Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn

Phương pháp và tổ chức nghiên cứu Để đạt được những mục đích đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sẽ chọn là: • Thực hiện một phân tch tổng hợp một số công trình nghiên cứu khoa h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

H I H I H I H I

QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH VỀ KHÁI NIỆM VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Lời Cảm Ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán–Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Chí Thanh đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Đặc biệt, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến

Tiến sĩ Lê Văn Tiến, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Tiến

sĩ Đoàn Hữu Hải Phó giáo sư Tiến sĩ Annie Bes ot, Tiến sĩ Alain Biberent, Phó giáo sư Tiến sĩ Claude Comiti đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi tìm hiểu và nghiên cứu về một chuyên ngành rất thú vị – Didactique Toán.

Tiến sĩ Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.

Thầy Trần Anh Dũng- hiệu trưởng, thầy cô tổ Toán cùng các em học sinh khối 10, 11 - trường THPT chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai Thầy cô tổ Toán trường TH Thực hành và trường THPT Bình Long- Bình Phước đã nhiệt tình giúp đỡ và hợp tác khi tôi tiến hành phần thực nghiệm của luận văn.

Các bạn cùng lớp Thư Hương, Anh Dũng, Hữu Tài và gia đình đã luôn nâng đỡ tôi về mọi mặt.

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 1

ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Khái niệm vô hạn được sử dụng khá thường xuyên trong đời sống thường ngày và trong nhiều ngành khoa học khác như Triết học, Vật l, Thiên văn,… Tuy nhiên, “vô hạn” dường như luôn là một khái niệm không được định nghĩa Người ta dùn và thao tác nó t như nó đã tồn tại hiển nhiên và rõ ràng!

Trong phạm vi môn toán ở trường phổ thông, khái niệm vô hạn cũng không phải là một đối tượng đư ïc giảng dạy Tuy nhiên nó lại tác động ngầm ẩn ha tườn minh trong việc học tập nhiều nội dung khác nhau được trải dài từ cấp tểu học đến cấp trung học phổ thông như : xây dựng tập số tự nhiên,xây dựng khái niệm chu vi đường tròn và diện tch hình tròn, tập hợp số thực, sự biến thiên của hàm số, Đặc biệt, trong phạm

vi Giải tch, nhiều nghiên cứu khoa học luận và sư phạm cho th áy rằng sự nảy sinh và phát triển của khái niệm Giới hạn không thể tách rời khái niệm “Vô hạn” (“vô cực”,

“vô cùng”,“vô tận”,…),vô hạn là một trong các yếu tố qua trọng cấu thành nên nghĩa của khái niệm Giới hạn

Chúng tôi tự h ûi : Làm thế nào giáo viên và học sinh tếp cận một khái niệm có vai trò qua trọn nhưng lại không được giảng dạy một cách tường minh như vậy ? Họ hiểu và tha tác khái niệm này như thế nào trong việc dạy học các đối tượng toán học khác

Vì sa nó lại không p ải là một đối tượng được giảng dạy tường minh ?

Những g ïi hỏi trên dẫn chúng tôi tới các câu hỏi khởi đầu cho nghiên cứu như sa :

∗ Khái niệm vô hạn đã có lch sử phát triển như thế nào? Những qua điểm nào về vô hạn đã tồn tại trong lch sử ?

∗ Khái niệm vô hạn đã xuất hiện và tác động như thế nào trong toán học được giảng dạy ở trường p ổ thông ? Trong những tnh huống nào ? Đặc biệt, nó tác động như thế nào trong tnh huống dạy học khái niệm giới hạn ?

∗ Giáo viên và học sinh hiểu ra sa về vô hạn ? Họ ứng xử thế nào trong tnh huốn có sự tác động của đối tượng vô hạn?

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 2

Tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên, theo chúng tôi là thực sự cần thiết và có nhiều lợi ích, vì nó cho phép hiểu rõ hơn nhữn điều kiện và ràng buộc không chỉ đối với bản thân khái niệm vô hạn mà với cả những đối tượn toán học khác gắn lền với khái niệm này

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi của nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tm câu trả lời cho những câu hỏi đã nêu ở trên Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactque Toán.Cụ thể hơn,khái niệm mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức (trong l thuyết nhân chủng học), kh ùi niệm hợp đồng didactc trong l thuyết tnh huống sẽ là các công cụ chủ yếu cho nghiên cứu này

Ngoài ra, câu hỏi đầu tên dẫn tới sự cần thiết thực hiện một ng iên cứu khoa học luận về đối tượng vô hạn

Trong p ạm vi l thuyết đã chọn, các câu hỏi khởi đầu có th å được trình bày lại như sau :

a) Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm vô hạn,những qua điểm nào về khái niệm này có thể được làm rõ qua một phân tch khoa học luận lch sử hình thành và phát triển của đối tượng này ?

b) Mối quan hệ thể chế với đ ái tượn vô hạn đã đ ợc hình thành và tến triển ra sao trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông ? Những quy tắc đặc biệt nào của hợp đồng didactc gắn lền với đối tượng này có thể được làm rõ ?

c) Mối quan hệ cá nhân của giáo viên và h ïc sinh v à kh ùi niệm vô hạn có những đặc trưng nào ? Mối quan hệ thể chế tương ứng ảnh hưởng như thế nào trên các mối q an hệ cá nhân này ?

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Để đạt được những mục đích đề ra, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sẽ chọn là:

• Thực hiện một phân tch tổng hợp một số công trình nghiên cứu khoa học luận đã biết về khái niệm vô hạn để làm rõ những đặc trưng cơ bản trong sự nảy sinh và tến triển của khái niệm này,cũng như những quan điểm về nó đã tồn tại trong lch sử

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 3

Kết quả của nghiên cứu này sẽ là cơ sở ch phân tch tếp theo

• Phân tch chương trình và sách giáo khoa toán ở các bậc học,đặc biệt ở bậc THCS và THPT để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn và sự tến triển của nó qua các cấp lớp

• Xây dựng các tnh huống thực nghiệm cho phép n hiên cứu mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh về đối tượng vô hạn, cũng như ảnh hưởng của mối qua hệ thể chế lên các mối quan hệ cá nhân này

Đặc biệt, thực nghiệm có mục đích đưa vào kiểm chứng tnh thoả đáng của các giả thuyết nghiên cứu sau đây Những giả thuyết này được hình thành từ kết quả của nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu thể chế

• Giả thuyết 1 (về phía học sinh) : Tồn tại ở h ïc sin một “đại số các vô cực” Nói cách khác, học sin giải thích nhữn mong đợi của giáo viên nh là quy àn được thực hiện các p ép toán kiểu đại số trên các vô cực (thỏa thuận ng àm ẩn của h ïp đồng didact que).

• Giả thuyết 2 (về phía giáo viên) : Có một sự phân hóa tro g quan hệ cá nhân của giáo viên v à "đại số các vô cực" Cụ thể, có một bộ phận giáo viên kh âng chấp nh än đại số này, n ưng ngược lại cũng có giáo viên thừa n ận sự tồn tại của nó.

• Giả thuyết 3 :Tồn tại một nhóm các định l công nghệ g én l ền với đối tượng vô hạn, không có mặt tro g sách giáo kh a, nhưn vẫn đ ợc vận dụng bởi giáo viên và học sinh tron việc giải quy át các kiểu nhiệm vụ v à t nh giới hạn.

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn này được tổ chức gồm những phần sa đây : Phần mở đầu, chươ g1, chươn 2, chương 3 và p ần k át luận chun

Phần đặt vấn đề trình b øy những ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát Từ đó, chúng tôi đề xuất mục đích nghiên cứu của luận văn là tm hiểu mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh về một tri thức cụ thể – khái niệm vô hạn

Trong chư ng 1, bằng việc phân tch tổng hợp từ công trình ng iên cứu khoa học luận đã biết về khái niệm vô hạn,chúng tôi làm rõ các đặc trưng khoa học luận lch sử

Luận văn Thạc sĩ: Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn 4

của k ái niệm này.Đặc biệt,chúng tôi sẽ rút ra nh õng quan điểm về vô hạn có thể đã từng tồn tại trong lch sử

Ở chư ng 2,trên cơ sở kết quả chương 1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm vô hạn trong dạy học Toán ở trường phổ thông Việt Nam bằng việc phân

tch chương trình và sách giáo khoa.Từ kết quả của chương 1 và chương này chúng tôi sẽ đưa ra giả thuyết n hiên cứu và những th ïc nghiệm tương ứng

Ch ơng 3 là chương thực ng iệm Chúng tôi đ a ra hai bộ câu hỏi, một bộ dành cho giáo viên đã từng tham gia giản dạy toán khối 11,bộ còn lại dành cho học sinh cả hai khối lớp 1 và 11 Trong chương này, chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tch chi tết các thực nghiệm để từ đó rút ra những đặc trưng của mối qua h ä cá nhân của giáo viên và học sinh với khái niệm vô hạn, cũng như ảnh hưởng của mối qua h ä thể chế lên các mối qua hệ cá nhân này Đồng thời qua thực nghiệm chúng tôi cũng khẳng định tnh xác đáng của giả thuyết thực nghiệm đã nêu lên trong chương trước

Phần k át luận nêu lên một cách tổng q át các kết quả đạt được từ việc ph ân tch khoa h ïc luận, từ việc phân tch chương trình và sách giáo khoa trong thể chế dạy học

ở Việt Nam,từ các thực nghiệm dành cho giáo viên và học sinh

Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM VÔ HẠN

I Mục đích phân tích

Trong chư ng này,chúng tôi sẽ phân tch và tổng hợp các kết quả có được từ một số công trình nghiên cứu về khoa học lu än lch sử của khái niệm vô hạn n ằm làm rõ nhữn đặc trưng cơ bản của khái niệm này Cụ thể, mục đích chủ yếu là tm câu trả lời cho các câu hỏi sa :

• Khái niệm vô hạn xuất hiện và phát triển qua các thời kì như thế nào? Trong phạm

vi và những kiểu bài toán nào?

• Những đối tượng,những khái niệm toán học nào có mối qua hệ với khái niệm vô hạn,đặt điều kiện ha ràng buộc cho sự nảy sinh và phát triển của nó ?

