Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan

Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số gọi tắt là KSHS đã luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông gọi tắt là TH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả

Lê Thị Bích Siêng

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, thầy đã tận tình chỉ bảo và có nhiều tâm huyết trong việc hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Thầy luôn cho tôi những lời góp ý nghiêm khắc và những động viên chân thành

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến , TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng và các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền cho chúng tôi nhiệt huyết của nghề dạy học và

sự hấp dẫn của chuyên ngành trong suốt thời gian tham gia lớp cao học

Xin chân thành cảm ơn GS.TS Annie Bessot và Thầy Hamid Chaachoua đã có những góp ý và định hướng quý báu cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn:

Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

 Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán-Tin trường THPT An Mỹ đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi an tâm đi học và hoàn thành luận văn này

Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán khóa 26 Tôi không bao giờ quên những kỉ niệm mà chúng ta đã cùng nhau chia sẻ trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn vô hạn đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên, khích lệ, quan tâm và luôn luôn sẵn sàng giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi thực hiện nhiệm vụ học tập Nhất là đứa con gái

bé bỏng của tôi phải chịu nhiều thiệt thòi khi phải đồng hành cùng mẹ trong suốt thời gian mẹ đi học

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cám ơn

Danh mục các từ viết tắt

Dạnh mục các bảng

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN LỚP 12 7

1.1 Các tính chất hàm số được nghiên cứu và các kiểu nhiệm vụ tương ứng trong chương trình toán bậc trung học phổ thông 7

1.2 Bài toán khảo sát hàm số trong SGK hiện hành 10

1.2.1 Bài toán khảo sát hàm số với hình thức tự luận 11

1.2.2 Các kiểu nhiệm vụ con của TKSHS trong các câu hỏi TNKQ 16

Kết luận chương 1 27

Chương 2 VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN TRONG BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ 29

2.1 Vai trò của bảng biến thiên 29

2.1.1 Khái niệm bảng biến thiên và vai trò của nó trong SGK hiện hành 29

2.1.2 Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh BBT trong SGK hiện hành 34

2.2 Kiểu nhiệm vụ gắn với khái niệm cực trị, GTLN và GTNN của hàm số 39

2.2.1 Khái niệm cực trị 40

2.2.2 Khái niệm GTLN, GTNN 44

Kết luận chương 2 48

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 50

3.1 Mục đích thực nghiệm 50

3.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 50

3.3 Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu 50

3.4 Phân tích tiên nghiệm 52

3.4.1 Biến didactic và các giá trị có thể chọn 52

3.4.2 Sự lựa chọn các biến trong 3 bài toán 55

3.4.3 Các câu trả lời có thể có ở các bài toán 57

3.5 Phân tích hậu nghiệm 61

3.5.1 Bài toán 1 61

3.5.2 Bài toán 2 63

3.5.3 Bài toán 3 65

Kết luận thực nghiệm 69

KẾT LUẬN 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 PHỤ LỤC

SGV12CB Sách giáo viên Giải tích 12 chương trình chuẩn THPT Trung học phổ thông

TNKQ Trắc nghiệm khách quan

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Các tính chất hàm số và các KNV tương ứng 7

Bảng 1.2 Nội dung các bài học chương I trong các SGK 12 hiện hành 10

Bảng 1.3 Sơ đồ KSHS ở các SGK hiện hành 12

Bảng 1.4 Các KNV con của TKSHS có thể xây dựng từ sơ đồ KSHS 15

Bảng 1.5 Các KNV con của TKSHS trong các câu TNKQ ở SGK hiện hành 17

Bảng 2.1 Hàm số K(x) đề nghị trong KNV TCT ở SGK hiện hành 42

Bảng 3.1 Giá trị các biến trong 3 bài toán 55

Bảng 3.2 Kết quả trả lời trên bài toán 1 61

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 3.1 Bài toán 1- câu a - Bài làm của HS 012096 62

Hình 3.2 Bài toán 1- câu b - Bài làm của HS 012202 62

Hình 3.3 Bài toán 1- câu a - Bài làm của HS 012234 62

Hình 3.4 Bài toán 1- câu b - Bài làm của HS 012123 63

Hình 3.5 Bài toán 2- câu 2- Bài làm của HS 012009 64

Hình 3.6 Bài toán 2 - câu 3, 4 - Bài làm của HS 012150 64

Hình 3.6 Bài toán 2 - câu 3 - Bài làm của HS 012259 65

Hình 3.7 Bài toán 2 - câu 3 - Bài làm của HS 012212 65

Hình 3.8 Bài toán 3 - câu 3,4 - Bài làm của HS 012076 65

Hình 3.9 Bài toán 3 - câu 3, 4 - Bài làm của HS 012124 66

Hình 3.10 Bài toán 3 - câu 3 - Bài làm của HS 012051 66

Hình 3.11 Bài toán 3 - câu 3 - Bài làm của HS 012221 66

Hình 3.11 Bài toán 3 - câu 4 - Bài làm của HS 012003 67

Hình 3.12 Bài toán 3 - câu 4-Bài làm của HS 012240 67

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (gọi tắt là KSHS) đã luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông (gọi tắt là THPT), Tuyển sinh Cao đẳng - Đại học và THPT Quốc gia từ năm 2016 trở về trước, bài toán này được yêu cầu trong hình thức thi tự luận (gọi tắt là TL) Cụ thể là: năm 2009 là năm đầu tiên nội dung thi theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành; từ năm 2009 đến năm 2014, các đề thi trong 2 kỳ thi (Tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Cao Đẳng- Đại học) môn Toán là dạng tự luận; năm 2015, đề thi THPT Quốc gia (kì thi chung để xét tốt nghiệp THPT và Cao đẳng- Đại học) cũng với hình thức tự luận Chúng tôi xin trích dẫn các câu hỏi về bài toán KSHS trong các kì thi cuối cấp THPT:

Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009:

Câu 1 Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 5

Đề thi tuyển sinh đại học năm 2014, môn Toán, khối B:

Câu 1 Cho hàm số y=x3 - 3mx + 1 (1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Cho A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Đề thi THPT quốc gia năm 2016:

Câu II (1điểm): Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x4 + 2x

Quy trình thực hiện KSHS được tiến hành thông qua nhiều bước xem xét các tính chất của hàm số và mỗi tính chất là một khái niệm tri thức liên quan đến hàm số Quy trình KSHS có thể hình dung qua sơ đồ được tóm tắt như sau:

Từ sơ đồ chúng tôi muốn nhấn mạnh 3 bước chính trong bài toán KSHS là: tìm tập xác định của hàm số, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Trong trình tự này, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số phải xét nhiều tính chất của hàm số như: cực trị của hàm số, chiều biến thiên, tiệm cận của đồ thị hàm số, tính đối xứng của đồ thị, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, … Các tính chất của một hàm số được liên kết lại đã tạo ra một bài toán KSHS có lời giải cồng kềnh Như vậy, học sinh phải mất nhiều thời gian để hoàn thành bài toán này

Trong năm học 2016 - 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo (gọi tắt là Bộ GD - ĐT) chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan (gọi tắt là TNKQ) với 4 lựa chọn Bài toán KSHS buộc phải chia nhỏ thành những bài toán thành phần vì bài toán KSHS không còn phù hợp với một câu hỏi trắc nghiệm

Với kinh nghiệm dạy học của mình, chúng tôi nhận thấy sự xuất hiện của những câu hỏi mới, chẳng hạn: một câu hỏi được đề nghị trong đề thi minh họa của Bộ GD -

ĐT liên quan tới bảng biên thiên như sau:

“Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có đúng một cực trị

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1

D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.”

Và một câu hỏi xoay quanh đồ thị như sau: “Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Từ những ghi nhận trên chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Bài toán khảo sát

sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan”

Chúng tôi đặt ra câu hỏi xuất phát như sau: Việc dạy học bài toán KSHS sẽ thay đổi như thế nào trong bối cảnh thi TNKQ môn toán THPT quốc gia Đặc biệt, việc đọc BBT và đồ thị sẽ đặt ra cho HS những khó khăn gì?

Việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi này sẽ giúp cho chúng tôi nhìn rõ hơn có hay không có sự chuẩn bị của thể chế cho một sự thay đổi hình thức thi (từ TL sang TNKQ) trong khi sách giáo khoa (gọi tắt là SGK) chưa thay đổi ở năm học 2016-2017

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán: chủ yếu là thuyết nhân học và lý thuyết tình huống

Chúng tôi sử dụng thuyết nhân học nhằm phân tích mối quan hệ thể chế dạy học bài toán KSHS trong bối cảnh thay đổi hình thức thi TL sang hình thức thi TNKQ Thể chế dạy học mà chúng tôi xác định ở đây là thể chế dạy học toán 12 trong năm học

2016 - 2017 Thể chế này có đặc trưng:

- Lần đầu tiên Bộ GD - ĐT áp dụng thi THPT Quốc gia môn Toán bằng hình thức TNKQ nên giáo viên và học sinh rất lúng túng

- Chương trình và SGK vẫn chưa thay đổi

Để nghiên cứu thể chế này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên các tài liệu sau: Các SGK hiện hành bậc THPT, các đề thi minh họa và đề thi chính thức của Bộ GD - ĐT năm 2017

Với lý thuyết nhân học, chúng tôi sẽ sử dụng quan điểm của Chevallard (1998): một praxeologie gồm 4 thành phần – đây là một mô hình hóa để phân tích mối quan hệ thể chế đã được xác định ở trên, trong đó:

+ T là một kiểu nhiệm vụ (gọi tắt là KNV) Toán học, một KNV được bắt đầu bởi một động từ liên quan đến một tri thức xác định Tri thức mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này là tri thức về hàm số trong bài toán KSHS Chúng tôi xác định các KNV

từ các yêu cầu của các hoạt động, các ví dụ và bài tập trong SGK hiện hành hay các câu hỏi trong các đề thi THPT Quốc gia

+ là kĩ thuật: cách thức để giải quyết kiểu nhiệm vụ T Kĩ thuật có thể được tìm thấy trong các lời giải của ví dụ ở SGK, lời giải các bài tập được đề nghị trong sách giáo viên, sách bài tập

+ là công nghệ giải thích cho kĩ thuật , công nghệ chính là bài giảng về kĩ thuật, nó biện minh đảm bảo cho kĩ thuật sẽ đưa lại kết quả chắc chắn đúng Công nghệ có thể được tìm thấy trong các định lý, tính chất, hệ quả toán học

+ là lý thuyết giải thích cho công nghệ Vì vậy, lý thuyết chính là công nghệ của công nghệ

Quy trình KSHS với hình thức TL được thực hiện qua nhiều bước, từ mỗi bước

có thể xây dựng một KNV mà chúng tôi gọi là KNV con Các KNV con này có thể xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ mà chúng tôi sẽ xác định và nghiên cứu

Với lý thuyết tình huống, chúng tôi sử dụng khái niệm biến didactic (biến dạy học), với một giá trị của biến sẽ tạo ra các cách ứng xử, cách giải quyết bài toán (chiến lược giải) cũng khác nhau nhắm đến mục tiêu dạy học ý nghĩa của một tri thức mà giáo viên đã xếp đặt Chúng tôi sử dụng lý thuyết này để để xây dựng thực nghiệm

3 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mụctiêu nghiên cứu chúng tôi là xác định một số khó khăn của HS khi đối diện với các câu hỏi mới liên quan tới bài toán KSHS có thể xuất hiện trong bối cảnh thi TNKQ Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôicụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành hai câu hỏi nghiên cứu sau:

CH1: Đặc trưng của bài toán KSHS trong thể chế dạy học toán bậc THPT là gì?

Với hình thức TNKQ, bài toán KSHS có thể được phân chia thành những KNV nào?

Có sự khác biệt nào không trong các KNV liên quan đến bài toán KSHS được đề nghị trong các câu hỏi trắc nghiệm giữa SGK hiện hành và trong các đề thi của Bộ GD - ĐT?

Giới hạn trong nghiên cứu của mình, chúng tôi chỉ nghiên cứu các KNV liên quan đến BBT và đặt ra câu hỏi nghiên cứu tiếp theo như sau:

CH2: BBT luôn xuất hiện trong bài toán KSHS, vì vậy các câu hỏi TNKQ có thể

được đặt ra dựa vào các thông tin trên BBT Các KNV nào có thể đặt ra trên một BBT? Kĩ thuật giải quyết các KNV đó có thể tìm thấy trong SGK hiện hành hay không? Nếu có, kĩ thuật được mô tả thế nào?

