Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán

Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán..  Câu hỏi nghiên cứu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN

HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY

CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN

HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY

CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

2 PGS.TS TRẦN VUI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Trương Thị Khánh Phương

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

 Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, người đã luôn động viên nhắc nhở, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về mọi mặt để tôi hoàn thành luận

án này;

 Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình thực hiện luận án này;

 Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh

Tôi xin chân thành cám ơn:

 Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản

và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trường ĐH Y Dược Huế, Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;

 Các giáo viên Toán và học sinh ở các trường THPT Phong Điền, THPT Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi (Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho nghiên cứu này Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những người thân trong gia đình và những người bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian qua

Tp Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015

Trương Thị Khánh Phương

MỤC LỤC

MỤC LỤC iii 

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v 

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH vii 

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH viii 

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU xi 

Chương 1: MỞ ĐẦU 1 

1.1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu 1 

1.2 Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu 2 

1.3 Phạm vi nghiên cứu 5 

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 6 

1.5 Câu hỏi nghiên cứu 6 

1.6 Các thuật ngữ 7 

1.7 Cấu trúc luận án 10 

Chương 2: CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 13 

2.1 Toán học và những suy luận có lí 13 

2.1.1 Suy luận quy nạp 14 

2.1.1.1 Định nghĩa 14 

2.1.1.2 Mô hình suy luận quy nạp 14 

2.1.2 Suy luận ngoại suy 16 

2.1.2.1 Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce 16 

2.1.2.2 Ngoại suy theo quan điểm của J Josephson và S Josephson 20 

2.1.2.3 Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli 21 

2.1.2.4 Các cách phân loại ngoại suy 22 

2.1.2.5 Mô hình suy luận ngoại suy 25 

2.1.3 Phân biệt suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học 26 

2.1.3.1 Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận 26 

2.1.3.2 Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận 29 

2.1.3.3 Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả 29 

2.2 Biểu diễn toán 30 

2.2.1 Phân loại biểu diễn toán 30 

2.2.2 Biểu diễn trực quan 31 

2.2.2.1 Trực quan hóa 31 

2.2.2.2 Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số 32 

2.2.2.3 Biểu diễn trực quan động 34 

2.3 Khám phá quy luật dãy số 35 

2.3.1 Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số 36 

2.3.2 Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số 38 

2.3.3 Các phương án khám phá quy luật dãy số 40 

2.3.4 Suy luận trong khám phá quy luật dãy số 42 

2.3.5 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1 46 

2.4 Khám phá bài toán hình học kết thúc mở 47 

2.4.1 Bài toán kết thúc mở 48 

2.4.2 Bài toán hình học kết thúc mở 49 

2.4.3 Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm” 50 

2.4.4 Các phương thức kéo rê trong môi trường hình học động 51 

2.5 Các nghiên cứu trong nước liên quan đến đề tài 53 

2.6 Tiểu kết chương 2 53 

Chương 3: THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 56 

3.1 Thiết kế nghiên cứu 56 

3.2 Đối tượng khảo sát 57 

3.3 Công cụ nghiên cứu 59 

3.4 Thu thập dữ liệu 69 

3.5 Phân tích dữ liệu 70 

3.6 Hạn chế 73 

3.7 Tiểu kết chương 3 74 

Chương 4: BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY 76 

4.1 Ảnh hưởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá các quy luật dãy số 76 

4.1.1 Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số 76 

4.1.2 Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy luật dãy số 91  4.1.3 Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1 97 

4.2 Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá các bài toán hình học kết thúc mở 100 

4.2.1 Suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động 101 

4.2.1.1 Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trường hình học động 101 

4.2.1.2 Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phương thức kéo rê 104 

4.2.2 Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2 111 

4.3 Tiểu kết chương 4 113 

4.3.1 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2 113 

4.3.2 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3 114 

Chương 5: PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY LUẬT TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY 116 

5.1 Suy luận ngoại suy và quy nạp trong các hoạt động toán học nhà trường 116 

5.2 Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp 120 

5.3 Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng khám phá toán bằng suy luận ngoại suy và quy nạp 125 

5.3.1 Đặt vấn đề 125 

5.3.2 Khảo sát vấn đề 127 

5.3.3 Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới 129 

5.3.4 Dự đoán một định lý hay tính chất toán học từ hình vẽ 130 

5.3.5 Các bài toán chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật 132 

5.3.6 Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK 133 

5.3.7 Các vấn đề thực tế 136 

5.4 Tiểu kết chương 5 137 

KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 138 

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 143 

TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO 144 

PHỤ LỤC 1A TẬP CÂU HỎI SỐ 1 152 

PHỤ LỤC 1B TẬP CÂU HỎI SỐ 2 155 

PHỤ LỤC 2A THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 158 

PHỤ LỤC 2B THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 162 

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

National Council of Teachers of

Mathematics (NCTM)

Hội đồng giáo viên toán quốc gia

Programme for International Student

Assessment (PISA)

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế

Organization for Economic

Co-operation and Development (OECD)

Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH

Hình 2.1 Mô hình suy luận ngoại suy của Meyer 25 

Hình 2.2 Minh họa suy luận của HS 28 

Hình 2.3 Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn 30 

Hình 2.4 BDTQ tổng vô hạn 31 

Hình 2.5 Quy tắc n c 32 

Hình 2.6 Quy tắc an 33 

Hình 2.7 Quy tắc an c 33 

Hình 2.8 Quy tắc n n c   33

  Hình 2.9 Quy tắc an2bn c 34 

Hình 2.10 Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác 34 

Hình 2.11 Minh họa bài toán chia mặt phẳng bởi n đường thẳng 43 

Hình 2.12 Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc nhất 45 

Hình 2.13 Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp 47 

Hình 3.1 Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a) 67 

Hình 3.2 Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) 67 

Hình 4.1 Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z 77 

Hình 4.2 Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy 77 

cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) 77 

Hình 4.3 Ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S 79 

Hình 4.4 Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z 80 

Hình 4.5 Phương án Cộng dồn cho bài Hình chữ S 80 

Hình 4.6 Phương án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z 81 

Hình 4.7 Phương án Đoán và Thử cho bài Hình chữ S 81 

Hình 4.8 Phương án Đoán và Thử cho bài Ghế công viên 82 

Hình 4.9 Phương án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp 82 

Hình 4.10 Phương án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp 83 

Hình 4.11 Phương án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween 83 

Hình 4.12 Phương án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S 84 

Hình 4.13 Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z 85 

Hình 4.14 Sai lầm của HS trong bài Ghế công viên 86 

Hình 4.15 Sai lầm của HS trong bài Hình Tháp 86 

Hình 4.16 Phương án Làm tròn hình cho bài Xếp bàn tiệc 91 

Hình 4.17 Ngoại suy-quy nạp mức độ 1 cho bài Hình Tháp 92 

Hình 4.18 Ngoại suy-quy nạp mức độ 2 cho bài Hình chữ Z 92 

Hình 4.19 Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên 93 

Hình 4.20 Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên 94 

Hình 4.21 Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Xếp bàn tiệc 95 

Hình 4.22 Ngoại suy-quy nạp mức độ 4 cho bài Hình chữ S 95 

Hình 4.23 Ngoại suy-quy nạp mức độ 5 cho bài Ghế công viên 96 

Hình 4.24 Chia đường tròn bởi các dây cung 99 

Hình 4.25 Mô tả số hạng tổng quát của bài Hình chữ Z 100 

Hình 4.26 Sơ đồ chôn kho báu 103 

Hình 4.27 Vị trí chôn kho báu G 103 

Hình 4.28a C trùng A 103 

Hình 4.28b C trùng H 103 

Hình 4.29 Minh họa Bài toán 1 105 

Hình 4.30 Minh họa Bài toán 2 105 

Hình 4.31 Kéo rê về các trường hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD 106 