• Những q an điểm nào về khái niệm vô hạn đã xuất hiện? Ch ùng tến triển ra sa ? Điểm tựa cho tổng h ïp v ø phân tch này là các tài lệu [3],[6],[15],[17] – [22],

I Đặc trưng khoa học luận của khái niệm vô hạn

Lịch sử hình thành khái niệm vô hạn được bắt đầu từ thời Hylạp cổ đại cho đ án khi có sự ra đời lý thuyết vô h ïn của G Ca tor vào cuối thế kỷ XIX Lịch sử này có thể chia thành ba giai đoạn chủ yếu sa đây:

• Giai đ ạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đ án thế kỷ XVI

• Giai đoạn 2: Từ thế kỷ XVI đến giữa thế kỷ XIX

• Giai đoạn 3: Từ giữa thế kỷ XIX trở về sau

1 Giai đoạn 1: Từ thời Hy ạp cổ đại đến thế kỷ XVI – Vô hạn tiềm năng

Cho đến nay không có một vết tch nào của b ổi đầu nền văn minh đề cập hoặc bàn luận về khái niệm vô hạn Vì thế, các nghiên cứu k oa học luận đều bắt đầu từ

Hy lạp cổ đại Thời kì này đánh dấu sự xuất hiện của khái niệm vô hạn trong n iều phạm vi khác nha mà chúng tôi sẽ đề cập dưới đây

™ Phạm vi triết học : Ana imandre (610 – 546 TCN), một nhà triết học duy vật của trư øng phái Miet cho rằng nguồn gốc của thế giới không thể là vật chất xác định như n ớc hoặc đất mà phải là vật chất kh ân xác định – cái mà ông gọi làVô hạn

(Apeiron) Từ Apeiron này vừa chỉ vô hạn, vừa chỉ sự không xác định Ông cho rằng vô hạn là vĩnh viễn, không sinh ra cũng như không mất đi Vô hạn k ông có bắt đầu cũng không có kết thúc.Vô hạn luôn luôn vận động không bao giờ ng øng nghỉ.Trong quá trình vận động muôn thuở này thế giới sẽ được hìn thành

Như vậy,với mong muốn giải thích nguồn gốc của thế giới,lần đầu tên khái niệm

v â hạn được dùng để chỉ một dạng vật chất không x ùc định.Đó là cơ sở đầu tên của thế giới. Dạng vật chất này chỉ hiểu đư ïc bằng tưởng tượng vì nó là không xác định được và rất trừu tượng

™ Phạm vi vật ý: Liên quan đến không gian, thời gian và chất iệu có hai qu n niệm trái ngược nhau

Một vài trường phái cho rằng không gia , thời gian và chất lệu có thể chia nhỏ một cách vô hạn Với họ, v â hạn được hiểu như một “quá trình”g én l ền v ùi việc

“chia” l ên tục, không c ù điểm kết thúc. Chính khả năng nhận thức bề ngoài về sự chia nhỏ vô tận này đã mở ra ý tưởng về cái nhỏ vô cùng và quá trìn vô hạn.Ý tưởng này được thể hiện rõ ràng hơ trong phạm vi toán học mà ta sẽ đề cập trong phần sau.Tuy nhiên cũng có quan niệm ngược lại - q an niệm nguy ân tử cho rằng không gia ,thời gia và vật chất có những yếu tố ba đầu khôn thể chia nhỏ được

Zenon (495 – 430 TCN) đã đưa ra các nghịch lý nhằm vạch rõ những mâu thu ãn trong cả hai quan niệm trên

Chẳng hạn, để chỉ ra tnh phi lý của qua điểm lên tục, ông đưa ra nghịch l Achi is đ ổi rùa : nếu trước khi xuất p át,Rùa ở trước Achiis một khoảng nào đó,thì khôn ba giờ Achiis có thể đ ổi kịp rùa Theo ông,Achiis đã thua vì trước khi vượt qua con rùa, Achiis phải chạy đến điểm xuất phát ban đầu của Rùa Nhưng khi chạy đến chỗ đó thì Rùa đã đi được một đoạn rồi và điều này có thể tái lập ba nhiêu lần cũng được Nếu ta ch rằng vũ trụ và thời gian có thể chia mãi đến vô tận như quađiểm lên tục, thì b át chấp những điều này, tro g th ïc tế Achiis luôn chiến thắng Rùa, hoặc kết th ùc bởi việc bắt kịp Rùa,hoặc í nh át thì cũng tến về phía Rùa ở mọi mức độ gần mà anh ta muốn

Ông cũng đưa ra nghịch lý “ chia đôi” để vạch rõ sự phi l của quan điểm nguyên tử : “ Cái gì vận động đến đích thì trước hết phải đi qua phân nửa con đường đến đích

ấy Còn phân n ûa còn lại, trư ùc hết phải đi qua phân nửa của ph ân nửa ấy…một cách

vô cùng” 1 (theo [15] trang tr.41) Su ra chuyển động không ba giờ có th å có được kể cả nga từ lúc bắt đầu.Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giải q yết nhữn mâu thuẫn của hai quan niệm trên, nhưn một mặt chúng ẩn chứa một quá trình vô hạn,mặt khác chúng gây ra sự lo lắng cho các nhà toán học thời đó Chính vì thế họ đã tm cách lẩn tránh những vấn đề lên qua tới khái niệm vô hạn

™ Phạm vi toán học :

Đầu tên, chúng tôi muốn đề cập đến ĩnh vực số bởi đây được xem là lnh vực khởi điểm của toán học Vào thế kỷ I I trước CN, một bước tến quan trọng trong sự phát triển khái niệm số tự nhiên là sự nhận thức được tnh vô hạn của dãy số này.Tính vô hạn của dãy số tự nhiên được hình dung bằng việc “ ếm” các số trong dãy số tự nhiên v ø không thể “đếm” hết được Vô hạn được hiểu qua hình ảnh nối d øi v â tận của dãy số tự nhiên. Về dãy các số nguyên tố, Euclde đã chứng minh số lượng các số nguyên tố là vô hạn bằng một phươ g pháp kỳ diệu – ph ơng p áp phản chứng.Cách chứn minh đó như sau:

Trư ùc hết ôn giả thiết số lư ïn các số n uy ân tố là hữu hạn , tức là chỉ có các số n uy ân tố sa

đ ây: 2, 3, 5, …, p.(*) tro g đ ù p là số n uy ân tố lớn n ất Ôn lấy t ch của tất cả các số n uy ân tố ấy rồi cộn thêm 1 và g ïi k át q ả là A : A=2.3.5.7 p+1

Vì A > 1 nên A p ải có một ư ùc n uy ân tố q n øo đ ù Dễ th áy các số n uy ân tố tro g (*) đều kh ân

p ải là ư ùc của A Vậy q là số n uy ân tố kh ùc tất cả các số n uy ân tố tro g (*).Điều đ ù trái với giả thiết Vậy số lư ïn các số n uy ân tố là vô h ïn (theo [6] tra g 22,23)

Ngoài việc khẳng định được tnh vô hạn của dãy các số ngu ên tố, chứng minh này còn ẩn chứa (ở giả thiết phản chứng) một cách hiểu về vô hạn: v â hạn là phủ định của hữu hạn

Như vậy, ở thời điểm này, trong phạm vi lý thuyết số, v â hạn được hiểu là cái gì đó lớn hơn tất cả các số Vô hạn là phủ định của hữu hạn.

Trở lại những n hịch lý của Zenon, ta sẽ xem chúng đã gây ra những “sóng gió”,khó khăn gì cho toán học

Nghịch lý “chia đôi”: Nếu có thể cắt đ âi một đ ái tư ïn , b èn cách lặp q i trìn n øy một cách vô h ïn, thì v à mặt to ùn h ïc lu ân còn lại một đ ạn n øo đ ù Ng ợc lại v à mặt vật lý ta biết rằn s õ có một th øi điểm ta kh ân còn có thể cắt đ âi đ ợc n õa (theo [17] Khó kh ên là ở chỗ ta không

1 Trích theo “Bút ký triết học”, Lênin toàn tập, t 29, NXB Tiến bộ, M.1981, tr.272

2 4 8

− − − −⋅⋅⋅ không để lại một cái gì cả,nga cả khi trong thực tế nó vẫn còn lại một cái gì đó rất bé Chính kiểu suy nghĩ này sa đó đã dẫn tới cách viết 1 1 1 1 0

Nếu như trường phái Pytagore cho rằng đoạn thẳng là tập hợp những yếu tố “không chia nhỏ được”, thì Zenon đ õ bác b û bằng lập luận sau: “Giả sử đ ạn th ún g àm một số vô

h ïn các p ần tử kh ân chia n ỏ đ ợc, khi đ ù nếu đ ä d øi mỗi p ần tử n øy b èn kh ân (tức mỗi p ần tử

đ ù là một điểm) thì đ ä d øi của đ ạn th ún b èn kh ân Còn nếu đ ä d øi của mỗi p ần tử là một đ ïi lư ïn

n øo đ ù thì đ ä d øi của đ ạn th ún p ải là vô cùn lớn” (theo [3] tr.20) Lập luận này một mặt chứng tỏ rằng không nên định nghĩa độ dài đoạn thẳng là tổng độ dài các p ần tử khôn chia nhỏ được,mặt khác nó cũng thể hiện quan điểm cho rằng số đo của một độ dài có thể nhận một giá trị rất lớn nào đó thật trừu tượng,không thể chỉ ra cụ thể được

Vô hạn được gán cho giá trị v â cùng lớn.

2 Bút ký triết học, sđd, tr.272

Do ảnh hưởng của qua niệm cho rằng có thể chia nhỏ vô tận không gia , thời gian và chất lệu đã mở ra ý tưởng về cái nhỏ vô cùn và qu ù trình vô hạn. Tuy nhiên khái niệm vô hạn vẫn bị né tránh Trong tác phẩm “Những ng y ân lý cơ bản” của Eucl d

(330 – 275TCN), chính định nghĩa về điểm (điểm là cái không có bộ ph än) (theo [22],

tr.3) đã có những ý tư ûng của việc chia không gian ra một cách vô tận Trong một tnh huốn khác, Eucld tránh khái niệm vô hạn khi định nghĩa một đường bằng cách nói rằng: khi cần thiết, đường có thể k ùo d øi bao xa cũng đư ïc) (theo [22], tr 3) Chẳng hạn,tên đề về những đường thẳng song song cũng đòi hỏi những đường này phải được kéo dài vô tận Việc kéo dài ra xa, kéo dài vô tận chỉ có thể hiểu bằng trực giác ch ù khôn thể thực hiện được.Vô hạn vẫn còn là vô hạn tềm năng.Vô hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng.

Ar himedes cũng đã chọn giải pháp lẩn tránh vấn đề vô hạn bằng cách dùng phương pháp “ ét cạn” để giải các bài toán về độ dài, diện tch, thể tch của các hình được giới hạn bởi những đường cong Đây là phư ng pháp được đề x ất bởi Eudoxe

(408 – 35 TCN) dựa trên nguyên tắc chia nhỏ vô hạn các đ ïi lượn : Do việc bỏ đi lên

t ếp một nửa ho ëc hơn của một đối tượng, mà cỡ của nó có thể bị nhỏ dần vô hạn.

Phương pháp này loại trừ tnh vô hạn bằng cách nh ø tới các suy luận kéo theo một số hữu hạn các bước và các tha tác với hữu hạn Vấn đề là chọn một số thực ε và chỉ ra rằng ta có thể giải bài toán với ε này Sa đó chỉ ra là ta có thể giải bài toán nhờ vào một suy luận tương tự cho mọi ε bé tùy ý.Vì vậy,với Archimedes không có vô hạn.

Kĩ thuật trong phương pháp “vét cạn” này đã chứa đựng ngầm ẩn tư tưởng chuyển qua giới h ïn, là động cơ thúc đẩy các nhà toán h ïc định nghĩa minh bạch khái niệm giới hạn – một kh ùi niệm làm nền tảng cho việc p át triển l thuyết về p ép tnh vi phân ở thế kỉ XVI Kết luận về điều này trong luận văn Thạc sĩ của Nguyễn Thành Long (200 ) như sa : Kỹ th ật của p ư n p áp n øy đ õ b o h øm ý tư ûn của lý th y át giới h ïn v à

sa n øy b ûi n ù ch ùa đ ïn y áu tố rất q a trọn của kh ùi niệm giới h ïn là:có thể t m đ ợc giá trị g àn

đ ùn của một đ ïi lư ïn với đ ä chín xác b o n iêu cũn đ ợc (theo [14],tr.12)

Như vậy, giới hạn là một khái niệm gắn lền với khái niệm vô hạn và lên tục Tuy nhiên giới hạn lúc này chưa được định nghĩa tường minh mà mới thể hiện ngầm ẩn qua

tư tưởn chuyển qua giới hạn.Với k ái niệm giới hạn thì vô hạn có vai trò vừa như một chướng n ại vừa như một động cơ.Kh âng thể hiểu được khái niệm giới h ïn nếu không có qua niệm thỏa đáng về vô hạn Mặt khác, chính vì lẩn tránh sự vô hạn mà

Chẳn h ïn ở h á kỷ V,Antfo tđ õ giảiq y átb øito ùn cầu p ư ng hình ròn n ư sa :

“Ta h õy n äi t ếp tro g đ ờn tròn một đ giác đều; đ ái với đ giác đều n øy ta có thể b èn th ớc và comp d ïn một hìn vu ân có cùn diện t ch Bây giờ ta lại n äi t ếp tro g đ ờn tròn một đ giác đều có cạn g áp đ âi, và d ïn hìn vu ân có cùn diện t ch với n ù Nh n vì hìn tròn chín là đ giác đều với số cạn là vô h ïn, ch nên từ đ ù suy ra ta lu ân lu ân có thể d ïn hìn vu ân có diện t ch b èn diện

t ch của hìn tròn (theo[3],tr.19,20)

