Dạy học khái niệm đạo hàm ở trường phổ thông một số nhân tố ảnh hưởng tới sự lựa chọn của giáo viên

Trong khuôn khổ của một luận văn, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu của đầu tiên của HS với khái niệm, qua đó định nghĩa và các đặc trưng cơ bản nhất của đạo hàm được hình thành.. Từ các

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành : Lí lu ận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2016

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc từ tận đáy lòng đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu vì Cô là người đã dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học, đã

trong giảng dạy mà tôi luôn phấn đấu noi theo

Thị Nga Các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc giúp chúng tôi

toán

Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn những chỉ dẫn và giải thích của Thầy Hamid Chaachoua

luận văn này

Ban lãnh đạo, chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn

buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập, các Thầy Cô, đồng nghiệp trong khoa

mẹ, hai em và đặc biệt là người bạn đời tri kỉ của tôi – những người đã, đang và sẽ là chỗ

Bùi Thị Thanh Mai

Lời cảm ơn

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CÁC PRAXÉOLOGIE ĐẶC TRƯNG CHO KHÁI NIỆM 11

1.1 Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm Các nghĩa của khái niệm 11

1.2 Các praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm 14

1.3 Kết luận 21

Chương 2 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ 22

2.1 Các bài toán dẫn tới khái niệm và các nghĩa của đạo hàm trong SGK1 và SGK2 22

2.2 Các praxéologie liên quan đến khái niệm đạo hàm trong SGK1 và SGK2 25

2.3 Đối chiếu với các praxéologie trong M 27

2.4 Kết luận 30

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM: PHÂN TÍCH ĐẦU TIÊN VỀ LỰA CHỌN CỦA GIÁO VIÊN 31

3.1 Nghiên cứu thực hành dạy học của GV1 33

3.1.1 Những praxéologie được GV1 xây dựng trong lớp học 33

3.1.2 TCDH được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie đã xác định 34

3.1.3 Kết luận về một số lựa chọn sư phạm của GV1 38

3.2 Nghiên cứu thực hành dạy học của GV2 đối với khái niệm đạo hàm 40

3.2.1 Những praxéologie được GV2 xây dựng trong lớp học 41

3.2.2 TCDH được GV2 sử dụng để đưa vào các praxéologie đã xác định 42

3.2.3 Kết luận về một số lựa chọn sư phạm của GV2 44

3.3 Kết luận 44

4.1 Tổng hợp các kết quả phân tích tiên nghiệm các nhân tố ảnh hưởng lên sự

lựa chọn sư phạm của giáo viên 46

4.1.1 Nhóm các nhân tố khoa học luận 47

4.1.2 Nhóm các nhân tố lịch sử Didactic 47

4.2 Kết luận về các nhân tố ảnh hưởng tới lựa chọn sư phạm của GV 48

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 56 PHỤ LỤC

Bảng 1.1 Nghĩa hình học, nghĩa vật lí của đạo hàm và một số đặc trưng

liên quan 18

Bảng 1.2 Những praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm 20

Bảng 2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm trong SGK1 và SGK2 23

nâng cao 25

và các SGK1, SGK2

M 28

Bảng 3.1 Những praxéologie được GV1 xây dựng trong lớp học 34

Bảng 3.2 Những praxéologie được GV2 xây dựng trong lớp học 41

của GV 47

Bảng 4.2 Nhóm các nhân tố lịch sử Didactic ảnh hưởng tới lựa chọn

của GV 48

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trước những năm 1990, ở Pháp, các nghiên cứu trong lĩnh vực Didactic chủ yếu tập trung vào hoạt động của HS Tuy nhiên, sau đó các nhà nghiên cứu đã ngày càng quan tâm đến hoạt động của GV Theo Margolinas, hoạt động dạy học của GV có thể

xem như một chuỗi các lựa chọn sư phạm, trong đó những lựa chọn dù ở mức độ vĩ

đó, việc trả lời cho câu hỏi “Cái gì quyết định sự lựa chọn sư phạm của GV trong thực

hành dạy học của anh ta?” là một yếu tố then chốt để hiểu được hoạt động của họ

Ở Việt Nam, hiện nay cũng bắt đầu có một vài công trình liên quan đến thực hành

các lớp song ngữ và các lớp phổ thông ở Việt Nam, Luận văn thạc sĩ giáo dục

viên qua tiết học về mô hình ngưỡng P-K, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm

Tp Hồ Chí Minh, số 28 năm 2011

Tuy nhiên, trong những nghiên cứu này, các tác giả chủ yếu phân tích thực hành

tố ảnh hưởng tới sự lựa chọn sư phạm của GV nhằm trả lời cho câu hỏi đặt ra ở trên

khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đang bước đầu triển khai

1 Macro – décision: Những lựa chọn sư phạm của GV trong quá trình soạn thảo các tình huống, kịch bản dạy học

dự án hợp tác Mô hình hóa các lựa chọn sư phạm của GV toán nhằm hỗ trợ thiết kế

các hoạt động dạy học trong môi trường EIAH4 Dự án nhằm thiết lập một mô hình

Trả lời cho câu hỏi “Cái gì quyết định sự lựa chọn sư phạm của GV trong thực hành

d ạy học của anh ta?” sẽ là một phần quan trọng của dự án

của GV Việc trả lời câu hỏi nêu trên đặc biệt có ý nghĩa trong công tác đào tạo GV,

nhất là trong bối cảnh chuẩn bị cho cuộc đổi mới giáo dục căn bản và toàn diện sau năm 2015 hiện nay

tâm đến những lựa chọn sư phạm đặc thù cho một tri thức cần dạy xác định Với luận

vì những lí do sau:

mang nhiều nghĩa khác nhau, gắn với những đặc trưng khác nhau và do đó

phương pháp để dạy học khái niệm này

Kết nối tri thức được lựa chọn với định hướng nghiên cứu đã trình bày làm nảy sinh câu hỏi xuất phát:

CH: Nh ững nhân tố nào ảnh hưởng tới sự lựa chọn sư phạm của GV trong thực hành dạy học khái niệm đạo hàm?