Hình 4.32 Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng 107 

Hình 4.33 Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 2) 110 

Hình 4.34 Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 1) 111 

Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng 118 

Hình 5.1b: A, B, T không thẳng hàng 118 

Hình 5.1c BDTQ minh họa suy luận ngoại suy 119 

Hình 5.2 Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy 120 

Hình 5.3 Minh họa Ví dụ 5.7 124 

Hình 5.4 Đồ thị khoảng cách-thời gian 126 

Hình 5.5 BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 128 

Hình 5.6a Tam giác ABC đều 129 

Hình 5.6b Tam giác ABC vuông 129 

Hình 5.6c ABI  BFJ 129 

Hình 5.7a BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân 130 

Hình 5.7b BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa 131 

Hình 5.8 Viết phương trình g x  134 

Hình 5.9 Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ 135 

Hình 5.10 Đo chiều cao kim tự tháp 137 

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce 17 

Bảng 2.2 Mô hình so sánh ba loại suy luận 29 

Bảng 3.1 Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm 58 

Bảng 3.2 Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi 60 

Bảng 3.3 Tổ chức dữ liệu theo phương án Đệ quy 61 

Bảng 3.4 Tổ chức dữ liệu theo phương án Đoán và Thử 62 

Bảng 3.5 Tổ chức dữ liệu theo phương án Cộng dồn 62 

Bảng 3.6 Tổ chức dữ liệu theo phương án Giải phương trình 63 

Bảng 3.7 Bảng mã các phương án ngoại suy 72 

Bảng 4.1 Bảng phân bố các phương án ngoại suy theo hướng đưa ra Quy tắc đệ quy và Quy tắc hàm số 77 

Bảng 4.2 Phân bố các phương án ngoại suy theo hướng Đưa ra quy tắc hàm số 84 

Bảng 4.3 Phân bố các phương án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học 86 

Bảng 4.4a Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc 89 

Bảng 4.4b Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Hình chữ S và Hình tháp 89 

Bảng 4.4c Các quy tắc hàm số tương đương cho bài Ghế công viên và Mũ Halloween89  Bảng 4.5 Bảng phân bố các câu trả lời ở năm mức độ ngoại suy 96 

Chương 1: MỞ ĐẦU

1.1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu

Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mô tả chung nhất và đặc trưng nhất về toán được hầu hết các nhà toán học chấp nhận, đó là: Toán học là khoa học của

các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74])

Báo cáo “Mọi người đếm” – một báo cáo về tương lai của giáo dục toán cho các quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của con người

HS cần học các quy tắc toán, nhưng quan trọng hơn là làm thế nào để có thể mô tả các

sự vật hiện tượng theo ngôn ngữ của toán học” Một trong những cách để mô tả các

dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm số Việc khám

phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết với HS trong xu hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện tượng tự nhiên, của hành vi con người và của hệ thống xã hội Bodner (1986, [21]) khẳng định “ người học kiến tạo

sự hiểu biết Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ

đọc được Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho dù thiếu những thông tin đầy đủ ”

Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh

quan trọng của việc học Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp 6 chú ý đến dạng mẫu: 3 ( 4) ( 4) 3,     5 8 8 5,   ( 6) ( 9) ( 9) ( 6)       và nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng Từ đó, HS đề xuất giả thuyết a b b a a b   , ,  Như vậy là HS đã tổng quát hóa quy luật toán

mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát được Không chỉ có số học, tìm kiếm

quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thường xuyên diễn ra trong các lĩnh vực khác như đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức, các định lý (Mason, 1996, [50])

Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại suy

luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp Hội đồng giáo viên toán quốc gia

của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong số mười tiêu

chuẩn cho toán học nhà trường NCTM cho rằng khả năng suy luận là bản chất của việc hiểu toán và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng việc phát triển các ý tưởng, khám phá các hiện tượng, xác minh các kết quả và sử dụng suy luận toán học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể nhìn thấy và tin tưởng rằng toán học là có ý nghĩa…” NCTM (2000, [57]) cũng khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS được cổ vũ để đưa ra các dự đoán, được cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng, được mong chờ việc giải thích các ý tưởng… Nếu khả năng suy luận không được phát triển cho HS thì toán học chỉ là một tập hợp các công thức, thuật toán, quy tắc và các ví dụ mang tính biểu diễn mà không hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”

Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực được chọn để

đánh giá trong Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chương trình do Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục của mỗi nước tham

gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông Biểu diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn toán, không chỉ đóng vai trò minh họa cho các

kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà còn được thừa nhận là công cụ hiệu quả cho việc học toán (Arcavi, 2003, [13])

Trong bối cảnh chung đó, chúng tôi mong muốn được thực hiện một đề tài nghiên cứu

nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy luật toán của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan

1.2 Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu

Toán học được coi như là môn khoa học chứng minh Tuy nhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó Bạn cần dự đoán một định lý toán học trước khi chứng minh nó Bạn phải phỏng đoán về ý tưởng của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]) Do đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc

giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí Suy luận quy nạp và suy

luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là một nội dung cần được

quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán

Mặt khác, bước sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thường được nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa Người ta nhận thấy rằng, trong những tình huống thông thường, con người vận dụng toán học theo hai cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua các phương

án toán học tiêu biểu như đưa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy; tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tương tự hóa; đặc biệt hóa Rất hiếm khi con người sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm ngặt mà

nó đòi hỏi Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở thành một công cụ hiệu quả

để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế

Đối với giáo dục toán ở nước ta, đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu này là những HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chương trình phổ cập giáo dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho tương lai ngay từ lúc này Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã được HS tích lũy sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống nghề nghiệp sau này Nếu tiếp tục chương trình THPT, tính chất và mức độ học tập được yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi thiếu niên, đòi hỏi

HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo Nhà trường lúc này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập không chỉ nhằm trang bị và hoàn chỉnh tri thức

mà còn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân sinh quan cho các em Hoạt động

tư duy của HS lứa tuổi mười lăm cũng phát triển mạnh Năng lực phân tích, tổng hợp,

so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp cho các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tượng trong toán học HS thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày và của những tri thức phải tiếp thu Một số câu

hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối tượng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận được với một tri thức toán mới có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề toán học có liên quan đến mối quan hệ giữa các đối tượng thì quá trình thu thập thông tin và suy luận để phát hiện ra các quy luật toán diễn ra trong đầu các em như thế nào?”;

“Liệu các em có mang trong mình tư tưởng khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu quan sát được để hỗ trợ giải quyết các vấn đề thực tế?”

Mặt khác, HS mười lăm tuổi cũng là đối tượng của chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, một chương trình đánh giá giáo dục được tổ chức định kì 3 năm một lần với quy

mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam Một trong bốn lĩnh

vực được PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía cạnh: Nội

dung toán học, quá trình toán học và bối cảnh trong đó toán học được sử dụng Trong

đó, nội dung toán học được xác định chủ yếu theo bốn “ý tưởng bao quát”: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc chắn Chương trình

đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại lượng, các quy luật về không gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các

khái niệm trung tâm cho các mô tả về toán học và tạo nên “trái tim” của bất kỳ một chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể được sử dụng để giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể được mô tả hay được mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có thể là rời rạc hay liên tục” (OECD,

2003, [60, tr 37]) Với ý thức về tầm quan trọng của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mười lăm này, PISA kiểm tra các em về khả năng mô tả những thay đổi trong thế giới dưới dạng có thể nhận thức được để nhận ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60])

Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết vấn

đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung được PISA quan tâm đối với HS mười lăm tuổi Trong xu hướng đó, với mong muốn thu hút sự quan tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại suy và

quy nạp trong việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các quy luật

toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán” làm đề tài

nghiên cứu của luận án

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan HS mười lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ mười lăm năm ba tháng đến mười sáu năm hai tháng Trong luận án này, để thuận lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tượng HS mười lăm tuổi sẽ mang ý nghĩa tương đương với các HS đang bắt đầu theo học chương trình lớp 10 ở Việt Nam Với đặc thù của chương trình toán ở nước ta hiện nay, chúng tôi chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã được học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác Cụ thể, các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là các quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số” Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng môn toán THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ đề Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình toán ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Cho đến thời điểm HS được mười lăm tuổi, các em đã được học về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là các em có đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Việc HS chưa chính thức học các khái niệm về cấp số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan hơn những ảnh hưởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy số của các em Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy

và quy nạp trong quá trình khám phá và tổng quát hóa quy luật của HS

Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật toán của

HS trong lĩnh vực Hình học Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chúng tôi chọn các kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ vuông góc,

đa giác và đường tròn mà HS đã được học trong chương trình Hình học ở các lớp 8, 9

cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát Mặt khác, chúng tôi cũng muốn xem xét các dạng BDTQ được tạo ra trong môi trường học tập có sử dụng máy tính và các phần mềm hình học động Các BDTQ động này khác với BDTQ trong môi trường giấy bút

ở khả năng chuyển động và biến đổi Liệu sự khác biệt đó có đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật toán? Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong lĩnh vực Hình học với sự hỗ trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn các bài toán hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán

 Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy và quy nạp

 Khảo sát các phương án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy số Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện

 Phân tích những ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS trong khám phá quy luật dãy số

 Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài toán hình học kết thúc mở

 Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trường phổ thông

1.5 Câu hỏi nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã được đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu hỏi nghiên cứu sau:

 Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào được sử dụng trong quá trình

khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào?

 Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hưởng như

thế nào đến quá trình suy luận của HS để đưa ra một quy tắc tổng quát?

 Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ

quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở?

 Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật

toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy?

1.6 Các thuật ngữ

 Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy

ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L D., 2004, [33])

 Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đưa ra một kết

luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trước

 Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát

(không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một

số trường hợp cụ thể

 Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết có lí (nhưng không

chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát được

 Biểu diễn toán: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn toán Nhìn chung

các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong

đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu

đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ, ký hiệu… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ

 Trực quan hóa: Quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và

phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…) ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ Trực quan hóa nhằm mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [13])

 Biểu diễn trực quan: Công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng

toán học trừu tượng Các biểu diễn trực quan thường được sử dụng là các hình

vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng

 Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan được xây dựng trên màn hình

máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS thực hiện

các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tượng được biểu diễn

 Dạng mẫu toán: Mô hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự đoán

được quy luật do một vài tính chất của nó được lặp lại

- Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7

 Quy luật toán học: Mối quan hệ toán học giữa các đối tượng toán học (các số,

các hình, các kí hiệu toán học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp ) có thể được phát hiện trong các dạng mẫu toán Các mối quan hệ này có thể được mô tả thông qua các quy tắc, các công thức, các tính chất, các định lý (Dörfler, 2008, [30])

Trở lại với ví dụ về dạng mẫu toán ở trên: một quy luật toán được phát hiện trong

dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ có giá trị

bằng 2n ; một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về tổng các góc 1trong của tam giác là: tổng các góc trong của một tam giác luôn bằng 180 độ; một quy luật toán được phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân lũy thừa cơ số 2 là: 2 2a b 2a b a b,  

 Quy luật dãy số: Quy luật toán học cho trường hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối quan

hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nó trong một dãy số Mối quan hệ này có thể được mô tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một số hạng bất

kì khi biết vị trí của nó trong dãy số Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào

các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (có quy tắc tổng quát là an b  , n

là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc hai (có quy tắc tổng quát là an2 bn c  , n là vị trí của số hạng trong dãy số)

 Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), có hai loại nhiệm vụ liên

quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:

- Tổng quát hóa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng không hẳn phải liền

kề ngay sau các số hạng đã cho nhưng vị trí của nó trong dãy số đủ gần để

HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bước tuần tự và có được câu trả lời

- Tổng quát hóa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn nhiều

so với các số hạng đã được cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng bước tuần tự trở nên không còn khả thi

 Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận ngoại suy

nhằm đưa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn của dãy số xuất hiện theo một quy luật xác định

 Bài toán kết thúc mở: Bài toán có nhiều câu trả lời đúng và nhiều phương án giải khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16])

 Bài toán hình học kết thúc mở: Là bài toán kết thúc mở trong hình học, có thể được nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr 91-92, [52]):

- Phát biểu bài toán thường chỉ là những mô tả rất ngắn gọn về các bước dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phương pháp giải cụ thể nào

- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống như “Chứng minh rằng…”, các bài toán hình học kết thúc mở thường yêu cầu HS tự đề xuất giả thuyết Các câu hỏi của bài toán thường được diễn đạt dưới dạng: “Em tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình … có thể trở thành những hình dạng nào…?”

 Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tượng hình học, chỉ mối quan

hệ toán học không đổi giữa các đối tượng hình học như điểm, đường thẳng, đường tròn Các quy luật này thường được mô tả qua các tính chất, các định lý, các công thức trong hình học

Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b, c

và số đo các góc ˆA B C ) trong một tam giác ABC bất kì: , ,ˆ ˆ

4) Tổng các góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng 1800

5) Trong hai cạnh của một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn có độ dài lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn hơn có số đo lớn hơn

1.7 Cấu trúc luận án

Ngoài phần Mục lục, Danh mục các chữ viết tắt, Danh mục các thuật ngữ tiếng Anh, Danh sách các hình ảnh, Danh sách các bảng biểu, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chính của luận án được trình bày trong năm chương:

Chương 1 Mở đầu

Chương 2 Các kết quả nghiên cứu liên quan

Chương 3 Thiết kế nghiên cứu

Chương 4 Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy

Chương 5 Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận quy nạp và ngoại suy

Chương 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hướng phát triển chung của giáo

dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tôi quan tâm như quy luật toán, khám phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán, đồng thời

cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề hấp dẫn để khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt Nam hiện nay Tuy nhiên, để triển khai luận án trước hết cần có một cái nhìn tổng quan về các kết quả

đã có từ các nghiên cứu liên quan Cụ thể, trong Chương 2, chúng tôi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động Chúng tôi cũng tìm hiểu các nghiên

cứu trong và ngoài nước liên quan đến chủ đề khám phá quy luật toán trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở Sau khi tổng hợp, phân tích các kết quả có được của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở” về mặt lý thuyết chưa được làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến phạm vi nghiên cứu của luận án có thể được kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn

Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chương 1 để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận, chúng tôi trình bày câu trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chương 2 nhằm làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này Kết thúc Chương 1 và Chương 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm được định hình trong giai đoạn tiếp theo để có dữ liệu nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2 và Câu hỏi nghiên cứu 3 của luận án Các đối tượng HS, GV và trường phổ thông tham gia thực nghiệm, các tiêu chuẩn để xây dựng và đánh giá bộ công cụ sử dụng trong thực nghiệm, quy trình tiến hành tiền thực nghiệm và thực nghiệm, cách thức thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu cũng như các hạn chế của quá trình thực nghiệm sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 3

Tiếp nối ngay sau Chương 3, Chương 4 trình bày kết quả có được từ thống kê và quan sát dữ liệu thực nghiệm cùng với những phân tích tương ứng để trả lời Câu hỏi nghiên cứu 2 và 3 Cụ thể, chúng tôi chỉ ra những bằng chứng cho việc các BDTQ có ảnh hưởng hay không đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy của HS khi khám phá các quy luật dãy số và khám phá các bài toán hình học kết thúc mở Chúng tôi cũng đánh giá mức độ ảnh hưởng của các BDTQ đến quá trình suy luận khi khám phá quy luật dãy số Với các nhiệm vụ khám phá bài toán hình học kết thúc mở, chúng tôi cho thấy một trong những cách để thao tác trên BDTQ động nhằm hỗ trợ việc khám phá và

kiểm chứng các quy luật hình học, đó là sử dụng các phương thức kéo rê mà chúng tôi