Như vậy Antfont đã từ một mệnh đề đún đối với đa giác đ àu có số cạn hữu hạn chuyển thành một mệnh đề với đa giác đều có số cạn vô hạn,và nga hồi đó lập luận của ông đã không được thừa nhận

Với bài toán Achiis đuổi rùa của D.Zenon : Giả sử Achiis chạy nhanh hơn rùa 100 lần Nếu Achiis ở cách rùa 100 km và hai bên cùng chạy một lúc thì lực sĩ Achiis có đuổi kịp rùa không? D Zenon lý giải rằng, khi Achiis chạy được 100km, tức là đến được chỗ rùa xuất phát (R) thì rùa đã chạy được 1km (R1) Achiis chạy thêm được 1km thì rùa đã chạy đến R2 cách R1 là 1/100 km, …Do vậy giữa Achiis và rùa luôn có khoảng cách và không ba giờ Achiis đuổi kịp rùa! Nghịch l này xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng vô hạn sau đây không thể là một số hữu hạn:

(tổn th øi gian Achi is chạy các quãn đườn AR, RR 1 , R 1 R 2 ,…)

Cũng trong giai đoạn này, nhiều nhà toán học trong đó có Aristote, đã đối lập khái niệm “toàn thể”, khái niệm “một” v ùi khái niệm “vô số”, khái niệm “vô hạn” Nhiều nghịch l mới được trình bày để làm rõ khái niệm “vô hạn h ønh đ äng” – vô hạn tồn tại

ngoài tư duy – như là một cái gì phi l.Chẳng hạn,suy luận sau đ õ được đề nghị :

Nếu tổn thể của các số n uy ân là vô h ïn, thì tổn thể các số n uy ân ch ün cũn n ư vậy Nh n các số n uy ân ch ün là một b ä p ận của các số n uy ân và vì to øn thể thì lớn h n b ä p ận, nên ta có một vô

h ïn lớn h n một vô h ïn kh ùc (theo [17]

Tất cả các tến trình tha tác phép tnh trên các vô hạn, so sánh các vô hạn đều khôn có nghĩa với họ, vì chúng dẫn tới việc xem xét lại nguyên tắc “toàn thể phải lớn

hơn bộ phận”.

Như vậy vô hạn tềm năng đến lúc này vẫn ngự trị trong su nghĩ của hầu hết các nhà toán học

Tuy nhiên sau đó, mầm mống của “vô hạn hành độn ” cũng xuất hiện Theo Aristote,vô hạn có thể hiện diện dưới nhiều hình th ùc khác nh u

Ví dụ ta có thể có một vô cực bằng phép cộng,chỉ cần thêm vào bất cứ số nào,ta sẽ có được một giá trị v ợt quá bất kì số nào khác không có giới hạn nào cả

Ta cũng có thể tưởng tượng vô hạn b èng phép chia : xét một sợi dây như một sợi gồm hai đoạn bằng nh u nhưng có vô số đoạn nối tếp nha thành sợi dây đó

Tiếp theo họ đưa “phép đếm” vào khái niệm vô hạn, với mỗi số tự nhiên, ta có thể đặt tương ứng với một số tự nhiên chẵn (n6 2n).Tương ứng này là duy nhất,mỗi số tự nhiên chỉ tương ứng với một v ø chỉ một số tự nhiên ch ün và ngư ïc lại.Do đ ù ta có một sự bằng nha về lực lượng: có nhiều số tự nhiên như là số tự nhiên chẵn

Ở thế kỉ 9, cũng như Aristote, Thabit Ibn Qur a – một trong những n à toán học lớn nhất Ảrập thời cổ đại – đã trình bày những xem xét về tnh không thể đếm hết của các tập vô hạn. Ông đã viết rằng vô hạn có thể bằng hoặc gấp đôi vô hạn (tương ứng giữa tập số tự n iên và tập số tự nhiên chẵn là một ví dụ), cũng có thể gấp ba lần vô hạn Trong khi mà trước đó kiểu l lẽ này đã được dùng để chống lại tnh vô hạn, thì bây giờ nó lại mở ra cho ôn những p ép tnh mới Ông đã cố gắn phát triển một hệ thống toán học trong đó coi vô hạn như một số mà người ta có thể áp dụng những phép

tnh cổ điển như phép nhân, phép cộng, h y phép lũy thừa Dù sao thì lý thuyết này cũng không thực sự thành công và chỉ một nghìn năm sa đó một số học của vô hạn mới được thiết lập bởi Cantor

Vào thời kì này, ở phươn Tây người ta lờ đi tất cả lý thuyết của Achimede và Aristote trong một xã hội phải chiụ sự can thiệp quá mạnh của nhà thờ (và quá có hại cho khoa học).Việc tm hiểu về vô hạn chỉ dừng lại ở tnh lý thuyết của vấn đề Phần lớn các nh ø toán học của thời này thường cũng là những tu sĩ nhà thờ đã coi vô hạn như là đại diện của chúa Spinoza viết rằng: “Tôi cảm nhận chúa là vô h ïn” (theo [21],tr.1) Descartes đã dùng v â hạn để chứng minh sự tồn tại của chúa, với ông chúa là tồn tại mãi mãi trong chúng ta và đến vô hạn

Dù có rất nhiều khó khăn,một vài nhà khoa học đã làm việc về mặt toán học thuần túy trên vô hạn.Ở thế kỉ XI I,Robert Gros eteste – thầy tu,nhà bác học người Anh đã xem một v øi v â hạn lớn hơn các vô hạn khác và cho rằng ngư ùi ta có thể so sánh chúng Ví dụ tập hợp các số nguyên là vô hạn và nó phải lớn hơn tập các số nguyên chẵn, mà tập này dĩ nhiên cũng là vô hạn Theo nghĩa nào đó,tác phẩm của ông cũng có ích vì ông là người đầu tên đã thấy rằng vô hạn có vô số cách khác nha 600 năm trước George Cantor

2 Giai đoạn2 : Từ thế kỷ XVI đến giữa thế kỷ XIX- sự xuất hiện của ∞.

Tư tưởng của các nhà toán học cổ Hylạp mãi đến th á kỉ XVI mới được các nhà toán học Châu Âu biết đến, kế thừa và phát triển Từ đây bắt đầu một thời kỳ mà đề cập đến khái niệm vô hạn không còn bị coi là cấm kỵ như trước đây

Người đầu tên đề cập một cách có ý thức tới thực chất của v â hạn có lẽ là nhà bác học vĩ đại Gal leo Gal léi(1564 – 1642).Ông đ a toàn bộ số nguyên dương xếp tương ứng từng cặp với bình phương của chúng thì thấy chúng nhiều như nha :

Nhưng rõ ràng dãy bình ph ơng số tự nhiên chỉ là một bộ p ận của dãy số nguyên

dương Mà bộ phận thì làm sao bằng toàn thể được G Gallei cảm thấy bị mê hoặc vì điều này Nhưng cho đến lúc qua đời ông vẫn chưa tm ra đầu mối của vấn đề Vào năm 1600 ông đề nghị gộp số vô hạn vào những khoảng trống vô cùng nhỏ Nhưng ông đã hiểu được vấn đề là k ông thể tha tác trên vô hạn như với hữu hạn.Ôn nói “ thật

là sai khi n ùi đến nh õng số (lượng) vô hạn n ư là một số lớn hơn, nhỏ hơn h ặc bằng với những số kh ùc.” (the [22], tr.5) Bằng cái tài nhìn thấu mọi chuyện, ông quả quyết rằng vô hạn kh âng phải là một khái niệm phi l, nhưng đúng hơn là nó tuân th o một qui tắc riêng.Nhưng nh õng qui tắc ấy là gì thì không được ông làm rõ

Leonardo Fibonac i (1180 –1250) đã chứng minh rằng nếu không thừa nhận nhữn số có dạng a± b ,với a,b là số hữu t thì một phương trình bậc ba không thể giải được Số vô t xuất hiện khi giải những p ương trình bậc ba đã được thừa nhận,khôn như trước đây nó bị xem là số kh ân chân chính. Do đó nh cầu hiểu tường minh về số vô t và những ý tưởng về vô hạn đã trở nên rõ ràng hơn

Michael Stifel (1487 – 1567) trong quyển sách Ari hmet ca Integra (Phép t nh số học) của mình xuất bản năm 1544,đã đư ra nhận xét sa đây về số vô t : Có n ữn số vô t vì ch ùn đ ợc đ a vào tro g việc ch ùn min n ữn hìn v õ hìn h ïc Nh n làm sa để ch ùn có thể tồn tại đ ợc b ûi khi b ïn cố g én ch một sự biểu diễn th äp p ân thì ch ùn s õ biến mất n ay lập tức.

Ch ùn ta kh ân thể n ém giữ ch ùn đ ợc Do vậy, một số vô t kh ân p ải là một co số th ïc sự, mà n ù

n èm ẩn tro g đ ùm mây của vô cùn (theo [22], tr.5) Phải chăng các số không tồn tại trong

“hiện thực” thì thuộc về vô hạn? Điều này là điển hình cho sự lộn xộn tron việc hiểu bản chất của số vô t và sự lên hệ cơ bản của nó với vô hạn Đây cũng là điều hiển nhiên bởi mãi cho đến giữa thế kỷ 19 một lý thuy át đầy đủ v à số vô t mới ra đời

John Wal is (1616-1 30) là một nh ø toán học quan trọng nhất tron thế kỷ 17 của nước An , sau Newton Trong tác phẩm Ari hmet ca Inf ni orum (Số h ïc các vô cùng) của mình, ông đã mở rộng công trình của Tor icel i (1608-1647) và của Caval eri

(1598-164 ) về nh õn số không thể chia được bằng một bước nhảy vĩ đại của phương pháp chứng minh qui nạp,ông chỉ ra rằng:

tch Thực ra, kí hiệu ∞ đã được sử dụng bởi người La Mã để chỉ 10 0 và sa đó họ dùng để chỉ một số rất lớn Với họ ∞ là sốlớn hơn tất cả các số. Phải chăng khi lấy lại

kí hiệu này John Walis cũng có ý qua niệm về vô hạn giống người La Mã?