Trong nhà trường phổ thông, các kiến thức liên quan đến khái niệm đạo hàm

tích 12 Trong khuôn khổ của một luận văn, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu của

đầu tiên của HS với khái niệm, qua đó định nghĩa và các đặc trưng cơ bản nhất của đạo hàm được hình thành

2 V ề thuật ngữ “lựa chọn sư phạm”

của chúng tôi Đây cũng là một khái niệm mới, chưa được nghiên cứu trong các luận văn Thạc sĩ và luận án Tiến sĩ thuộc lĩnh vực Didactic Toán ở Việt Nam Việc làm rõ khái niệm này trước khi bắt tay vào nghiên cứu là cần thiết Sau đây, chúng tôi trình

bày định nghĩa “lựa chọn sư phạm” của GV và những đặc trưng của khái niệm.

giữa nhiều cái cùng loại Margolinas đưa ra một ví dụ về lựa chọn như sau:

Trong bàn ăn, bạn nói với người bên cạnh “Làm ơn cho tôi xin hũ muối!” và

người đó chuyển hũ muối qua cho bạn Khi đó người bạn này đã thực hiện một

hành động mà không có lựa chọn nào được đưa ra Giả sử có hai hũ muối trên

bàn, người bạn sẽ lịch sự hỏi lại “Anh muốn dùng hũ bên trái hay bên phải?” Trong trường hợp này, có nhiều khả năng tồn tại Tuy nhiên, trong những tình

huống “tầm thường” như vậy, ta không gọi đó là lựa chọn Bây giờ hãy tưởng

tượng tình huống người bạn đó biết rằng hũ muối bên trái được nối với một kíp

nổ, còn hũ muối bên phải thì không Khi đó, anh ta phải đưa ra một lựa chọn Nói

chung, tất cả mọi lựa chọn đều dựa trên sự tồn tại các khả năng

[I Lima (2006), tr.99]

Để thúc đẩy quá trình học tập một tri thức cụ thể của HS, GV luôn luôn phải lựa

dạy nội dung này là gì?”, hay “nên đặt ra những bài toán nào cho HS?”…Theo

H.Chaachoua (2015), trong thực hành dạy học, GV đưa ra nhiều lựa chọn Một số lựa

chúng được gọi là những lựa chọn sư phạm của GV Những lựa chọn này có thể được đưa ra trước, trong, và sau tiết dạy: khi GV thiết kế giáo án, tiến hành giảng dạy trên

trả lời được chấp nhận hoặc không được chấp nhận…) Hiển nhiên, những lựa chọn

trên, đôi khi để ngắn gọn chúng tôi sẽ gọi tắt là “lựa chọn”

3 T ổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu

c ủa GV: nghiên cứu trường hợp đối xứng trực giao6

, Luận án Tiến sĩ, Đại học Joseph Fourier - Grenoble 1: Nghiên cứu đã xác định một vài nhân tố ảnh hưởng

vi nghiên cứu được giới hạn trong một môi trường “giả định” – GV tương tác với

giảng

c ủa GV về bộ môn toán và việc dạy học toán đối với thực hành dạy học7

Thông

về môn toán và việc dạy học môn toán đóng một vai trò vô cùng quan trọng, dù thường là ngầm ẩn, trong hoạt động giảng dạy Ngoài ra, nghiên cứu cũng cho thấy những ảnh hưởng của kiến thức sư phạm tới lựa chọn của GV

về đạo hàm8

học khái niệm đạo hàm của 4 GV và chỉ ra mối quan hệ giữa những lựa chọn của 6

De la modélisation de connaissances des élèves aux décisions didactiques des professeurs: Étude didactique dans le cas de la symétrie orthogonale

7

The relationship of teachers' conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional

practice, Educational Studies in Mathematics tr 105-127

8

Teacher perspectives on derivative, Mathematics Education in the South Pacific tr 211-218

GV với quan niệm của họ về khái niệm đạo hàm Một lần nữa, ảnh hưởng của kiến thức chuyên ngành và sư phạm của GV lên thực tế giảng dạy được củng cố

niệm đạo hàm, đã chỉ ra các nghĩa khác nhau liên kết trong khái niệm, đó là:

nghĩa hình học, nghĩa vật lí và nghĩa công cụ xấp xỉ hàm số Một thực nghiệm được tiến hành đã cho thấy, khi đứng trước một tình huống ngoài toán học, HS không biết huy động các nghĩa đặc trưng của đạo hàm để giải quyết Từ các kết

- Tác giả Ngô Minh Đức (2013), trong luận văn thạc sĩ Khái niệm đạo hàm trong

d ạy học Toán và Vật lí ở trường phổ thông, đã tiến hành một điều tra khoa học

triển, đặc biệt là các đặc trưng liên quan tới quan hệ giữa đạo hàm và các khái

hàm trong thể chế dạy học vật lí và thể chế dạy học toán được tiến hành dẫn tới

cá nhân của HS” Giả thuyết này sau đó được kiểm chứng bằng một thực

nghiệm, từ đó tác giả thực hiện một tiểu đồ án nhằm bổ sung những nghĩa còn

và Nguyễn Phú Lộc (2015) đã cho thấy các SGK chú trọng vào các dạng toán tính đạo

quan tâm thích đáng Quan điểm đại số hóa đạo hàm trong thể chế dạy học ở Việt Nam

