Công cụ đại số trong dạy học hình học không gian lớp 11

Xu hương ký hiệu hóa các đối tượng nghiên cứu của Viète 1540-1603 làm cho tính toán đại số trở nên dễ dàng, rồi phương pháp đồ thị của Oresme cho phép biểu diễn tương quan giữa các đại l

Nguyễn Văn Hiếu

CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Nguyễn Văn Hiếu

CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG DẠY-HỌC

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến,

TS Vũ Như Thư Hương, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung,

TS Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức quý báu

Tôi xin gửi lời cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH, Khoa Toán – Tin trường ĐHSP TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Lãnh đạo Sở GD&ĐT Long An, Tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Công Trứ đã hết lòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học

Tôi xin cám ơn mẹ tôi và hai con của tôi, những người đã lặng lẽ lo lắng cho tôi, động viên tôi những khi tinh thần tôi sa sút

Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn các bạn bè, ân nhân, đặc biệt là bạn NTD, các bạn trong lớp Didactic Toán khóa 24, những người đã cùng tôi chia sẻ vui buồn

và giúp tôi vượt qua những khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống

Nguyễn Văn Hiếu

MỞ ĐẦU

0.1) Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

0.2) Mục đích nghiên cứu 3

0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu 3

0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic Toán 3

0.3.2) Lý thuyết tình huống 6

0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu 7

0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu 7

0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu 7

0.5.2) Phương pháp nghiên cứu 7

0.6) Cấu trúc của luận văn 8

CHƯƠNG 1 TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI SỐ VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học 10

1.1.1) Đại số 10

1.1.2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học 21

1.2) Một số kết luận 37

CHƯƠNG 2 CÔNG CỤ ĐẠI SỐ TRONG THỂ CHẾ DẠY-HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 2.1) Phân tích chương trình 39

2.1.1) Chương trình Hình học 11 cơ bản 39

2.1.2) Chương trình Hình học 11 nâng cao 41

2.2) Phân tích Sách giáo khoa và bài tập 43

2.3) Một số kết luận 77

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM 3.1) Phần dành cho giáo viên 79

3.1.1) Phân tích bộ câu hỏi 80

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm 83

3.2) Phần dành cho học sinh 87

3.2.1) Phân tích bộ câu hỏi 88

3.2.2) Phân tích hậu nghiệm 93

3.3) Một số kết luận 104

KẾT LUẬN 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 109

PHỤ LỤC 112

Chữ viết tắt Viết đầy đủ

SGH11N Hình học 11 nâng cao Sách giáo viên

SGK6T1 Sách giáo khoa Toán 6 tập 1

SGK7T2 Sách giáo khoa Toán 7 tập 2

SGK9T1 Sách giáo khoa Toán 9 tập 1

SGK9T2 Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

MỞ ĐẦU 0.1) Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Nói về vai trò công cụ của đại số, theo tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006), “ Về mặt lịch sử, đại số ra đời để giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công

cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác” [19, tr 11] Đặc biệt, khi nói về ảnh hưởng của đại số trong sự ra đời của Hình học giải tích (HHGT), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) đã có nhận định như sau:

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét đến các bài toán có liên quan đến các đường cong, mặt cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một phương pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ

Vào cuối thế kỷ 16, những vật liệu cần thiết cho việc xây dựng một phương pháp đáp ứng đòi hỏi đó đã đạt đến độ hoàn hảo Cụ thể là sự phát triển của đại số đã mang lại hiệu quả không chỉ trên các số mà trên mọi loại đại lượng Xu hương ký hiệu hóa các đối tượng nghiên cứu của Viète (1540-1603) làm cho tính toán đại số trở nên dễ dàng, rồi phương pháp đồ thị của Oresme cho phép biểu diễn tương quan giữa các đại lượng v.v… Những điều đó mang lại cho phương pháp đại số một sức mạnh mới, cho phép thay thế những lời giải viện dẫn đến hình học trước đây bằng những lời giải thuần túy đại số, thường gọn gàng hơn Tất cả đã sẵn sàng cho toán học chuyển qua một bước tiến quyết định , làm đảo ngược mối quan hệ đã được thiết lập cho đến lúc đó giữa đại số và hình học [ 3, tr 34]

Có thể nói, HHGT (còn gọi là Hình học tọa độ) là đỉnh cao của việc vận dụng đại

số vào việc nghiên cứu hình học Thế nhưng, trong thể chế giảng dạy, do sự sắp xếp của Chương trình, không phải lúc nào các công cụ của HHGT cũng có thể tham gia vào việc giải quyết các vấn đề của hình học Trường hợp Hình học không gian ở lớp

11 (HHKG11) là một ví dụ Ta đều biết, HHGT trong không gian mãi đến HKII lớp 12 mới xuất hiện, trong khi HHKG11 được xem là nội dung khá khó đối với học sinh Câu hỏi đặt ra là trong hoàn cảnh đó, đại số có thể can thiệp, hỗ trợ như thế nào trong việc dạy và học môn hình học này? Trong lúc đi tìm câu trả lời cho câu hỏi đó, chúng tôi chú ý đến bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AB=CD=AC=a Trên đoạn AC lấy M với AM=x Qua M ta vẽ mặt phẳng (P) song song với AB, CD Mặt phẳng (P) cắt BC, BD,

AD lần lượt tại N, R, T Tìm x để diện tích S của tứ giác MNRT lớn nhất

(Trích BT 3.54, sách BT Hình học 11, trang 165, 166) [14]

Trang 194, 195, sách BT Hình học 11(SBH11) trình bày lời giải của bài toán

này như sau:

a)�

AB=(ABC)∩(ABD)(P)//AB (P)⋂(ABC)=MN(P)⋂(ABD)=RT

⟹MN // R T(1)

Tương tự, khi (P) // CD, ta có MT//NR (2)

Mặt khác NMT� =(AB,CD)� =90o

(3)

2 ⇔ Mlà trung điểm AC

Phát hiện trên dẫn chúng tôi đến các câu hỏi xuất phát như sau:

1/ Trong HHKG11, những loại bài toán nào cần đến công cụ đại số để giải quyết, những công cụ đại số nào thường được vận dụng và vận dụng như thế nào? Lợi ích của việc vận dụng đó là gì?

2/ Học sinh thường gặp những khó khăn nào trong việc vận dụng công cụ đại số khi giải toán HHKG11? Giáo viên có những biện pháp nào để giúp học sinh khắc phục các khó khăn đó?

Từ những ghi nhận, thắc mắc đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Công cụ đại

số trong dạy-học Hình học không gian lớp 11” để thực hiện việc nghiên cứu cho

luận văn thạc sĩ của mình

0.2) M ục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là làm rõ vai trò công cụ của đại số trong việc giải quyết các bài toán HHKG11

0.3) Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Công cụ lý thuyết được chúng tôi chọn làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời cho những vấn đề đã nêu thuộc phạm vi Didactic Toán mà cụ thể là Thuyết nhân học trong Didactic Toán, Lý thuyết tình huống với khái niệm Hợp đồng didactic

Didactic Toán không chỉ là một tài liệu tham khảo tốt đối với các nhà nghiên cứu, giáo viên và sinh viên khoa Toán, mà tất cả những ai quan tâm đến hoạt động dạy học, từng trăn trở đi tìm cơ sở lí thuyết, công cụ hữu hiệu lí giải các hiện tượng trong giảng dạy và học tập cũng có thể có những khám phá thú vị khi tham khảo giáo trình này [1, tr 9]

Nếu chúng ta gọi đối tượng O là các tri thức đại số (những tri thức thường được vận dụng như những công cụ giải các bài toán trong chương trình Toán phổ thông); I

là thể chế dạy học hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về cách tiếp cận HHKG11 thông qua công cụ đại số liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế R(I;O) của thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng Các câu hỏi “Những công cụ đại số nào thường được vận dụng và vận dụng như thế nào?”, “Học sinh thường gặp những khó khăn nào trong việc vận dụng công cụ đại số khi giải toán HHKG11?” liên quan đến khái niệm quan

hệ cá nhân của lý thuyết này Ngoài ra, câu hỏi đó cũng có thể được giải đáp bởi khái niệm Hợp đồng didactic trình bày bởi G Brousseau (1980)

0.3.1) Thuyết nhân học trong Didactic Toán

Khái niệm về quan hệ đối với tri thức được đưa vào bởi Chevallard (1989) Chevallard đã đặt khái niệm này trong phạm vi nhân chủng học, ở đó những hiện

tượng liên quan đến việc dạy học một tri thức (toán học) được mô tả theo các mối

Quan hệ cá nhân

Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X

Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động

qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … Quan hệ

cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O Một con người là một cá

nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết [1, tr.315, 317]

Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với đối tượng tri thức O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại)

