Dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân ở các lớp đầu bậc tiểu học

HỒ CHÍ MINH Dương Thị Hạnh DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN VỚI HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở CÁC LỚP ĐẦU BẬC TIỂU HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017... Để hình thành các kiế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thị Hạnh

DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN VỚI HỆ ĐẾM THẬP PHÂN

Ở CÁC LỚP ĐẦU BẬC TIỂU HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Dương Thị Hạnh

DẠY HỌC SỐ TỰ NHIÊN VỚI HỆ ĐẾM THẬP PHÂN

Ở CÁC LỚP ĐẦU BẬC TIỂU HỌC

Chuyên ngành : Giáo dục học (Giáo dục tiểu học)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được xuất phát từ yêu cầu trong công việc để hình thành hướng nghiên cứu

Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, có nguồn gốc rõ ràng, được thu thập trong quá trình nghiên cứu và không trùng lặp với các đề tài khác

Người viết

Dương Thị Hạnh

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Nga, người

đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa Tiểu học và khoa Toán – Tin học đã cho nhiều ý đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy, cô, cán bộ thuộc phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn Cô Lý Ánh Nguyệt công tác trường Đại học Tiền Giang nhiệt tình giúp đỡ cho tôi trong việc dịch tiếng Pháp sang tiếng Việt phần sự

ra đời hệ đếm thập phân

Tôi cũng xin chân thành cám ơn:

- Ban Giám hiệu và Ban cố vấn học tập nhà trường Đại học Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi có cơ hội học tập tại trường

- Ban Giám hiệu và các giáo viên của trường tiểu học tại TP Mỹ Tho, tỉnh Tiền Giang đã nhiệt tình giúp đỡ và sắp xếp cho tôi thực nghiệm tại trường

Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp khóa 26 đã cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt

Dương Thị Hạnh

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 HỆ ĐẾM THẬP PHÂN TRONG LỊCH SỬ VÀ TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH Ở BẬC ĐẠI HỌC 5

1.1 Hệ đếm các phép đếm 5

1.1.1 Sự ra đời của hệ đếm 5

1.1.2 Các hệ đếm không theo vị trí 6

1.1.3 Các hệ đếm theo vị trí 9

1.1.4 Sự xuất hiện chữ số 0 10

1.2 Đặc trưng của hệ đếm thập phân 11

1.3 Hệ đếm thập phân trong học phần Số học ở bậc đại học 11

1.4 Hệ đếm thập phân trong giáo trình phương pháp giảng dạy toán ở bậc Tiểu học 14

1.4.1 Hình thành khái niệm hàng và quan hệ giữa các hàng 15

1.4.2 Hình thành khái niệm lớp 16

1.4.3 Dạy đọc và viết số: 17

Kết luận chương 1 18

Chương 2 HỆ ĐẾM THẬP PHÂN TRONG SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN Ở ĐẦU BẬC TIỂU HỌC 19

2.1 Sách giáo khoa toán lớp 1 21

2.1.1 Các số đến 10 Một chục 21

2.1.2 Bài Các số tròn chục (SGK tr.126) 24

2.1.3 Các số có hai chữ số (SGK tr.136 -138) 26

2.2 Sách giáo khoa toán lớp 2 29

2.2.1 Số tròn chục trừ đi một số (SGK tr.47) 29

2.2.2 Đơn vị, chục, trăm, nghìn (SGK tr.137) 30

2.2.3 Các số từ 111 dến 200 Các số có ba chữ số 32

2.2.4 Viết số thành tổng các trăm, chục, đơn vị (SGK tr.155) 34

2.3 Sách giáo khoa toán lớp 3 35

2.3.1 Các số có bốn chữ số (SGK trang 91) 35

2.3.2 So sánh các số trong phạm vi 10 000 (SGK trang 100) 39

Kết luận chương 2 41

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 42

3.1 Mục đích thực nghiệm 42

3.2 Đối tượng, hình thức và nội dung thực nghiệm 42

3.3 Nội dung thực nghiệm và phân tích các câu hỏi thực nghiệm 42

3.4 Dàn dựng kịch bản thực nghiệm 46

3.5 Phân tích hậu nghiệm 47

3.5.1 Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 1 47

3.5.2 Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 2 48

3.5.3 Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 3 49

3.5.4 Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 4 50

3.5.5 Phân tích kết quả thực nghiệm của bài toán 5 52

Kết luận chương 3 57

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay, những thay đổi của đất nước trong bối cảnh xu thế hội nhập đã tác động sâu sắc tới mọi mặt của cuộc sống Yêu cầu của xã hội đòi hỏi phải có những người lao động có bản lĩnh, năng động, sáng tạo, khả năng thích ứng cao Chính từ những yêu cầu này của xã hội mà giáo dục phổ thông (GDPT) cần chuẩn bị cho người học những năng lực cần thiết cho cuộc sống xã hội và lao động