đã phân loại theo một cách phù hợp

Các kết quả phân tích trong Chương 4 một lần nữa khẳng định tầm quan trọng của các hoạt động khám phá quy luật toán đối với HS mười lăm tuổi cùng với việc nảy sinh nhu cầu phát triển năng lực suy luận quy nạp và ngoại suy cho HS ngay từ khi còn học

ở nhà trường phổ thông Do đó, chúng tôi mong muốn dành riêng Chương 5 của luận

án cho những thảo luận nhằm phát triển năng lực suy luận có lí trong quá trình khám phá quy luật toán của HS thông qua một loại nhiệm vụ toán đặc trưng: bài toán kết thúc mở Chương này cũng đề xuất một số giải pháp cơ bản mang tính định hướng nhằm giúp GV bước đầu có cơ sở để chuyển đổi các tình huống ở SGK và lớp học thành các bài toán kết thúc mở nhằm tạo cơ hội cho HS được phát triển khả năng suy luận ngoại suy và quy nạp

Chương 2: CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

Chương 2 trình bày kết quả của các nghiên cứu có liên quan và được sử dụng trong nghiên cứu của chúng tôi Trước hết là các nghiên cứu về hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và ngoại suy Tiếp theo là các quan điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động Cuối cùng là các nghiên cứu liên quan trực tiếp

đến hai loại nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số và khám phá bài toán hình học kết thúc mở Đặc biệt, từ các kết quả khảo cứu tài liệu, một vấn đề lý thuyết nảy sinh và

trở thành Câu hỏi nghiên cứu 1 của luận án: “Những suy luận nào được sử dụng trong quá trình tìm kiếm quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau như thế nào?” Việc trả lời câu hỏi này sẽ được giải quyết ngay trong Chương 2 trên cơ sở phân tích

và phát triển các kết quả nghiên cứu lí thuyết đã có

2.1 Toán học và những suy luận có lí

Suy luận là sự kết nối những kinh nghiệm và kiến thức đã có để đưa ra các kết luận hợp lý từ các thông tin được cho sẵn Suy luận làm nền tảng cho sự thăm dò và khám phá các ý tưởng mới, đồng thời đóng một vai trò trung tâm trong chứng minh

Polya (1887-1985) là một trong những nhà nghiên cứu giáo dục Toán nổi tiếng có nhiều đóng góp cho giáo dục Polya đặc biệt quan tâm đến con đường để mỗi HS có thể tiếp cận một bài toán hơn là kết quả mà HS đó đưa ra Khi HS hình thành được con đường này, các em sẽ cảm thấy thích thú với toán học, hiểu lí do tại sao các ý tưởng được vận hành, phát triển một chuỗi kiến thức được kết nối và đầy sức mạnh

Polya (1954, [66]) cho rằng toán học tồn tại hai kiểu suy luận: suy luận diễn dịch và suy luận có lí Chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận diễn dịch nhưng ủng hộ các giả thuyết bằng các suy luận có lí Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau, cụ thể là:

 Suy luận diễn dịch là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận không chắc chắn và có thể gây tranh cãi

 Suy luận diễn dịch không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên

hệ với suy luận có lí

 Suy luận diễn dịch có những tiêu chuẩn chặt chẽ và nhất quán, được ghi lại thành quy tắc và được giải thích bằng logic Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại

bổ sung cho nhau Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận diễn dịch và suy luận có lí như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh, tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó Chúng ta cần phải dự đoán về một định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí” (Polya, 1954, [66, tr 158-160]) Trong nghiên cứu này, chúng tôi đề cập đến hai loại suy luận có lí là suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy

2.1.1 Suy luận quy nạp

2.1.1.1 Định nghĩa

Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều có chung bản chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một số trường hợp cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro, 2007, [23]; Christu & Papageorgiu, 2007, [27])

Ví dụ như khi quan sát thấy tổng ba góc trong của một vài tam giác cụ thể luôn bằng

180 độ, người học có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng 180 độ Giả thuyết này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lý cơ bản trong hình học

2.1.1.2 Mô hình suy luận quy nạp

Mô hình suy luận quy nạp được Polya đề xuất lần đầu gồm bốn bước (Polya, 1968, [68]):

1) Quan sát những trường hợp đặc biệt;

2) Hình thành giả thuyết dựa trên những trường hợp đã quan sát;

3) Tổng quát hóa;

4) Xác minh giả thuyết với các trường hợp đặc biệt mới

Reid (2002, [72]) mô tả mô hình này cụ thể hơn gồm năm bước qua những kinh nghiệm của ông khi tiến hành quy nạp với một số trường hợp hữu hạn:

1) Thực hành với các trường hợp đặc biệt;

2) Quan sát quy luật;

3) Dự đoán rằng quy luật đó có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát;

4) Kiểm tra dự đoán;

5) Tổng quát hóa dự đoán

Trên cơ sở đó, một nghiên cứu thuộc dự án Quốc gia của Tây Ban Nha về “Nghiên cứu, phân tích và cải cách giáo dục” được tiến hành trên 359 HS lớp 9 và lớp 10 thuộc bốn trường công lập ở Tây Ban Nha (94% các em trong độ tuổi từ 14 đến 16 tuổi) Nghiên cứu được tiến hành trong nhiều năm và dựa trên những gì HS thể hiện, Cañadas và Castro (2009, [24]) đưa ra mô hình gồm bảy bước cho quá trình giải quyết các bài toán liên quan đến khám phá dãy số:

1) Quan sát các trường hợp đặc biệt: Quan sát, thu thập dữ liệu từ các trường hợp

đặc biệt

2) Sắp xếp các trường hợp đặc biệt một cách hệ thống: Sử dụng các phương án

khác nhau để sắp xếp, hệ thống hóa các dữ liệu thu thập được, phổ biến nhất là sử dụng bảng, sơ đồ hay danh sách các dữ liệu

3) Tìm kiếm và dự đoán quy luật: Quy luật được phát hiện dựa trên việc lặp lại một

cách có quy tắc của các dữ liệu Ở bước này quy luật có thể chỉ dành cho những trường hợp được quan sát chứ không hẳn phải áp dụng được cho tất cả các trường hợp Bước này được nhận ra bởi khả năng dự đoán về một trường hợp chưa biết dựa trên việc phân tích các đặc trưng của các trường hợp đã biết

4) Hình thành giả thuyết: Phát biểu một giả thuyết từ việc nhận ra quy luật trong các

trường hợp cho sẵn

5) Kiểm chứng giả thuyết (với các trường hợp đặc biệt): Khi HS hình thành một giả

thuyết với sự nghi ngờ, giả thuyết được kiểm chứng trước tiên đối với những trường hợp cụ thể đã biết

6) Tổng quát hóa giả thuyết: Dựa trên việc khẳng định một giả thuyết là đúng với

một vài trường hợp đặc biệt, có thể giả định rằng giả thuyết đó cũng đúng cho nhiều trường hợp hơn Tổng quát hóa được Polya xem như một trong những nhân

tố cơ bản của suy luận quy nạp

7) Xác minh giả thuyết tổng quát: Để khẳng định hay loại bỏ một giả thuyết tổng

quát thì đầu tiên phải xác minh xem giả thuyết đó có đúng với những trường hợp đặc biệt khác hay không, hơn nữa cần đưa ra những lí do để thuyết phục người khác về tính đúng đắn của giả thuyết tổng quát này