Quan hệ thể chế

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, R(I, O), để chỉ tập

hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Hiển nhiên, trong một thể

chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O) Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O) Tất nhiên, do tri thức O tồn tại trong các thể chể I khác nhau (chẳng hạn thể chế dạy học Việt Nam, thể chế dạy học Pháp) nên sẽ có mối quan

hệ khác nhau với các cá nhân X (chẳng hạn giáo viên, học sinh) Do đó muốn nghiên cứu quan hệ của cá nhân X với đối tượng tri thức O, cần phải đặt nó trong mối quan hệ của thể chế I mà cá nhân X đang đứng cùng với tri thức O

Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Nhằm giải quyết vấn đề này, Chevallard đã đưa khái niệm

tổ chức praxéologie (hay ngắn gọn hơn Praxéologie)

Khái niệm Praxéologie, Praxéologie Toán học

Trình bày về Praxéologie, Praxéologie Toán học (Tổ chức toán học), theo tác giả

Đoàn Hữu Hải (2001):

K hái niệm praxéologie hình thành dựa trên 4 định đề về nhân chủng học là

Định đề 1 Toàn bộ thực tiễn của thể chế được đưa vào phân tích, theo những quan điểm khác nhau và theo những phương pháp khác nhau, bằng một hệ thống những nhiệm vụ tương đối giới hạn và được tách ra từ dòng chảy của thực tiễn

Định đề 2 Việc thực hiện một nhiệm vụ nào đó là do vận dụng một kĩ thuật Định đề 3 Để có thể tồn tại trong một thể chế, một kĩ thuật phải xuất hiện sao cho

có thể hiểu được, có thể thấy được và phải được lý giải

Định đề 4 Bất kì một yếu tố công nghệ nào cũng cần một sự lý giải

Tương ứng với các định đề này, Chevallard đưa vào khái niệm Praxéologie Đó là một bộ tứ được hình thành từ:

1.Các kiểu nhiệm vụ T-hiện diện trong một thể chế nào đó;

2.Kĩ thuật τ-cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T;

3.Công nghệ θ-văn bản lý giải cho kĩ thuật τ;

4.Lý thuyết Θ-là công nghệ của công nghệ θ

Trong trường hợp các thành tố T, τ, θ, Θ của một Praxéologie mang bản chất toán

học, người ta nói đến một tổ chức toán học hay là một Praxéologie toán học [9, tr 5]

Đánh giá một tổ chức toán học

Đánh giá các kiểu nhiệm vụ: việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn

- Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã được thể hiện qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa? Hay ngược lại, chúng chỉ được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?

- Tiêu chuẩn về lý do tồn tại: lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói rõ chưa? Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì để tồn tại?

- Tiêu chuẩn thỏa đáng: những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không? Hay ngược lại, dường như chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh?

Đánh giá kỹ thuật: Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ Ti đã thực sự được xây dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không? Nó có giải quyết được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không? Tương lai của nó ra sao và nó có thể tiến triển theo một cách thức thích hợp hay không?

Đánh giá công nghệ: Với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật

thì vấn đề giải thích nó có được đặt ra hay không? Hay người ta thừa nhận thông báo này một cách hiển nhiên, đã được biết rõ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử dụng có gần gũi và dễ hiểu với các hình thức chuẩn trong toán học không? Cách giải thích đó có phù hợp với hoàn cảnh và điều kiện sử dụng nó không? … [8, tr 12]

0.3.2) Lý thuyết tình huống

Khái niệm hợp đồng didactic (Hợp đồng dạy học)

Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy-học là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng đó Theo

G Brousseau (1980), “Ta nói hợp đồng dạy học là một tập hợp những quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên đối với một tri thức toán học được giảng dạy” [1, tr 339]

Như vậy, hợp đồng dạy học chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Hợp đồng dạy học chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, các phát biểu hoặc những

lời giải thích Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

0.4) Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trên cơ sở những hiểu biết có được từ Thuyết nhân học trong Didactic toán, Lý thuyết tình huống, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi xuất phát và trình bày lại thành ba câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Trong hình học của Chương trình Toán phổ thông, công cụ đại số có những đặc trưng cơ bản nào?

Q2: Trong HHKG11, những tổ chức toán học nào cho thấy vai trò công cụ của đại số; những công cụ đại số nào thường được vận dụng; lợi ích của việc vận dụng các công cụ đó là gì?

Q3: Trong thực tế dạy-học HHKG11, công cụ đại số thường được huy động trong những vai trò nào, học sinh thường gặp những khó khăn nào trong việc huy động các công cụ đại số?

0.5) Mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu

0.5.1) Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong giải toán HHKG11

0.5.2) P hương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục tiêu nghiên cứu nói trên, chúng tôi chọn phương pháp nghiên cứu như sau:

- Nghiên cứu lý luận:

Chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu các luận văn, các sách chuyên khảo và tìm thêm các ví dụ minh họa trong các SGK, SBT có liên quan trong danh mục Tài liệu

tham khảo để rút ra các kết luận nhằm trả lời cho câu hỏi Q1 và góp phần hình thành

nên giả thuyết nghiên cứu

- Nghiên cứu thực tiễn:

Trong nội dung này, việc nghiên cứu được chúng tôi tiến hành như sau:

Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu Chương trình Hình học 11, SGK Hình học 11,

SBT Hình học 11 nhằm trả lời cho câu hỏi Q2 Trên cơ sở đó, chúng tôi đưa ra giả

thuyết nghiên cứu và thiết lập bộ câu hỏi thực nghiệm Cuối cùng, chúng tôi thực nghiệm bộ câu hỏi nói trên, phân tích, đánh giá kết quả thu được, kiểm tra tính thỏa

đáng của giả thuyết nghiên cứu đồng thời trả lời cho câu hỏi Q3

Nghiên cứu của chúng tôi có thể được tóm tắt trong sơ đồ sau:

0.6) Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 5 phần:

MỞ ĐẦU:

Trong phần này chúng tôi nêu lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi nghiên cứu, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

CHƯƠNG 1-TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ ĐẠI SỐ VÀ VAI

TRÒ CÔNG CỤ CỦA ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÌNH HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN PHỔ THÔNG:

Tìm hiểu những đặc trưng cơ bản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với

hình học qua một số nghiên cứu đã biết Chương này có các mục:

1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học

1.1.1) Đại số

1.1.2) Vai trò công cụ của đại số đối với hình học

Nghiên cứu sự xuất hiện của công cụ đại số trong HHKG11 qua Chương trình, SGK Hình học 11; SBT Hình học 11

Nghiên cứu đặc trưng của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học trong Chương trình Toán phổ thông

qua các tài liệu tham khảo

-Xây dựng giả thuyết nghiên cứu và bộ câu hỏi thực nghiệm;

-Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu;

-Phân tích và tổng hợp kết quả thực nghiệm

Khung lý thuyết tham chiếu

2.1) Phân tích chương trình

2.1.1) Chương trình Hình học 11 cơ bản

2.1.2) Chương trình Hình học 11 nâng cao

2.2) Phân tích Sách giáo khoa và bài tập

2.3) Một số kết luận

CHƯƠNG 3-THỰC NGHIỆM:

Trình bày thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết được rút ra ở cuối Chương

II.Chương này gồm có các mục:

3.1) Phần dành cho giáo viên

3.1.1) Phân tích bộ câu hỏi

3.1.2) Phân tích hậu nghiệm

3.2) Phần dành cho học sinh

3.2.1) Phân tích tiên nghiệm

3.2.2) Phân tích hậu nghiệm

CHƯƠNG 1

TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

VỀ ĐẠI SỐ VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA ĐẠI SỐ ĐỐI VỚI HÌNH HỌC

TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG

Mục đích của chương

Tìm hiểu những đặc trưng cơ bản của đại số và vai trò công cụ của đại số đối với

hình học trong Chương trình Toán phổ thông nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1.

Do bị hạn chế về mặt thời gian nên chúng tôi không thể thực hiện một khảo sát đầy đủ Chương trình và SGK Toán phổ thông Vì vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nội dung này trong việc tổng hợp các kết quả đã có từ một số công trình nghiên cứu đã biết về đại số cũng như mối liên hệ giữa đại số với hình học trong lĩnh vực dạy-học và tìm ví

dụ minh họa trong một số SGK, SBT hiện hành Phân tích trong chương này được xem

là cơ sở tham chiếu cho những nghiên cứu tiếp theo

1.1) Đại số và vai trò công cụ của đại số đối với hình học

1.1.1) Đại số

Đại số là gì?