Thế kỷ 17 đã đánh dấu bằng sự ra đời của phương pháp tọa độ được đề xuất và nghiên cứu bởi Fermat (1601 – 1665) và Descartes (1596 – 165 ).Đây là p ương pháp dùng đ å chuyển đ åi các vấn đề hình học sa g phạm vi số Bằng cách đưa vào các số,khái niệm vô hạn đã được đưa vào

Từ giữa thế kỷ XVI cho đến cuối thế kỷ XVI I, toán học đã có những tến bộ quan trọng về mặt lý thu ết Đầu tên là sự ra đ øi và phát triển của phép tnh vô cùng bé đã được Newton và Leib iz hệ thống hoá.Qua nửa đầu thế kỷ 18,một phân môn mới của toán học ra đời : Giải tích, được đánh dấu bởi sự sát nhập vô cùng chặt chẽ của phép

tnh vô cùng bé và đại số Phần lớn những k át quả của thời kỳ này thuộc về người

khổn lồ Euler và La ra ge Người ta bắt đầu nắm được việc cắt nhỏ các đại lượng ngày càng bé và tnh tổng của chúng.Điều này dùng cho việc tnh diện tch và thể tch : Đó là phép tnh tch phân.Phải chăng vô hạn đã được thuần hóa từ đó? Tuy nhiên vì mải theo đuổi những phép tnh mới nên các nhà toán học như Newto , Leibniz, anh

em nhà Bernouli, Euler và những n ười khác đã í quan tâm đến bất kỳ lý thuyết nào về giới hạn và cái vô hạn Khái niệm vô hạn đã xuất hiện tườn min nh ng sự xuất hiện của ∞ trong t n toán vẫn có thể bị qui thành ng ịch lý.Chẳng hạn

Xét hai chuỗi được Euler nghiên cứu:

2 3 2

Bolzano (1781 –1848) cho rằng vô hạn và hữu hạn có vai trò như nhau.Ông cũng là ng ời đầu tên bảo vệ ý kiến theo đó vô hạn có thể được đưa v øo tnh toán trong toán học, đặc biệt là trong tnh toán vô cùng bé.Nhưng năm 1831 – Carl Frederich Gaus

(1777 – 1855) đã không đồng ý với ý kiến này: “ Tôi p ản đ ái việc d øn một số vô cực n ư là một đ ái tư ïn th ïc sự; Điều n øy là kh ân b o giờ đ ợc ch p ép tro g to ùn h ïc Vô cực chỉ là cách n ùi, mà tro g cách n ùi n øy có một cách n ùi v à n ữn giới h ïn là đ ùn đ én, ch éc ch én đ ù là n ữn t số có thể đ ït đ ợc g àn b èn n ư mo g mu án, tro g khi đ ù, n ữn cách n ùi kh ùc thì đ ợc ch p ép tăn lên mà

kh ân có biên giới ” (theo[22],tr.11).Như vậy có thể hiểu rằng vô hạn tềm năng chỉ là cách n ùi,không tồn tại trong thế giới vật lý

3 Giai đoạn 3 : Từ giữa thế kỷ XIX trở về sau – Vô hạn hành động

Vấn đề về chuỗi lượn giác đã được đề cập đến ở thế kỷ 18 bởi Euler,D’Alembert,Claira t và Daniel Bernouli Tuy nhiên việc biểu diễn hàm số bằng một chuỗi lượng giác là vấn đề gây ra sự tranh cãi lâu dài Mãi cho đến đầu thế kỷ 19,vấn đ à này mới được J Fourier (1768 – 18 0) giải quyết cùng với sự hình thành lý thuyết về chuỗi Fourier Ông đã cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diễn đ ợc bởi một chuỗi lượng giác (ch ù ý là Fourier x m hàm số theo nghĩa hẹp hơn nhiều so với chúng ta ngày nay Theo ông, một h øm số là hàm l ên tục từng mảnh, diễn tả bằng một số hữu hạn n ững mản hàm phân t ch đư ïc) (theo [22] tr.10).Nhưng câu hỏi của ngày đó và cũng như trước đây đã đặt ra là: Phân lo ïi những hàm số mà chuỗi Fo rier của nó hội tụ.Câu hỏi đơn giản này đã có một tác động sâu sắc đ ái với sự phát triển của giải tch và the một nghĩa nào đó nó bắt buộc sự chính xác trên nhiều vấn đề, đầu tên là những tư tưởng của sự lên tục, rồi đến sự định nghĩa về số, và cuối cùng là khái niệm tập hợp Điều này tự nó đã b ộc các nhà toán học điều chỉnh trở lại khái niệm v â hạn – đó phải là v â hạn hành động.Phải chăng đây chính là nguồn gốc của vô hạn?

Đóng góp của Dedekind trong việc n hiên cứu vấn đề vô h ïn hành động có nguồn gốc từ công trình của ông về so sánh hai tập hợp Ông đã khẳng định rằng tên đề

“Toàn thể thì lớn hơn bộ phận” không phải lúc nào cũng đúng Ông cũng là người đã đưa ra khái niệm tương ứn một–một (song ánh) Từ khái niệm này mà George Cantor (184 – 19 8)–học trò của Dedekind–đã tấn công thực sự vào vấn đề vô hạn.Nghiên cứu xuất sắc của G.Cantor bắt đầu từ năm 18 4 Ông đã dành th øi gia và sự nỗ lực của mình đối với những khía cạnh thuộc lý thuyết tập hợp Trên cơ sở khái niệm tương ứng một – một,ông định nghĩa :

Một tập hợp là v â hạn nếu c ù một song ánh từ nó tới một trong các tập c n của nó.Chẳng hạn, tập các số tự nhiên là vô hạn vì có một song ánh giữa nó và tập các số tự nhiên chẵn (n6 2n).Đây là một trong n ững ví dụ chứng tỏ rằng tên đề bộ phận – toàn thể không phải luôn đúng

Như vậy khái niệm vô hạn đã không được định nghĩa một cách độc lập mà luôn gắn

lền với khái niệm tập hợp, khái niệm song ánh Cũng giống như định nghĩa phư ng trình gắn với khái niệm đẳng thức.

Với phương pháp lập tương ứng một – một,Ca tor đã chứng minh được:

• Tập hợp các số h õu t là tương ứng một – một với tập các số tự nhiên

Tiếp đó,ông ký hiệu ℵ0 (alep – không) là bản số của tập `(alep là mẫu tự đầu tên của t ếng Hêbrơ). Việc đặt tên bản số của ` mở ra một con đường vào số học của v â hạn cũng như việc tm ra số kh âng (0) đã mở đường vào p ép tnh Vô hạn giờ đây có thể hiểu à ực ượng của một tập hợp vô hạn. Khái niệm vô hạn đã cách mạng hóa các khái niệm trước, do từ na vô hạn được x û l như là một tổng thể : Đó là vô hạn hành động.

Xuất phát từ n ững khái niệm đơn giản: tập hợp vô hạn, hai tập hợp tương đương,lực lượng của tập hợp, alep – không, Ca tor đã xây dựng số học “siêu hạn” (transfini) thuật ngữ này do chính ông đưa ra)

Câu hỏi mà ông đặt ra tếp theo là có tập hợp mà ực ượng của nó ớn hơn ực lượng ℵ0 của tập số tự nhiên không?

Xuất phát từ tập P có n phần tử, ta có số tập con của P là 2n Lại lấy 2n tập hợp con này làm các phần tử của tập hợp mà chúng ta gọi là tập hợp số mũ của tập P.Như vậy lực lượng của tập h ïp số mũ là 2n.Ta mở rộng số phần tử của P là vô hạn có lực lượng là ℵ0, thì lực lượng của tập số mũ của nó cũng có thể viết một cách hình thức là 2ℵ0.Vào năm 1874,G.Ca tor đã chứng min được 0

0

2ℵ > ℵ Như vậy chúng ta đã đư ïc một số 2ℵ0 lớn hơn ℵ0,Ca tor ký hiệu là ℵ1.Cứ tếp tục dùn phương pháp tm tập hợp số mũ, chúng ta lại n ận được những lực lượng vô hạn ℵ ℵ2, 3 lớn h n ℵ1 Việc làm này của Ca tor không những đ õ chứng tỏ rằng tồn tại nhiều tập hợp có lực lượng lớn hơn 0

ℵ mà còn chỉ rõ cách tm ra những tập hợp này.Kết quả của qui trình này là một “gia

tộc alep” được tạo ra:

0, 1, 2, 3,

trong đó đời thứ n ất ℵ0 là vô hạn đếm được, và đời thứ hai ℵ1 sau này được ông xác định là lực lượn của tập số th ïc – vô hạn kh âng đếm đư ïc Như vậy Ca tor đã khốn chế hai cấp bậc của vô hạn đó là: vô hạn đếm được và vô hạn không đếm được.Tiếp đến, một câu hỏi được Cantor đặt ra là có tồn tại một tập hợp có ực ượng lớn hơn ℵ0 nhưng nhỏ hơn ℵ1 không? Ông bắt đầu tm một tập hợp có lực lượng ở giữa hai tập hợp này (thường gọi là giả thiết Ca tor nhưng cho đến lúc qua đời ông cũng chưa tm được một tập hợp nào như vậy Vấn đề n øy đã được làm rõ bởi Kurt Godel vào năm 1938 và Paul Cohen vào năm 1963 Godel thừa n ận giữa tập h ïp đếm được và tập hợp contnum (không đếm được) có tồn tại một tập hợp trung gian h y không cũng không hề mâu thuẫn với hệ tên đề của lý thuyết tập hợp.Còn P.Cohen lại chứng minh được rằng giữa tập hợp đếm được và tập hợp contnum kh ân thể chứng minh có tồn tại một tập hợp trung gia mà cũng khôn bác bỏ được giả thuy át này. Vậy người ta có thể trả lời “có” hoặc “không” cho câu hỏi trên Do vậy, tùy thuộc vào việc người ta xem giả thuyết này đún hay sai mà họ sẽ tạo ra những lý thuy át toán học khác nhau.Vì thế,người ta không thể thuần hoá các vô hạn nh ø vào một số hữu hạn các tên đề của lý thuyết tập hợp.Vô hạn thực sự là không thể chế ngự được,nó là một thế giới

“ngông cuồng”!

I I Kết Luận

Nghiên cứu trên đã cho phép làm rõ một số đặc trưng khoa học luận của khái niệm vô hạn.Chúng tôi điểm lại dưới đây những kết quả chính của nghiên cứu này

1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Khái niệm vô hạn đã xuất hiện và phát triển theo ba giai đoạn

¾ Giai đoạn 1 (từ Hy lạp cổ đại đến thế k û XVI )

Vô hạn trong giai đoạn này là vô hạn tềm năng,tức chỉ tồn tại trong suy n hĩ,trong trí tưởng tượng của con người Do vậy, nó là một cái gì đó khôn thể hiểu được một cách rõ ràng,không thể đạt tới

Tuy nhiên, qua niệm coi vô hạn là vô hạn hàn động cũng đã bắt đầu xuất hiện,nhưng chưa được nghiên cứu một cách bản chất,vì thế nó không có sức thuyết phục

¾ Giai đoạn 2 (từ thế k û XVI đến giữa thế k û XIX)

Cùng với sự phát triển của các ngành toán học kh ùc nha như hình học giải tch,giải tch,vô hạn đã được thuần hóa.Nó không còn là một khái niệm chỉ tồn tại trong tư duy nữa Vô hạn đã được gọi tên và có kí hiệu,được xử dụng rộng rãi trong quá trình

tnh toán giải tch.Tuy n iên,vô hạn vẫn chưa được định nghĩa,chưa phải là đối tượng nghiên cứu của toán học n ân nó lấy cơ chế của một khái niệm gần toán (paramathematque)

¾ Giai đoạn 3 (từ giữa thế k û XIX trở v à sa )

Đến giai đoạn này, vô hạn chính thức có cơ chế của một khái niệm toán học Nó vừa là đối tượng, vừa là công cụ của ho ït động toán h ïc Nó được định n hĩa nhờ vào khái niệm tương ứng 1 - 1, n ưng không ở dạng độc lập mà luôn gắn lền với định nghĩa khái niệm Tập hợp vô hạn

2 Phạm vi tác động và các b øi toán chủ y áu c ù l ên quan

Triết học : Khi giải thích nguồn gốc của thế giới theo qu n điểm duy vật,nhà triết học Anaximandre đã xem vô hạn (Apeiron) là một dạng vật chất không cụ thể, không xác định cấu tạo nên thế giới Như vậy, khởi đầu v â hạn là một khái niệm rất trừu tượng,chỉ tồn tại trong suy nghĩ của con người

Vật í : Hai khái niệm thời gia và không gian trong vật lý cũng gắn lền với vô hạn Thời gia có th å chia n ỏ vô tận Không gian,vũ trụ thì rộng lớn, ba la.Chính ý tưởng về sự chia nhỏ đã làm nảy sinh khái niệm vô cùng bé,nảy sinh quá trình vô hạn,

lên tục góp phần cho sự phát triển của bộ môn giải tch sa này

Toán học :

• Trước hết, trong phạm vi lý thuyết số,ø bài toán về sự không tồn tại số nguyên tố lớn nhất được chứng minh bởi Euclde Chứng minh này khẳng định được số các số nguyên tố là vô hạn Cũng như thế, việc nhận thức đư ïc tnh vô hạn của dãy số tự nhiên đã đưa đến một hình ản trực qua về vô hạn, vô hạn là không có giới hạn, là phủ định của hữu hạn

• Việc vận dụn vô tnh những qui tắc của hữu hạn vào quá trình vô hạn đã dẫn đến một số nghịch lý.Ta có thể kể những nghịch lý trong bài toán cầu phương hình tròn của Antfont,bài toán Achiis đuổi rùa của Zenon Một trong những nguyên tắc cản trở sự

ra đời của một vô h ïn h øn độn đó là nguyên tắc “toàn thể thì lớn hơn bộ ph än”. Tuy nhiên, mầm mống của vô hạn hành động cũng xuất hiện qua việc một số nhà toán học đã n ận thức được tồn tại nhiều vô hạn, đã cố gắng phát triển một hệ thống toán học trong đó có sự tham gia của vô hạn

• Sự tồn tại của số vô t được thừa nhận khi giải một số phương trình bậc ba đã tạo

cơ hội cho việc làm rõ mối lên hệ của nó với vô hạn thông qua việc biểu diễn thập phân của những số vô t này

• Đến thế kỉ XVI ,vô hạn đã có kí hiệu,và không thể thiếu trong các bài toán thuộc phạm vi giải tch về giới hạn, lên tục, vi phân, tch phân Bất chấp sự có mặt đó, một định nghĩa và một hệ thống các qui tắc về v â h ïn đã k ông được đặt ra

• Bài to ùn phân loại những hàm số mà chuỗi Fourier của nó hội tụ là căn nguyên cho việc dẫn tới hình thành lý thuy át tập hợp. Dedekin đã khẳng định rằng tên đề

“toàn thể thì lớn hơ bộ p ận” không phải lúc nào cũng đúng.

