vi phạm tại *( )

,

Mệnh đề 1.80 ([77, Mục 2.2.1]) Nếu (V, ) được cho bởi tác động của nhóm Lie amenable G sao cho H H\ ′=(V V\ ′)× thì dãy G ( )1.5 là khớp

Mệnh đề 1.81 ([18, Định lý IV.2]) Giả sử nhóm Lie ¡ n tác động liên tục lên đại số A bởi ρ:¡ n→Aut( )A Khi đó, tồn tại các đẳng cấu Thom-Connes tự nhiên

1.4 K- lý thuyết đối với các C*-đại số

Một công cụ mạnh để nghiên cứu C*-đại số là K-lý thuyết Mục này trình bày những vấn đề cơ bản về K-lý thuyết đối với các C*-đại số Mục này chủ yếu tham

khảo [64] Về những vấn đề sâu sắc hơn, xin xem trong [4, 6, 27, 37, 87]

Trên P A∞( ), xét quan hệ tương đương : 0 và phép toán ⊕ như sau:

• p∈Pn( )A : 0 q∈Pm( )A nếu tồn tại v∈Matm n× ( )A sao cho *

0→ A ι→ A% π→ £ →0

Ví dụ 1.83 K0( )£ =K0( )K =¢ và K0(B H( ) )= 0

Mệnh đề 1.84 (Hàm tử K0) Mỗi * - đồng cấu : A Bϕ → luôn cảm sinh duy nhất đồng cấu nhóm K0( )ϕ :K0( )A →K0( )B Tương ứng mỗi C*-đại số A với nhóm abel

( )

0

K A và mỗi * - đồng cấu : A Bϕ → với đồng cấu nhóm K0( )ϕ :K0( )A →K0( )B là một hàm tử từ phạm trù các C*-đại số đến phạm trù các nhóm abel

Hai phần tử ,a b trong không gian tôpô X được gọi là đồng luân trong X, ký

hiệu a: h b, nếu có ánh xạ liên tục v: 0,1[ ]→ sao cho X v( )0 = và a v( )1 = b

Bây giờ, cho A là một C*-đại số có đơn vị Đặt Un( )A =U(Matn( )A ) và

  là phần tử đối của [ ]u 1 Như vậy, (K A1( ),+ là )

một nhóm abel Nếu A có đơn vị thì chúng ta định nghĩa K A1( )=U∞( )A : 1