Theo D Wheeler (1996), một khó khăn trong việc định nghĩa đại số là khi chúng

ta nghĩ rằng đã hiểu hết bản chất của nó thì lại xuất hiện những khía cạnh khác cần phải được tính đến: đại số là một hệ thống ký hiệu, đại số là một tính toán, đại số là một hệ thống biểu diễn [19, tr 10]

Tìm kiếm câu trả trong các từ điển toán học chúng tôi thấy những đại ý như sau:

- Từ điển Toán học Anh-Hoa-Việt: “Đại số, một ngành của toán học qua đó các

đặc tính chung của những số được nghiên cứu bằng cách dùng các ký hiệu, thường là các mẫu tự, để trình bày các biến và các đại lượng chưa biết”[13, tr 16]

- Từ điển Toán học Anh-Việt: “Đại số học: Một phần của toán học, nghiên cứu

các hệ thống và các tính chất của số Trong số học, ta dùng các ký hiệu hay chữ để tượng trưng cho các ẩn số” [16, tr 13]

Tìm kiếm trên báo chí, chúng tôi chú ý đến câu trả lời của hai tác giả Vũ Kim Thủy, Hoàng Trọng Hảo trong bài “Phép toán hai ngôi là gì?”, đăng trên website của báo Hà Nội Mới số ra ngày 15 tháng 4 năm 2012:

Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng và trừu tượng hóa của bộ môn số học Trong đại số, các chữ số1được dùng để đại diện cho các số Chẳng hạn như trong biểu thức a + (a + 1) = 2 × a + 1 thì chữ a đại diện cho một số bất kỳ, đó là một biểu thức đại số Nó khác với biểu thức 2 + 3 = 5 thuộc về số học [25]

Còn trong SGK, liên quan đến khái niệm đại số, trang 25, SGK Toán 7 tập 2

đang lưu hành (SGK7T2) trình bày khái niệm biểu thức đại số:

Trong toán học, vật lý, … ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có các chữ (đại

diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số [5, tr 25]

Mặc dù có vài điểm khác biệt trong cách trình bày, nhưng nhìn chung các tài liệu trên đều có chung nhận định: đại số dùng các ký hiệu, chữ để tượng trưng cho các số

Ở một phương diện khác, đại số được xem là một ngôn ngữ:

A Bell (Bell, 1996) tự hỏi các biểu thức đại số và ngôn ngữ tự nhiên khác nhau chỗ nào Ông chỉ rõ rằng các quy trình lĩnh hội, quy trình chế tạo ra ý nghĩa tương tự nhau trong hai lĩnh vực mặc dù các biểu thức đại số có khuynh hướng dày đặc hơn và ít

rườm rà hơn các phát biểu của ngôn ngữ tự nhiên (Bednarz, Kieran, Lee, 1996) [19, tr 10]

Tuy nhiên, hình như có một khác nhau thực sự giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ đại số đó là

ngôn ngữ đại số không chỉ phục vụ cho biểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa Các phép biến đổi về mặt cú pháp của các biểu thức ký hiệu có thể được thực hiện một cách máy móc và chúng được sử dụng từ các tương đương, mà không thiết lập các tương đương này bằng cách làm việc trên chính những khái niệm, trong khi các quy tắc cú pháp hiển nhiên bắt nguồn từ kiến thức của các khái niệm này [19, tr 10]

Ví dụ về thao tác đại số, theo nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004), “một số đối tượng đại số như phương trình, biểu thức, công thức, và hàm số có thể được thao tác: giải quyết, đơn giản hóa, đại diện hoặc

chuyển đổi (certain algebraic objects (equations, expressions, formulas, and

1 Có lẽ ở đây hai tác giả dùng từ “chữ số” để chỉ các chữ được dùng để tượng trưng cho số

functions) can be manipulated (solved, simplified, represented or transformed))”

[30, tr.129]

Để có một cái nhìn xác đáng về đại số, chúng tôi đã tham khảo nhiều tài liệu, trong đó chúng tôi đặc biệt quan tâm đến luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006) ([19]); bài viết “Why is modelling not included in the teaching of algebra at secondary school?2” của nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón

(2004) ([30]); giáo trình Precalculus của nhóm tác giả Franklin D Demana, Bert K

Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy (2011) ([31]) và giáo trình Algebra 2 Practice Workbook with Examples của McDougal Littell (2011) ([32])

Theo luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006):

Năm 1842, G H F Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào

ký hiệu học đại số thành ba giai đoạn:

- Giai đoạn « hùng biện » (trước Diophante, 325-410) đặc trưng bởi việc sử dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả

- Giai đoạn «rút âm từ» (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI) : Diophante đã đưa vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết Đại số «rút âm từ» sử dụng một

số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà được sử dụng

thường xuyên hơn

- Giai đoạn «đại số ký hiệu» (Từ thời kỳ Vìete trở đi): các chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đại lượng: do đó có thể biểu thị các nghiệm «tổng quát», và sử dụng đại

số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán

Trong việc dạy Toán, đại số đã chiếm một vị trí quan trọng nhờ các bộ nhớ ký hiệu [19, tr 11]

Như vậy, trong giai đoạn hiện nay và nhất là trong dạy-học toán, nếu xét về mặt hình thức thì đại số là đại số ký hiệu, là ngành toán học dùng ký hiệu để tượng trưng cho các đại lượng Ở một nghĩa hẹp, về mặt từ-ngữ, từ đại số có nghĩa là đại diện cho

số đã nói lên điều đó

2 Tạm dịch: “Tại sao việc mô hình hóa không được bao gồm trong việc giảng dạy đại số ở trường trung học.”

Tất nhiên, sẽ là thiếu sót nếu nói đến ngôn ngữ đại số mà chỉ xét đến mặt hình thức Theo tác giả Nguyễn Ái Quốc (2006), “ngôn ngữ đại số không chỉ phục vụ cho biểu đạt mà còn cho cả thao tác nữa” Điều này được nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch , Josep Gascón (2004) nhìn nhận với yêu cầu “Đại số phải phục vụ cho việc mô hình hóa hệ thống toán học Đặc biệt, nó phải cho phép chúng ta đặt ra và giải quyết các vấn đề trong các lĩnh vực toán học khác (số học, hình học, vv) nơi mà nếu không có đại số khó có thể đặt ra và giải quyết” [30, tr.127]

Nghiên cứu đại số trong lĩnh vực dạy và học, tác giả Nguyễn Ái Quốc cho biết: Xuất phát từ sự phân biệt tổng quát, do Régine Douady (1984) giới thiệu, về phép biện chứng giữa hai mặt công cụ/đối tượng của một khái niệm toán học, Brigitte Grugeon (1995) đưa ra một tổ chức tri thức đại số sơ cấp xung quanh hai mặt chính yếu: Mặt công cụ: đại số được xem như là một công cụ để giải một số bài toán nảy sinh

từ các ngữ cảnh bên trong hay bên ngoài toán học

Mặt đối tượng: đại số được xem như một tập hợp cấu trúc các đối tượng (ẩn số, biến số, tham số, phương trình, bất phương trình, hàm số,…) được trang bị các tính chất, đặc biệt là các kiểu giải quyết mang bản chất hình thức, các kiểu biểu diễn cho phép các giải quyết này (cách viết đại số, đồ thị, ký hiệu hàm số,…) [19, tr 11]

Như với mọi khái niệm toán học, người ta làm việc trên các đối tượng của đại số thông qua các hệ thống biểu đạt (Duval, 1993) như ngôn ngữ tự nhiên, đồ thị, ký hiệu…Việc dạy đại số ưu tiên cho hệ thống biểu đạt bằng ký hiệu Một hệ thống được thiết lập qua các chữ cái và các dấu hiệu biểu diễn các phép toán (+, -, ×, …) và các quan hệ giữa các biểu thức đại số (=, <, …) [19, tr 12]

Tác giả nêu ra ba đối tượng quan trọng cho nghiên cứu đại số sơ cấp là “chữ”,

“biểu thức đại số” và “dấu đẳng thức”:

a) Chữ

Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ trong đó ông phân biệt:

- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số,

- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán,

- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn,

- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm,

- Chữ chỉ số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị,

- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong một ngữ cảnh hàm số [19, tr 12].b) Biểu thức đại số

Biểu thức đại số sử dụng các phần tử: số, chữ và dấu hiệu phép toán thuộc về số học [19, tr 12]

Trong số học, chuỗi số và phép toán được xem như những quy trình hướng đến việc tạo ra một câu trả lời Ngược lại, trong đại số, bản thân các ký hiệu được viết ra (biểu thức, phương trình, hàm số) đều có ý nghĩa, độc lập với các quy trình mà chúng biểu thị trong việc giải các bài toán Sự phân biệt này gắn liền với các công trình nghiên cứu của Sfard (1991) trong đó đặt ra việc phân biệt hai quan niệm chính đối với một biểu thức đại số: hoặc theo cấu trúc, như một đối tượng, hoặc theo phép toán, như một quy trình, đồng thời nhấn mạnh rằng, trong một hoạt động toán học, người ta nối khớp hai quan niệm này theo các yêu cầu cần thiết