• George Cantor đ õ xây dựng một số học v à vô hạn trên nền tảng vững chắc: lý thuyết tập hợp Trước tên, dựa vào tương ứng một – một, ông định nghĩa một tập hợp là vô hạn nếu có một tươn ứng một – một từ nó đến tập con của nó Ông đã chứng minh tập số tự nhiên là vô hạn và gọi lực lượng của N là ℵ0 (alep - k ôn ) Tiếp theo ông cũng đã tm cách xác định lực lượng của tập các số n uyên, tập số hữu t, tập số thực Sau đó, trên ng yên tắc lấy những tập con của một tập vô hạn làm phần tử cho một tập hợp mới ông đã chứng minh được tập hợp mới này cũng vô hạn và có lực lượng là siêu hạn – tra sf ni Hơn nữa ông còn chứng min được lực lượng của tập các điểm trên đường thẳng,lực lượng của tập số thực là ℵ1> ℵ0.Cứ tếp tục như thế,một th ng bậc của v â hạn đ õ được xây dựng dựa trên nguyên tắc này và ℵ0 là vô hạn nh û nhất có thể có.Như vậy,vô hạn được xem xét từ bản chất – một vô hạn hành đ äng.

• Sa khi khốn chế được hai cấp bậc của vô hạn : vô hạn đếm được ℵ0và vô hạn

không đếm được ℵ1, Ca tor đã đặt vấn đ à: lệu có tồn tại một lực lượng vô hạn ở giữa 0

ℵ và ℵ1? Oâng ph ûng đoán rằng không tồn tại lực lượng như thế Vấn đề này sa đó được tếp tục ng iên cứu bởi các nhà toán học và nhiều lý th yết toán học khác nh u đã được hình thành

3 Những q an điểm về v â hạn

Bằng sự p ân ích v ø ổng h ïp,ch ùn ôi rút ra đ ợc n ữn q a điểm k ác n a về v â hạn:

ƒ Vô hạn chỉ một dạn vật chất không xác địnhù là cơ sở đ àu t ên của thế giới.

ƒ Vô hạn đối với các số là một “ ố” lớn hơn tất cả các số.

ƒ Vô hạn là một “qu ù trình” l ên tục, không có điểm k át thúc.

ƒ Vô hạn là ph û địn của h õu hạn.

ƒ Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vư ït qua tất cả những giới hạn đã biết, kh âng xác địn được ranh giới.

ƒ Vô hạn được hiểu một cách trực giác b èng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳn

ƒ Vô hạn là đại lư ïn dùng để chỉ lực lượn của một tập hợp vô h ïn.

4 Các đối tượng c ù l ên quan

Sự nảy sinh và phát triển của khái niệm vô hạn gắn lền với các khái niệm khác phát triển đồng thời với n ù

Trước hết, khái niệm đầu tên phải kể đến là khái niệm giới hạn Lịch sử của khái niệm n øy gắn bó mật thiết với lch sử của vô hạn.Chính vì sự do dự khi sử dụng vô hạn trong toán học đã khiến người Hy lạp tm đến ph ơng pháp vét cạn – một phương pháp đã chứa đựng yếu tố qua trọng của khái niệm giới hạn là: có thể t m đư ïc giá trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác bao nhiêu cũng được. Ngược lại, không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có một qu n niệm thỏa đáng về vô hạn

Do ản hưởng của qua niệm cho rằng có thể chia nhỏ vô tận không gia , thời gian và chất lệu đã n ûy sinh ý tưởng về cái vô cùng bé, qu ù trình vô hạn, quá trình l ên tục.

Sau này, trong sự phát triển rực rỡ của giải tch không thể không nói đến sự tồn tại và phát triển của khái niệm lên tục,vô cùng lớn,vô cùng bé

Trong phạm vi lý th yết số,sự kiện công nhận việc tồn tại hợp lý của số vô t đã bắt buộc phải làm rõ khái niệm vô hạn

Vấn đề phân loại những hàm số mà chuỗi Fourier của nó hội tụ đã có một tác động sâu sắc đối với sự ph ùt triển của giải tch và theo một ng ĩa nào đó nó bắt buộc sự chính xác trên nhiều vấn đề, đầu tên là những tư tưởng của sự lên tục, rồi đến định nghĩa về số, và cuối cùng là lý thuyết tập hợp Vì thế, khái niệm vô hạn cũng đòi hỏi được xem xét từ bản chất Tron lý thuyết tập hợp, những khái niệm có qu n hệ đặc biệt mật thiết với k ái niệm vô hạn là khái niệm tương ứn một – một, khái niệm đếm

được,khái niệm lực lư ïng và khái niệm tập con của một tập hợp.

Bảng tóm tắt

Bảng tóm tắt sa đây cho phép thấy rõ hơn sự nảy sin và tến triển của khái niệm vô hạn qua các thời kì lch sử khác nhau

Ph ïm vi tác đ äng Các đ ái tư ïng l ên q a Giai đ ạn

ƒ Tập số tự n iên, số n u ên tố.

ƒ Ng y ân tắc: b ä p ận–to øn thể.

ƒ Kh ân gia , th øi gia , ch át

XVI ) ƒ h Giải ïc d y vthích ät. n u àn g ác th á giới của n à triết

ƒ Giải thích b ûn ch át của k ôn gia , th øi gia v ø ch át l ệu (n ữn y áu tố có th å chia

n ỏ v â h ïn h ặc k ôn th å chia n ỏ).

ƒ Nh än th ùc v à sự v â h ïn của tập số tự n iên.

ƒ Ch ùn min số các số n u ên tố là v â h ïn

b èn p ư n p áp p ản ch ùn

ƒ Địn n hĩa điểm, đ ờn th ún của Eucl d.

ƒ So sán số các số n u ên v ø số các số

n u ên ch ün; đ a “ hép đếm” v øo k ái niệm

v â h ïn (đ ët tư n ứn giữa tập số tự n iên v ùi tập số tự n iên ch ün); ch ùn min có n iều

“ iểu v â h ïn.

Tiền to ùn

h ïc (protomath ù mat q e):

kh ân xác địn ù - cơ sở

đ àu t ên của th á giới.

ƒ Qu ù trìn l ên tục, k ôn d øn

ƒ Cái k ôn có giới

h ïn, là p ủ địn của

ƒ Giới h ïn, l ên tục

ƒ Vô cùn b ù, v â cùn lớn.

ƒ Biểu diễn th äp p ân của số v â t

ƒ Cắt n ỏ các đ ïi lư ïn n ày càn b ù v ø t n tổn của ch ùn

t q e) :

- Có tên, kí hiệu,

- Ch a có địn n hĩa

- Côn cụ

tư øn min

ƒ Qu ù trìn l ên tục,

k ôn có điểm d øn

ƒ Số lớn h n tất cả các số.

k ái niệm tập h ïp.

ƒ So sán lực lư ïn giữa các tập v â h ïn : số tự n iên, số h õu t , số th ïc,…

ƒ Xây d ïn một h ï các alép b èn việc x ùt tập các tập co của một tập v â h ïn.

To ùn h ïc :

- Có tên v ø địn n hĩa.

- Côn cụ

tư øn min -Đối tư ïn

n hiên cứu

Vô h ïn h øn đ äng

ƒ Đại lư ïn d øn đ å chỉ lực lư ïn của một tập h ïp v â h ïn.

Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM VÔ HẠN

I Mục đích phân tích

Mục đích của chương này là nghiên cứu mối qua hệ thể chế với khái niệm v â hạn trong dạy học to ùn ở trường ph å thông thông qua phân tch chương trình, sách giáo khoa (SGK) và sách giáo viên (SGV) Cụ thể, trên cơ sở nghiên cứu khoa học luận ở chương trước,chúng tôi sẽ tm câu trả lời cho những câu hỏi chính sa đây :

• Khái niệm vô hạn xuất hiện và tến triển ra sa trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Nó x ất hiện trong những phạm vi, những tnh huống và bài toán nào?Đặc trưn của nó? Mối quan hệ nào được thiết lập giữa nó với các đối tượng khác

• Có những cách hiểu nào về vô hạn ? Những tnh huống cho phép nảy sinh những cách hiểu ấy ?

Phân tích trên dựa v øo các tài l ệu sau đây :

• Toán 6 – tập 2– Lê Hải Châu,Nguyễn gia Cốc,Phạm Gia Đức,NXBGD 2001

• Đại số 7 – Hoàng Xuân Sính,Nguyễn Tiến Tài,NXBGD 2 01

• Hình học 9 – Nguyễn Bá Kim,Trần Kiều,NXBGD 2000

• Đại số 10 – Trần Văn Hạo,Cam Duy Lễ,NXBGD 2000

• Đại số và giải tch 11 – Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Ngô Thúc La h, Ngô Xuân Sơn,Vũ Tuấn,NXBGD 2000

• Tài lệu hướng dẫn giảng dạy Toán các khối lớp, mà chúng tôi gọi tắt là sách giáo viên (SGV)

I Sự xuất hiện và tiến triển của khái niệm vô hạn trong chương trình và sách giáo khoa Việt nam

Bản thân khái niệm vô hạn khôn phải là đối tượng n hiên cứu tron hệ thốn dạy học toán ở trường phổ thông Như g nó lại tác động ngầm ẩn hay tường minh trong việc học tập nhiều n äi dung khác nhau.Nói cách khác,tùy từng cấp độ mà nó sẽ lấy cơ chế của một khái niệm tền toán học (protomathématqu ) ha cận toán học (paramathématque)

Quả thực,tron chương trình của cuối cấp tểu học và đầu cấp THCS n ù đã ngẩm ẩn trong cách x ây dựng và hoàn chỉnh hệ thống số Trong chươn trình lớp 9, vô hạn và khái niệm giới hạn cùng hiện diện ngầm ẩn trong định nghĩa độ dài đường tròn và diện

tch hình tròn Đến cấp PTTH, nếu ở lớp10 vô hạn xu át hiện ngầm ẩn qua một số kí hiệu trong việc học tập các yếu tố của l thuyết tập hợp và hàm số, thì ở chương trình toán lớp 11,nó xuất hiện tường minh và đóng vai trò q an trọng tron việc học các vấn đề lên qua đ án giới hạn Bất chấp những điều đó, chương trìn đã không đặt ra vấn đề vô hạn.