Mô hình này là hữu ích cho việc phân tích suy luận quy nạp của HS, nhưng không phải tất cả các bước đều nhất thiết phải xảy ra và tuân theo thứ tự trên Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng mô hình suy luận quy nạp của Cañadas và Castro để phân tích các kết quả nghiên cứu lý thuyết nhằm trả lời Câu hỏi nghiên cứu 1

2.1.2 Suy luận ngoại suy

Ngoại suy là loại suy luận trung tâm của tất cả các lĩnh vực như triết học, khoa học máy móc, trí tuệ nhân tạo, khảo cổ học, luật, khoa học tội phạm… Nói một cách đơn giản thì ngoại suy là suy luận để giải thích cho một quan sát Ví dụ về ngoại suy trong chẩn đoán bệnh: một bác sĩ quan sát các triệu chứng của một bệnh nhân và đưa ra giả thuyết về các nguyên nhân có thể dựa trên các kiến thức y học về mối quan hệ nhân quả giữa bệnh và triệu chứng Ngoại suy cũng xuất hiện nhiều trong các tình huống khoa học và đời sống Chẳng hạn, nhà bác học Newton đưa ra giả thuyết về lực hút của Trái đất khi nhìn thấy quả táo rơi Đó là kết quả của suy luận ngoại suy và kết quả này

đã được phát triển thành một định luật nổi tiếng: Định luật vạn vật hấp dẫn Trong cuộc sống hàng ngày, sau một đêm thức dậy nếu nhìn thấy cỏ trước sân bị ướt, chúng

ta có thể đưa ra giả thuyết bằng suy luận ngoại suy: có thể trời đã mưa, hay có ai đó đã tưới cây

2.1.2.1 Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce

Nhà toán học, triết học và logic học người Mỹ Charles Sanders Peirce (1839-1914) là người đã phát triển khái niệm ngoại suy và đưa nó vào trong hệ thống các loại suy luận Nhận thức truyền thống liên quan đến bản chất của suy luận toán học vẫn giữ quan điểm rằng diễn dịch và quy nạp hình thành nên một cặp đôi mà tất cả các loại suy

luận nếu không phải là diễn dịch thì sẽ rơi vào trường hợp còn lại là quy nạp (NCTM,

2000, [57]) Tuy nhiên, Peirce đề xuất một loại suy luận mới là suy luận ngoại suy: loại suy luận bắt đầu từ các dữ liệu và hướng đến các giả thuyết

Mô hình suy luận ngoại suy của Peirce:

Một sự thật C được quan sát,

Nếu A đúng, C hiển nhiên cũng sẽ đúng;

Vì thế, là hợp lí khi giả thuyết rằng A đúng (Peirce, [65, 5.189])1

Lý thuyết về ngoại suy của Peirce được chia làm hai giai đoạn và sự chuyển tiếp từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau mất gần một thế kỉ Chính Peirce thừa nhận rằng “trong hầu hết những điều mà tôi đã xuất bản trước thời điểm đầu của thế kỉ này, tôi đã ít nhiều

có sự nhập nhằng giữa hai khái niệm quy nạp và ngoại suy” (Peirce, [65, 8.227]) Do

đó, để có một nhận thức đúng đắn về suy luận ngoại suy của Peirce, chúng ta cần tìm hiểu những điểm khác nhau cơ bản của hai giai đoạn này

Trong giai đoạn đầu (từ các ấn phẩm đầu tiên nhất của Peirce cho đến trước năm 1878)

ba loại suy luận ngoại suy, quy nạp và diễn dịch được xem xét một cách tách biệt và độc lập, đặc biệt Peirce nhấn mạnh vào dạng logic của ngoại suy Ông mô tả diễn dịch, quy nạp và ngoại suy thông qua các tam đoạn luận trong Bảng 2.1 (Peirce, [65, 2.508-511])

S trong các tam đoạn luận này là một trường hợp cụ thể còn S’, S”, S”’ là một nhóm các trường hợp cụ thể P mô tả một tính chất của đối tượng, P’, P”, P”’ là một số các tính

chất Vì vậy, sự khác nhau giữa ngoại suy và quy nạp trong tam đoạn luận này là khi một nhóm các trường hợp có cùng chung một tính chất ta có thể tổng quát lên rằng các trường hợp tương tự cũng có chung tính chất đó bằng suy luận quy nạp Ngược lại, nếu một trường hợp được nhận ra có một số tính chất với một nhóm các trường hợp nào đó thì ta dự đoán rằng trường hợp đó thuộc về nhóm các trường hợp đã cho bằng suy luận ngoại suy

Bảng 2.1 Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce

1   Ấn phẩm The Collected papers of Charles Sanders Peirce ([65], 1994) được chia thành các Tập, trong mỗi Tập các đoạn

văn đều được đánh số Để tham khảo đến các nội dung trong ấn phẩm này, chúng tôi chỉ ra số Tập bởi chữ số đứng phía trước dấu chấm, và số thứ tự của đoạn văn là chữ số đứng ngay sau dấu chấm.

S’, S”, S’”… có tính chất P

Phần tử nào của M cũng có tính chất P

mô tả của Peirce về ba loại suy luận trong giai đoạn sau để thấy ông đã tìm ra cách để làm rõ sự khác biệt này như thế nào

Trong các ấn phẩm ra đời từ 1878 trở về sau, Peirce chuyển sự chú ý của mình vào các chức năng của mỗi loại suy luận thay vì nhấn mạnh vào sự khác nhau về mặt logic như

ở giai đoạn trước đó Ông phát biểu lại mô tả về ba loại suy luận thông qua các thuật

ngữ Quy tắc, Trường Hợp, Kết luận và mô tả này thường được trích dẫn trong các

nghiên cứu sau này về suy luận ngoại suy Các mô tả được tóm tắt trong các tam đoạn luận sau (Peirce, [65, 2.623]):

Diễn dịch

Quy tắc: Tất cả các hạt đậu ở cái túi này đều có màu trắng

Trường hợp: Các hạt đậu được lấy ra từ cái túi này

Kết luận: Các hạt đậu này có màu trắng

Quy nạp

Trường hợp: Các hạt đậu lấy ra từ cái túi này

Kết luận: Các hạt đậu này có màu trắng

Quy tắc: Tất cả các hạt đậu ở cái túi này đều có màu trắng

Ngoại suy

Kết luận: Các hạt đậu này có màu trắng

Quy tắc: Tất cả các hạt đậu ở cái túi này đều có màu trắng

Trường hợp: Các hạt đậu lấy ra từ túi này

Chú ý rằng Quy tắc được đề xuất bởi suy luận quy nạp có thể sai, chẳng hạn chỉ có những hạt đậu nằm phía trên màu trắng, còn ở dưới thì màu nâu Trường hợp được đề xuất bởi suy luận ngoại suy chỉ là một trong số các trường hợp có lí, những trường hợp

khác chẳng hạn như các hạt đậu được lấy ra từ một cái túi đậu nhiều màu, hoặc từ một túi đậu ở nơi khác vẫn có thể xảy ra

Sự khác nhau giữa mô tả của Peirce trong giai đoạn trước và sau 1878 là nhỏ nhưng rất

quan trọng Thứ nhất, thay vì “các hạt đậu này” có cùng chung một số tính chất P, P’, P”… thì chỉ duy nhất một tính chất “màu trắng” được sử dụng cho ví dụ trên Điều này

cho thấy Peirce đã nhận ra rằng ngoại suy có thể xảy ra trên cơ sở rất hạn chế các bằng

chứng/dữ liệu có được Thứ hai, các trường hợp cụ thể S’, S”, S”’ được liệt kê trong mô

tả của ông năm 1867 bây giờ được gộp vào dưới một đối tượng duy nhất “các hạt đậu này” Bản chất cụ thể của các trường hợp được giảm nhẹ bớt để cho phép ngoại suy

tạo ra “trường hợp” là một kết quả mang tính tổng quát

Các tiêu chuẩn để đánh giá một giả thuyết tốt cũng được Peirce đề cập, theo ông thì ít nhất chúng “phải giải thích được các quan sát” (Peirce, [65, 5.197])