để lại ảnh hưởng mạnh mẽ trong quan niệm của HS: Đối với họ, đạo hàm gắn liền với

Những kết quả nghiên cứu trên sẽ giúp chúng tôi hiểu hơn về các nghĩa đặc trưng của đạo hàm và các TCTH có liên quan đến khái niệm được hình thành trong thể chế Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu thực hành dạy học của GV đối với khái

4 Phương pháp nghiên cứu

Để làm sáng tỏ các nhân tố ảnh hưởng tới lựa chọn sư phạm của GV trong thực

chọn sư phạm nào?” Như chúng tôi đã trình bày, tất cả lựa chọn đều dựa trên sự tồn

nào để trình bày khái niệm? Những tình huống nào có thể xây dựng? Những bài toán

Một trong những nguồn tư liệu “bắt buộc phải tham khảo” để xác định những khả

năng này chính là các bộ SGK toán 11 Đã có nhiều công trình phân tích mối quan hệ

phân tích đó và có những bổ sung nếu cần thiết Tuy nhiên, chỉ phân tích các SGK thôi

là chưa đủ, vì GV còn tiếp xúc với nhiều nguồn tài nguyên khác (ví dụ: sách tham

thể có những khả năng khác để lựa chọn Do đó, cần thiết phải có một “bộ tham chiếu” tương đối đầy đủ hơn Điều đó được thực hiện bằng cách nhìn sang một thể chế khác:

Transcendentals ( )M Đồng thời, chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu tri thức

niệm đạo hàm, các nghĩa đặc trưng và các dạng toán tiêu biểu gắn liền với khái niệm Sau khi xác định được các khả năng, chúng tôi tiến hành quan sát thực hành dạy

phạm của họ

GV xem lại biên bản quan sát lớp học và yêu cầu họ giải thích lí do của những lựa

nhân t ố ảnh hưởng? Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi tổng hợp lại những phân tích

tiên nghiệm về các nhân tố ảnh hưởng trước khi tiến hành phỏng vấn GV

Phương pháp luận nghiên cứu của chúng tôi có thể hệ thống hóa trong sơ đồ 1

Sơ đồ 1: Phương pháp nghiên cứu trong luận văn

5 Ph ạm vi lí thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của lý thuyết Didactic toán

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxéologie Mỗi

praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ,τ θ Θ , trong đó T là kiểu nhiệm vụ ]đặt về phía người học, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T, θ là yếu tố công nghệ

và phân tích giáo trình M làm rõ các bài toán

giải thích cho τ , Θ là yếu tố lí thuyết giải thích cho θ Một praxéologie mà các

thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là “tổ chức toán học”

…

Mô hình praxéologie này tạo nên một viên gạch nền Nói chung, những viên gạch

nền sẽ kết hợp với nhau để hình thành nên các praxéologie địa phương, trong đó

ta sẽ có nhiều kĩ năng được giải thích bởi cùng một tri thức, các praxéologie vùng

trong đó cùng một lí thuyết sẽ giải thích cho nhiều công nghệ, mà đến lượt nó các công nghệ lại giải thích cho nhiều khối kiểu nhiệm vụ/kĩ thuật; cuối cùng là các

praxéologie t ổng thể tương ứng với nhiều lí thuyết

[Bessot và các tác giả, 2009, tr.319]

Để phân tích thực hành dạy học của GV chúng tôi sử dụng khái niệm tổ chức dạy

cấu thành nên nó là KNV thuộc loại nghiên cứu, hay nói cách khác một TCDH trả lời

- Th ời điểm thứ nhất là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với KNV T cấu thành nên O

- Th ời điểm thứ hai là thời điểm là thời điểm nghiên cứu KNV T và hình thành

kĩ thuật giải quyết T

- Th ời điểm thứ ba là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lí thuyết giải

thích cho kĩ thuật

- Th ời điểm thứ tư là thời điểm làm việc với praxéologie đã hoặc đang trên

đường tạo ra Ở đây người ta vận hành các yếu tố đã soạn thảo để tin chắc là

chúng “tr ụ được” khi giải quyết các nhiệm vụ thuộc KNV Tvà, nếu có thể, thì hoàn thiện chúng Đồng thời, người ta cũng luyện tập khả năng làm chủ praxéologie đã thiết lập, đặc biệt là làm chủ kĩ thuật τ đã được xây dựng

- Th ời điểm thứ năm là thời điểm thể chế hóa Ở đây người ta trình bày rõ tổ

chức [T/ /τ θ /Θ hay ] [T T T, ', " / , ', " /τ τ τ θ /Θ bằng cách chỉ ra các ]thành phần của nó và nếu có thể thì sát nhập nó vào một praxéologie đã từng được thể chế hóa

- Th ời điểm thứ sáu là thời điểm đánh giá Lúc này người ta đánh giá HS về

khả năng làm chủ tổ chức đã được tạo ra, đồng thời cũng đánh giá chính tổ

chức này, có nghĩa là cố gắng xác định giá trị có thể mang lại cho cái này hay

cái kia trong một dự án rộng hơn về việc xây dựng các tổ chức [T / /τ θ /Θ ]

[Comiti, Lê Thị Hoài Châu, 2011, tr.13]

theo đúng trình tự đã nêu

6 M ục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

chúng tôi cụ thể hóa câu hỏi xuất phát ban đầu thành hệ thống các câu hỏi sau:

CH1: Nh ững bài toán nào dẫn tới khái niệm đạo hàm, các nghĩa đặc trưng và các praxéologie tiêu biểu gắn liền với khái niệm là gì?