4 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu vừa nêu trên, chúng tôi đề ra nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu như sau:

- Thứ nhất, chúng tôi xác định các tính chất hàm số được dạy học trong chương trình toán phổ thông và chỉ ra các tính chất nào được đề nghị trong bài toán KSHS Đồng thời chúng tôi xác định các những KNV liên quan đến bài toán KSHS

có thể xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ ở SGK và các đề thi THPT Quốc gia của

Bộ GD - ĐT Chúng tôi sẽ tham khảo một số luận văn có nghiên cứu liên quan đến bài toán KSHS để thực hiện nhiệm vụ này

- Thứ hai, chúng tôi xem xét các KNV có bước lập BBT xuất hiện trong thể chế dạy học toán THPT Để thực hiện nhiệm vụ này, chúng tôi xem xét các SGK hiện hành, các đề thi THPT Quốc gia minh họa và chính thức của Bộ GD - ĐT năm 2017

- Thứ ba, từ kết quả phân tích thể chế, chúng tôi sẽ đặt ra các giả thuyết nghiên cứu hoặc câu hỏi nghiên cứu để tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm để trả lời các câu hỏi đã đặt ra

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi đặt ra, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích, câu hỏi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Phần nội dung, gồm có các chương:

Chương 1- Bài toán khảo sát hàm số trong thể chế dạy học toán lớp 12

Chương 2- Vai trò của bảng biến thiên trong bài toán khảo sát hàm số

Chương 3- Nghiên cứu thực nghiệm

Phần kết luận

Chương 1 BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG THỂ CHẾ

DẠY HỌC TOÁN LỚP 12

Trong chương này chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi CH1: Đặc trưng của bài toán KSHS trong thể chế dạy học toán bậc THPT là gì? Có sự khác biệt nào không trong các KNV liên quan đến bài toán KSHS được đề nghị trong các câu hỏi trắc nghiệm giữa SGK hiện hành và trong các đề thi của Bộ GD-ĐT?

Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi xem xét các SGK Toán hiện hành ở các lớp

10, 11, 12 và tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan (2013)-

“Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường Trung học phổ thông Việt Nam”

Trước tiên, chúng tôi tiến hành tìm hiểu các tính chất hàm số được đề nghị trong dạy học hàm số và chỉ ra các tính chất được yêu cầu khảo sát trong bài toán KSHS Từ các tính chất này, chúng tôi xác định các KNV tương ứng liên quan tới bài toán KSHS

1.1 Các tính chất hàm số được nghiên cứu và các kiểu nhiệm vụ tương ứng trong chương trình toán bậc trung học phổ thông

Chúng tôi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan (2013) và xem xét các SGK hiện hành để thống kê các tính chất hàm số được giới thiệu dạy học

ở SGK và các KNV tương ứng đã được tác giả xác định trong chương trình Toán phổ thông, trong đó chúng tôi chỉ quan tâm một số KNV liên quan đến sơ đồ KSHS Việc chỉ ra các tính chất hàm số và các KNV tương ứng (là các KNV cho dưới hình thức TL) được xác định sẽ giúp ta hình dung ra sự chuẩn bị các yếu tố

lý thuyết và kĩ thuật để giải quyết bài toán KSHS

+ Lập BBT của hàm số cho bởi công thức y=f(x)

+ Lập BBT của hàm số cho bởi công thức y=f(x)

+ Khảo sát sự biến thiên của hàm số cho bởi công thức y=f(x) trên mỗi khoảng K

10

Đơn điệu + Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

y=f(x) (hay cho bởi đồ thị) + Chứng minh hàm số cho bởi công thức y=f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b)

+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số cho bởi công

thức y=f(x) trên khoảng (a;b)

+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số cho bởi công thức y=f(x) trên đoạn

12

Tiệm cận của đồ thị +Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số cho

bởi công thức y=f(x)

12

Từ kết quả trên bảng thống kê này, chúng tôi nhận thấy các tính chất của hàm số được nghiên cứu, bổ sung và hoàn thiện dần qua các lớp ở bậc THPT Trong đó, hầu hết các hàm số được đề nghị xem xét các tính chất là các hàm số cho bởi công

thức, rất ít hàm số được cho bởi đồ thị (chỉ xuất hiện trong 3 hoạt động dẫn dắt và 1 ví

dụ để dạy học 3 khái niệm tính liên tục của hàm số, cực trị của hàm số, tiệm cận của

đồ thị hàm số xuất hiện trong phần bài tập) Chẳng hạn, chúng ta có thể quan sát một hoạt động được trích từ SGK12CB như sau:

[10, tr.4] Hay một minh họa hình ảnh tiệm cận trong ví dụ về tìm tiệm cận của hàm số cho bởi công thức như:

[10, tr.29-30]

Từ hoạt động trên ta thấy hàm số cho bởi đồ thị và có công thức hàm số đi kèm, riêng các ví dụ trong SGK12 hàm số cho bởi công thức nhưng trong lời giải có minh họa đồ thị Các bài tập sau đó không có yêu cầu HS dựa vào đồ thị để xác định các tính chất và không yêu cầu HS trình bày đồ thị minh họa Ngoài ra, chúng tôi cũng không tìm thấy KNV nào mà trong đó hàm số nào được cho trước bởi BBT

Như vậy, hầu hết các tính chất hàm số được dạy học trong chương trình toán phổ thông là các hàm số rất cơ bản được nghiên cứu trước khi dạy học bài toán KSHS Từ các KNV được xác định ở bảng trên liên quan đến các tính chất hàm số được đề nghị trong SGK hiện hành, chúng tôi hình dung là khả năng của việc xuất hiện các KNV khá phong phú trong các câu hỏi TNKQ liên quan tới bài toán KSHS Đặc biệt là các câu hỏi có thể đặt ra khi hàm số cho bởi các biểu diễn khác nhau (công thức, đồ thị, BBT ) Chúng tôi tiếp tục xem xét việc trình bày bài toán KSHS trong các SGK hiện hành để xác định đặc trưng của bài toán này

1.2 Bài toán khảo sát hàm số trong SGK hiện hành

Bài toán KSHS nằm ở bài “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” trong

chương I của các sách Giải tích 12 hiện hành, bao gồm sách giáo khoa giải tích 12 chương trình chuẩn (gọi là SGK12CB) và sách giáo khoa giải tích 12 chương trình nâng cao (gọi là SGK12NC) Các bài học trong chương này được chúng tôi liệt kê theo bảng 1.2 bên dưới:

Bảng 1.2 Nội dung các bài học chương I trong các SGK 12 hiện hành

5/ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

6/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

7/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

8/ Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Từ bảng 1.2 chúng tôi nhận thấy bài toán KSHS đặt sau các bài học về các tính chất hàm số Ngoài ra, số bài học trong SGK12NC nhiều hơn SGK12CB về mặt nội

dung Chẳng hạn, SGK12NC đề nghị thêm các nội dung về Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ; một số bài toán thường gặp về đồ thị Tuy nhiên, hai năm vừa qua