Các giả thuyết ngoại suy để giải thích các sự kiện có thể có rất nhiều dạng khác nhau, Peirce đề cập đến ít nhất một trong ba dạng sau:

1) Giả thuyết hướng đến các sự kiện không thể quan sát được tại thời điểm giả thuyết được hình thành nhưng vẫn có thể được quan sát vào một lúc nào đó Chẳng hạn, khi chúng ta bước vào một căn phòng và thấy rất nhiều túi đựng các loại đậu khác nhau đồng thời trên bàn có một nhúm các hạt đậu trắng Chúng ta

có thể suy đoán rằng nhúm đậu trắng đó được lấy ra từ một cái túi chứa toàn đậu trắng

2) Giả thuyết mà chúng ta không có đủ điều kiện và khả năng để quan sát, chẳng hạn như các sự kiện trong lịch sử: “Hóa thạch được tìm thấy ở một vùng đất nọ

và những dấu tích chúng để lại trông giống như là của một loài cá đang sinh sống

ở rất xa vùng đất đó Để giải thích sự kiện này, chúng ta có thể giả thuyết rằng nước biển đã từng bao trùm vùng đất này trước đây.”

3) Giả thuyết hướng đến các thực thể, mà trong tình trạng hiện tại của tri thức là không thể quan sát được cả về phương diện lý thuyết lẫn trên thực tế Thuyết động học là ví dụ minh họa cho trường hợp này

Trong giai đoạn này, Peirce cũng nhấn mạnh đến ngoại suy như là một thành phần trong quá trình khám phá Ngoại suy đưa ra lời giải thích bằng cách cung cấp một giả thuyết mới, trong khi diễn dịch và quy nạp là phương pháp để xác minh giả thuyết bằng

lý thuyết và thực nghiệm (Peirce, [65, 2.776])

Một thời gian dài sau khi Peirce qua đời, ngoại suy không giành được nhiều sự quan tâm chú ý không chỉ vì nghiên cứu của Peirce còn khá nhỏ, mà còn bởi vì chính bản thân ngoại suy dường như không phù hợp với quan điểm về các loại suy luận logic của các nhà khoa học thời bấy giờ Các nghiên cứu trong thế kỉ 20 liên quan đến suy luận ngoại suy của Peirce có thể được chia thành bốn xu hướng tương ứng với các mục đích: (1) Chỉ trích việc xem ngoại suy là một dạng suy luận, đặc biệt là suy luận liên quan đến khám phá; (2) Tán thành quan điểm của Peirce và có ý định phát triển khái niệm này; (3) Các nghiên cứu học thuật liên quan đến ngoại suy trong bối cảnh triết học của Peirce; (4) Các nghiên cứu về ngoại suy trong các lĩnh vực khác ngoài triết học, đặc biệt là trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo (Magnani, 2000, [46])

So với suy luận quy nạp, suy luận ngoại suy là một khái niệm mới được đưa vào giáo dục toán trong thời gian gần đây mặc dù nó có nguồn gốc từ triết học và logic học đã rất lâu đời Trong những nội dung tiếp theo ngay sau đây, chúng tôi chỉ trình bày một

số nghiên cứu liên quan đến việc phát triển khái niệm ngoại suy của Peirce trong lĩnh vực giáo dục toán nhằm phục vụ cho luận án này

2.1.2.2 Ngoại suy theo quan điểm của J Josephson và S Josephson

J Josephson và S Josephson (1996, [39]) kế thừa định nghĩa ngoại suy của Peirce và bổ sung vào mô hình ngoại suy của ông thêm một giai đoạn: đánh giá giả thuyết nào là tốt nhất Mô hình mới như sau:

Theo J Josephson và S Josephson, việc đánh giá khả năng xảy ra của một giả thuyết ngoại suy phụ thuộc vào một vài yếu tố sau:

1 H vượt trội hơn hẳn các giả thuyết khác như thế nào;

2 Tự bản thân giả thuyết H tốt như thế nào, việc xem xét này là độc lập với các

yếu tố khác (điều này nói lên rằng chúng ta nên thận trọng trong việc chấp nhận một giả thuyết, ngay cả khi nó rõ ràng là cái tốt nhất mà chúng ta có, nếu bản thân nó không đủ tính có lí);

3 Mức độ đáng tin cậy của các dữ liệu;

4 Mức độ tự tin khi cho rằng tất cả các giả thuyết có lí khác đã được xem xét Ngoài bốn yếu tố trên, J Josephson và S Josephson (1996, [39, tr 14]) cho rằng cũng cần xem xét hai điều sau trước khi đưa ra một giả thuyết ngoại suy:

1 Những lợi ích khi giả thuyết đúng mang lại cũng như những thiệt hại khi giả thuyết là sai

2 Nhu cầu đi đến một kết luận tổng quát là cần thiết như thế nào, đặc biệt xem xét khả năng tìm kiếm thêm các bằng chứng trước khi đưa ra giả thuyết cuối cùng

2.1.2.3 Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli

Cifarelli (1999, [28]) tiếp cận ngoại suy theo một quan điểm khác so với Peirce Một phần nghiên cứu của ông liên quan đến mối quan hệ giữa ngoại suy và các phương án giải quyết vấn đề Cifarelli cho rằng rất ít nghiên cứu về giải quyết vấn đề toán học có

sự quan tâm đặc biệt đến vai trò của ngoại suy trong hoạt động đưa ra một lời giải mới của người học, nhưng những nghiên cứu về hoạt động đặt vấn đề lại quan tâm đến điều này Theo Brown và Walter (Cifarelli, 1999, [28]) đặt vấn đề và giải quyết vấn đề có mối liên hệ tự nhiên với nhau theo nghĩa: các câu hỏi mới được sử dụng như một vấn

đề cần giải quyết và “chúng ta không cần đợi cho đến sau khi chúng ta đã giải quyết xong vấn đề mới tạo ra các câu hỏi mới, mà thật sự là chúng ta buộc phải tạo ra hay đề xuất một câu hỏi/vấn đề mới để giải quyết vấn đề đã chọn ngay từ những bước đầu tiên” (tr 114) Hơn thế, hình thức đặt vấn đề này được thiết lập và tái thiết lập trong suốt quá trình giải quyết vấn đề Theo Cifarelli, điều này minh họa cho bản chất của hoạt động trong giải quyết vấn đề: luôn thăm dò và thay đổi để ngoại suy ra các ý

tưởng mới về bài toán trong quá trình giải quyết chúng Với sự mở rộng này, Cifarelli

đã tiến hành một nghiên cứu với mục đích phân tích quá trình đặt vấn đề và giải quyết vấn đề của người học trong bối cảnh giải quyết vấn đề toán học Mục đích nghiên cứu của ông là làm rõ quá trình người học kiến tạo tri thức mới trong tình huống giải quyết vấn đề, đặc biệt tập trung vào các trường hợp người học sử dụng ngoại suy để hỗ trợ cho các lời giải mới Theo cách này, giải quyết vấn đề có thể được xem như một dạng của suy luận ngoại suy ở đó người học suy nghĩ về các phương án khả thi để hình thành nên một tập hợp các vấn đề mà HS phải đối mặt, đồng thời tổ chức, sắp xếp hay thay đổi các hành động của mình để giải quyết vấn đề Cifarelli đặc biệt tập trung chú