Trong ph àn này chúng tôi muốn làm rõ cách xuất hiện của khái niệm vô hạn và ký hiệu ∞ trong SGK hiện hành của Việt nam

1 Vô hạn trong tình huống xây dựng hệ thống số (phạm vi số)

a. Con đường xây dựng các hệ thống số ở trường phổ thôn được xuất phát từ hệ thống số tự nhiên `, qua hệ thống số hữu t không âm _+ Cũng từ `, hệ thống các số nguyên ] được hình thành, tếp sa là hệ thống số hữu t _ v ø cuối cùng là tập các số thực \.Sự xây dựn theo kiểu mở rộng này đư ïc tóm tắt theo sơ đồ sau:

• Ở đầu cấp tểu học, chương trình toán của các lớp 1, 2, 3 đã nghiên cứu về số tự nhiên trong phạm vi hữu hạn (lớp 1: phạm vi 10; lớp 2: phạm vi 100; lớp 3: phạm vi 1000) Điều đáng lư ý là SGK có giới thiệu cách biểu diễn n ững số này trên ta số.Như vậy ở cấp bậc n øy,vấn đề là làm toán trên hữu hạn nh õng số tự nhiên.Số lớn nhất có thể chỉ là 1000 và sẽ tư duy theo kiểu “ ữu hạn”

Tuy n iên,sa khi trình bày “số có nhiều chữ số”,SGK toán lớp 4 đã giới thiệu dãy các số tự nhiên theo cách n ư sa :

- Các số 0, 1, 2, 3, 4, …, 9, 1 , 1 , 1 , là các số tự n iên.

- Có thể biểu diễn các số tự n iên tr ân t a số, ch ún h ïn: (Vẽ hìn tra g 2 – To ùn 4)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1

- Mỗi số tự n iên ứn với một điểm tr ân t a số.

- S á 0 ứn với điểm g ác của t a.

- Từ điểm g ác , kéo d øi mãi t a số , ta đ ợc các điểm biểu thị các số càn lớn.

- Thêm 1 vào b át kì số tự n iên n øo ta cũn đ ợc số tự n iên l ền sa số đ ù.

- Không có số tự n iên lớn n ất ; S á 0 là số tự n iên bé n ất.[SGK4, tr.2 ]

Như vậy,dãy số tự nhiên trước tên được giới thiệu qua đại diện một vài số mà học sinh đã làm quen trước đây nhưng bây giờ mới có tên gọi chung.Sau đó, song song với

việc biểu diễn các số tự nhiên trên ta số,một số tnh chất đặc trưng cho tập số tự nhiên đã được nêu ra.

Đặc biệt, hai cụm từ “k ùo dài mãi t a số” ; “Không có số tự nhiên lớn nh át” cho một

ý niệm đầu tên về khái niệm vô hạn :

Vô hạn thể hiện qua hình ảnh kéo dài mãi của dãy các số tự nhiên và kéo dài mãi của t a số

• Phân số (về bản chất là tập các số h õu t dương), đ ợc nghiên cứu ở chươ g trình toán các lớp 4 và 5

Đặc biệt, chươn trìn toán lớp 5 có đề cập khái niệm Số thập phân h õu hạn Khi nghiên cứu về số thập phân ở lớp 6, thuật ngữ “v â hạn” lần đầu tên xuất hiện một cách tường minh, nhưng không độc lập mà luôn gắn với cụm từ “số thập p ân v â hạn

“Hãy biểu diễn p ân số 118

55 d ới d ïn số th äp p ân.

Ta th áy kh ân thể biểu diễn 118

55 d ới d ïn số th äp p ân vì nếu ta cứ chia mãi thì th áy tro g th ơ g các ch õ số 4 và 5 đ ợc lặp đi lặp lại Ta n ùi rằn : ta đ ợc một số g ïi là số thập phân vô hạn tuần ho øn

2,1 5 5…viết g ïn là 2,1(4 ).” [SGK 6,tr.68]

Như vậy, do tha tác “chia mãi” nên không có chữ số cuối cùng trong cách biểu diễn thập phân của phân số 118

55

Ở đây, v â hạn được hiểu như một quy trình (chia) không b o giờ dứt hay khả năng

c ù thể kéo dài mãi các chữ số ở phần thập phân theo một qui luật tuần hoàn

Vẫn ở bài “Số thập phân vô hạn tuần hoàn , SGK có nêu điều chú ý sa : Danh từ

số thập phân còn đ ợc gọi là số thập ph ân hữu hạn. [SGK 6, tr 68] Còn SGV thì giải thích thêm : “sa khi giới thiệu từ “ ố th äp p ân vô h ïn tu àn h àn” thì lư ý số th äp p ân đ õ h ïc

đ ợc g ïi là số th äp p ân h õu h ïn ”.[SGV 6,tr.73]

Cách giải thích này có thể dẫn tới một cách hiểu ngầm ẩn : hữu hạn và vô hạn là hai khái niệm trái ngược,phủ định của nhau.Liệu qua điểm này có hiện diện ở giáo viên và học sinh ?

Tập số hữu t được tếp tục hoàn chỉnh ở chương trình lớp 7 Đến lớp 9, khái niệm về số vô t được hình thành qua hình ảnh cụ thể của nó – một biểu diễn dạng thập phân

vô hạn kh âng tuần hoàn, kết hợp với lập luận rằng dạng này không là biểu diễn thập phân của số hữu t,nên nó phải là biểu diễn của một loại số khác mà ta gọi là số vô t :

“Số vô t là số có biểu diễn thập p ân là vô hạn không tuần h àn”.[SGK 9,tr.4] Từ “vô hạn” trong trường hợp này cũn xuất hiện rất tự nhiên, không có một giải thích đi kèm và cũng ma g cùng một nghĩa như với số thập phân vô hạn tuần hoàn Vô hạn gắn l ền v ùi hình ảnh c ù thể kéo dài hay thêm vào một cách tùy ý các chữ số ở phần thập phân

Tóm ại trong phạm vi hệ thống số, vô hạn xuất hiện dưới dạng hình ảnh kéo dài tùy ý (có thể thêm vào mãi) có qui luật h ặc không của các chữ số trong phần thập phân của số thập phân (biểu diễn số hữu t hay vô t) Tuy đã xuất hiện tường minh,nhưng khái niệm vô hạn k ông phải là đối tượng được định nghĩa và nghiên cứu Nói cách k ác,nó không ho ït động với cơ chế đối tượng

b Sự xuất hiện của các kí hiệu + ∞ và -∞

• Các kí hiệu +∞; −∞ cùng với biểu diễn của chúng trên trục số được đư vào lần đầu tên trong SGK Đại số 10,khi đề cập một số tập con thườn gặp của tập số thực R:

“Ta thườn gặp một số tập con của tập hợp \ sau đây:

- Khoảng ( −∞ ; )a ={x∈ \ /x<a}; ( ;a +∞ = ) {x∈ \ /x>a}

- Nửa kh ảng ( −∞ ; ]a ={x∈ \ /x≤a}; [ ;a +∞ = ) {x∈ \ /x≥a}

- Chú ý rằn kho ûng (−∞ +∞; )là tập hợp \.”

Biểu diễn trên trục số :

[SGK 1 ,tr.17] Như vậy, các kí hiệu +∞; −∞ đã xuất hiện một cách tự nhiên, mà k ôn kèm theo một thuật ngữ nào tron các thuật ngữ “vô hạn”,“vô cực” ha “vô cùng”

Nói cách khác,người ta kh âng nói rõ +∞ là kí hiệu của “ ương vô cực” và −∞ là kí hiệu cho “âm vô cực”

Vậy ph ûi chăng, việc trình b øy “cách đọc” các kí hiệu này cũng n ư việc làm rõ nghĩa của chúng là trách nhiệm của giáo viên? Hay tự h ïc sinh ph ûi biết nh õng điều đó?

Về nghĩa,rõ ràng trong tnh h ống này, các kí hiệu +∞; −∞ không lấy nghĩa một cách đ äc lập,mà gắn lền với “nghĩa” của khái niệm khoảng hay nửa khoản là các tập con của R Nói cách khác, ng ời ta hiểu được các kí hiệu này qua việc mô tả các khoảng và nửa khoảng.Chẳng hạn : ( ;a +∞ = ) {x∈ \ /x>a}.

Chúng tôi đặt ra giả thuyết rằng, cách mô tả k oảng nh vậy có thể dẫn tới quan điểm cho rằng :

• +∞ là một số lớn h n tất cả các số, còn -∞ là một số bé hơn tất cả các số, hoặc

• +∞; −∞ là nh õng cái gì đ ù ở xa mãi hai đầu của trục số.

• +∞; −∞: thể hiện hư ùng đi tới khôn bao giờ k át thúc của một đối tượng nào đó (số, điểm,…).

Như vậy, những qua niệm này dườn như khôn đồng nhất với quan niệm về vô hạn như là một “qu trình” có thể kéo dài mãi không dừng,như đã thấy trước lớp 10.Nhận xét này được củng cố hơn,nếu ta phân tch về cách đọc các kí hiệu +∞; −∞,nhiệm vụ mà thể chế để lại trách nhiệm cho giáo viên hay học sinh

Quả thực, chúng tôi nghĩ rằng, theo tru ền thống ở Việt Nam người ta có thể đọc +∞ là dương vô cực (ha vô cực dương), -∞ là âm vô cực (ha vô cực âm) hoặc dương vô cùng,âm vô cùng.Nhưng khó có thể đọc là “Dương vô hạn” ha “Vô hạn dư ng”

Phải chăng có sự phân biệt giữa hai thu ät ngữ “Vô h ïn” và “Vô cực” ?

Có hay không sự phân biệt này ở giáo viên và học sinh ? Nếu có, chúng đư ïc phân biệt như thế nào ?

Vẫn ở lớp 10,các kí hiệu +∞; −∞ lại một lần nữa xuất hiện trong tnh huống nghiên cứu sự biến thiên của một số hàm số cơ bản n ư y = a + b; y = ax2 + bx + c, y = ⏐x⏐

và y = x Cụ thể,chún hiện diện trong việc mô tả các miền xác định của các hàm số này và trong bảng biến thiên.