Những nghiên cứu khác cho thấy rằng hoạt động cần thiết cho việc giải các bài toán đại số đặt ra cùng lúc một cấp độ cú pháp và ba cấp độ ngữ nghĩa học (Nicaud, 1994) Việc nghiên cứu ba cấp độ ngữ nghĩa học cho phép phân tích sự tiến triển nghĩa của phép tính đại số:

- cấp độ 1: phân phối giá trị cho các biến tham gia trong một biểu thức đại số,

- cấp độ 2: biến đổi một biểu thức thành một biểu thức tương đương (khai triển, phân tích thành thừa số) bằng một tính toán trực tiếp,

- cấp độ 3: tổ chức các giai đoạn của một tính toán đại số nhờ một suy luận chiến

lược

Nicaud (1993) cho rằng “chúng ta thực hiện một việc tính toán đại số thực sự khi một phần có ý nghĩa của hoạt động nằm ở cấp độ này (cấp độ thứ 3 ngữ nghĩa học) Không có cấp độ này, đại số được sử dụng như một sự ký hiệu đơn giản”

Về phía mình, Drouhard (1992) dựa trên các khái niệm nghĩa, sự biểu hiện, sự giải thích và sự mở rộng nghĩa vay mượn của Frege (1971) để phân tích việc xử lý các biểu thức ký hiệu của đại số sơ cấp và các phép biến đổi hình thức trong việc viết lại Vì

thế, hai biểu thức đại số: (x+1)² và x²+2x+1 có cùng một biểu hiện, nhưng không cùng một nghĩa Chẳng hạn, biểu thức thứ nhất cho ta thấy rằng biểu thức đó luôn dương

Việc xử lý một biểu thức tùy thuộc vào nghĩa của nó, nhưng được thực hiện bằng cách giữ được sự biểu hiện của nó [19, tr 13]

c) Dấu đẳng thức

Dấu đẳng thức có một vai trò kép Nó có thể hoặc chỉ một kết quả, hoặc một quan

hệ tương đương Trong số học, nó có chức năng thông báo một kết quả, trong khi trong đại số nó diễn đạt một quan hệ tương đương, đặc biệt là trong các phương trình Như vậy cùng một lúc có một sự liên tục và gián đoạn giữa số học và đại số [19, tr 14].Tìm kiếm các nội dung tương tự trong các tài liệu khác, chúng tôi nhận thấy: Trong giáo trình Algebra 2 Practice Workbook with Examples của McDougal

Littell (2011),

Liên quan đến đối tượng “Chữ” với vai trò chỉ biến số:

Một biến là một kí tự được sử dụng để đại diện cho một hoặc nhiều số (A variable

is a letter that is used to represent one or more numbers)

Bất kỳ số nào được sử dụng để thay thế một biến là một giá trị của biến (Any number used to replace a variable is a value of the variable) [32, tr 4].

Liên quan đến đối tượng biểu thức đại số:

Một biểu thức đại số là một biểu thức có biến (An algebraic expression is an expression involving variables)

Khi các biến trong một biểu thức đại số được thay thế bằng những con số, kết quả

đó được gọi là giá trị của biểu thức (When the variables in an algebraic expression are replaced by numbers, the result is called the value of the expression)

Các “hạng tử” là những phần được cộng vào trong một biểu thức, chẳng hạn như

5 và –x trong biểu thức 5-x (Terms are the parts that are added in an expression, such

as 5 and –x in the expression)

“Hệ số” là số được nhân với một biến trong một hạng tử (A coefficient is the number multiplied by a variable in a term)

Hai biểu thức đại số là “tương đương” nếu chúng có cùng giá trị cho tất cả các giá

trị của biến của chúng (Two algebraic expressions are equivalent if they have the same value for all values of their variable(s)) [32, tr.4].

Liên quan đến đối tượng “dấu đẳng thức”, Algebra 2 Practice Workbook with Examples trình bày khái niệm “phương trình”:

Một phương trình là một trình bày mà trong đó hai biểu thức bằng nhau (An equation is a statement in which two expressions are equal) [32, tr.7]

Ngoài ra, giáo trình này cũng trình bày một số khái niệm khác liên hệ với biểu thức đại số như:

- “Các hạng tử đồng dạng”:

Các hạng tử đồng dạng là các biểu thức có phần biến giống nhau Các hằng số như

2 và -4 cũng là các hạng tử đồng dạng (Like terms are expressions that have the same variable part Constant terms such as 2 and -4 are also like terms) [32, tr.4].

- “Lũy thừa”, “Cơ số” và “Số mũ”:

Các cơ số của một số mũ là số hoặc biến được sử dụng như một thừa số trong phép nhân lặp đi lặp lại Ví dụ, trong biểu thức 4n, 4 là cơ số (The base of an exponent is the number or variable that is used as a factor in repeated multiplication For example,

in the expression 4 n , 4 is the base) [32, tr 4].

Một số mũ là số hoặc biến đại diện cho số lần cơ số được sử dụng như một thừa

số Ví dụ, trong biểu thức 4n, n là số mũ (An exponent is the number or variable that represents the number of times the base is used as a factor For example, in the expression is the exponent) [32, tr 4].

Một lũy thừa là kết quả của phép nhân lặp đi lặp lại Ví dụ, trong biểu thức 42

=16,

16 là lũy thừa bậc hai của 4 (A power is the result of repeated multiplication For example, in the expression 4 2 =16, 16 is the second power of 4) [32, tr 4]

Trong các vấn đề về chữ chỉ biến số, biểu thức đại số, dấu đẳng thức kể trên, có

thể nói Algebra 2 Practice Workbook with Examples đã cụ thể hóa, chi tiết hóa nội

dung tương ứng mà tác giả Nguyễn Ái Quốc đã trình bày

Còn trong giáo trình Precalculus của các tác giả Franklin D Demana, Bert K

Waits, Gregory D Foley, Daniel Kennedy (2011), chúng tôi đặc biệt quan tâm đến vấn

đề “Những thuộc tính cơ bản của Đại số (Basic Properties of Algebra)” Theo giáo

trình này,

“Đại số” liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện

cho các số thực (Algebra involves the use of letters and other symbols to represent real numbers)

“Biến” là một kí tự hoặc biểu tượng (ví dụ, x, y, t, θ) đại diện cho một số thực

không xác định (A variable is a letter or symbol (for example, x, y, t, θ) that represents

an unspecified real number)

“Hằng” là một kí tự hoặc biểu tượng (ví dụ, -2, 0, √3, π) đại diện cho một số thực

cụ thể (A constant is a letter or symbol (for example,2, 0, √3, π) that repre-sents a specific real number).

“Biểu thức đại số” là một sự kết hợp của các biến và hằng số liên quan đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và căn thức (An algebraic expression is a combination of variables and constants involving addition, subtraction, multiplication, division, powers, and roots) [31, tr 5].

Ở đây, ngoài việc khẳng định thuộc tính cơ bản của đại số là “sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện cho các số thực”, các vấn đề về biến, biểu thức đại

số, theo chúng tôi, được Precalculus trình bày không khác gì hai tài liệu trước Riêng

việc giáo trình này cho rằng đại số liên quan đến việc sử dụng các chữ cái và các ký hiệu khác để đại diện cho các số thực mà không đề cập đến việc dùng chữ cái và các

ký hiệu khác đại diện cho các số phức có lẽ là do trong chương trình của giáo trình này, tại thời điểm xuất hiện nội dung trên chưa có khái niệm số phức

Tìm kiếm nội dung tương tự trong các giáo trình toán của Việt Nam hiện hành, chúng tôi nhận thấy:

Về biểu thức đại số, như đã nói ở trên, SGK Toán 7 tập 2 trình bày:

Trong toán học, vật lý, … ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các

số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có các chữ (đại

diện cho các số) Người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số

Ví dụ : Các biểu thức 4x ; 2.(5+a) ; 3.(x+y) ; x2

; xy ; 150

x-0,5là những biểu thức đại số [5, tr 25]

Chúng tôi thấy, ở đây khái niệm biểu thức đại số được SGK Toán 7 tập 2 trình

bày cô động hơn so với trong các tài liệu đã dẫn trước Về vai trò của đối tượng “chữ”,

SGK Toán 7 tập 2 nói chữ “đại diện cho các số” Như vậy, có thể nói SGK Toán 7 tập

2 đã trình bày một cách khái quát 4 vai trò quan trọng trong 6 vai trò của chữ mà tác giả Nguyễn Ái Quốc đã nói đến đó là “Chữ được gán giá trị”, “Chữ chỉ ẩn số đặc thù”,