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ mục tiêu cụ thể đối với GDPT là “Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho HS Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn”

Chương trình GDPT cấp Tiểu học giúp hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển phẩm chất và năng lực HS; bước đầu phát triển tiềm năng sẵn có để tiếp tục học lên Trung học cơ sở

Trong môn Toán ở Tiểu học, số học luôn được xác định là trọng tâm và là hạt nhân Trong đó, việc dạy học hệ đếm số các phép tính số học, nhất là các phép tính trên số tự nhiên lại có một vai trò hết sức quan trọng

Với định hướng dạy học hướng vào sự phát triển năng lực người học, việc dạy học các nội dung số học góp phần chủ yếu vào hình thành và phát triển năng lực tính toán, một trong những năng lực cần thiết của người lao động Thông qua quá trình phát triển năng lực tính toán, HS biết cách giải quyết vấn đề (GQVĐ) theo quy trình nhất định, là cơ sở để các em giải quyết các bài toán trong thực tế cũng như học tập các môn học khác ở những bậc học cao hơn

Để hình thành các kiến thức về số học tự nhiên cho học sinh bậc tiểu học đòi hỏi giáo viên cần biết kết hợp một cách khoa học giữa các kiến thức toán học hiện đại đến khái niệm kiến thức đơn giản nhằm giúp học sinh hiểu đúng bản chất toán học, từ đó chính xác hóa ngôn ngữ trong giảng dạy phù hợp với học sinh tiểu học cũng như phù hợp với năng lực và khả năng tiếp thu của học sinh

Liên quan đến việc dạy học số tự nhiên, trong luận văn “Khái niệm số tự nhiên trong dạy học toán ở bậc tiểu học” của tác giả Dương Hữu Tòng, tác giả đã nghiên cứu

về các đặc trưng khoa học luận của khái niệm số tự nhiên, phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm số tự nhiên ở bậc tiểu học, đồng thời xây dựng các tình huống thực nghiệm để kiểm tra mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với khái niệm

số tự nhiên

Trong luận văn này, tác giả chưa đi sâu vào nghiên cứu về hệ đếm thập phân, trong khi thực tế dạy học cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu về hệ đếm thập phân, cụ thể là vai trò các chữ số, mối liên hệ giữa các hàng trong một số cũng như vận dụng chúng vào giải toán

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân ở các lớp đầu bậc tiểu học” nhằm góp phần làm rõ một số vấn đề về dạy

học hệ đếm thập phân ở các lớp đầu bậc tiểu học từ đó đề xuất những tình huống dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân cho học sinh

Câu hỏi 2: Đọc, viết số tự nhiên với hệ đếm thập phân được trình bày như thế nào trong SGK Toán ở đầu bậc tiểu học? Có những dạng toán nào liên quan đến hệ đếm thập phân? Vấn đề sử dụng hệ đếm thập phân để giải quyết các bài toán thực tế được

đề cập ra sao trong SGK?

Câu hỏi 3: Học sinh gặp phải những khó khăn gì khi học số tự nhiên với hệ đếm thập phân?

Câu hỏi 4: Làm thế nào để xây dựng một tình huống dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân nhằm giúp HS hiểu rõ về hệ đếm và vận dụng được chúng vào việc giải quyết các bài toàn thực tế?

3 Nhiệm vụ của đề tài

Để đạt được mục đích đề ra, chúng tôi xác định cần triển khai bốn nhiệm vụ

cơ bản dưới đây:

- Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về hệ đếm thập phân;

- Nghiên cứu số tự nhiên với hệ đếm thập phân trong SGK Toán ở đầu bậc tiểu học;

- Xây dựng bộ câu hỏi dành cho HS liên quan đến số tự nhiên với hệ đếm thập phân nhằm nghiên cứu những khó khăn họ;

- Xây dựng các tình huống dạy học liên quan đến số tự nhiên với hệ đếm thập phân dành cho HS các lớp đầu bậc tiểu học nhằm giúp HS hiểu rõ về vai trò của các chữ số trong một số tự nhiên, mối quan hệ giữa các hàng trong một số

4 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu

Dạy học số tự nhiên với hệ đếm thập phân ở các lớp đầu bậc Tiểu học

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Các phương pháp nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu tổng quan các tài liệu về các vấn đề có liên quan đến đề tài, đặc biệt

là những công trình nghiên cứu đặc trưng của tri thức cần dạy, ở đây là số tự nhiên và

hệ đếm thập phân

Sử dụng phối hợp các phương pháp: phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan để xây dựng cơ sở lý thuyết và nội dung của