ý vào suy luận ngoại suy như một công cụ để nâng cao chất lượng việc tìm kiếm các phương án mới khi và việc áp dụng các phương án đã có không đem lại kết quả Chẳng hạn việc thiếu những dữ liệu cần thiết trong một bài toán đã dẫn dắt người học quay trở lại vấn đề ban đầu để xác minh tính có lí của giả thuyết được đưa ra, và sau

đó tạo ra các dữ liệu cần thiết để giải quyết vấn đề

2.1.2.4 Các cách phân loại ngoại suy

 Phân loại theo Eco (1983, [32])

Eco (1983, [32]) đưa ra một số dạng ngoại suy khác nhau dựa trên sự hình thành khái

niệm ngoại suy của Peirce vào năm 1878: loại suy luận tạo ra một Trường hợp từ một Quy tắc và một Kết luận (Peirce, [65, 2.623]) Eco cho rằng quy tắc trong mô hình này không nhất thiết phải luôn luôn tồn tại rõ ràng Nếu có một Quy tắc, ta sẽ áp dụng mô

hình của Peirce, nhưng nếu không thì sẽ phát sinh ra một loại ngoại suy mới Eco định nghĩa ba loại ngoại suy: ngoại suy trực tiếp, ngoại suy chọn lựa và ngoại suy sáng tạo

Ngoại suy trực tiếp xảy ra khi người suy luận chỉ nhận ra một Quy tắc có thể giải thích

cho kết quả quan sát được (tr 206) Định nghĩa này giống như định nghĩa của Peirce

đưa ra vào năm 1878 Nếu có nhiều hơn hoặc ít hơn một Quy tắc được tìm thấy, tình

huống trở nên phức tạp hơn Trước khi đề xuất được một giả thuyết ngoại suy, một

Quy tắc phải được chỉ ra và giả thuyết ngoại suy (là Trường hợp) sẽ phụ thuộc vào Quy tắc được chọn Như Eco đã chỉ ra: “vấn đề thực sự là làm thế nào để chỉ ra cùng một lúc cả Quy tắc và Trường hợp, vì chúng liên quan mật thiết với nhau” Trường hợp trong suy luận ngoại suy được chứa đựng hoàn toàn trong Quy tắc Do đó khi đã nhận ra được Quy tắc, ta sẽ suy ra ngay Trường hợp là gì

Nếu có nhiều Quy tắc thì Eco gọi đó là ngoại suy chọn lựa

Khi không có một Quy tắc nào có thể giải thích cho kết quả được tìm thấy, một Quy tắc mới được hình thành và Eco gọi đây là ngoại suy sáng tạo (Eco, 1983, [32, tr

207]) Như vậy, quá trình khám phá bởi ngoại suy có thể tạo ra:

a) Một Trường hợp mới (Tất cả các loại ngoại suy)

b) Mối quan hệ giữa các Kết quả được quan sát và Quy tắc liên quan (Tất cả các

loại ngoại suy)

c) Một Quy tắc mới (Ngoại suy sáng tạo)

Một vấn đề nữa là các tiêu chuẩn để đánh giá một giả thuyết là tốt nhất cũng cần được xem xét Theo Eco, có ba tiêu chuẩn cần chú ý:

(1) Giả thuyết phải giải thích được điều quan sát

(2) Giả thuyết chỉ chứa các yếu tố vừa đủ để giải thích cho quan sát đó, tức là không nên làm phức tạp hóa giả thuyết khi không cần thiết

(3) Giả thuyết có thể được kiểm chứng bằng thực nghiệm

 Phân loại theo Magnani (2001, [46])

Theo Paul Thagard (Magnani, 2001, [46]), Magnani đóng góp thêm cho các nghiên cứu

về ngoại suy những kết quả có giá trị: Thứ nhất, chúng liên kết lại các mối quan tâm của các nhà triết học của khoa học và các nhà nghiên cứu về trí tuệ nhân tạo Thứ hai, chúng đưa ra một khuôn khổ chung hữu ích cho các thảo luận về các loại ngoại suy khác nhau Thứ ba, chúng phát triển các ý tưởng quan trọng về các khía cạnh của ngoại suy liên quan đến khoa học nhận thức luận

Trong loạt bài báo của Magnani từ năm 1999 đến 2006 ([46], [47], [48]), ông đã đưa

ra một số cách phân loại ngoại suy để áp dụng trong các lĩnh vực khoa học nhận thức

luận.Trước tiên là ngoại suy lý thuyết và ngoại suy thao tác Mặc dù chúng chưa bao giờ được tách biệt hoàn toàn một cách rõ ràng nhưng có vẻ như trong ngoại suy lý thuyết, các giả thuyết có thể biểu diễn ra thông qua các phát biểu… trong khi với ngoại suy thao tác, các lời giải thích chính là các đối tượng mà người suy luận đang tương

tác hoặc chính bản thân quá trình tương tác Ngoại suy lý thuyết là quá trình suy ra những sự kiện và /hoặc các quy tắc và các giả thuyết để làm cho một vấn đề nào đó trở

nên có lí, để khám phá hay giải thích một hiện tượng/quan sát nào đó (thậm chí là mới) (Magnani, 2001, [46, tr 17-18]) Ngoại suy thao tác xảy ra khi chúng ta tư duy thông

qua hành động Lý thuyết về ngoại suy đã mô tả nhiều về tầm quan trọng của ngoại

suy lý thuyết đối với con người và chương trình máy tính nhưng thất bại trong việc lý giải các trường hợp trong khoa học khi mà các kết quả có được đều chủ yếu từ các thực nghiệm hoặc thao tác lên các đối tượng nghiên cứu nhằm làm xuất hiện thêm những thông tin mới (Magnani và nnk, 2002, [47]) Khái niệm ngoại suy thao tác xuất hiện và bao quát một phần rộng lớn các phát hiện khoa học nơi mà vai trò của hoạt động là trung tâm và đặc trưng của những hoạt động này đôi khi nằm ở dạng ẩn tàng

và khó lý giải: hoạt động có thể cung cấp những thông tin cho phép nhà nghiên cứu giải quyết vấn đề bằng cách thực hiện một quá trình ngoại suy phù hợp để xây dựng hoặc chọn giả thuyết

Phân biệt giữa ngoại suy sáng tạo và ngoại suy chọn lựa, Magnani cho rằng trong ngoại suy chọn lựa, một giả thuyết sẽ được chọn ra trong tập hợp các giả thuyết đáp ứng, trong khi với ngoại suy sáng tạo, giả thuyết là mới theo một cách nào đó Ví dụ

trong lĩnh vực y học, Magnani đưa ra sự phân biệt giữa chẩn đoán y học ở đó một giả thuyết được chọn ra từ tất cả những gì được biết và nghiên cứu y khoa, ở đó các loại bệnh mới và các mối quan hệ nhân quả liên quan được đưa ra và kiểm chứng Magnani

cũng phân biệt giữa hai khái niệm ngoại suy chỉ tạo ra các giả thuyết có lí (ngoại suy chọn lựa hay ngoại suy sáng tạo), và ngoại suy để chọn giả thuyết có lí nhất (bao gồm

cả việc đánh giá giả thuyết)

 Phân loại theo Patokorpi (2006, [62])

Dựa trên các kết quả nghiên cứu của Magnani và các cộng sự ([46], [47], [48]), Patokorpi (2006, [62]) đã tổng kết và đưa ra bốn loại suy luận ngoại suy sau:

1) Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các Quy tắc có sẵn một Quy tắc có thể lý giải cho Kết luận

2) Ngoại suy sáng tạo: Khi các Quy tắc có sẵn không lý giải được, cần sáng tạo ra một Quy tắc mới để lý giải cho Kết luận