(2015, 2016) đề thi THPT Quốc gia và Tuyển sinh đại học không còn nội dung phân ban nên tinh thần chung là các nội dung trong đề thi bám sát theo SGK chương trình chuẩn Năm học 2016-2017, hình thức thi môn Toán là 100% TNKQ được thực hiện lần đầu tiên nên Bộ GD-ĐT có thể chọn các nội dung ở chương trình nâng cao để đặt

ra các câu hỏi TNKQ Vì vậy, chúng tôi xem xét sự trình bày bài toán KSHS ở cả 2 ban để tìm hiểu nhiều hơn cách đặt ra các câu hỏi TNKQ liên quan đến bài toán KSHS

1.2.1 Bài toán khảo sát hàm số với hình thức tự luận

KNV với hình thức tự luận có thể xác định từ bài toán KSHS là T KSKS :

“Khảo sát hàm số cho bởi công thức y=f(x)”

Các tính chất hàm số được nghiên cứu trước đó đã tạo điều kiện cho sự xuất hiện bài toán KSHS sau này Các tính chất hàm số và công cụ để xem xét các tính chất đó tiến triển theo trình tự thời gian qua các lớp học ở bậc THPT

Chúng tôi ghi nhận được thuật ngữ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hay Khảo sát hàm số được dùng chính thức trong chương trình 12 với công cụ là

đạo hàm Ở lớp 10 và 11, SGK không dùng thuật ngữ này vì chương trình chỉ yêu cầu xem xét các tính chất gắn với các hàm số đơn giản như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số lượng giác cơ bản chủ yếu dựa vào các định nghĩa hay dựa vào đồ thị hàm số Đầu năm 12, bài toán KSHS được nghiên cứu theo trình tự gồm 3 bước chính là: tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Quy trình thực hiện bài toán KSHS đã được chúng tôi mô tả bằng sơ đồ cây trong phần mở đầu Chúng tôi trích lại

sơ đồ KSHS ở hai bộ SGK hiện hành và ví dụ minh họa kèm theo như bảng 1.3 dưới đây:

 Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới

hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

 Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả

tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác

định ở trên để vẽ đồ thị

CHÚ Ý

1 Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì

chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song

song với trục Ox

2 Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc

biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với

các trục tọa độ

3 Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và

tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác

b) Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng

3 0 Vẽ đồ thị của hàm số

 Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

 Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (Trong trường hợp đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này)

 Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh).

y dương nên hàm số đồng biến Trên

khoảng ( 2 0; ), y ' âm nên hàm số

nghịch biến

 Cực trị

Hàm số đạt cực trị tại x= -2; yCĐ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) = - 4

 Các giới hạn tại vô cực

Ta có

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và

, nghịch biến biến trên khoảng

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1, giá trị cực đại của hàm số là y(-1) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = 3, giá trị cực tiểu của hàm số là y(3) = -4

3 0 Đồ thị

Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm

Ta có y = 0

Vậy đồ thị và trục hoành có 2 điểm chung là

(-1;0) và (5;0) Điểm uốn :

Tọa độ điểm uốn U(1;-2)

[17, tr 37-38]

Vậy (-2; 0) và (1; 0) là các giao điểm của đồ

thị với trục Ox

Vì y( )0   4 nên (0; - 4) là giao điểm của đồ

thị với trục Oy Điểm đó cũng là điểm cực

tiểu của đồ thị

Đồ thị của hàm số được cho trên Hình 19

Lưu ý Đồ thị của hàm số bậc ba đã cho có

tâm đối xứng là điểm I(-1; -2) (H.19) Hoành

độ của điểm I là nghiệm của phương trình

Từ sơ đồ khảo sát hàm số, chúng tôi thấy hầu hết các tính chất hàm số được nghiên cứu trước đó được huy động vào trình tự KSHS, trong đó tính chất về tập xác định, sự đơn điệu và đạo hàm, tiệm cận của đồ thị luôn được khảo sát trong tất cả các hàm số được giới hạn; một số tính chất còn lại thì tùy vào hàm số mà SGK khuyến khích sử dụng (tính đối xứng, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ) Một ràng buộc liên quan tới bài toán KSHS được tác giả Nguyễn Thị Tuyết Lan chỉ ra là thể chế chỉ giới hạn KSHS ở 4 dạng hàm số: hàm đa thức bậc 3, đa thức bậc 4 trùng phương, hàm phân thức hữu tỉ bậc 1/1 dạng và hàm phân thức hữu tỉ bậc 2/1 dạng

Sự giới hạn này còn được thể hiện qua việc cả 2 SGK đưa vào các hình dạng đồ thị tương ứng với mong muốn là HS sẽ nhớ dạng đồ thị của hàm số khi vẽ Điều này đã dẫn đến một hệ quả mà tác giả đã kiểm chứng qua nghiên cứu thực nghiệm, kết quả như sau:

+ HS lập BBT nhằm thực hiện cho đầy đủ các bước trong sơ đồ khảo sát hàm mà không kiểm tra sự tồn tại của những yếu tố trong BBT

+ BBT không có vai trò gì trong việc vẽ đồ thị hàm số của HS mà đáng ra nó phải như vậy

+ HS không thể hay gặp khó khăn khi khảo sát các hàm số ngoài 4 dạng hàm số được khảo sát trong chương trình [13, tr.82].

Theo như kết quả, chúng tôi nhận thấy tác giả muốn nhấn mạnh nguyên nhân dẫn đến các kết quả này là do thể chế dạy học trước đây chỉ giới hạn 4 dạng hàm số để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chúng tôi nhận thấy để thực hiện KNV T KSHS với hình thức tự luận thì hàm số buộc phải cho trước bởi một công thức hàm số còn các biểu diễn khác của hàm số như BBT được lập ra trong bước xét sự biến thiên và đồ thị hàm số được vẽ ra ở bước cuối

cùng của bài toán KSHS Vì vậy, KNV T KSHS sẽ hạn chế thể hiện vai trò của BBT và

đồ thị hàm số Các KNV có thể được đặt ra từ sơ đồ khảo sát hàm số sẽ rất phong phú dưới nhiều hình thức biểu diễn khác nhau của hàm số Điều này cho phép chúng tôi

hình dung ra các KNV con của T KSHS (là các KNV được xây dựng từ kĩ thuật của

T KSHS ) có thể xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ Vì vây, chúng tôi dự đoán một số KNV con của T KSHS có thể được xây dựng theo như bảng 1.4 sau đây:

Bảng 1.4 Các KNV con của T KSHS có thể xây dựng từ sơ đồ KSHS

1 TTXD: Tìm tập xác định của hàm số Công thức, đồ thị, BBT

2 TGH: Tính giới hạn hàm số Công thức, đồ thị, BBT

3 TTC: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Công thức, đồ thị, BBT

4 TĐH: Tính đạo hàm của hàm số Công thức

5 Ttới hạn: Tìm các điểm tới hạn của hàm số Công thức, đồ thị, BBT

6 TSBT: Tìm khoảng biến thiên của hàm số Công thức, đồ thị, BBT

7 Tlập BBT: Lập BBT của hàm số Công thức, đồ thị

8 TCT: Tìm cực trị của hàm số Công thức, đồ thị, BBT

9 Tmax, min/ (a;b):Tìm GTLN, GTNN của hàm số

trên khoảng (a;b)

12 Tchẵn-lẻ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Công thức, đồ thị, BBT

13 Tchu kỳ: Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn Công thức, đồ thị

14 TGĐ: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số

TNKQ, những KNV con của T KSHS nào xuất hiện trong các SGK hiện hành? Những KNV “mới” nào có thể ra đời?

1.2.2 Các kiểu nhiệm vụ con của T KSHS trong các câu hỏi TNKQ

Chúng tôi tìm thấy một ghi chú của sách giáo viên 12 ban nâng cao về việc

kiểm tra - đánh giá bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan “đang là một xu hướng

cần hướng tới ” [17, tr.15] Vì vậy, các SGK hiện hành đều có sự chuẩn bị cho

xu hướng này bằng cách giới thiệu một số câu hỏi TNKQ vào phần ôn tập ở mỗi chương Câu TNKQ là dạng câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 đáp án đúng

Chúng tôi đã xem xét tất cả các câu TNKQ liên quan đến T KSHS được giới thiệu trong phần ôn tập chương 1, ôn tập cuối năm ở SGK, sách và trong các đề gợi ý đề kiểm tra trong SGV ở cả 2 ban chuẩn và nâng cao, chúng tôi chỉ ra các KNV con của

TKSHS theo bảng 1.5 như sau:

Bảng 1.5 Các KNV con của T KSHS trong các câu TNKQ ở SGK hiện hành

Tsố TC Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số Công thức

Tsố GĐ Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Công thức

TSBT Tìm các khoảng biến thiên của hàm số Công thức

TĐX Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=f(x) Công thức

Tmax,min/(ab) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên (a;b) Công thức

Tmax,min/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn Công thức

Trong các bộ SGK hiện hành (bao gồm SGK, sách bài tập và sách giáo viên), chúng tôi ghi nhận được 55 câu TNKQ liên quan đến ứng dụng đạo hàm để KSHS,

trong đó có 35 câu (chiếm 64%) có thể xem là các KNV con T KSHS Các câu hỏi còn lại liên quan tới các KNV như: tìm tham số m thỏa mãn một tính chất của hàm số, lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị, tìm giao điểm của đồ thị và một đường thẳng không phải các trục tọa độ) hay với đường cong khác, … Chúng tôi nhận thấy các KNV này không nằm trong sơ đồ khảo sát nên không liệt kê chúng ra bảng trên

Trong tất cả các KNV liệt kê trong bảng 1.5 có thể chỉ ra các KNV “mới” cũng là KNV con của T KSHS Chúng tôi sẽ trích dẫn các câu TNKQ minh họa cho các KNV

“mới” bên dưới đây:

Với các câu hỏi này, HS chỉ cần thực hiện xét dấu biểu thức y’ và số lần đổi dấu của y’chính là số cực trị của hàm số Cách làm này có thể xem là một bước trong kĩ thuật giải quyết KNV TCT

 Tsố GĐ: “Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành”

Ví dụ: Câu 7, trang 26, SBT12CB: “Số giao điểm của đồ thị hàm số

với trục hoành là (A) 2; (B) 3 (C) 0 (D) 1”

Số giao điểm của đồ thị với trục hoành phụ thuộc vào số nghiệm của phương

trình y = 0, việc làm này rút ngắn thời gian hơn so với việc thực hiện KNV TGĐ (tìm

tọa độ giao điểm cụ thể của đồ thị và các trục) mà chúng tôi dự đoán trong bảng 1.4

Nhận xét: Chúng tôi rút ra một số nhận xét từ việc xem xét các câu hỏi TNKQ trong SGK hiện hành như sau:

- Các KNV con của T KSHS xuất hiện dựa trên việc đặt ra các câu hỏi về các tính chất hàm số có trong sơ đồ KSHS Trong đó các KNV “mới” ra đời như : Tsố CT; Tsố TC;

Tsố GĐ được thiết kế từ một số KNV con của T KSHS Kĩ thuật giải quyết 3 KNV “mới” này (Tsố CT; Tsố TC; Tsố GĐ) có thể đòi hỏi HS ít tốn công sức và thời gian hơn TCT; TTC;

TGĐ Như vậy, từ KNV T KSHS đã xác định, nhiều KNV “mới” được xuất hiện

bằng cách đặt ra câu hỏi trên một số bước trong kĩ thuật giải quyết KNV T KSHS

- So với các KNV mà chúng tôi dự đoán trong bảng 1.4, chúng tôi nhận thấy

SGK có đa dạng về hình thức hỏi liên quan tới công thức hàm số, chẳng hạn cũng hỏi

về cực trị nhưng có nhiều cách đặt ra câu hỏi: tìm cực trị hàm số, tìm điểm cực trị của hàm số hay tìm số cực trị của hàm số cho bởi công thức hàm số y=f(x) hay f’(x)…

- Quan sát các hàm số được đề nghị trong các KNV, chúng tôi ghi nhận là tất cả các hàm số chỉ cho dưới một hình thức biểu diễn duy nhất là hàm số cho bởi công thức

và dạng hàm số được đề nghị trong các KNV kể trên là các hàm số đơn giản và quen thuộc (hàm đa thức bậc 3, hàm đa thức bậc 4, hàm phân thức hữu tỉ và hàm lượng giác) Như vậy, với câu hỏi TNKQ trong SGK hiện hành chúng tôi nhận thấy hoàn toàn vắng bóng các KNV trong đó hàm số cho trước bởi đồ thị hay BBT Năm 2017 là năm đầu tiên tổ chức hình thức thi TNKQ nên chúng tôi muốn tìm hiểu xem có những KNV “mới” nào sẽ xuất hiện trong các đề minh họa và chính thức của

Bộ GD-ĐT và ở các đề thi có sự bổ sung nào không so với các KNV đã chỉ ra trong SGK hiện hành? (chẳng hạn như sự xuất hiện KNV trong đó hàm số được cho trước BBT hay cho trước bởi đồ thị)