Nhưng,cũng không có một giải thích nào về cách đọc và nghĩa của các kí hiệu này.Chẳng hạn, bảng biến thiên của hàm số bậc hai 2

( 0)

y=ax +bx c+ a≠ trong trường hợp a > 0.và hàm y= x :

x −∞

2

b a

+∞; −∞ đã nêu ở trên

2 Vô hạn trong tình huống xây dựng khái niệm chu vi đường tròn và diện tích hình tròn (phạm vi hình học)

mộtcách gồm h ib ớc sa :

Độ dài đường Tròn Diện tích hình Tròn Bước 1 :

“Nhiều h n g ã cạn h ún có hể g ép

th øn một th øn g ã có miện và đ ùy g àn tròn Miện và đ ùy càn g àn với đ ờn tròn nếu số h n g ã ghép càn n iều, ức là chiều rộn của mỗi th n g ã càn hẹp (Xem hìn 7 )”

“Nhìn hìn v õ a hìn d n h áy rằn để

sơ một đ giác đều n äi t ếp ro g một

đ ờn ròn hì khi số cạn của đ giác

đ ợc g áp đ âi l ên iếp, ta cần một lư ïng

sơ n ày càn nhiều và càn sai kh ùc t

so với lư ïn sơ cần hiết để sơ kín cả hìn ròn.(Xem hìn 7 )”

đ ờn ròn rồi g áp đ âi mãi số cạnh của

n ù sa ch các đ giác iên iếp h đ ợc đều à đ giác đều, thì ch vi đ giác đều sẽ ăn ên và n ày càn g àn một giá rị xác địn (kh ân p ụ h ộc đ giác đều

ch ïn b n đ àu), giá rị đ ù g ïi là đ ä d øi

đ ờng ròn.”[SGK hìn h ïc9,tr 5 ,5 ]

“Ng ời ta ch ùn min đ ợc rằn : Lấy một đ giác đều ùy ý n äi t ếp một

đ ờn ròn rồi g áp đ âi mãi số cạnh của

n ù sa ch các đ giác iên iếp h đ ợc đều à đ giác đều, thì diện ích đ giác đều sẽ ăn ên và n ày càng g àn một giá trị xác địn (kh ân p ụ h ộc đ giác đều

ch ïn b n đ àu), giá rị đ ù g ïi là diện ích hình ròn.”[SGK hìn h ïc 9,tr 6 ]

Các k ái niệm trên được xây dựng bằng p ương pháp mô tả kết hợp cảm nh än trực giác hình học, phù hợp với sự n ûy sinh của chúng trong lch sử (vào kho ûng n êm 430 TCN, Ant ph n cho rằng bằng cách cứ l ên t ếp nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội t ếp tron một đường tròn thì hiệu số giữa diện t ch hình tròn với diện t ch đa giác cuối cùng sẽ không còn nữa) [Văn Như Cương (1977),tr.19,20]

Ngầm ẩn tác động trong các tnh huống trên là các khái niệm vô hạn, giới hạn và

lên tục

Khái niệm vô hạn hiện diện ngầm ẩn qua thuật ngữ “ ấp đôi mãi số cạnh”, còn khái niệm giới hạn lại thể hiện qua cụm từ “tăng lên và ngày càng g àn một giá trị x ùc định” h ặc “ ần tới” nh tro g các tnh huống dưới đây của SGK Hình học 9

Tình huống đưa vào số π và ch ùng minh công th ùc diện tch hình tròn: [SGK hình học 9,tr.59]

“ Với h i đ ờn tròn b át kì (O;R) và(O’;R’), ta ch n äi t ếp mỗi đ ờn tròn n øy một đ giácđều n cạn và g ïi ch vi của h i đ giác đ ù là p và p’ Ta có: '

R R Nh vậy: t số giữa đ ä d øi đ ờn tròn và

đ ờn kín của n ù là một số kh ân đ åi, n hĩa là n ư n a ch mọi đ ờn tròn Ng ời ta kí hiệu số kh ân

đ åi ấy b èn ch õ π […].

Để t n diện t ch hìn tròn, ta ch n äi t ếp tro g đ ù một đ giác đều

n cạn Gọi p là ch vi, tru g đ ạn là a thì diện t ch S n của n ù là 1

2

=

Khi số cạn của đ giác đều n äi t ếp đ ợc g áp đ âi lên mãi thì diện t ch

S n của n ù d àn tới diện t ch S của hìn tròn, ch vi p của n ù d àn tới đ ä d øi

đ ờn tròn 2πR, đ àn th øi tru g đ ạn a của n ù d àn tới R Vậy diện t ch

hìn tròn là S = πR2.

Bàn về các tnh huống này,SGV cũng làm rõ :

“Học sin q a niệm đ ợc đ ä d øi đ ờn tròn (h ặc diện t ch hìn tròn) d ïa vào sự hìn d n g áp

đ âi mãi số cạn của một đ giác đều n äi t ếp.” [SGV 9,tr.4 ]

Hơn nữa,các tác giả SGK còn lưu ý giáo viên :

“ch âm ch ớc t n ch ët chẽ v à mặt kh a h ïc b ûi vì h ïc sin ch a h ïc kh ùi niệm giới h ïn.[SGV 9,tr.4 ].

“Ta đ ït đ ợc k át q ả tr ân b èn lập lu än có d ïa vào sự hìn d n trực giác ở giai đ ạn cu ái Tro g

to ùn h ïc n ư øi ta đ õ ch ùn min đ ợc k át q ả đ ù một cách ch ët chẽ.” [SGK hìn h ïc 9,tr.5 ]

Ta cũng lưu ý rằng các khái niệm vô hạn và giới hạn đóng vai trò công cụ ngầm ẩn chỉ tron các tnh huống đã nêu ở trên Sau khi đã đạt được các công thức về diện tch hình tròn và chu vi đường tròn, chúng không còn được sử dụng trong việc giải quyết các bài toán lên qua tới các đối tượng này

Quả thực,SGV n âu rõ trọng tâm của hai bài :

“HS hiểu đ ợc đ ờn h ớn đi đến các côn th ùc t n đ ä d øi đ ờn tròn, đ ä d øi cu g tròn và biết vận d ïn các côn th ùc đ ù.” [SGV 9,tr 4 ]

“HS hiểu đ ợc đ ờn h ớn đi đến các côn th ùc t n diện t ch hìn tròn, hìn q ạt tròn và có kĩ

n ên vận d ïn các côn th ùc đ ù.” [SGV 9,tr.4 ].

Ý đồ này của SGV thể hiện rõ trong phần bài tập của SGK Kiểu nhiệm vụ chính

lên qua đến chủ đề này là tính toán : tnh độ dài đ ờng tròn,cung tròn; tnh diện tch hình tròn,hình vành khăn, hình viên phân,…; tnh các yếu tố như bán kín , đường kính,giá trị gần đúng của số π, độ lớn góc ở tâm …) dựa trên kĩ thuật vận dụn các công

Tóm ại trong phạm vi hình học,khái niệm vô hạn xuất hiện ngầm ẩn ở tnh huống xây dựng định nghĩa và công thức tnh độ dài đường tròn và diện tch hình tròn

Như trong tnh huống xây dựng các tập hợp số, nó được hiểu n ư một q á trình vô hạn, một hành độn có thể th ïc hiện mãi kh âng dừng. Nó lên qua mật thiết với khái niệm giới hạn,đặt điều kiện cho sự nảy sinh n ầm ẩn của khái niệm này

3 Vô hạn trong các tình huống nghiên cứu giới hạn của dãy số và giới hạn hàm số (phạm vi giải tích)

Trong phạm vi Giải tch, chương “Giới hạn” của SGK Đại số v ø Giải tch 11 là nơi đầu tên mà các thuật ngữ “vô cực”, “vô cực dương và “vô cực âm” xuất hiện một cách tường minh cùng với các kí hiệu tương ứng Chính vì thế chúng tôi sẽ dành một phân tch chi tết hơn thời điểm này

Để hiểu h n các đặc trưng của khái niệm trên, chúng tôi tến hành phân tch đồng thời cả chương trình, SGK và SBT Đại số và giải tch 11,cùng với SGV tương ứng Sự phân tch này sẽ theo hướng :

- Nghiên cứu những tnh huống có sự xuất hiện và tác động của các khái niệm trên và các kí hiệu tương ứn

- Phân tch lời giải của một số bài toán tnh giới hạn được SGK và SBT trình bày.Qua nhữn phân tch này, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại ngầm ẩn của một “Đại số các vô cực“1 và hiện tượng mà chún tôi gọi là “Hiện tượn thiếu côn nghệ” của SGK.

3.1 Tình huống xây dựng định nghĩa giới hạn dãy số

Ta xem xét ví dụ mở đầu đ ợc giới thiệu trước khi vào định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.Sau khi cho biểu diễn hình học sa đây (hình 29) của dãy số 3 1

SGK đưa ra nhận xét :

“Ta n ận th áy khi n càng lớn thì kh ản cách từ u n tới điểm 1 (tức là u n− 1) càn n ỏ, n ù có thể

n ỏ b o n iêu cũn đ ợc miễn là n đủ lớn ”.[SGK1 ,tr.1 6 ]

Nhận xét này mô tả một tư tưởng : từ một lúc nào đó trở đi, các phần tử của dãy càng gần sát điểm 1

Ngay lền sau đó, sách đã kết luận : “Ta nói rằng d õy số đã cho có giới hạn là 1

(hay dần tới 1) khi n dần tới v â cực , viết là: lim 3 1 1

3

n

n n

→∞

+ = ”.[SGK 11,tr.107]

1 Mô p ỏn h o h ật n ữ “số h ïc c ùc v â hạn n ư ro g p ân ch ở ch ơ g 1, ch ùn ôi d øn h ật n ữ “Đại số

v â cực” Ở đây, ch ùn ôi d øn h ật n ữ Vô cực mà k ôn p ải Vô hạn x ất p át ừ k át q ả p ân ch SGK Tro g h å ch á dạy h ïc oán ở Việt nam, c ùc kí hiệu ∞, +∞, -∞ ần ư ït đ ợc đ ïc à v â cực, d ơ g v â cực và âm v â cực.

Từ “vô cực” xuất hiện ở đây như một đích đến nhưng không thể “đạt được” mà chỉ là “dần tới” của số tự nhiên n.Tính chất “ gày càng lớn” của số tự nhiên này cho hình ảnh trực giác của thu ät ngữ “ ần tới vô cực”.

Ở tnh huống xây dựng khái niệm dãy số dần tới vô cực,SGK giới thiệu bằng cách đưa ra một dãy cụ thể có kèm lời giải thích và một định nghĩa hình thức :

“ Xét d õy số (u n) với u n = − ( 1) 2n n Dạn kh i triển của n ù là:

-2, 4, -6, 8, -1 , …( 1) 2− n n ,…

ta n ận th áy khi n càn lớn thì u n càn lớn Nó có thể lớn b o n iêu tùy ý; miễn là n đ û lớn Ta n ùi rằn d õy số đ õ cho d àn tới vô cực .

Một cách tổn q át, ta có địn n hĩa sa :

Địn n hĩa Ta n ùi rằn d õy số (u n ) d àn tới vô cực nếu với mọi số d ợn M (lớn b o n iêu tùy ý) tồn tại một số tự n iên N sa ch , với mọi n > N thì ⏐u ⏐ > M.

Ta viết : l mu n = ∞ h y u n→ ∞ » [SGK 1 ,tr.1 3]

Như vậy,tnh chất “lớn bao nhiêu tùy ý” của u n kéo theo cách gọi dần tới v â cực

Nếu như xem vô cực là “số” thì cụm từ “càng lớn” dùng trong hai tnh huống trên đây sẽ ma g những ý nghĩa kh ùc nha Tron trường hợp đầu “số” này cùng loại với n,tức nó là số tự nhiên rất lớn nào đó, còn trườn hợp sau, “số” này là số thực bởi nó gắn v ùi u n là giá trị tuyệt đối của các số hạng của dãy Như vậy, trong trường hợp sau v â cực được đồng nhất số nhỏ hơn và số ớn hơn tất cả các số

Sau khi nêu định nghĩa về dãy số dần tới vô cực theo ngôn ngữ (M; N), SGK đã dùng kí hiệu limu n = ∞ để chỉ dãy dần tới vô cực (lúc này các kí hiệu +∞ v ø−∞ chưa xuất hiện) và đưa vào chú yù:

“Khi d õy số (u n) d àn tới vô cực thì n ù kh ân bị ch ën, d đ ù theo địn l 12 n ù kh ân có giới h ïn,

so g để ch t ện n ư øi ta vẫn d øn kí hiệu limu n = ∞ Tuy n iên, vì tro g trư øn h ïp n øy (u n)kh ân có giới h ïn nên ta kh ân đ ợc p ép áp d ïn các địn l v à giới h ïn của d õy số”.[SGK tr.1 3]

Hơn thế nữa,SGV tra g 61 còn nói rõ rằng ∞ không p ải là một số :

“Về kí hiệu này, điều qu n trọng là giáo viên phải làm cho học sinh nhớ rằng đó chỉ là một q y ước,… Vả lại ∞ không là một số.” [SGV 1 ,tr.61]

Liệu mối quan hệ thể chế,the đó ∞ phải được hiểu là một qu ư ùc chứ k ông phải là một số,có được thiết lập ở học sinh ?