đề tài

6.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phân tích SGK, SGV toán ở đầu bậc tiểu học

- Thực nghiệm bộ câu hỏi đối với học sinh

- Thống kê kết quả xử lý số liệu

Chương 1 HỆ ĐẾM THẬP PHÂN TRONG LỊCH SỬ

VÀ TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH Ở BẬC ĐẠI HỌC Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương này là phân tích và tổng hợp một nghiên cứu lịch sử về hệ đếm thập phân nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình hình thành và tiến triển của nó Cụ thể chúng tôi nhắm đến các câu hỏi sau đây:

1 Hệ đếm thập phân được hình thành như thế nào?

2 Chúng có đặc điểm gì?

3 Chúng xuất hiện ra sao trong các giáo trình toán ở bậc đại học và giáo trình về Phương pháp dạy học Toán?

Tài liệu tham chiếu dùng để phân tích:

+ Monique Gerente (2015), La numération: aspects historiques et culturels; + Nguyễn Tấn Tài (2007), Cơ sở số học, Nxb ĐHSP Hà Nội;

Để nói phép đếm của người nguyên thuỷ, tác giả Nguyễn Phú Lộc đã viết: "Có lẽ

phép đếm sớm nhất là phương pháp đối chiếu theo nguyên tắc tương ứng một - một

Khi đếm một đàn cừu, chẳng hạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay một viên

đá, sỏi, hoặc bằng cái que, bằng một vết vạch lên mặt đất, bằng một cái nút trên một sợi dây " [9, tr.7]

Để biết được hệ đếm hình thành như thế nào, ta hãy hình dung con người nhận thức được số lượng sự vật bằng cách nào? Người nguyên thủy có thể phân biệt trong

tự nhiên giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con chó sói và một bầy chó sói, nghĩa là phân biệt giữa nhiều hơn và ít hơn Có thể nói, con người nhận thức được số lượng sự vật bằng cách so sánh Để nhận biết được số lượng của một tập hợp các "vật" nào đó, ta so sánh nó với một tập hợp mà ta đã biết rõ số lượng Tập hợp này được gọi là tập hợp chuẩn Để so sánh ta cho tương ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn, sao cho hai vật khác nhau được ứng với hai vật phân biệt của tập hợp chuẩn Dễ hình dung rằng khi lập tương ứng như vậy, mỗi phần tử của tập hợp chuẩn và ngược lại (tương ứng như vậy gọi là tương ứng 1-1 hay

là một song ánh) thì ta coi rằng hai tập hợp có số lượng bằng nhau, hay theo thuật ngữ toán học gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng Dần dần người ta đi đến đặt ra các con

số để chỉ đặc điểm chung của các tập hợp có cùng lực lượng

Bản số Biểu tượng Một

Mười Một trăm Một nghìn Mười nghìn Một trăm nghìn Một triệu

2 Hệ đếm La Mã

Hệ đếm La Mã là một hệ đếm không theo vị trí Hệ đếm này sử dụng các

ký tự “I”, “V”, “X” để biểu diễn các con số, trong đó “I” biểu diễn cho giá trị

số lượng 1, “V” biểu diễn cho giá trị số lượng 5, “X” biểu diễn cho giá trị số lượng 10 mà không phụ thuộc vào vị trí các chữ số này đứng trong con số cụ thể

1.1.3 Các hệ đếm theo vị trí

1 Hệ dếm Lưỡng Hà

Đến khoảng năm 3200 trước Công nguyên, đã phát triển một hệ chữ viết gồm

30 ký hiệu chỉ số và 800 ký hiệu không chỉ số để chỉ những vật thể được đếm và tên các địa điểm và danh hiệu các quan chức

Hệ đếm đầu tiên là hệ đếm thập phân được đặt cạnh nhau (không định vị trí)

Ví dụ, số 58 đã viết:

Hệ đếm thứ hai là hệ đếm theo vị trí: Hệ đếm được xác định cơ số 60 (hoặc lục thập phân) Theo vị trí của nó, những biểu tượng có những giá trị khác nhau Như vậy, trong hệ thập phân của chúng ta, 295 có nghĩa là:

Nếu chúng ta loại trừ số 0 mà nó thậm chí không quan trọng vào thời điểm đó (không gian tượng trưng cho sự vắng mặt các số của một thứ tự nhất định) thì cần 9 kí hiệu khác nhau để viết các con số trong hệ thập phân Tương tự như vậy, cần năm mươi chín kí hiệu khác nhau để viết các số với cơ số sáu mươi Để khắc phục những khó khăn này, những người Irak viết các số đến năm mươi chín trong hệ đếm thực tế

đã mô tả ở trên

(chúng ta có thể tượng trưng bởi) 12 – 29 - 45) được viết:

Hệ đếm này kết hợp cơ số sáu mươi và 10 và nguyên tắc đặt cạnh nhau, nguyên tắc vị trí Tuy nhiên, nó chưa tính đến thứ tự độ lớn các số Bộ (12 – 29 – 45)

cũng có thể có nghĩa là (12 x 603) + (29 x 602) + (45 x 60) hay (12 x 60) + 29 + (45 x

1

60)

Mặc dù có nhược điểm của nó, hệ đếm này đã được sử dụng trong thế kỷ XVII

trước công nguyên, là một bước tiến và cho phép người Babylon cổ thực hiện những

bước tiến bộ lớn trong khoa học về các thiên thể Hơn nữa, hệ đếm này còn tồn tại

trong việc đo cung và góc theo độ, phút và giây, và trong đo thời gian, ví dụ một giờ

2 Hệ đếm Trung Quốc Nhiều thế kỷ trước Công nguyên, người Trung Quốc phát minh ra một hệ đếm

cơ số 10 mà vị trí của những biểu tượng là quan trọng Như vậy số 407.834 đã được

viết như sau: 4c7m8c3d4

1.1.4 Sự xuất hiện chữ số 0

Các hệ đếm số không xác định vị trí không có nhu cầu số 0

Trong hệ đếm học giả Lưỡng Hà, người ta để lại một khoảng trống để chỉ ra

rằng không có đơn vị của một trật tự nhất định nào đó Sau đó, vào khoảng thế kỷ II

Hệ đếm Babylon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước công nguyên bởi sự

xuất hiện của số 0 trong các văn bản toán học, hoặc ở một con số, hoặc ở giữa nhưng

không bao giờ ở cuối Từ đó số 0 (zero) bắt nguồn từ Synya, có nghĩa “không có gì”

trong tiếng Phạn, tiếp tục đến với châu Âu qua đoàn quân xâm lược Maroc của đế chế

Tây Ban Nha Tại đây, số 0 đã được phát triển thêm bởi nhà toán học rất nổi tiếng

người Italy – Fibonacci Nhà toán học đã sử dụng nó để giải các phương trình mà

không cần bàn tính – thứ khi đó là công cụ đắc lực nhất để giải số học Phát triển này

được phổ biến rộng khắp trong giới thương nhân, họ sử dụng các phương trình của

Fibonacci có chứa số 0 để làm sổ sách

Khoảng thế kỷ V trước Công nguyên, người Hindu tự vứt bỏ những chữ số

mà họ đã sử dụng lớn hơn đến mười, số tiêu chuẩn là số từ số 1 đến số 9

Tại cùng thời điểm, một người Hindu mà lịch sử đã không lưu lại tên, nghĩ ra một kí tự đặc biệt, bây giờ gọi là "Zero" để đánh dấu sự vắng mặt của một đơn vị của một trật tự nhất định

Trong hệ đếm của Trung Quốc, số 4 trăm 7 nghìn 8 trăm 3 chục 4 đơn vị trở thành 4c0d7m8c3d4 Thế thì những chữ cái trở nên vô ích, ta viết 407834, và khi đó tất cả các số sẽ được biểu thị với 10 kí hiệu khác nhau

Lúc này hệ đếm thập phân đã ra đời

1.2 Đặc trưng của hệ đếm thập phân

Hệ đếm thập phân là kết quả của sự nối khớp giữa hai phương diện: phương diện vị trí và phương diện thập phân của hệ đếm

trái là hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… Mỗi chữ số trong một số có giá trị khác nhau

Ví dụ: số 999

+ Chữ số 9 đầu tiên bên trái có giá trị là 900

+ Chữ số 9 ở giữa có giá trị là 90

+ Chữ số 9 cuối cùng có giá trị là 9

đơn vị đứng liền nhau hơn kém nhau mười lần Ví dụ: 1 chục = 10 đơn vị, 1 trăm = 10 chục, 1 nghìn = 10 trăm …

Do đó, một số tự nhiên có thể được phân tích dưới nhiều dạng khác nhau Ví

dụ, số 1354 có thể phân tích như sau:

+ 1 nghìn 3 trăm 5 chục 4 đơn vị (dạng phân tích chuẩn)

+ 13 trăm 54 đơn vị

+ 1 nghìn 35 chục 4 đơn vị

+ 1 nghìn 2 trăm 15 chục 4 đơn vị

+…

1.3 Hệ đếm thập phân trong học phần Số học ở bậc đại học

Chúng tôi chọn phân tích giáo trình Cơ sở Số học của tác giả Nguyễn Tiến Tài, Nxb Đại học Sư phạm Với mục đích tìm hiểu hệ đếm thập phân được trình bày

như thế nào trong giáo trình Số học, chúng tôi chỉ tập trung phân tích những nội dung liên quan đến hệ đếm thập phân