“Chữ chỉ số được khái quát hóa” và “Chữ chỉ biến số”

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy:

Tương ứng với các khái niệm hạng tử, hạng tử đồng dạng trong giáo trình

Algebra 2 Practice Workbook with Examples, SGK Toán 7 tập 2 có các khái niệm

Trong các SGK toán hiện hành của Việt Nam chúng tôi không tìm thấy khái

niệm “hai biểu thức đại số tương đương” Thay vào đó, chúng tôi tìm thấy khái niệm

“phương trình” Theo chúng tôi, khái niệm phương trình được trình bày trong SGK đại

số lớp 10 là tổng quát, đầy đủ nhất

Khái niệm phương trình trong SGK Đại số 10 (cơ bản):

Phương trình một ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)=g(x) (1) trong đó f(x)

và g(x) là những biểu thức của x

Nếu có số thực xo sao cho f(xo)=g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một

nghiệm của phương trình (1) [12, tr 53]

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số,

chẳng hạn 3x+2y=x2

-2xy+8 (2), 4x2-xy+2z=3z2+2xz+y2 (3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình 3 ẩn (x, y

và z)

Khi x=2, y=3 thì hai vế của phương trình (2) bằng nhau, ta nói cặp số (x;y)=(2;3)

là một nghiệm của phương trình (2)

Tương tự bộ ba số (x;y;z)=(-1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3) [12,tr.54]

Tương tự như SGK Đại số 10, SGK Đại số 10 nâng cao cũng trình bày khái

niệm phương trình gồm hai nội dung là “phương trình một ẩn” và “phương trình nhiều

ẩn” đồng thời bổ sung khái niệm “tập xác định của phương trình”:

Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt D=Df∩Dg

Mệnh đề chứa biến “f(x)=g(x)” được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số

(hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

Số xo∈D được gọi là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x) nếu “f(xo)=g(xo)” là mệnh đề đúng [22 , tr 66].

Trong thực tế ta còn gặp những phương trình có nhiều hơn một ẩn Đó là các phương trình dạng F=G, trong đó F và G là những biểu thức của nhiều biến Chẳng hạn, 2x2+4xy-y2=-x+2y+3 là một phương trình hai ẩn (x và y); x+y+z=3xyz là một phương trình ba ẩn (x, y và z) [22 , tr 70]

Quay lại với luận án tiến sỹ của tác giả Nguyễn Ái Quốc ở phần “Các dạng khác của hoạt động đại số”, chúng tôi chú ý đến khía cạnh nói lên tính công cụ của đại số:

Kieran (1996, 2001) phát triển một mô hình của hoạt động đại số trong đó phân

biệt ba họat động chủ chốt của đại số sơ cấp : Khái quát (Sản sinh), Biến đổi và Toàn thể/Cấp độ Meta

Hoạt động Sản sinh:

Hoạt động này bao gồm việc hình thành các biểu thức và phương trình là những đối tượng của đại số Tác giả đưa ra ba ví dụ đặc trưng sau của hoạt động Sản sinh:

- Phương trình một ẩn mô hình hóa một bài toán tình huống

- Biểu thức khái quát hóa một quan hệ giữa các phần tử hình học hay dãy số

- Biểu thức chứng minh các tính chất số học

H oạt động Biến đổi:

Hoạt động này tập trung chủ yếu việc thay đổi dạng của một biểu thức hay một

phương trình và luôn bảo đảm sự tương đương Tác giả nêu lên một số nghiên cứu về dạng hoạt động này (chẳng hạn Cerulli & Mariotti, 2001 : Lagrange 2000)

H oạt động Toàn thể/ cấp độ Meta:

Trong hoạt động này, đại số được sử dụng như một công cụ Hoạt động này bao gồm hoạt động giải bài toán, mô hình hóa cấu trúc, nghiên cứu sự thay đổi, chứng minh, tiên đoán mà không cần đến đại số Thực tế, theo quan điểm chương trình, các hoạt động Toàn thể/cấp độ Meta không thể tách rời với các hoạt động khác, đặc biệt là hoạt động Sản sinh, nếu không thì sẽ làm mất đi mục tiêu của đại số [19, tr 14]

Như vậy, đại số được sử dụng như một công cụ trong Hoạt động Toàn thể/cấp độ Meta không tách rời với các hoạt động Khái quát (Sản sinh) và Biến đổi Do đó, trong các phần tiếp theo của luận văn này, để nghiên cứu vai trò công cụ của đại số trong

HHKG11, tất nhiên chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu sự hiện diện của các hoạt động này

Về sử dụng đại số như một công cụ, đặc biệt là trong vấn đề mô hình hóa, theo nhóm tác giả Pilar Bolea, Marianna Bosch, Josep Gascón (2004),

Bên cạnh quan điểm về đại số như một số học tổng quát, chúng ta cũng có thể xem hoạt động đại số cơ bản như một công cụ mô hình hóa toán học (theo nghĩa của Chevallard 1985, 1989, 1990) Trong trường hợp này, đại số không được coi là một nội dung của riêng mình, nhưng như một công cụ cho việc mô hình hóa các hệ thống toán

học mà chúng ta gọi (Bolea et al 1998) là quá trình đại số của các tổ chức toán học (Beside the point of view of algebra as a generalised arithmetic, we can also see algebraic activity as essentially a mathematical modelling tool (in the sense of Chevallard 1985, 1989, 1990) In this case, algebra is not considered as a content of its own, but as a tool for modelling mathematical systems, what we called (Bolea et al 1998) the algebraisation process of mathematical organisations.) [30, tr 127].

Còn theo nhóm tác giả Franklin D Demana, Bert K Waits, Gregory D Foley,

Daniel Kennedy (2011), trong giáo trình Precalculus,

Trong lịch sử, đại số đã được sử dụng để tái hiện các vấn đề với các biểu tượng (mô hình đại số) và giải quyết chúng bằng cách giảm các giải pháp nhờ vào thao tác

đại số đối với các biểu tượng (Historically, algebra was used to represent problems with symbols (algebraic models) and solve them by reducing the solution to algebraic manipulation of symbols) [31, tr 2]

Về xác định nội dung của các lĩnh vực hình học, số học, đại số và giải tích trong chương trình Toán phổ thông, theo tác giả Nguyễn Bá Kim (2006),

Toán trong nhà trường phổ thông chủ yếu bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai bộ phận:

Thị Hoài Châu (2008) khi nói về hình học vectơ : “với lý thuyết vectơ thì khác, người

ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹ thuật của đại số” [2, tr.38] Do vậy, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi cũng xem vectơ thuộc phạm vi hình học và do đó những công cụ toán học có hàm chứa vectơ cũng không được xem là công cụ đại số

1.1.2) V ai trò công cụ của đại số đối với hình học

Trong nội dung này, chúng tôi thực hiện việc nghiên cứu vai trò công cụ của đại

số đối với hình học gắn với vấn đề về mối liên hệ giữa đại số và hình học Vì theo chúng tôi, nếu nghiên cứu vai trò công cụ của đại số đối với hình học mà không quan tâm đến mối liên hệ phổ biến trên, về mặt triết học và phương pháp luận, đó là một nghiên cứu phiến diện, không nhìn thấy hết các khía cạnh của vấn đề

Các tài liệu mà chúng tôi chọn nghiên cứu cho nội dung này bao gồm:

1/ Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy-học hình học ở trường THPT,

Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh ([2]);

2/ Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ giữa Hình học tổng hợp và Hình học giải tích trong dạy học Hình học lớp 12 ở Việt Nam, luận văn thạc sĩ trường Đại học

sư phạm TP.HCM ([17]);

3/ Nguyễn Vũ Hoàng Trâm (2012), Nghiên cứu didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm TP.HCM.([27]);

4/ Trịnh Duy Trọng (2009), Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở Trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm TP.HCM

([28]);

5/ Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục

([15]);

6/ Lê Thị Thanh Tuyền (2012), Quan hệ giữa hình học và giải tích trong dạy học

số phức ở lớp 12, luận văn thạc sĩ trường Đại học sư phạm TP.HCM ([29])

1.1.2.1) Những kết quả nghiên cứu tri thức luận

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008), “Trong lịch sử, quan hệ giữa đại số, giải tích và hình học tiến triển theo một tiến trình mà hình học giải tích giữ vai trò cực kỳ quan trọng: sự ra đời của nó làm đảo ngược tình thế” [2, tr.29]

Chúng ta đều biết, HHGT là môn hình học mà trong đó người ta giải các bài toán hình học bằng công cụ đại số Điều này hoàn toàn trái ngược với những gì xảy ra trong hoạt động nghiên cứu toán học trước khi HHGT ra đời, thời gian đó, người ta “giải các bài toán đại số bằng hình học” [2, tr.29].