CH2: Trong th ể chế dạy học toán 11 (chương trình hiện hành) những bài toán nào được trình bày, những nghĩa nào được hình thành và những praxéologie nào được xây dựng?

CH3: Trong th ực hành dạy học khái niệm đạo hàm, GV đã có những lựa chọn sư

ph ạm nào? Những nghĩa đặc trưng nào của đạo hàm được GV tính đến? Những

praxéologie nào được xây dựng trong lớp học? TCDH nào được GV thiết kế để đưa vào các praxéologie đó?

CH4: Nh ững lựa chọn sư phạm của GV trong thực hành dạy học khái niệm đạo hàm do những nhân tố nào quyết định? Các nhân tố này tác động vào những thời điểm nào và có mức độ ảnh hưởng ra sao tới lựa chọn của GV?

7 Cấu trúc của luận văn

Chương 1 Nghĩa của khái niệm đạo hàm Các praxéologie đặc trưng cho khái niệm

Chương 1 nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi CH1 Chúng tôi tổng kết các nghiên

trưng; đồng thời, phân tích một giáo trình đại học để xác định các praxéologie tiêu

Chương 2 Khái niệm đạo hàm: một nghiên cứu thể chế

Trong chương 2, chúng tôi tiến hành tổng hợp các kết quả phân tích thể chế dạy

Chương 3 Nghiên cứu thực hành dạy học khái niệm đạo hàm: phân tích đầu tiên về

lựa chọn của GV

chương trình Đại số - Giải tích 11 và phân tích các nghĩa đặc trưng của đạo hàm được

câu hỏi CH3 cho phép chúng tôi xác định những lựa chọn sư phạm mà GV đã đưa ra

Chương 4 Các nhân tố ảnh hưởng tới sự lựa chọn sư phạm của GV trong thực hành

dạy học khái niệm đạo hàm

Để trả lời cho câu hỏi CH4, chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu về những

vấn sẽ được phân tích để rút ra kết luận về các nhân tố ảnh hưởng tới lựa chọn sư

Chương 1

NGHĨA CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

CÁC PRAXÉOLOGIE ĐẶC TRƯNG CHO KHÁI NIỆM

Trong chương này, chúng tôi tổng hợp các nghiên cứu tri thức luận về đạo hàm

hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm của tác giả Lê Thị Hoài Châu đã làm rõ những

Transcendentals ( )M để thấy được các praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm

đưa ra các lựa chọn khi thực hành dạy học §1 “Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm” Chương V “Đạo hàm”, chương trình Đại số - Giải tích 11 Tiền đề đó giúp chúng tôi

-xác định những lựa chọn sư phạm khi quan sát thực hành dạy học của GV

1.1 Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm Các nghĩa của khái niệm

đạo hàm xuất hiện từ thế kỉ 17, đó là bài toán hình học “Xác định tiếp tuyến của đường

cong” và bài toán v ật lí “Xác định vận tốc tức thời của một chuyển động” Sau này,

dòng điện tức thời” trong vật lí, “Xác định tốc độ phản ứng hóa học tức thời” trong

dân số” trong lĩnh vực dân số học…đều đưa đến việc tìm một giới hạn đặc biệt có

học và nghĩa vật lí

- Nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là “độ

dốc” của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đang xét Chính nhờ nghĩa hình

học của đạo hàm, các nhà toán học đã tìm ra lời giải cho vấn đề xác định tiếp

công cụ hình học thuần túy (mặc dù vào thời điểm ban đầu của việc tìm ra lời giải, khái niệm đạo hàm chưa hề được định nghĩa và chỉ được sử dụng như một

- Nghĩa vật lí của đạo hàm: Đạo hàm tại một điểm phản ánh vận tốc tức thời của

chuyển động tại điểm đang xét Tuy nhiên, nghĩa vật lí của đạo hàm không chỉ

của hàm số so với tốc độ biến thiên của biến số khi x → ” Theo đó, nghĩa x o

khác nhau, từ vật lí, hóa học, sinh học cho đến kinh tế, xã hội học, chẳng hạn như: vận tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời, tốc độ phản ứng hóa học,

Châu trình bày nghĩa thứ ba của khái niệm: công cụ xấp xỉ hàm số

Năm 1715, Taylor đưa ra một kết quả mà ngày nay ta gọi là công thức khai triển Taylor: nếu x=x o +h, nghĩa là h= −x x o thì

một hàm đa thức xấp xỉ với f x( ) Trường hợp đơn giản nhất, người ta có thể xấp

xỉ f x v( ) ới một hàm tuyến tính (gọi là xấp xỉ affine) Nếu chuyển sang ngôn ngữ hình học thì điều này có nghĩa là phần đường cong f x trong m( ) ột lân cận (khá bé) của x có thể được xấp xỉ với một đoạn thẳng (chính là tiếp tuyến tại x )

Chúng tôi gọi đây là nghĩa công cụ xấp xỉ của khái niệm đạo hàm

[Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr 10]

cực đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine trong thể chế, tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) đã chỉ ra rằng mối quan hệ đạo hàm - xấp xỉ affine chỉ xuất hiện ngầm ẩn thông

nghĩa thứ ba của đạo hàm khó có cơ hội xuất hiện trong thực hành dạy học của GV Vì những lí do trên, trong luận văn này chúng tôi sẽ chỉ xem xét nghĩa hình học và nghĩa