3) Ngoại suy trực quan: Tư duy ngay trong quá trình quan sát để đưa ra giả thuyết

là một Trường hợp nhằm lý giải cho Kết luận

4) Ngoại suy thao tác: Tiến hành các thao tác thích hợp nhằm thu thập thêm dữ liệu để tìm thấy Trường hợp có thể lý giải cho Kết luận

2.1.2.5 Mô hình suy luận ngoại suy

Meyer (2008, [51, tr 2]) đề xuất hai mô hình tổng quát cho suy luận ngoại suy (Hình 2.1)

Hình 2.1 Mô hình suy luận ngoại suy của Meyer

Ở Hình 2.1(a), khi quan sát một kết quả gây ngạc nhiên nào đó (Kết luận), HS sẽ tìm kiếm các Quy tắc nhằm giải thích cho kết quả này để trên cơ sở đó đề xuất giả thuyết

về một Trường hợp có lí nhất có thể xảy ra Trong trường hợp không có sẵn một Quy tắc nào trong vốn kiến thức hiện tại của người học, một Quy tắc mới được hình thành

là kết quả của ngoại suy sáng tạo (Hình 2.1(b))

Kết luận: Qua tìm hiểu lý thuyết về ngoại suy, chúng tôi tóm tắt lại những đặc trưng về

loại suy luận này như sau: Ngoại suy là suy luận đi ngược lại từ các kết quả (các hệ quả) đến nguyên nhân hay điều xảy ra trước đó, nhằm giải thích cho một kết quả gây ngạc nhiên với người suy luận Giả thuyết của ngoại suy là có lí nhưng không chắc chắn đúng Ngoại suy là loại suy luận mở đầu cho quá trình khám phá

Trong luận án này, để phù hợp với đặc thù của môn Toán, chúng tôi sẽ sử dụng mô hình suy luận ngoại suy mạnh của S Josepshon và J Josepshon (1996, [39]) để đảm bảo giả thuyết ngoại suy không chỉ có lí mà còn là giả thuyết tốt nhất có thể Chúng tôi cũng chọn cách phân loại ngoại suy thành bốn loại: trực quan, thao tác, chọn lựa và sáng tạo của Patokorpi (2006, [62]) bởi cách phân loại này không quá đi sâu vào chi tiết nhưng khá bao quát và phù hợp với những phân tích trong luận án Đồng thời, để phân tích các thành phần trong suy luận ngoại suy của HS, chúng tôi sử dụng các thuật

ngữ Quy tắc, Trường Hợp, Kết luận trong mô tả về các tam đoạn luận của Peirce ([65,

2.623]) đã được đề cập trong Mục 2.1.2.1 Trong trường hợp muốn chỉ rõ ngoại suy chọn lựa hay ngoại suy sáng tạo, chúng tôi sử dụng hai mô hình suy luận ngoại suy của Meyer (2008, [51]) được trình bày ở Mục 2.1.2.5

2.1.3 Phân biệt suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học

Như đã đề cập ở Mục 2.1.2.1, chính bản thân nhà nghiên cứu đầu tiên về ngoại suy là Peirce cũng có sự “nhập nhằng” giữa ngoại suy và quy nạp thì hiển nhiên đây sẽ là một chướng ngại có thể xuất hiện dai dẳng ở chính chúng ta Mặt khác, trong khi hai loại suy luận diễn dịch và quy nạp đã được đề cập khá nhiều trong các tài liệu về suy luận toán thì suy luận ngoại suy chỉ mới được thực sự quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây, chủ yếu trong các tài liệu liên quan đến triết học, y học, khoa học máy tính, trí tuệ nhân tạo và rất ít các tài liệu liên quan đến giáo dục toán Do đó, chúng tôi thấy cần thiết phải làm rõ hơn nữa sự khác biệt giữa ngoại suy và quy nạp trong một phạm vi thu hẹp hơn là toán học để phục vụ trực tiếp cho luận án này Dựa trên các cơ sở lý thuyết chung về quy nạp và ngoại suy đã trình bày ở các Mục 2.1.1

và 2.1.2, chúng tôi đưa ra một số yếu tố giúp người đọc có một cái nhìn tổng quan về

sự giống nhau, khác nhau và mối quan hệ giữa ba loại suy luận cơ bản trong toán học: suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy

2.1.3.1 Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận

Nếu ta có một Quy tắc“Nếu P thì Q”, một Sự kiện P và một Hệ quả Q thì:

- Cho trước thông tin về mối quan hệ giữa P và Q, quy nạp suy ra Quy tắc: “Nếu

P thì Q”

- Cho trước thông tin về P và Quy tắc: “Nếu P thì Q”, diễn dịch suy ra Hệ quả Q

- Cho trước Quy tắc: “Nếu P thì Q” và Hệ quả Q, ngoại suy suy ra Giả thuyết:

“có thể là P”

Chú ý rằng với ngoại suy, có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

 Trường hợp 1: Ngoài quy tắc “Nếu P thì Q”, nếu trong tri thức có sẵn của người học có thêm một số quy tắc: “Nếu K thì Q”, “Nếu H thì Q”… thì ngoại suy có nhiệm vụ chọn ra một giả thuyết có lí nhất trong các giả thuyết “có thể là P”,

“có thể là H”, “có thể là K” Ngoại suy trong trường hợp này được xếp vào loại ngoại suy chọn lựa

Ví dụ 2.1 Đây là ví dụ được Reid (2003, [73]) sử dụng để minh họa cho suy luận

ngoại suy xảy ra trong lớp học toán Trong ví dụ này một GV ở Pháp đang hướng dẫn một lớp học ở cấp độ 4 (HS tuổi từ 13 đến 14) chứng minh định lý Pythagore Các em

đã kết luận được ABCD là hình thoi vì chúng có 4 cạnh bằng nhau Sau đây là đoạn

trao đổi giữa GV và HS:

1 GV: ABCD là hình thoi, chúng ta đã có đủ yếu tố để kết luận, không cần thêm điều gì nữa

Nhưng đó không phải là những gì thầy yêu cầu các em chứng minh Thầy muốn các em chứng mình rằng nó là…

Ở đây ta có một sơ đồ ngoại suy sau:

Kết luận: ABCD là hình thoi, ABCD là hình vuông

Quy tắc: Nếu hình thoi có một góc vuông thì nó là hình vuông

Trường hợp: ABCD có một góc vuông

Có một số điều thú vị trong tình huống này mà chúng tôi muốn nói rõ hơn Thứ nhất là

sự hiện diện của hai Kết luận: một kết luận đã có sẵn từ giả thiết của bài toán và một

kết luận được đề xuất dựa trên quan sát hình vẽ và yêu cầu của GV Đây là một phần

của “hợp đồng didactic” rằng kết luận mà GV muốn HS chứng minh là đúng Thứ hai

là có nhiều Quy tắc khác nhau mà HS có thể chọn lựa, chẳng hạn “nếu hình thoi có hai

đường chéo bằng nhau thì đó là hình vuông”, hoặc “nếu hình thoi có hai góc kề bằng

nhau thì đó là hình vuông” Sử dụng một trong các Quy tắc này có thể sẽ hữu ích hoặc

không hữu ích cho việc chứng minh của HS Nói cách khác, HS cần chọn một giả thuyết “tốt nhất” dựa trên các yếu tố đã có sẵn của bài toán Theo Eco, phép ngoại suy

mà HS sử dụng trong trường hợp này là ngoại suy chọn lựa

 Trường hợp 2: Nếu Quy tắc “Nếu P thì Q” có chiều ngược lại “Nếu Q thì P” thì

giả thuyết ngoại suy không chỉ là một giả thuyết có lí, mà nó còn là giả thuyết

đúng và duy nhất: “Chắc chắn là P” Ngoại suy trong trường hợp này là ngoại suy trực tiếp theo cách phân loại của Eco (1983, [32])