Ví dụ, để chứng minh đẳng thức (a+b)2

= a2+2ab+b2 người ta vẽ 3 hình vuông có cạnh lần lượt là a, b, a+b và 2 hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là a, b như “Hình 1.1”

Hình 1.1 Dùng hình học chứng minh biểu thức đại số

Khi đó, diện tích hình vuông lớn là (a+b)2 và, tính theo diện tích các hình vuông nhỏ, là a2

+2ab+b2, từ đó suy ra (a+b)2

= a2+2ab+b2. Tuy nhiên, cách làm trên chỉ thực hiện được khi a, b là các số dương

Một ví dụ khác đó là giải các phương trình dạng ax = b bằng hình học:

Dùng phương pháp tỷ lệ, người Hy-Lạp dựng được một đoạn thẳng x thỏa mãn hệ

thức a:b = c:x , trong đó a, b, c là các đoạn thẳng cho trước (Hình 1.2)

Hình 1.2 Giaỉ phương trình bằng hình học

Nếu lấy c là đoạn thẳng đơn vị thì ta được x là nghiệm của ax = b [2, tr 31] Tuy nhiên, như nhận định của tác giả Lê Thị Hoài Châu mà chúng tôi đã trích dẫn ở trên,

Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét đến các bài toán có liên quan đến các đường cong, mặt cong phức tạp Chính ở đây mà phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế của mình Nó khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một phương pháp tổng quát không lệ thuộc vào hình vẽ [ 3, tr 34]

Hoàn cảnh trên đã thúc đẩy sự ra đời của HHGT

Nghiên cứu về sự hình thành HHGT trong lịch sử giai đoạn từ thế kỷ 17 đến thế

kỷ 18 thể hiện qua các công trình nghiên cứu, phát minh của Rene Descartes 1650), Pierre de Fermat (1601-1665), tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) có nhận xét:

(1596 Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH thành các phương trình đại số, các quan hệ đại số nhằm mục tiêu giải quyết bài toán hình học một cách gọn gàng, tổng quát hơn, giúp giải quyết một số bài toán khó của hình học Mặc dù mục tiêu của giai đoạn này là dùng phương pháp HHGT để giải toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dụng để giải quyết bài toán HHGT

- Mặc dù Descartes đã ý thức chuyển các bài toán hình học sang các phương trình đại số và Fermat đã chứng minh sự “tương ứng 1-1” giữa đường thẳng và phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc dùng chính phương trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đặt ra Các khái niệm hình học của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm tương ứng của HHTH

- Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyển dài sang phạm vi đại số: Descartes đã đặt tương ứng các phép dựng hình học với các phép toán đại số và giải một bài toán hình học hoàn toàn dựa trên phép toán trên các đối tượng đại

số này Nhờ sự tiện lợi và tính tổng quát của lời giải một bài toán hình học bằng công cụ

a

c b

x

đại số mà Descartes đã vui mừng tuyên bố: ông ấy đã giải được mọi bài toán hình học! [17, tr 15].

Cũng theo tác giả Nguyễn Minh Phong (2012), những thành tựu đem lại cho HHGT từ những phát minh sau Descartes và Fermat là:

Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính

phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học Các tính chất của các khái niệm hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dụng tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa Các quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH Sự tiến triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng nghiên cứu hình học trước đây [17, tr 16]

Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2008) nhận định:

Xét về phương diện khoa học luận thì xem Hình học giải tích là sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số đều được cả Tuy nhiên, Descartes và Fermat thiên về cách nhìn thứ nhất, vì, theo họ, phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học, và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học [2, tr 35]

Như một tiếp nối nhận định của tác giả Lê Thị Hoài Châu, tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) đưa ra nhận xét bổ sung:

Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy rằng: với việc sử dụng các phương trình đại số, các quan hệ đại số thì việc giải quyết một bài toán hình học trở nên dễ dàng và thuận lợi

hơn Tuy vậy nó cũng bộc lộ một nhược điểm là: lời giải một bài toán hình học bằng

phương pháp đại số hầu như tách rời khỏi bài toán hình học đó, chỉ còn lại một bài giải thuần túy đại số Từ đây mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này [17, tr 17]

Ý kiến trên cũng được tác giả Lê Thị Hoài Châu thừa nhận khi nhận định về những thay đổi của toán học kể từ khi HHGT ra đời: “nếu như trước kia người ta phải nhờ đến hình học để tìm nghĩa cho các bài toán đại số thì giờ đây đại số được đánh giá

như một ngành toán học độc lập thậm chí còn được ưu tiên hơn so với hình học” [2, tr.35], “phương pháp giải tích lấn át phương pháp tổng hợp trong nghiên cứu hình học” [2, tr.39]

Những gì diễn ra làm cho chúng ta nghĩ đến một dấu chấm hết cho HHTH Thế nhưng, không phải vậy, Hình học vectơ (HHVT) đã làm thay đổi cách nhìn đó

Nói về sự khác nhau về vai trò của đại số trong HHGT và trong HHVT, tác giả

Lê Thị Hoài Châu có một nhận xét mà từ đó chúng tôi nhận ra một vấn đề khá thú vị:

Trong hình học giải tích, tác động của đại số đến hình học phải được thực hiện bằng việc chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số thông qua trung gian là hệ trục

tọa độ Với lý thuyết vectơ thì khác, người ta không cần thoát ly khỏi phạm vi hình học

mà vẫn tận dụng được các công cụ, kỹ thuật của đại số Nói cách khác, hình học vectơ cho phép “du nhập” các kỹ thuật của đại số vào hình học [2, tr.38]

Vấn đề thú vị mà chúng tôi muốn đề cập đến đó là HHVT với vai trò cho phép

du nhập các kỹ thuật của đại số vào hình học Hay, nói cách khác, HHVT đóng vai trò

là cầu nối giữa đại số và hình học

Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhãn quan toán học cho học sinh

Chẳng hạn như học sinh làm quen với các phép toán trên những đối tượng không phải là

số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó giúp học sinh nhận thấy tính thống nhất của toán học Họ có được một mô hình về các cấu trúc đại số (nhóm, không gian vectơ,…)

sẽ gặp sau này Họ không chỉ biết một phương pháp cho phép đại số hóa hình học mà còn học được một phương pháp hình học hóa đại số Ví dụ, để chứng minh (x1y1+x2y2+x3y3)2≤ (x1+x2+x3)2.(y1+y2+y3)2, ta có thể sử dụng bất đẳng thức vectơ

�a⃗.b�⃗�≤|a⃗|.�b�⃗� với a⃗=( x1; x2; x3), b�⃗=( y1; y2; y3) [2, tr 117-118]

Đặc biệt, vai trò cầu nối giữa hình học với đại số của vectơ thể hiện trong lĩnh vực số phức đã giúp giải quyết được khó khăn nảy sinh từ tại môn đại số Điều này được chúng tôi tìm thấy trong luận văn thạc sĩ “Quan hệ giữa hình học và Giải tích trong dạy học số phức ở lớp 12” của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền (2012) Theo tác giả,

Số phức ra đời trong phạm vi đại số nhằm tìm nghiệm của phương trình bậc ba Trong một khoảng thời gian dài số phức chỉ đóng vai trò là công cụ và được xem là số

ảo, số tưởng tượng Trong quá trình đi tìm sự hợp thức cho đối tượng này, các nhà toán học đã xem xét chúng trong những phạm vi khác nhau, có khi là hình học có khi là đại

số Chính sự thay đổi đó đã đem lại kết quả to lớn, không chỉ cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức mà còn góp phần làm nảy sinh các đối tượng toán học mới như vectơ, quaternions3

Về phương diện đại số, tuy các phép toán trên số phức được quy về tính toán trên những số thực nhưng phép nhân hai số phức lại ẩn chứa một vẻ huyền bí khó hiểu và do

đó chúng cần đến sự giải thích trong phạm vi hình học [29, tr 13]

Như vậy, qua ý kiến của tác giả Lê Thị Thanh Tuyền, hình học một lần nữa lại được cần đến trong vai trò minh họa cho một khái niệm đại số đó là số phức Hay, như cách nói của tác giả, hình học đóng vai trò cung cấp “nghĩa” cho khái niệm số phức

Từ các kết quả nghiên cứu tri thức luận nói trên, chúng tôi có thể nói, công cụ đại

số được đưa vào hình học thông qua hai “con đường” chủ yếu đó là HHGT và HHVT Ngoài hai con đường này, việc vận dụng công cụ đại số vào hình học gặp rất nhiều khó khăn