Sơ đồ 1.1: Khái niệm đạo hàm với nghĩa hình học và nghĩa vật lí của nó

9 Tác giả đã phân tích hai bộ SGK 11 chương trình thí điểm Do nội dung chương Đạo hàm trong hai bộ SGK 11

cơ bản và nâng cao chương trình hiện hành không có nhiều sự khác biệt so với hai bộ sách nêu trên nên chúng tôi giả định rằng các kết luận tác giả rút ra vẫn đúng với chương trình hiện hành

số gia của biến số tại

số gia của hàm số tại thương hai số gia, biểu diễn cho tốc

độ biến thiên trung bình

trở thành tiếp tuyến tại , độ dốc

của cát tuyến dần trở thành độ dốc

của tiếp tuyến

Nghĩa hình học của đạo hàm

Khi tốc độ biến thiên trung bình trở thành tốc độ biến thiên tức thời

Nghĩa vật lí của đạo hàm

Kí hiệu đạo hàm

của hàm số tại a

1.2 Các praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm

Để xác định các praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm, chúng tôi tham

tác giả trình bày trong lời tựa như sau:

“Tôi đã nỗ lực viết một cuốn sách để dẫn dắt HS khám phá giải tích, để họ thấy được quyền năng thực tế và vẻ đẹp đáng ngạc nhiên của nó…Cuốn sách tập trung vào việc hiểu các khái niệm…đó là mục tiêu cơ bản của một giáo trình nhập môn

về giải tích”

[James Stewart, 2008, tr xi]

từ Như vậy, mục tiêu của M nhắm đến việc hiểu bản chất các khái niệm giải tích và

toán Đó cũng chính là lí do chúng tôi chọn giáo trình này để tham khảo

Các dạng bài tập liên quan đến khái niệm đạo hàm trong M rất phong phú, đa

bằng đồ thị

Bài tập 49 tr.153 M

Lượng ôxy có thể hòa tan trong nước phụ

thuộc vào nhiệt độ của nước (do đó sự ô

nhiễm nhiệt có thể gây ảnh hưởng đến hàm

lượng ôxy trong nước) Đồ thị sau biểu diễn

độ hòa tan của ôxy trong nước S phụ thuộc

theo nhiệt độ T Hãy ước tính giá trị S' 16( )

10 Trong khi phân tích các praxéologie, chúng tôi sẽ chỉ rõ 3 thành phần của chúng là KNV, kĩ thuật và công nghệ Thành phần thứ 4, yếu tố lí thuyết được hiểu là Θ : Lí thuyết về đạo hàm và phép tính vi phân

Kĩ thuật giải quyết KNV UT

- Kẻ tiếp tuyến ∆ tại điểm P a f a( , ( ) ) của đồ thị hàm số một cách tương đối sao

o Kéo dài ∆ lần lượt cắt Ox , Oy tại hai điểm có tọa độ ( )x, 0 , ( )0, y Độ

1 2

00

y y y y m

bằng bảng giá trị

Ví dụ 7 tr.149 M : Gọi D t là t( ) ổng nợ

công của Mĩ tại thời điểm t Bảng sau

cho biết giá trị ước tính của D t ( ) (đơn

vị: tỉ đô la) vào thời điểm cuối mỗi năm

giai đoạn 1980 - 2000 Hãy ước tính giá

Lời giải mẫu M đưa ra:

Ta tính toán và lập bảng giá trị thương số gia

D

t

∆

∆ (tốc độ biến thiên trung bình) Từ bảng

giá trị trên ta thấy rằng D' 1990( ) nằm trong

khoảng 257,48 và 348,14 tỉ đô la/ năm (ở đây

dốc của tiếp tuyến tại t=1990

- Xác định các cặp điểm M i(x f x i, ( )i ) đã cho trên hệ trục tọa độ Oxy

- Kẻ tiếp tuyến ∆ tại điểm P a f a( , ( ) ) với đường cong vừa vẽ

- Tính độ dốc của tiếp tuyến m∆ (tương tự như trong kĩ thuật τDDTT)

- Kết luận f '( )a ≈m∆

Công nghệ θHH: Nghĩa hình học của đạo hàm: đạo hàm của hàm số tại một điểm là độ

praxéologie T BGT UT /τVDT UT /θHH /ΘDH huy động nghĩa hình học của đạo hàm

Công nghệ θDH : Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Nh ận xét: Các kĩ thuật T

DNDH

giới hạn TCTH T BTGT T /τT DNDH(τT DNDH' /) θDH /ΘGH góp phần nhấn mạnh ý tưởng “đạo

hàm là m ột giới hạn đặc biệt”

Ví dụ 6 tr.148 M

Một nhà máy sản xuất vải Biết rằng các súc vải được sản xuất có chiều rộng cố

định Giá thành sản xuất x thước (yard) vải là C= f x( ) (đơn vị: USD )

)

a Giải thích nghĩa của đạo hàm f '( )x Đơn vị của nó là gì?

b Trong trường hợp cụ thể f ' 1000( )= có nghĩa là gì? 9

Bài t ập 19 tr.151 M

Vẽ đồ thị hàm số f thỏa f ( )0 =0, ' 0f ( )=3, ' 1f ( )= và 0 f ' 2( )= − 1

Đề bài không trực tiếp yêu cầu HS giải thích nghĩa của đạo hàm Tuy nhiên, để vẽ

( )