1.2.2 Các kiểu nhiệm vụ con của T KSHS trong các đề thi minh họa và chính

thức của kì thi THPT của Bộ GD-ĐT

Trong mục này, chúng tôi tiến hành xem xét các đề thi: đề minh họa của Bộ

GD-ĐT (5/10/2016); đề thử nghiệm (20/1/2017), đề tham khảo (5/2017) và các đề thi chính thức trong kỳ thi THPT Quốc gia 2017 (6/2017)

Trong các đề thi minh họa và đề thi chính thức THPT năm 2017, dạng câu hỏi TNKQ là dạng lựa chọn 1 câu trả lời đúng trong 4 phương án đưa ra (tương tự hình thức TNKQ trong SGK hiện hành) Đề bài gồm 50 câu, trong đó số câu hỏi có nội dung liên quan đến chủ đề ứng dụng của đạo hàm để KSHS chiếm số câu nhiều nhất (khoảng 11 câu) so với các chủ đề còn lại như: hàm số mũ, tích phân, số phức, hình học tọa độ Điều này cho chúng ta thấy sự quan tâm của mục tiêu dạy học đến tri thức hàm số trong việc kiểm tra đánh giá kiến thức của HS bậc THPT nhiều hơn các tri thức khác

a Đề thi minh họa THPT quốc gia năm 2017

Chúng tôi xem xét các câu hỏi liên quan tới bài toán KSHS xuất hiện trong các

đề thi minh họa lần 1 (gọi là MH1), đề thử nghiệm (gọi là MH2) và đề tham khảo

(gọi là MH3) Chúng tôi tìm thấy 4 KNV con quen thuộc của T KSHS lặp lại ở các đề minh họa như: tìm cực trị, tìm khoảng biến thiên, tìm tiệm cận, tìm GTLN, GTNN của hàm số Các hàm số gắn với các KNV quen thuộc là hàm số đơn giản cho bởi công

thức như hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác, Bên cạnh đó, chúng tôi ghi nhận được 6 KNV “mới” liên quan tới bài toán KSHS như sau:

1/ T CTHS-ĐT: “Tìm công thức hàm số y=f(x) tương ứng với đồ thị cho trước”

2/ T ĐTy’-CTy: “Tìm đồ thị hàm số y=f’(x) khi biết công thức hàm số y=f(x)”

Ví dụ: Câu 15 đề MH lần 3: “ Cho hàm số f(x)= xlnx Một trong bốn đồ thị cho

trong bốn phương án A, B, C, D dưới dây là đồ thị của hàm số y=f’(x) Tìm đồ thị đó.

Từ ví dụ, ta có thể nhận thấy KNV ĐTy’-CTy’ cũng có mối quan hệ mật thiết với KNV TĐT-CT Tuy nhiên, để thực hiện KNV T ĐT-CT y’, kĩ thuật đơn giản hơn là chỉ cần lập BBT của hàm số y=f’(x) Ở đây, hàm số được yêu cầu đã nằm ngoài 4 dạng hàm số được thể chế giới hạn KSHS

3/ T TC-GH: “Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số biết các giới hạn của hàm số đó”

Ví dụ: Câu 2, đề MH lần 1:

“Cho hàm số y = f(x) có

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang

B Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang

C Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y =1 và y = -1

D Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x =1 và x = -1.”

Đây là một câu hỏi hoàn toàn “mới” (hàm số được cho thông qua giới hạn của nó) và KNV này cũng không nằm trong dự kiến của chúng tôi ở bảng 1.4 Câu hỏi này được đặt ra dựa trên định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Cách xây dựng câu hỏi này tiết kiệm thời gian để trả lời hơn KNV TTC mà chúng tôi đã xác định trong

D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.”

Kiểu nhiệm vụ TCT-BBT cho ta thấy một ưu điểm ở SGK12NC là thể hiện vai trò của các thông tin trên BBT BBT được cho trước trong câu hỏi này là một BBT không quen thuộc với HS vì nó không phải thuộc 4 dạng hàm số được giới hạn khảo sát trong chương trình toán 12 Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy trong hàng giá trị y BBT thể

hiện độ cao thấp của mũi tên Phải chăng điều này thể hiện thứ tự của các giá trị hàm

số trên trục số Theo kinh nghiệm dạy học, chúng tôi không nhìn thấy sự thể hiện này

ở tất cả các BBT trong SGK hiện hành

4/ T số-TC-BBT: “Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số cho trước bởi bảng biến thiên”

Ví dụ: Câu 11, đề MH lần 3: “Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên dưới đây Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

Số tiệm cận được chỉ ra dựa vào việc đọc các tiệm cận của đồ thị trên BBT (không có công thức hàm số đi kèm) Để trả lời câu hỏi này HS phải biết đọc các giới hạn hàm số tại vô cực, các giới hạn vô cực từ BBT và hiểu định nghĩa tiệm cận đứng

và tiệm cận ngang của hàm số

5/ T BL nghiệm : “Tìm tham số m sao cho phương trình f(x)=m có n nghiệm dựa vào bảng biến thiên của hàm số y=f(x)”

thông qua hình ảnh BBT, nhiệm vụ này có thể xem là KNV con của TGĐ đã xác định ở bảng 1.4 BBT ở đây là một công cụ để biện luận số giao điểm của 2 đồ thị

6/ T CTHS-SBT: “Tìm hàm số tương ứng với khoảng biến thiên trước”

Ví dụ: câu 14 đề MH lần 3: “Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?

Để trả lời câu hỏi này, HS có thể tìm khoảng biến thiên của từng hàm số trong đáp án và đối chiếu lại với khoảng biến thiên của giả thiết KNV này có thể xây dựng chuyển đổi ngược lại cách hỏi từ KNV TSBT “Tìm khoảng biến thiên của hàm số”

7/ T CT-ĐT: “Tìm cực trị của hàm số biết đồ thị hàm số trên ”

- Bài toán KSHS được phân chia thành các câu hỏi nhỏ hơn Các câu hỏi này

được thiết kế từ các các bước trong kĩ thuật giải quyết T KSHS Vì vậy, cách thức để tìm

ra câu trả lời các câu hỏi này cũng mất ít thời gian hơn thực hiện T KSHS, nó phù hợp với hình thức TNKQ

- Đặc biệt là các KNV “mới” là các KNV cho trước BBT hay đồ thị được giới thiệu và luôn xuất hiện trong tất cả các đề MH Đồ thị và BBT trở thành một công cụ