1.1.2.2 ) Những kết quả nghiên cứu thể chế

Ý tưởng về việc sử dụng hình học như một công cụ để nghiên cứu đại số cũng được thể hiện trong Chương trình Toán phổ thông Chúng tôi tìm thấy ý tưởng đó ở ngay những trang đầu tiên của giáo trình đầu tiên trong Chương trình Toán THCS, nơi

mà bắt đầu có sự xuất hiện của đại số Ví dụ, ở trang 5, bài “§1 Tập hợp Phần tử của

tập hợp”, SGK Toán 6 tập 1 (SGK6T1) đã sử dụng các biểu tượng hình học như các

“vòng kín” và các “dấu chấm” để minh họa cho tập hợp và các phần tử của tập hợp (Hình 1.3):

Hình 1.4 Hình chụp ở trang 4, SGK Toán 6 tập 1

Chúng ta đều biết, một công cụ hình học khá quan trọng dùng để nghiên cứu đại

số ở trường phổ thông đó là đồ thị hàm số Ở trường phổ thông, theo tác giả Trịnh Duy Trọng (2009), “hàm số đã trở thành một nội dung xuyên suốt chương trình” [28, tr 17] Hay như tác giả Nguyễn Bá Kim (2006), “Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm– một trong những khái niệm cơ bản của toán học; nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở trường phổ thông Toàn bộ việc dạy học toán ở trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm hàm số” [28, tr.19]

Bắt đầu từ lớp 7, SGK đã thực hiện việc chuyển đổi các quan hệ hình học sang quan hệ đại số, trong đó xuất hiện hai khái niệm quan trọng là khái niệm đồ thị hàm số

và điểm thuộc đồ thị hàm số Mục đích của việc chuyển đổi này, tất nhiên là để dùng

đồ thị hàm số nghiên cứu một số vấn đề trong đại số Ví dụ, để khẳng định hệ phương

trình �3x-2y=-6

3x-2y=3 vô nghiệm, trang 10, SGK T oán 9 tập 2 hiện hành (SGK9T2) trình

bày sự khẳng định này bằng cách dựa vào quan hệ song song giữa hai đường thẳng (Hình 1.5) Theo “Hình 1.5”, chúng tôi thấy, ở đây vị trí tương đối của hai đường thẳng là một quan hệ hình học đã được chuyển sang quan hệ đại số: xét sự bằng nhau, khác nhau của các hệ số của hàm số bậc nhất Sau đó, từ quan hệ hình học (hai đường thẳng song song), SGK9T2 đã quay lại kết luận về số nghiệm của hệ phương trình đã cho (hệ đã cho vô nghiệm) Ở đây ta còn thấy có sự chuyển đổi qua lại về vai trò công

cụ giữa đại số và hình học Đầu tiên, SGK9T2 hình học hóa đại số bằng cách biểu diễn hai đường thẳng (d1), (d2) lần lượt là đồ thị của hai hàm số lấy ra từ hệ phương trình

đã cho Tiếp đó, đại số được dùng làm công cụ để nhận biết hai đường thẳng song song (bằng cách dựa vào các hệ số của các hàm số)

Về quá trình đại số hóa hình học trong HHGT ở Chương trình Toán phổ thông,

tác giả Nguyễn Minh Phong (2012) cho biết:

- Trong giai đoạn chuẩn bị (từ lớp 7 đến lớp 9), mối quan hệ giữa đồ thị và biểu

thức giải tích của hàm số tương ứng chỉ được trình bày tường minh một chiều: một hàm

số ứng với một đồ thị của nó Do đó chưa có những tên gọi như phương trình đường thẳng, phương trình parabol… Việc sử dụng các biểu thức giải tích để nghiên cứu các

tính chất của đường cong cũng chưa được đặt ra nhưng việc sử dụng hình vẽ để chứng minh một số quan hệ đại số cũng đã xuất hiện cho thấy khả năng vận dụng các tính chất

của HHTH vào việc giải toán HHGT Chiều ngược lại, tức là sự tương ứng của một đồ thị với một hàm số, mặc dù không trình bày tường minh, nhưng học sinh có thể nắm được sự liên hệ này thông qua các bài tập Một số quan hệ hình học như quan hệ thuộc, quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng…đã chuyển sang phạm vi đại số nhằm tạo cơ sở để đưa ra những minh họa hình học cho các đối tượng đại số

- Trong giai đoạn tường minh, đặc biệt là trong chương trình hình học nâng cao

12, đã có sự chứng minh rõ ràng về sự tương ứng 1-1 giữa một đường cong và phương trình của nó Các quan hệ hình học cũng được chuyển hẳn sang phạm vi đại số dựa trên việc minh họa hình học và việc sử dụng ngầm ẩn các tính chất của các đối tượng, các

quan hệ hình học của HHTH Quan điểm của thể chế trong việc tiếp cận các khái niệm, các quan hệ của hình học giải tích tương đồng với giai đoạn ba4của sự phát triển hình học giải tích (trong lịch sử) [17, tr 54-55]

Như vậy, qua các phân tích trên, chúng tôi nhận thấy trong tiến trình Toán phổ thông, vai trò công cụ của đại số đối với hình học ngày càng được thể hiện rõ và chiếm

ưu thế khi xuất hiện HHGT Ngược lại, vai trò công cụ của hình học (HHTH) có vẻ như bị mờ nhạt dần Điều này diễn ra tương tự như trong lịch sử Toán học

Trong lịch sử Toán học, để thiết lập sự cân bằng giữ hai xu hướng đại số hóa hình học và hình học hóa đại số, HHVT đã xuất hiện như là cầu nối giữa hình học và đại số còn trong hình học của chương trình Toán phổ thông thì sao?

Một tài liệu nghiên cứu khá chi tiết vấn đề này là luận văn thạc sĩ “Nghiên cứu

didactic về công cụ vectơ trong hình học không gian lớp 11” của tác giả Nguyễn Vũ

Hoàng Trâm (2012) Trong tài liệu này, tác giả đã thực hiện các hoạt động nghiên cứu như:

- Phân tích SGV để xác định vai trò công cụ của vectơ trong dự định của tác giả sách giáo khoa;

- Phân tích SGK Hình học 11 nâng cao và sách BT Hình học 11 nâng cao để xác

định vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được ưu tiên của vectơ trong khối logos5lẫn khối praxis6;

- Rút ra độ lệch giữa ý định của tác giả trong SGV với tri thức cần dạy trong SGK, đặc biệt là giữa vai trò công cụ có thể có và vai trò công cụ được ưu tiên trong SGK;

…

Những nghiên cứu của tác giả Nguyễn Vũ Hoàng Trâm trong luận văn trên đã

4 Giai đoạn “Những phát minh sau Descartes và Fermat”

5 Logos: từ Hy Lạp có nghĩa là lý lẽ, lập luận [27, tr 4]

6 Praxis: từ Hy Lạp có nghĩa là thực hành [27, tr 4]

giúp chúng tôi có một góc nhìn khá toàn diện về những biểu hiện của vectơ trong chương trình toán THPT Cụ thể:

toán học, vectơ có mặt trong khối logos [θ, Θ] và trở thành yếu tố công nghệ (hoặc yếu

tố công nghệ-lý thuyết) Khi được huy động để giải bài tập, vectơ có mặt trong khối

praxis [T, τ] và trở thành kỹ thuật (hoặc một phần của kỹ thuật) [27, tr 7]

Vai trò công cụ của vectơ được các tác giả sách Hình học 11 nâng cao xác định rõ

ràng: vectơ được đưa vào để phục vụ cho việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian Sách giáo viên còn giải thích ưu thế của công cụ vectơ so với các công cụ khác:

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn Mặt khác, các kiến thức về vectơ trong không gian còn dùng để xây dựng khái niệm tọa độ trong chương trình Hình

học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán Hình học [27, tr.8]

- Về SGK, cụ thể là SGK Hình học 11 nâng cao:

Trong SGK có những bài tập cho thấy “ngoài quan hệ vuông góc trong không gian, vectơ còn có thể can thiệp hiệu quả vào các quan hệ khác” [27, tr 3] Ví dụ, BT

5, trang 91, SGK Hình học 11 nâng cao:

Trong không gian cho tam giác ABC

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y, z mà x+y+z=1 sao cho 

OM = x.

OA + y.

OB + z.