' 0 3,

f = ' 1f ( )= 0 và f ' 2( )= −1 - đây chính là độ dốc tiếp tuyến tại các điểm có

một bước tiên quyết để thực hiện yêu cầu của bài toán

VL

biểu trong bảng 1.1

B ảng 1.1 Nghĩa hình học, nghĩa vật lí của đạo hàm và một số đặc trưng liên quan

Đạo hàm Nghĩa hình học Nghĩa vật lí

Tốc độ biến thiên tức thời của y theo x

Cụ thể, khi x tăng 1 đơn vị thì y tăng f'( )a

đơn vị Tùy vào ý nghĩa hàm số y = f x( )

biểu thị mà f'( )a có thể mang các tên gọi khác nhau như:

s= f t Hàm số biểu

thị vị trí theo thời gian

của một chất điểm chuyển động

( )

' :

f a Cường độ dòng điện tức

thời tại thời điểm

t= a

( ):

D= f t Hàm số biểu

thị nồng độ của chất tham gia (hoặc sản

phẩm) theo thời gian t

y tăng f '( )a đơn vị khi x tăng 1 đơn vị

(vận tốc dương, vật di chuyển theo chiều dương…)

( )

f a < Tiếp tuyến tạo với Ox một góc

tù, đồ thị hàm số đi xuống

y giảm f '( )a đơn vị khi x tăng 1 đơn vị

(vận tốc âm, vật di chuyển theo chiều âm…) ( )

Đồ thị hàm số không “trơn” tại

P (gãy hoặc không liên tục,

không xác định)

Tương ứng, ta có 2 praxéologie:

 KNV T HH GT : Giải thích nghĩa hình học của đạo hàm hàm số y= f x( ) tại điểm x a=

Kĩ thuật τHH GT : Chuyển đổi các tính chất đặc trưng của đạo hàm f '( )a sang nghĩa hình

Công nghệ θHH : Nghĩa hình học của đạo hàm ( f '( )a là hệ số góc của tiếp tuyến với

đồ thị tại x=a)

 KNV T VL GT : Giải thích nghĩa vật lí của đạo hàm hàm số y= f x( ) tại điểm x=a

Kĩ thuật τVL GT : Chuyển đổi các tính chất đặc trưng của đạo hàm f '( )a sang nghĩa vật lí tương ứng và ngược lại (áp dụng cột 1 và cột 3 của bảng 1.1)

Công ngh ệ θVL: Nghĩa vật lí của đạo hàm

củng cố nghĩa vật lí của đạo hàm

nghĩa nào của khái niệm đạo hàm Ngoài hai nhóm liên quan đến nghĩa hình học và nghĩa vật lí, còn nhóm thứ ba mà kĩ thuật chỉ chịu sự tác động của định nghĩa toán học

Ghi chú:

♦ T DT UT : Ước tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, trong đó hàm số được cho bằng đồ thị

♦ T BGT UT : Ước tính đạo hàm của hàm số tại một điểm trong đó hàm số được cho bằng bảng giá trị

♦ T BTGT UT : Ước tính đạo hàm của hàm số tại một điểm trong đó hàm số được cho bằng biểu

thức giải tích

♦ T HH GT : Giải thích nghĩa hình học của đạo hàm hàm số tại một điểm

♦ T VL GT : Giải thích nghĩa vật lí của đạo hàm hàm số tại một điểm

lượt tạo thành ba praxéologie địa phương đặc trưng khái niệm đạo hàm tại một điểm

Ví dụ, T DT UT /τDDTT UT /θHH /ΘDH, T BGT UT /τVDT UT /θHH /ΘDH và T HH GT /τHH GT /θHH /ΘDH

nghĩa hình học của đạo hàm

1.3 Kết luận

Như vậy trong chương 1, chúng tôi đã chỉ rõ hai nghĩa đặc trưng cho khái niệm đạo hàm nghĩa hình học và nghĩa vật lí, xuất phát từ các bài toán trong lịch sử dẫn đến khái

nghĩa của đạo hàm và các praxéologie có liên quan đến khái niệm trong thể chế dạy học toán 11 ở Việt Nam

Chương 2 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM:

Trong chương này chúng tôi tổng hợp một số công trình nghiên cứu và đưa ra những bổ sung cần thiết để xem xét sự lựa chọn của thể chế dạy học toán 11 đối với

sử dụng để phân tích là:

- SGK1: SGK Đại số & giải tích 11 cơ bản, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ

Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010

- SBT1: Sách bài t ập Đại số & giải tích 11 cơ bản, Trần Văn Hạo (Tổng chủ

biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010

- SGV1: Sách giáo viên Đại số & giải tích 11 cơ bản, Trần Văn Hạo (Tổng chủ

biên), Vũ Tuấn Chủ biên), Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010

- SGK2: SGK Đại số & giải tích 11 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên),

Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010

- SBT2: Sách bài t ập Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nguyễn Huy Đoan (Chủ

- SGV2: Sách giáo viên Đại số & giải tích 11 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ

2.1 Các bài toán dẫn tới khái niệm và các nghĩa của đạo hàm trong SGK1 và

SGK2

học bằng mô hình hóa, qua đó hình thành nghĩa vật lí Cụ thể, SGK1 giới thiệu hai vấn

đề tìm vận tốc tức thời và tìm cường độ dòng điện tức thời trong các bài toán mở đầu

tự do Ngoài ra, SGV1 còn trình bày thêm công thức tính tốc độ phản ứng hóa học tức

o

o o

Như vậy, nghĩa vật lí đã xuất hiện Tuy nhiên, theo Ngô Minh Đức (2013), trong

các SGK, nghĩa này “chỉ dừng lại ở một vài công thức tính vận tốc tức thời, cường độ

dòng điện tức thời” Trong khi đó, như đã đề cập trong chương 1, nghĩa vật lí của đạo