để nghiên cứu các tính chất của hàm số, chẳng hạn từ BBT có thể chỉ ra cực trị,

GTLN, GTNN, tiệm cận của đồ thị, số giao điểm của đồ thị hay từ đồ thị có thể chỉ ra cực trị, chỉ ra sự biến thiên của hàm số, …

- So với các KNV liên quan tới bài toán KSHS trong SGK hiện hành thì các KNV liên quan bài toán này trong các đề MH có nhiều điểm mới và phong phú hơn về cách đặt ra KNV, cách đặt ra câu hỏi trong các KNV có tính đến các biến didactic

Chẳng hạn, KNV “Tìm cực trị của hàm số”, nếu SGK chỉ ưu tiên hàm số được cho bởi

công thức thì trong các đề thi MH hàm số còn được cho bởi các biểu diễn khác nhau như công thức, đồ thị, BBT

Chúng tôi nhận thấy trong bối cảnh thi bằng hình thức TNKQ đã làm thay đổi

vị trí BBT trong hệ thống các tri thức cần dạy, chẳng hạn BBT trở thành công cụ xem xét các tính chất của hàm số Chúng tôi tiếp tục xem xét các KNV xuất hiện trong

đề thi chính thức của Bộ GD-ĐT (6/2017), liệu rằng có sự tiến triển nào trong việc đặt

ra các KNVở đề thi chính thức so với các KNV ở SGK và các đề minh họa hay không?

b Đề thi chính thức THPT quốc gia năm 2017

Chúng tôi xem xét các câu hỏi liên quan tới bài toán KSHS xuất hiện trong 4 mã

đề (gọi tắt là MĐ) như MĐ 101; MĐ 102; MĐ 103 và MĐ 104 Các KNV con của

T KSHS cũng được đề nghị trong các đề thi như: tìm khoảng biến thiên, tìm tiệm cận, tìm GTLN và GTNN; tìm giao điểm đồ thị và trục hoành Các hàm số gắn với các KNV này là hàm số cho bởi công thức Các KNV còn lại trong các đề thi là các KNV

“mới” liên quan tới bài toán KSHS Chúng tôi tìm thấy 6 KNV “mới” liên quan tới bài toán KSHS Trong đó 3 KNV như đã được xác định trong đề thi minh họa TCT-BBT;

TCTHS-ĐT; TCTHS-SBT Sau đây, chúng tôi liệt kê 3 KNV “mới” khác với các KNV đã xuất hiện trong đề minh họa:

1/ T SBT-BXD: “Tìm chiều biến thiên của hàm số được cho bởi bảng xét dấu y”

Ví dụ: câu 1 MĐ 104 Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 0)

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Ta nhận thấy hàm số trong câu hỏi trên là hàm số cho bởi bảng xét dấu (một phần của của BBT) KNV này được xây dựng từ bước xét sự biến thiên của hàm số Đây là

KNV con của T KSHS nằm ngoài dự kiến của chúng tôi ở bảng 1.4

2/ T dau y’-ĐT: Xác định dấu đạo hàm y’ khi biết đồ thị hàm số y=f(x)

Ví dụ: câu 28 MĐ 101: “Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số với a,

b, c, d là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số gắn với nhiệm vụ này là hàm số cho bởi đồ thị buộc HS phải đọc đồ thị

để suy ra chiều biến thiên của hàm số và suy ra dấu của y’ Dạng hàm số này quen thuộc đối với HS được giới hạn trong dạy học

3/ T so nghiem y’-ĐT: “Xác định số nghiệm của phương trình y’=0 khi biết đồ thị

hàm số y=f(x)”

Ví dụ: câu 14 MĐ 102: “Đường cong hình bên là đồ thị hàm số

với a, b, c là các số thực Mênh đề nào dưới đây đúng?

A Phương trình có ba nghiệm thực phân biệt

B Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

C Phương trình vô nghiệm trên tập số thực

D Phương trình có đúng một nghiệm thực”

Hàm số trong câu hỏi này là hàm số cho bởi đồ thị Đồ thị hàm số này có 3 cực trị, số cực trị cho ta biết số nghiệm của phương trình y’=0 Như vậy, kĩ thuật giải quyết KNV này dựa vào kĩ thuật đọc cực trị trên đồ thị và điều kiện cần để hàm số có cực trị Tóm lại, các KNV “mới” xoay quanh BBT và đồ thị hàm số tiếp tục xuất hiện

trong đề thi chính thức, đặc biệt là KNV T CT-BBT “Xác định các cực đại, cực tiểu,

GTLN và GTNN của hàm số cho trước bởi BBT.” và một KNV xoay quanh đồ thị:

T CTHS-ĐT“Tìm công thức hàm số tương ứng với đồ thị cho trước” đã xuất hiện ở đề thi

MH và tiếp tục được quan tâm trong đề thi chính thức Sự nhắc lại các KNV này trong

đề thi cho ta ngầm hiểu rằng kĩ năng đọc hiểu BBT và đồ thị cần được chú ý khi dạy học

Kết luận chương 1

Hình thức thi TNKQ môn toán lần đầu tiên được áp dụng trong năm học

2016-2017 trong khi chương trình và SGK không thay đổi nên chúng tôi dự kiến bài toán KSHS vẫn được dạy học trong năm học này, nghĩa là bài toán này có thể được dạy học dưới hình thức TL Điều này cũng phù hợp với quan sát của chúng tôi tại một trường THPT mà tôi đang công tác Quy trình KSHS trong một lời giải TL huy động nhiều tính chất của hàm số Các tính chất này của hàm số được giảng dạy trước khi HS nghiên cứu bài toán KSHS Các hàm số được ưu tiên đề nghị khi thực hiện KNV

T KSHS và các KNV gắn với tính chất hàm số là hàm số cho bởi công thức

Chúng tôi ghi nhận sự khác biệt trong quy trình KSHS giữa SGK12CB và SGK12NC là: SGK12NC chú trọng việc đọc các kết quả trên BBT hơn SGK12CB Bằng chứng là BBT ở SGK12NC lập ra trước các kết luận về cực trị, sự biến thiên, …

Từ việc việc xem xét quy trình KSHS, chúng tôi đã dự kiến một số KNV con liên quan tới bài toán KSHS có thể làm tham chiếu (bảng 1.4) cho việc phân tích các KNV xuất hiện trong các câu hỏi TNKQ, kết quả phân tích cho thấy: Ở các SGK hiện hành, các KNV tham chiếu có xuất hiện khoảng 50% và hàm số được biểu diễn duy nhất bằng công thức So sánh với các KNV xuất hiện trong các đề thi của Bộ GD-ĐT thì chúng tôi nhận thấy các KNV tham chiếu hầu như đều xuất hiện và điều đáng lưu ý là các cách biểu diễn hàm số phong phú hơn thể hiện ở chỗ hàm số được biểu diễn bằng nhiều hình thức khác nhau như: công thức, đồ thị, BBT, bảng xét dấu, giới hạn hàm số