Trong giáo trình này, hệ đếm thập phân được trình bày trong chương I – Số tự nhiên, cụ thể là Bài 6: Các hệ thống ghi số, mục II Trước khi trình bày về hệ đếm thập phân, tác giả giới thiệu một vài hệ thống ghi số cổ một cách ngắn gọn: Hệ ghi số Ai Cập, Hệ ghi số Babylon, Hệ ghi số Maya, Hệ ghi số Lamã Hệ ghi số thập phân được trình bày trong mục II Hệ ghi số g – phân như sau:

Người Hindu Ấn Độ vào đầu thế kỉ IX đã dùng một hệ thống ghi số gồm mười

kí hiệu (sau này ta gọi là mười chữ số) như sau:

Các số được ghi từ mười kí hiệu trên theo cơ số mười Các số được ghi thành hàng, kể từ phải sang trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần hàng trước đó

Cách ghi số trên tỏ ra ưu việt hơn hẳn các cách ghi số trước đó Vì vậy nó được truyền qua Ả rập, sang châu Âu và dần dần được cả thế giới thừa nhận Qua nhiều thế kỉ, các chữ số cũng dần dần thay đổi Cuối cùng có hình dáng như ngày nay

Để trình bày Hệ ghi số g – phân, trước tiên giáo trình đưa ra ví dụ về một số tự nhiên được ghi trong hệ đếm thập phân như thế nào Cách ghi số đó dựa trên kết quả sau:

Mọi số tự nhiên a 0 đều viết duy nhất được dưới dạng:

Khi đó ta viết: 𝑎 = 𝐶𝑛𝐶𝑛−1… 𝐶1𝐶0

và nói đó là ghi số a trong hệ thập phân

Phương diện vị trí của hệ đếm được nhấn mạnh ở đây Trong một số giá trị các chữ số từ phải sang trái là hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… mỗi chữ số có giá trị khác nhau Từ định lý này ta có cách phân tích một số theo dạng chuẩn như đã đề cập

ở trên

Tiếp theo, giáo trình trình bày định lí:

a) Định lí: Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1 Khi đó mỗi số tự nhiên a > 0 đều biểu diễn một cách duy nhất được dưới dạng:

ở đây 0 ≤ 𝐶𝑖 ≤ 𝑔 − 1, 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 𝑣à 𝐶𝑛 ≠ 0

Định lý này là cơ sở để đi đến định nghĩa về sự biểu diễn số tự nhiên trong hệ

g - phân sau đây:

b) Định nghĩa: Nếu số tự nhiên a > 0 biểu diễn được dưới dạng:

trong đó 0 ≤ 𝐶𝑖 ≤ 𝑔 − 1, 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 ; 𝐶𝑛 ≠ 0 thì ta viết:

𝑎 = 𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, 𝑛𝐶𝑛−1… 𝐶1𝐶0𝑔

và ta nói đó là sự biểu diễn của a trong hệ g – phân

Tiếp đến giáo trình nêu cách so sánh các số trong hệ g – phân:

Việc viết các số tự nhiên trong hệ g – phân có một ưu thế lớn là ta dễ dàng so sánh các số và thực hiện các phép tính trên chúng

Như ta đã biết, việc so sánh số tự nhiên trong hệ thập phân được đưa về so sánh các chữ số của chúng theo nguyên tắc sắp thự tự từ điển

Cụ thể như sau:

 Trong hai số tự nhiên số nào có nhiều chữ số hơn là số lớn hơn

 Với hai số tự nhiên có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kề từ trái sang phải lớn hơn sẽ lớn hơn

Về việc thực hành các phép tính trong hệ g – phân, giáo trình trình bày các cơ

sở của phép tính:

Phép cộng: Để thực hành phép cộng trong các số tự nhiên trong hệ g – phân – tương đương khi thực hiện trong hệ đếm thập phân hay các hệ đếm khác – giáo trình

nêu, trước hết ta xây dựng bảng cộng các số tự nhiên nhỏ hơn g (cộng các chữ số)

Sau đó việc cộng các số tự nhiên lớn hơn g sẽ đưa về việc cộng trên các chữ số

Bảng cộng: bảng cộng các số nhỏ hơn g (cộng các chữ số) được lập thông qua bảng cộng trong hệ thập phân

Cộng các số lớn hơn g: được đưa về phép cộng trên các chữ số:

𝑎 + 𝑏 = + (𝑎2+ 𝑏2)𝑔2+ (𝑎1+ 𝑏1)𝑔 + (𝑎0+ 𝑏0)

Các phép cộng: 𝑎𝑖+ 𝑏𝑖(𝑖 = 0, 1, 2, … ) đã được cho trong bảng cộng Ta xét

các kết quả từ phải sang trái:

+ Nếu a 0 + b 0 < g Đặt c 0 = a 0 + b 0 thì c 0 là chữ số cuối cùng của a+b.