2 Định lí về điều kiện cần để dãy số có giới hạn: “nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn”

3.2 Tình huống xây dựng định nghĩa giới hạn hàm số

Tuân thủ theo đúng qui định của chương trình, SGK đã xây dựng định nghĩa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số.Việc mở rộn kh ùi niệm giới hạn hàm số đã tạo

cơ hội để v â h ïn tái xuất hiện với cơ chế công cụ tường minh

Trước hết,SGK trình bày định nghĩa hàm số dần tới vô cực:

“Ta n ùi rằn h øm số f(x) d àn tới vô cực khi x d àn tới a, nếu với mọi d õy số (x n ) (x n≠ a) sa ch

limx n =a thì lim (f x n)= ∞. Ta viết : lim ( )

x a f x

→ = ∞” [SGK 1 ,tr.1 1]

Sau đó,SGK11 trang 121 lại nhấn mạnh lần nữa rằng:

“Tuy viết vậy, n ư g vì ∞kh ân p ải là một số nên th ät ra h øm số kh ân có giới h ïn, …”

SGV cũng nhấn mạnh :

“Nếu h øm số f x( )→ ∞khi x→ a mà f(x) > 0 với mọi x đ û g àn a thì ta kí hiệu: lim ( )

Điều đặc biệt là SGK đã không nói gì về việc đọc các kí hiệu trên

Như vậy,+∞, −∞cũng được xem n ư là giới hạn của một hàm số thỏa hai điều kiện:

• Hàm số n øy không có giới hạn hữu hạn

• Giá rị của h øm số n øy u ân ma g một dấu k i x đ û g àn a.Hàm số ma g d áu gì thì v â cực có d áu đ ù

Tiếp theo,SGK đã trình bày các giới hạn tại vô cực

Biến số x lần lượt tến về ∞, +∞, −∞ tương ứng với ba định ng ĩa sau:

™ Ta n ùi rằn h øm số f(x) có giới h ïn là L khi x d àn tới vô cực , nếu với mọi d õy số (x n ) sa ch

limx n = ∞ thì lim (f x n)=L Ta viết: lim ( )

Liệu cảm giác này có tạo điều kiện củng cố ở học sinh cách hiểu theo đ ù dư ng vô cực là một số lớn hơn tất cả các số, âm vô cực là một số bé hơn tất cả các số, hay chúng là nhữn đối tượng ở xa mãi hai đầu của trục số ? .

Nếu ở lớp 10,hai loại vô cực +∞, −∞ được dùng để kí hiệu các kho ûng con của tập số thực ho ëc xuất hiện trong bảng biến thiên của hàm số, thì đến thời điểm này ngo øi

+∞, −∞, còn x ất hiện vô cực ∞ và chúng là kí hiệu qui ước cho một hàm (hoặc d õy) khôn có giới hạn hữu hạn Điều này lệu có gây ra sự thắc mắc nào từ thầy giáo và học sinh không vì cùng kí hiệu +∞, −∞ nhưng mang những ý nghĩa khác nh u ở mỗi

SGK đã nêu rõ rằng để tm giới hạn của dãy số và hàm số, người ta thường không vận dụn định nghĩa của giới hạn mà áp dụn một số định l cho phép tm được d ã dàng giới hạn đó Ngoài một số giới hạn cơ bản (được chứng minh bằng định nghĩa),người ta công nhận (không chứng minh ) một lượng vừa đủ các định l làm cơ sở cho việc đại số hóa vấn đề tm giới hạn, n hĩa là quy việc tnh giới hạn về việc thực hiện các phép toán đại số giới hạn,mà khôn cần nhờ đến định nghĩa ha kĩ thuật chặn trên,chặn dưới hay xấp xỉ của Giải tch

Bảng sa đây tóm tắt các yếu tố làm cơ sở cho việc đại số hóa vấn đề tnh giới hạn:

Giới h ïn của d õy số

[SGK 1 ,tr.1 7,1 8,1 9,1 4] [SGK 1Giới h,tr.1ïn của h8,1 øm số 9,1 2]

Nếu h øm số f x) có giới h ïn k i x d àn tới

a thì giới h ïn đ ù là d y n ất.

lim(u n±v n) = limu n+ limv n

lim(u v n )n = limu n.limv n

lim lim

lim

n n

u u

lim ( ) lim ( )

một d õy số có giới h ïn thì n ù bị ch ën.

(Điều kiện đ û để d õy có giới h ïn) Một d õy

số tăn v ø bị ch ën trên thì có giới h ïn.

Một d õy số giảm v ø bị ch ën d ới thì có

giới h ïn.

a Về kiểu nhiệm vụ tính giới hạn của dãy số

Như đã n ùi ở trên, kiểu nhiệm v ï chủ yếu lên qu n đến giới hạn của dãy số là tính giới hạn.Hơn nữa,hầu hết các giới hạn cần tnh bằng cách áp dụn định l đã nêu đều thuộc hai dạng : ∞

∞ và ∞ − ∞ Thực chất đây là h i dạng vô định, nhưng ở th øi điểm này SGK chưa dùng cách gọi tường minh như thế

Bảng sa đây cho một th áng kê số bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này

Đặc trư g của d õy Phân th ùc Ch ùa căn

Trong phần bài học và bài tập có 12+7 = 19 bài (chiếm 82,6%) thu äc hai dạng vô định đã nêu Tỉ lệ này là khá ca Hơn nữa, khi giới hạn có dạng ∞

∞ thì dãy được cho chủ yếu ở dạng phân thức hữu t và giới hạn thuộc d ïng ∞ − ∞ thì dãy sẽ chứa căn thức

Các kĩ thuật tương ứng (kĩ thuật khử dạng vô định) xuất hiện qua các ví dụ minh họa Kĩ thuật này đòi hỏi thực hiện các biến đổi đại số (chia cả tử số và mẫu số của phân thức hữu t cho lũy thừa bậc cao nhất của n; hoặc nhân chia với lượng lên hợp,…),sau đ ù áp dụng các định l đại số về giới hạn để tm kết quả

Điều làm chúng tôi quan tâm ở đây là: trong việc tnh giới hạn này, ngoài vai trò khôn thể thiếu được của các phép toán đại số và các định l về giới hạn,có hay không sự vận dụng của các qui tắc tha tác trên vô hạn ?

Nói cách kh ùc, có tồn tại hay không một “đ ïi số vô cực” tươn tự nh sự tồn tại của một “ ố học các vô h ïn” trong l ch sử ? Nếu có thì n ững qui tắc đó là gì và xu át hiện ở thời điểm nào ?

Trước hết, cũng cần nhấn mạnh rằng, n ư đã làm rõ trong các phân tch trước, thể chế cấm áp dụn các định l về giới hạn tron các trường hợp dãy số dần tới vô cực,vì

∞, +∞ ha -∞ chỉ là các kí hiệu qu ước mà không phải là các số.Nói cách kh ùc,người

ta cấm áp dụng các phép toán đ ïi số trên các kí hiệu này (ha ta nói,trên các vô cực).Tuy nhiên, ngược với mong muốn này của thể chế, cách tổ chức các kiến thức gắn

lền với giới hạn trong SGK dường như đã ngầm áp dụng các thao tác trên các vô cực,và như vậy đã tạo điều kiện ch cho sự tồn tại ngầm ẩn một đại số vô cực

Để minh chứng điều đó, ta bắt đầu từ ví dụ lên qua tới dạng vô định ∞ − ∞, được cho trong SGK.

Ví dụ 2 : Tìm lim(3n+ −2 3n) [SGK 11,tr.114]

Lời giải mong đợi :

« Nh ân và chia biểu th ùc 3 3

( n+ −2 n)với biểu th ùc ( ( 3 n+ 2) 2 + 3n+ 2 3n+ 3n2 ) ,ta đ ợc :

(vì tử số b èn n + 2 – n = 2, còn mẫu số d àn tới vô cực ) »

Hai câu hỏi cần đặt ra về lời giải này :

9 Vì sa mẫu số dần tới vô cực ?

9 Yếu tố công nghệ nào giải thích cho kết luận : « khi tử số dần tới 2, mẫu số dần tới vô cực thì phân thức dần tới 0 » ?

‘ Về câu hỏi thứ nhất :

Làm sao giải thích được u n = 3 (n+ 2) 2 + 3n+ 2 3n+ 3n2 dần tới vô cực ?

Để có câu trả lời,chún tôi thử dự đoán các cách giải thích có thể có

• Cách 1 : Viết

1

= n n

u

u rồi dùng kĩ thuật chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc ca nhất của

n.Cụ thể ta có :

1 3 2

- Trong giải thích trên ta đã sử dụng hai yếu tố công nghệ sa đây không được đưa vào trong SGK :

Với những l do như ở cách 1,chúng tôi cho rằng giải thích này khó có cơ h äi xuất hiện

• Cách 3 : Dùng định nghĩa : với mọi M >0 cần chỉ ra có một số tự nhiên N sa cho với mọi n >N thì u n >M .

Cách giải thích này cũng khó có thể xuất hiện vì tnh phức tạp của thao tác trên các bất đẳng thức

• Cách 4 : Giải thích bằng lời d ïa vào các thao tác trên vô cực

Chẳng hạn :

Vì n→ ∞,còn 2 là hằng số nên n+ → ∞ 2 ,và do đó 2

(n+2) → ∞, 3 2

(n+ 2) → ∞.Lập luận tương tự : 3n+2.3n → ∞ và 3n2 → ∞ Do đó (u n)→ ∞

Dựa trên những nhận xét trong các cách giải thích trên và lời giải mong đợi được cho trong SGK, chúng tôi nghĩ rằng thể chế ngầm chấp nhận và mong muốn giáo viên,học sinh sử dụng cách giải thích bằng lời như trên (cách 4)

Tuy nhiên,về mặt toán học,cách giải thích 4 phải d ïa vào í nhất bốn tnh chất sa :

- “Nếu limu n = ∞thì lim(u n+C)= ∞, với C là hằng số.”

- “Nếu limu n = ∞thì lim(u n)k = ∞, với k nguy ân dư ng.”

- “Nếu limu n = ∞thì lim2k 1

n u

+ = ∞, với k n uy ân dươn ”

- “Nếu limu n = ∞và limv n = ∞thì limu v n n = ∞.”

Thế nh ng,tất cả bốn yếu tố công nghệ này đều không có mặt trong SGK

Vậy, việc trình bày tường min các y áu tố công n hệ này là trách n iệm của giáo viên? Hay ng ời ta hy vọng rằn học sinh có thể l nh hội được chúng chỉ n ờ vào “l nh

cảm” h ặc trực giác? và như vậy, giáo viên cũng n ư h ïc sinh có quy àn sử d ïng ch ùng

“một cách tự nhiên” mà không cần giải thích ?

Mặt khác, cũng cần đặt ra câu hỏi về ảnh hưởng của các “giải thích bằng lời” như vậy trên mối quan hệ các nhân của giáo viên và học sinh đối với đối tượng vô cực.Cụ thể,chúng tôi ng ĩ rằng giáo viên sẽ chấp nhận những giải thích bằng lời như đã nêu ở trên

Về phía h ïc sinh, họ sẽ ng àm giải thích sự ch áp thuận đ ù của giáo viên như thế n øo? Phải ch ên , học sinh sẽ “phiên dịch” sự chấp thuận đ ù của thể chế như là sự cho p ép họ thực hiện các th o tác trên vô hạn ? Nói cách kh ùc, học sin x m các th o tác kiểu như ∞ + a = ∞,∞n = ∞, … là hợp p áp ?

‘ Về câu hỏi thứ hai :

Yếu tố công nghệ nào giải thích cho kết lu än : « khi tử số dần tới 2, mẫu số dần tới vô cực thì phân thức dần tới 0 » ?

Do cách giải thích rất ngắn gọn của SGK mà không có một mô tả chi tết nào về kết luận này,nên chúng tôi ch rằng ở tnh huống này người ta đã sử dụng ngầm ẩn định lsau đ ây :

“Nếu limu n =a (a ≠ 0) và limv n = ∞ thì lim n 0