Chúng tôi quan đặc biệt tâm đến hàm số cho bởi BBT, từ các câu hỏi TN trong các đề thi của Bộ GD-ĐT chúng tôi nhận thấy từ BBT cho trước (không cho công thức

đi kèm) ta có thể xác định: cực trị của hàm số, GTLN và GTNN của hàm số, xác định dấu y’, chiều biến thiên của hàm số, số tiệm cận của đồ thị hàm số, số giao điểm của 2

đồ thị, … Điều này là một minh chứng cho ta thấy vị trí, vai trò của BBT đã thay đổi

từ đối tượng nghiên cứu sang công cụ phục vụ cho việc nghiên cứu hàm số

Giới hạn trong nghiên cứu của mình, chúng tôi sẽ tập trung vào các KNV đọc BBT đây là KNV mới vì hàm số cho bởi BBT đòi hỏi xây dựng kĩ thuật giải quyết khác với việc hàm số biễu diễn bởi công thức Ở chương kế tiếp, chúng tôi phân tích

các SGK hiện hành về BBT nhằm tìm hiểu khái niệm BBT và vai trò của nó Từ đó xác định các yếu tố nào có thể tham gia vào kĩ thuật đọc BBT Điều này sẽ giúp chúng tôi dự kiến giáo viên và HS đọc BBT như thế nào?

Chương 2 VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN TRONG BÀI TOÁN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Mục tiêu của chương này là đi tìm câu trả lời cho câu hỏi CH2: BBT luôn xuất hiện trong bài toán KSHS, vì vậy các câu hỏi TNKQ có thể được đặt ra dựa vào các thông tin trên BBT Các KNV nào có thể đặt ra trên một BBT? Kĩ thuật giải quyết các KNV đó có thể tìm thấy trong SGK hiện hành hay không? Nếu có, kĩ thuật được mô tả thế nào?

Để trả lời câu hỏi này, trước hết chúng tôi xem xét các SGK Toán trong chương trình phổ thông ở các lớp 10, 11, 12 để tìm hiểu khái niệm BBT và vai trò của nó Chúng tôi chỉ xem xét khái niệm BBT trong SGK chương trình chuẩn vì chúng tôi nhận thấy không có sự khác biệt trong việc trình bày khái niệm BBT và vai trò của nó

ở 2 bộ SGK (chương trình chuẩn và nâng cao)

2.1 Vai trò của bảng biến thiên

Để tìm hiểu vai trò của BBT, chúng tôi xem xét tiến trình giới thiệu khái niệm BBT, đồng thời tìm hiểu xem có các KNV nào xuất hiện trong tiến trình đó Việc làm này cũng giúp chúng tôi xác định những chỉ dẫn về cách hiểu các thông tin trên BBT

2.1.1 Khái niệm bảng biến thiên và vai trò của nó trong SGK hiện hành

Khái niệm BBT xuất hiện cùng với khái niệm sự biến thiên của hàm số ở chương

trình toán lớp 10 Trước đó, khái niệm sự biến thiên của hàm số (chỉ xét trên R) đã

được giới thiệu ở lớp 9, tuy nhiên BBT chưa được nêu ra lúc này Sự biến thiên của

hàm số được định nghĩa tổng quát trên khoảng (a;b) trong bài Hàm số ở SGK lớp 10

và BBT được giới thiệu như sau: “Xét chiều biến thiên của hàm số là tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của nó Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một

bảng gọi là bảng biến thiên” [4, tr.36] Một ví dụ được giới thiệu sau đó:

[4, tr.37]

Từ ví dụ trên đây, ta nhận thấy BBT được lập ra sau khi biết chiều biến thiên của hàm số BBT lúc này rất đơn giản chỉ bao gồm 2 dòng “dòng x và dòng y” (chúng tôi gọi là BBT kiểu 1) Chúng tôi nhận thấy tác giả viết SGK đã dùng khái niệm “dần tới”

để ngầm ẩn khái niệm giới hạn mà các em sẽ được học ở chương trình toán 11 Hướng dẫn cách vẽ mũi tên trong ví dụ trên sẽ ngầm hình thành cách đọc khoảng biến thiên

của hàm số trên BBT khi biết chiều mũi tên trong “hàng y” và ngược lại nếu biết chiều

biến thiên ta sẽ vẽ các mũi tên trong BBT

BBT dạng này tiếp tục được sử dụng để tổng kết sự biến thiên của các hàm số lượng giác cơ bản ở đầu chương trình toán lớp 11 như: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Việc lập BBT chủ yếu dựa vào biểu diễn hình học của công thức hàm số hoặc dựa vào đồ thị hàm số lượng giác đó Như vậy, BBT ở lớp 10 và 11 BBT chỉ có 2 hàng

x và y vì lúc này yếu tố đạo hàm chưa được đưa vào và khái niệm đạo hàm được giảng dạy cuối chương trình toán lớp 11

Viêc ứng dụng đạo hàm để xét sự biến thiên được giới thiệu ngay từ bài đầu tiên

ở lớp 12 là: “Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số” [10, tr 4] BBT xuất hiện

trong một hoạt động nhắm tới mục tiêu xét mối liên hệ tính đơn điệu và dấu của đạo hàm như sau:

o Dòng thứ 1 biểu diễn trục số của biến x, trên trục số này người ta trình bày các kí hiệu

- , +, các giá trị là nghiệm phương trình y' 0 và các giá trị làm cho hàm số không xác định hay hàm số không có đạo hàm

o Dòng thứ 2 biểu diễn dấu của đạo hàm trong những khoảng được chia bởi các giá trị của x ở dòng 1

o Dòng thứ 3 ghi các giới hạn ở các đầu mút, các mũi tên theo chiều biến thiên của hàm

số (tượng trưng cho hình dáng của đồ thị hàm số) và giá trị của hàm số tại những điểm

ở dòng 1 [13, tr.48]

Vị trí đặt hàng y’ cho ta nhận định vai trò của y’ trong việc suy ra chiều BBT của hàm số Vai trò này cũng ngầm chỉ ra cách đọc chiều biến thiên dựa vào dấu của y’ và ngược lại Chúng tôi không tìm thấy một chỉ dẫn rõ ràng nào về việc đọc các yếu tố