Hoài Châu (2014), nói đến một lĩnh vực vốn là nguồn gốc của khái niệm đạo hàm Một

hàm” trong SGK1 cũng không được hiểu theo cách mà tác giả Lê Thị Hoài Châu đã

không ti ến xa hơn nữa để chỉ ra được nghĩa tổng quát về tốc độ biến thiên ẩn bên dưới

có thể ngăn cản việc ứng dụng đạo hàm trong các tình huống khác của vật lí” [Ngô

Minh Đức (2013), tr.52]

Bảng 2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm trong SGK1 và SGK2

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong ( )C Giả sử ( )C là đồ thị hàm số y= f x( )

và M o(x o,f x( )o )∈( )C Kí hiệu M x f x( , ( ) ) là một điểm di động trên ( )C Xét cát tuyến

M gọi là tiếp điểm

Gọi k M là hệ số góc của cát tuyến M M o lim

là hệ số góc của tiếp tuyến M T o của ( )C tại

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại

điểm của hoành độ x o = 2

VÍ D Ụ 2 (tr.188)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số 3

y=x tại điểm có hoành độ x o = − 1

Gi ải: Bằng định nghĩa ta tính được

o

f x = − = − nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y= x+ − hay y=3x+ 2

Như vậy, nghĩa hình học của đạo hàm được các SGK đưa vào thông qua bài toán

xác định tiếp tuyến của một đường cong Hơn nữa, phương trình tiếp tuyến với đường

ghi nhớ (SGK2) Ngoài ra, chúng ta cũng lưu ý thấy một sự khác biệt trong việc lựa

đây, ta chỉ cung cấp cho HS khái niệm này bằng cách mô tả trực quan…mà không nêu thành định nghĩa” [SGV1, tr.159] Trong khi đó, SGV2 nhận định cách định nghĩa tiếp

tuyến như vậy “tuy có vẻ trực giác nhưng lại rất mơ hồ, bởi lẽ ta chưa có khái niệm về

v ị trí giới hạn của một đường thẳng khi một điểm chuyển động đến một vị trí nào đó”

[SGV2, tr.227] Do đó, các tác giả đã định nghĩa tiếp tuyến thông qua khái niệm giới

hạn HS đã học trong chương IV Cụ thể, tiếp tuyến MT o là đường thẳng đi qua M có o

2.2 Các praxéologie liên quan đến khái niệm đạo hàm trong SGK1 và SGK2

Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2015) đã phân tích các KNV xuất hiện trong hai bộ SGK

Bảng 2.2 Các KNV liên quan đến khái niệm đạo hàm trong SGK cơ bản và nâng cao

T Tìm vận tốc tức thời của chuyển

động có phương trình s=s t( ) tại thời

điểm t o

Vttt

SBT1 và SBT2 cũng sử dụng kĩ thuật này Tuy nhiên, SGV1 trình bày thêm kĩ thuật '

cho hai kĩ thuật trên là θDNDH : định nghĩa đạo hàm tại một điểm, vì vậy KNV này đặc

Kĩ thuật τCM Gay: Đồ thị gãy

- Nếu tại x o đồ thị gãy thì hàm số không có đạo hàm tại x o

Kĩ thuật τCM : Sử dụng đạo hàm một bên

Đây là KNV được các SGK chú trọng và có nhiều bài toán cho HS luyện tập nhất

Lí thuyết ΘHH : Nghĩa hình học của đạo hàm

[T Pttt /τPttt /θPttt /ΘHH] cũng giúp củng cố đặc trưng hình học của đạo hàm Tuy nhiên

mức độ nhấn mạnh đặc trưng này của TCTH trên yếu hơn T HH GT /τGT HH /θHH /ΘDH vì

với sự thể chế hóa phương trình tiếp tuyến của các SGK, nghĩa hình học chỉ còn đóng vai trò lí thuyết giải thích cho công nghệ θPttt

khai, gồm:

♦ KNV T HsgTT : Tìm h ệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số

♦ KNV T Pttt Hsg : Vi ết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f x( ) cho biết hệ số góc của tiếp tuyến

♦ KNV T Pttt Tung : Vi ết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y= f x( ) biết tung độ

Kĩ thuật τVttt : Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t c o ủa chuyển động: v t( )o =s t'( )o

nghĩa vật lí của đạo hàm dưới dạng cụ thể: vận tốc tức thời Đây là một KNV con của

GT

VL

T

2.3 Đối chiếu với các praxéologie trong M

Bảng 2.3 Đối chiếu các praxéologie đặc trưng cho khái niệm đạo hàm trong M

♦ T DT UT : Ước tính đạo hàm của hàm số tại điểm x a= trong đó hàm số được cho bằng đồ thị

♦ T BGT UT : Ước tính đạo hàm của hàm số tại điểm x a= trong đó hàm số được cho bằng bảng giá trị

♦ T HH GT : Giải thích nghĩa vật lí của đạo hàm hàm số tại điểm x a=

♦ T VL GT : Giải thích nghĩa vật lí của đạo hàm hàm số tại điểm x a=

♦ T BTGT T : Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x a= trong đó hàm số được cho bằng một biểu

thức giải tích

Như vậy, các KNV ước tính đạo hàm tại một điểm không được SGK1 và SGK2 triển khai LoạI nhiệm vụ Viết phương trình tiếp tuyến được chú trọng cả về số lượng

xây dựng duy nhất một KNV nhấn mạnh nghĩa vật lí của đạo hàm (dưới dạng cụ thể:

Hình bên là đồ thị của hàm số y= f x( ) trên

khoảng ( )a b Bi, ết rằng tại các điểm M M và 1, 2

3

M , đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện

như hình vẽ Dựa vào hình vẽ, em hãy nêu nhận

với nghĩa hình học của đạo hàm đã được các SGK sử dụng Tuy nhiên, chúng ta cũng

DT

“đẹp” dễ dàng tính chính xác

2.4 K ết luận

Trong chương 1 và chương 2, chúng tôi đã chỉ ra các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm, các nghĩa đặc trưng, các praxéologie gắn liền với khái niệm cũng như những

một số khả năng đã được làm rõ Liệu rằng trong thực hành dạy học GV sẽ đưa ra

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH DẠY HỌC

Trong chương này, từ cách tiếp cận của Thuyết nhân học trong Didactic Toán,

được định hướng bởi câu hỏi nghiên cứu sau:

CH3: Trong th ực hành dạy học khái niệm đạo hàm, GV đã có những lựa chọn sư phạm nào? Những đặc trưng nào của đạo hàm được GV tính đến? Những praxéologie nào được xây dựng trong lớp học? TCDH nào được GV thiết kế để đưa vào các praxéologie đó?

Thông qua việc trả lời CH3, chúng tôi hi vọng làm rõ những lựa chọn sư phạm liên

quan đến tri thức cần dạy và lựa chọn về cách thức dạy học của GV được quan sát

nhân tố ảnh hưởng đến lựa chọn của GV

nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm” - chương V “Đạo hàm” - Đại số & Giải tích 11 của hai

GV: GV1 đã có trên 10 năm kinh nghiệm giảng dạy ở trường Trung học thực hành Đại

tạo tại khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Các lớp học quan sát được lựa chọn ngẫu nhiên: lớp 11.1 trường thứ nhất và lớp 11A3 trường thứ hai

sát lớp học Từ biên bản thu được, đối chiếu với những phân tích ở chương 1 và chương 2, chúng tôi xác định những lựa chọn GV đã đưa ra trong thực hành dạy học: các nghĩa nào của đạo hàm được GV xây dựng trong lớp học, các bài toán, tình huống nào được thiết kế để đưa vào các nghĩa đó, các praxéologie nào được triển khai Đồng

ưu tiên, các ví dụ, bài toán đưa ra cho HS, cách đặt câu hỏi và thời điểm đặt câu hỏi,

câu trả lời đúng hoặc sai của HS…Tất cả những yếu tố đó sẽ được ghi nhận chi tiết trong Cột 3 (Những ghi nhận quan sát được về các lựa chọn sư phạm của GV) của Phụ

Cột 4 (Lí giải của GV) Cuối cùng, đối chiếu câu trả lời của GV với các phân tích tiên

thời điểm đưa ra các lựa chọn (Cột 5) Do đó, Phụ lục 1 và Phụ lục 2 là một phần quan

(1)

Đoạn

(2) Biên b ản quan sát lớp học

(3)

Nh ững ghi

nh ận quan sát được về các lựa

(-): trong gi ờ học

♦ Lí giải của GV

(5) Phân tích nhân t ố ảnh hưởng

t ới lựa

ch ọn

45

…(GV1) Trước khi nêu ý nghĩa vật

lí của đạo hàm thầy đặt ra vấn đề nhỏ

như thế này: Khi bạn chạy xe trên

một đoạn đường nào đó, người ta ghi

vận tốc tối đa cho xe chạy là

40 /km h , chạy quá tốc độ sẽ bị phạt

Một người đang chạy xe với vận tốc

trung bình là 35 /km h trên đoạn

không sử

dụng bài toán mở đầu trong các SGK

(+): GV1 muốn xây

dựng một tình huống cho HS thấy ý nghĩa

của khái niệm vận tốc

tức thời Bài toán mở đầu chỉ xây dựng công thức tính vận

tốc tức thời mà không cho thấy ý nghĩa của khái niệm này

Như vậy, chi tiết về tất cả các lựa chọn sư phạm của GV mà chúng tôi ghi nhận được có thể tìm thấy trong Phụ lục 1 và Phụ lục 2 của luận văn Ở đây, chúng tôi trình

khai trong lớp học và những TCDH được xây dựng để đưa vào các praxéologie đó

3.1 Nghiên c ứu thực hành dạy học của GV1

GV1 giảng dạy §1 “Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm” trong 3 tiết học (mỗi tiết

định nghĩa

trường tự biên soạn Phương pháp thuyết trình kết hợp đàm thoại với một bộ câu hỏi hướng dẫn sát sao được GV1 sử dụng, trong phần lớn thời gian GV1 luôn ở thế chủ động

3.1.1 Những praxéologie được GV1 xây dựng trong lớp học

DNDH

KNV T Pttt Hsg, T Pttt Tung và T Pttt Qua

“m ầm mống” xuất hiện trong các SGK, như chúng tôi đã phân tích trong chương 2, có

toán học

Bảng 3.1 Những praxéologie được GV1 xây dựng trong lớp học

Bài t ập sửa trên l ớp

3.1.2 TCDH được GV1 sử dụng để đưa vào các praxéologie đã xác định

quan đến lựa chọn sư phạm của GV1 ở mỗi thời điểm

DNDH

T

Định nghĩa đạo hàm được GV1 trình bày trong 2 tiết học đầu của §1 “Định nghĩa

và ý nghĩa của đạo hàm” Trước đó, GV1 đã yêu cầu HS về ôn tập lại các dạng giới

tượng → Công cụ theo con đường suy diễn để dạy học khái niệm này Hai TCTH trên được GV1 xây dựng kĩ càng với sự xuất hiện của cả 6 thời điểm sư phạm:

định nghĩa đạo hàm như trong SGK