OC với mọi điểm O

b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho:

Dưới đây là một số ví dụ về những biểu hiện đáng chú ý của vectơ trong

HHKG11 được dẫn chứng trong luận văn trên:

Vectơ tham gia vào việc chứng minh định lý về điều kiện đủ để đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng Đây là một định lý cơ bản của quan hệ vuông góc nói chung

và là định lý thường được sử dụng nhất khi chứng minh đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng:

Định lý về điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu đường

thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P)

thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) (Sách Hình học 11 nâng cao, trang 97)

Chứng minh (theo sách Hình học 11 nâng cao, trang 96) Giả sử a, b, d lần lượt có các vectơ chỉ phương m, 

m không cùng phương nên ta có hai hệ số x, y sao cho 

Vậy, đường thẳng d vuông góc với đường thẳng c bất kì nằm trong mặt phẳng (P),

nghĩa là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) [27, tr 10]

Ở đây, kỹ thuật mà lời giải bài toán này dùng chủ yếu dựa vào các phép toán

cộng, phép toán nhân của vectơ và tính chất của chúng tương tự như các phép toán

trong đại số Đồng thời, các yếu tố của HHTH như hình vẽ, khái niệm đường thẳng

nằm trong mặt phẳng, quan hệ vuông góc,… vẫn được sử dụng trong lập luận của

chứng minh này

Một ví dụ khác, BT 6, sách Hình học 11 nâng cao, trang 91:

Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC

sao cho SA = a.SA’, SB = b.SB’, SC = c.SC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi Chứng

minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

a + b + c = 3 [21, tr 91].

Lời giải mong đợi (của Sách giáo viên Hình học 11 nâng cao, trang 90)

Vì A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = a.SA’, SB=b.SB’,

SC = c.SC’ nên SA + SB + SC = aSA' + bSB' + cSC' Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì 

SG=3

1(SA+SB+SC) Vậy SG=

3

a

'

SA +3

b

'

SB+3

3

a

+3

b

+3

c

=1 tức là a+b+c=3 [27,tr.14]

Mặc dù trong lời giải mong đợi, yếu tố hình vẽ không được sử dụng, nhưng để việc chứng minh được chặt chẽ, ngoài thực hiện việc tính toán, lời giải trên đã phải vận dụng đến khái niệm mặt phẳng, vấn đề xác định một mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng khi lập luận “Mp(A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi bốn điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng”

Ngoài ra, HHTH còn hiện diện trong các bài toán này thông qua ký hiệu vectơ với ý nghĩa là đoạn thẳng được định hướng

Như vậy, những dẫn chứng tiêu biểu trên, đã phần nào cho thấy vai trò của HHVT trong việc kết nối giữa hình học với đại số trong Chương trình Toán phổ thông Vai trò này cũng được thể hiện trong lĩnh vực số phức Theo tác giả Lê Thị Thanh Tuyền (2012),

Mục đích đưa số phức vào chương trình hiện hành là nhằm hoàn thiện hệ thống các tập hợp số cho học sinh phổ thông Với mục đích này thì những yêu cầu mà chương trình đặt ra đối với việc dạy học số phức khá nhẹ nhàng…

Bên cạnh đó, chương trình đặc biệt nhấn mạnh về biểu diễn hình học của số phức: Cần chú ý đến việc biểu diễn hình học số phức, đến ý nghĩa hình học của các khái niệm liên quan đến các phép toán về số phức (số phức đối, số phức liên hợp, môđun của số phức, nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác) Điều đó giúp học sinh hiểu rõ ràng hơn về tập hợp số phức và nắm chắc chắn các khái niệm liên quan Nó còn giúp học sinh thấy được mối liên quan giữa số phức với vectơ, hình học phẳng, lượng giác [29, tr 36]

Từ việc phân tích SGK Toán phổ thông (SGK Giải tích 12 nâng cao), tác giả

nhận định:

8 “ Bài Tập 5”, trang 91, SGK Hình học 11 nâng cao

Qua việc biểu diễn hình học số phức bởi một điểm trên mặt phẳng tọa độ, [V]9đã hình thành ở học sinh hình ảnh trực quan về số phức, số phức đối và số phức liên hợp

vốn được định nghĩa hình thức bởi những biểu thức đại số

Ý nghĩa hình học của phép cộng và trừ hai số phức được trình bày tường minh thông qua các phép toán về vectơ

“Trong mặt phẳng phức, ta đã coi điểm M có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z=a+bi Ta cũng coi mỗi vectơ u

có tọa độ (a, b) biểu diễn số phức z = a + bi Khi đó ta nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vectơ OM

biểu diễn số phức z – z’ ” ([V], trang 184)

[V] đã cung cấp một cách biểu diễn khác cho số phức là biểu diễn dưới dạng vectơ

Cơ sở của việc biểu diễn này, như đã trình bày, là sự tương ứng giữa các đối tượng

z = + a ib ↔ (a, b) ↔ M(a, b) ↔ OM(a, b) 

[29, tr 38]

Sau khi định nghĩa khái niệm argumen, [V] thực hiện việc chuyển dạng đại số z=a + bi (a, b ∈R) sang dạng lượng giác z=r(cos ϕ + i sin ) ϕ với r là môđun, ϕ là một argumen của số phức z Kỹ thuật dùng để chuyển đổi giữa hai dạng đại số và lượng giác được trình bày tường minh Như đã nêu ở chương 1, ưu điểm của dạng lượng giác so với các dạng biểu diễn khác là sự thuận lợi trong việc thực hiện phép nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa bậc cao hay phép khai căn

Để nhân (hoặc chia) hai số phức dưới dạng lượng giác thì ta chỉ cần nhân (hoặc chia) các môđun và lấy tổng (hoặc hiệu) của hai argumen tương ứng của hai số phức đã cho Phép tính lũy thừa bậc cao và phép khai căn bậc n của số phức được thực hiện nhờ công thức Moivre [29 ,tr 39]

Tác giả kết luận:

Như vậy, khái niệm số phức trong [V] đã được tiếp cận ở cả hai phương diện:

- Trên phương diện đại số: các phép tính số học trên tập số phức được thực hiện tương tự như trong số thực với chú ý i2

- Trênphương diện hình học: người ta gắn số phức với các vectơ, từ đó giải thích được phép cộng, trừ hai số phức là phép cộng, trừ hai vectơ; tích của số phức và số thực

là tích của vectơ với số thực Việc gắn vectơ vào số phức chỉ là bước trung gian để đưa vào dạng lượng giác, công thức Moivre và phép khai căn [29,tr.39]

Qua những điều được trích dẫn ở trên, chúng tôi nhận thấy để minh họa số phức người ta cũng phải dựa vào HHGT và HHVT Có thể nói, HHGT và HHVT là các môi trường cho phép thể hiện mối liên hệ giữa đại số và hình học Một câu hỏi đặt ra là, nếu không có HHVT, HHGT (đồ thị hàm số cũng sử dụng công cụ của HHGT là hệ trục tọa độ) thì đại số có thể hiện được vai trò công cụ trong nghiên cứu hình học hay không? Dựa vào lý do ra đời của đại số, tất nhiên, câu trả lời là có Rất nhiều bài tập,

ví dụ trong các SGK, SBT Toán phổ thông, đặc biệt là trong chương trình toán THCS (chưa có hai môn hình học trên) đã minh họa cho câu trả lời đó

Ví dụ, trong sách BT Toán 6 tập 2 (SBT6T2) có bài tập như sau:

Bài giải trên nếu diễn giải đầy đủ là:

Ta có: AK+KB = AB, suy ra: KB=AB-AK= 3cm-2,5cm=0,5cm

Công cụ đại số trong bài giải này là gì? Đó là các phép biến đổi đại số trên biểu thức đại số (ngầm ẩn) AK+KB = AB Cụ thể như sau:

Trừ hai vế của biểu thức AK+KB = AB cho AK, ta có: KB=AB-AK (*);

Thế AB=3 (cm), AK=2,5 (cm) vào (*) và thực hiện phép tính, ta được:

Hình 1.6 Hình chụp ở trang 68, SGK Toán 9 tập 1

Theo hướng dẫn giải ở trang 124, sách BT Toán 9 tập 1 do GS Tôn Thân chủ

biên (SBT9T1), chúng tôi trình bày bài giải này như sau:

Với 2 bài toán trên, nếu không vận dụng công cụ đại số thì biện pháp giải quyết

sẽ là dùng thước trực tiếp đo độ dài các đoạn thẳng Biện pháp này thường cho kết quả kém chính xác Hơn nữa, nếu đây là bài toán thực tế (trong xây dựng, chẳng hạn) với biện pháp dùng thước đo trực tiếp, người thực hiện sẽ rất vất vã, tốn nhiều công sức và

thời gian

Một ví dụ khác cho thấy nếu không có công cụ đại số thì cũng rất khó giải quyết

đó là BT 9, trang 104, SBT9T: “Cho tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao

ứng với cạnh huyền là 2 Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác này” [23, tr 104]

Trang 126, SBT9T1 giải BT này như sau:

Ta có hệ thức : a'+b'=5 (1); a'.b'=22(2) Giả sử a'< b' Từ (1) và (2) suy ra a'=1; b'=4 Cạnh nhỏ