+ Nếu a 0 + b 0 > g Đặt a 0 + b 0 = g + c thì c 0  g – 2 (vì a 0 + b 0  (g – 1) + (g – 1) = g + g – 2) Ta có:

Khi đó c là chữ số cuối cùng của a + b và ta nhớ 1 sang bước tiếp theo 0

Bước tiếp theo ta lại xét a i + b i (trường hợp a 0 + b 0 < g ) hoặc a i + b i + 1 (trường hợp a 0 + b 0 g) và ta cũng có kết quả tương tự như trên

Đó là quy tắc cộng có nhớ mà ta đã quen thuộc trong hệ thập phân

Giáo trình chỉ ra cơ sở của quy tắc cộng có nhớ trong hệ đếm thập phân

Việc thực hành phép trừ trong hệ thập phân được giáo trình trình bày tương tự

như phép cộng

Sau đó, việc thực hiện phép nhân và phép chia trong hệ thập phân cũng được giáo trình đưa vào Ở đây, chúng tôi xin phép không trình bày chi tiết lại việc đưa vào các phép toán đó

Nhận xét: Tác giả trình bày sơ lược về một số hệ đếm cổ trước khi hệ đếm

thập phân xuất hiện Hệ đếm thập phân được trình bày thông qua hệ ghi số g – phân Tiếp đến giáo trình nêu quy tắc so sánh hai số tự nhiên, phương pháp tổng quát để thực hiện các phép tính phép cộng, trừ, nhân, chia Đó cũng là cơ sở cho việc so sánh hai số

tự nhiên, cũng như cách thực hiện phép cộng, phép trừ có nhớ, phép nhân, phép chia

mà chúng ta quen thuộc (dựa trên nguyên tắc sắp thứ tự từ điển) Phương diện vị trí của hệ đếm được đề cập trong việc so sánh 2 số tự nhiên Phương diện thập phân của

hệ đếm được đề cập ngầm ẩn trong qui tắc cộng có nhớ

1.4 Hệ đếm thập phân trong giáo trình phương pháp giảng dạy toán ở bậc Tiểu học

Chúng tôi phân tích phần trình bày liên quan đến hệ đếm thập phân trong giáo trình Phương pháp dạy học Toán ở bậc Tiểu học tập 2 của tác giả Phạm Đình Thực,

Nxb Đại học Sư phạm Trong giáo trình này, hệ đếm thập phân được trình bày trong chương V – Giảng dạy Số học, cụ thể là Bài 2: Dạy hệ đếm thập phân và cách đọc, viết số tự nhiên

Trước tiên giáo trình viết yêu cầu của bài:

- Làm cho học sinh nắm chắc cấu tạo thập phân của số; hiểu kỹ khái niệm hàng và hiểu rằng: “Trong hệ thập phân cứ 10 đơn vị của một hàng nào đó thì gộp thành 1 đơn vị cao hơn đứng liền trên nó”, nắm chắc được tên gọi, quan hệ, thứ tự của các hàng

- Làm cho học sinh nắm được cách viết số theo nguyên tắc “Giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó trong số”

- Về thực hành, trẻ phải biết cách lập số, biết đọc và viết số đúng; biết phân tích số theo hàng

Như vậy, giáo trình nhấn mạnh mục tiêu cần đạt trên phương diện vị trí của hệ đếm

Giáo trình đã hướng dẫn phương pháp giảng dạy như sau:

1.4.1 Hình thành khái niệm hàng và quan hệ giữa các hàng

Lúc đầu khi học các số trong phạm vi 20 trước hết cần làm cho học sinh nắm được khái niệm “chục” với tư cách là một “đơn vị mới”

Giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được nguyên tắc thành lập chục, quan hệ giữa các chục và đơn vị Cách làm như sau:

- Giáo viên cùng học sinh đếm 10 que tính rời, rồi bó thành 1 bó, và nói:

“10 que tính gộp lại thành 1 chục que tính”

- Tiếp tục làm như vậy với 10 ô vuông,

- Từ đó giới thiệu: 10 đơn vị gộp lại thành 1 chục

1 chục = 10 đơn vị

Như vậy, thông qua các dụng cụ trực quan như que tính, ô vuông, giáo trình hướng dẫn GV giới thiệu khái niệm chục và mối quan hệ giữa hàng chục và hàng đơn vị: 10 đơn vị gộp thành một chục

Việc trình bày khái niệm về các đơn vị đếm mới: trăm, nghìn, v.v… cũng được hướng dẫn tương tự:

Khi thành lập trăm ta đưa ra các bó chục que tính Lấy 1 bó nói chục, lấy 2

bó nói 2 chục, …, lấy 10 bó nói 10 chục Cho đếm các bó từ 1 chục, 2 chục, … cho đến 10 chục, như khi đếm các đơn vị Bó 10 chục que tính thành 1 bó và giới thiệu khái niệm trăm: 1 trăm = 10 chục; giới thiệu đơn vị mới: 10 trăm còn gọi là 1 nghìn

Nhận xét: Về phương diện thập phân của hệ đếm, giáo trình trình giới thiệu 1

chục = 10 đơn vị; 1 trăm = 10 chục và 10 trăm còn gọi là 1 nghìn, giáo trình nhấn mạnh mối quan hệ giữa các hàng liên tiếp nhau còn quan hệ giữa các số ở 2 hàng cách

xa nhau không được đề cập

1.4.2 Hình thành khái niệm lớp

Giáo trình hướng dẫn việc giảng dạy khái niệm lớp như sau:

Khi học sinh đã biết đến 10 vạn (100 nghìn) ta dùng bảng có kẻ thành các cột

để ghi tên các hàng từ hàng đơn vị đến hàng nghìn và nhấn mạnh mối quan hệ giữa hai hàng liên tiếp “Mỗi đơn vị của một hàng gấp 10 lần đơn vị của hàng đứng dưới nó”

Nhận xét: Trong bảng này ta thấy phương diện vị trí của hệ đếm được nhấn

mạnh, phương diện thập phân chỉ được đề cập trong phần dẫn dắt: “mỗi đơn vị của một hàng gấp 10 lần đơn vị của hàng đứng bên phải nó”

1.4.3 Dạy đọc và viết số:

Giáo trình trình bày 2 bước:

Bước 1: Giới thiệu “đơn vị” mới

Đặc biệt, liên quan đến việc đọc số, giáo trình nhấn mạnh:

Từ các số có từ 4 chữ số trở lên cần cho học sinh sơ bộ xét về cách đọc và viết số: Đọc và viết theo thứ tự từ hàng cao đến hàng thấp Khi đọc phải đọc số đơn vị ở mỗi hàng kèm theo tên của từng hàng (riêng hàng đơn vị thì thôi) thứ tự từ hàng cao đến hàng thấp, từ trái sang phải Khi đọc các số lớn, cần biết tách thêm các lớp, mỗi lớp có 3 hàng đơn vị từ phải sang trái; rồi đọc số đơn vị trong mỗi lớp cao đến lớp thấp

Học sinh còn được làm quen với việc đọc và viết số La Mã Đây là một ví dụ tiêu biểu cho lối viết số theo nguyên tắc “Giá trị không phụ thuộc vào vị trí”, khác với lối viết thông thường

Nhận xét: Tác giả trình bày tổng quát về dạy hệ đếm thập phân và cách đọc,

viết số tự nhiên Bên cạnh đó đã nêu phương pháp giảng dạy: hình thành khái niệm hàng và quan hệ giữa các hàng ; hình thành khái niệm lớp; dạy đọc và viết số và dạy những hiểu biết ban đầu về tính chất của dãy số tự nhiên Các hướng dẫn này nhấn mạnh trên phương diện vị trí của hệ đếm

Chương 2 HỆ ĐẾM THẬP PHÂN TRONG SÁCH GIÁO KHOA

TOÁN Ở ĐẦU BẬC TIỂU HỌC

Nội dung chương trình Toán ở Tiểu học được biên soạn theo hướng đồng tâm Trong đó, số học được coi là mảng kiến thức cốt lõi Mảng kiến thức này được sắp xếp bắt đầu từ số tự nhiên, phân số rồi đến số thập phân Theo từng lớp, những kiến thức

về số học cũng không ngừng được mở rộng Cái sau được hình thành trên nền tảng cái trước Có thể nói, số tự nhiên là tập số có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống đời thường Chính vì vậy, số tự nhiên là mảng kiến thức số học được giới thiệu trước nhất

và cũng chiếm dung lượng nhiều nhất trong phần số học ở Tiểu học Ở các lớp 1, 2, 3 các vòng số tự nhiên không ngừng được mở rộng Lớp 1 là 100, lớp 2 là 1000, lớp 3 là 10.000,…Đồng thời, các em cũng được học về đặc điểm, tính chất, các phép tính,… của số tự nhiên

Trong SGV Toán lớp 1, 2, 3, một số yêu cầu về trình độ chuẩn của HS liên quan đến hệ đếm thập phân là:

- Ở lớp 1:

Về đọc, viết các số đến 100:

Biết đọc, viết các số đến 100, trong đó:

+ Viết số và ghi lại cách đọc số

+ Nhận biết giá trị theo vị trí của các chữ số trong một số

Nhận biết bước đầu về cấu tạo thập phân của số có hai chữ số:

+ Phân tích số: số có hai chữ số thành số chục và số đơn vị

+ Gộp số chục và số đơn vị thành số có hai chữ số

Biết sử dụng cấu tạo thập phân của số và giá trị theo vị trí của các chữ số để so sánh các số có hai chữ số, để phân biệt sự khác nhau của từng cặp số trong các trường hợp như : 62 và 68; 36 và 56; 89 và 90

Ở lớp 2:

Về đọc, viết các số đến 1000:

- Biết đọc, viết các số đến 1000, trong đó có:

+ Viết, đọc viết bằng chữ và chữ số

+ Nhận biết giá trị theo vị trí của các chữ số trong một số

Biết phân tích số có ba chữ số thành tổng của số trăm, số chục, số đơn vị và ngược lại

- Biết đọc, viết các số đến 100 000, trong đó có:

+ Viết, đọc bằng chữ và chữ số theo các hàng đơn vị

+ Nhận biết giá trị theo vị trí của các chữ số trong một số

Biết phân tích số có ba chữ số thành tổng của số trăm, số chục, số đơn vị và ngược lại

Chẳng hạn: 1999 = 1000 + 900 + 90 + 9 hoặc 1000 + 900 + 90+ 9 = 1999

- Biết xác định số liền trước, số liền sau của một số

- Biết đọc, viết “các phần bằng nhau của đơn vị” chẳng hạn:

- Biết sắp xếp các số có đến bốn hoặc năm chữ số, nhiều nhất là bốn chữ số theo

thứ tự bé đến lớn hoặc ngược lại

- Biết xác định số lớn gấp bao nhiêu số bé

Nhận xét: Phương diện vị trí được đề cập trong chuẩn cách đọc, viết các số, so

sánh về số lượng Phương diện thập phân được đề cập trong chuẩn phân tích cấu tạo

số

Với mục đích tìm hiểu hệ đếm thập phân được trình bày như thế nào trong SGK đầu bậc tiểu học, chúng tôi chỉ tập trung phân tích những nội dung liên quan đến hệ đếm thập phân trong các SGK Toán lớp 1, 2, 3 Cụ thể, các SGK chúng tôi sử dụng để phân tích là:

- Đỗ Đình Hoan chủ biên (2012) sách giáo khoa Toán 1, NXBGD

- Đỗ Đình Hoan chủ biên (2013) sách giáo khoa Toán 2, NXBGD

- Đỗ Đình Hoan chủ biên (2015) sách giáo khoa Toán 3, NXBGD

Trong chương trình toán hiện hành hệ đếm thập phân đã được đưa vào chương trình từ lớp 1 Chương trình và SGK các lớp đầu bậc tiểu học:

Sách giáo khoa Toán Tiểu học lớp 1, 2, 3 không định nghĩa chính thức hệ đếm thập phân mà khái niệm hệ đếm thập phân được giới thiệu thông qua cách sử dụng các

số từ 0 đến 9

2.1 Sách giáo khoa toán lớp 1

Trong SGK này, hệ đếm thập phân được trình bày ngầm ẩn trong các Bài: Các số đến 10 Bài: Các số tròn chục, trang 126; Bài: Các số có hai chữ số, trang 136-138

Các số có hai chữ số

(lớp 1)

Các số có ba chữ số (lớp 2)

Các số có bốn chữ số Các số có năm chữ số (lớp 3)

Số 6 đến số 9 được hình thành trên cơ sở đếm thêm 1 vào số liền trước Học sinh thao tác nhiều lần theo một mô hình, chẳng hạn: 5 bạn nhỏ thêm 1 bạn nữa là 6 bạn nhỏ, 5 bông hoa thêm 1 là 6 bông hoa,…

Số 0 là biểu tượng để chỉ hình ảnh của tập hợp không chứa phần tử nào Trong chương trình toán ở Tiểu học, số 0 được xây dựng từ hình ảnh chậu cá có 3 chú cá Sau đó vớt lần lượt mỗi lần 1 con đến khi trong chậu không còn con cá nào Vừa giúp học sinh nhận thức giữa không và có, một tập hợp không có phần tử nào Đồng thời giúp học sinh nhận biết được vị trí của số 0 trong tập hợp số tự nhiên, bé hơn 1, là số nhỏ nhất

SGK đã đưa khái niệm chục được hình thành thông qua hình ảnh cây có 10 quả tức cây có 1 chục quả hay 10 que tính bó lại thành 1 chục que tính Từ đó ta thấy SGK cho phép HS tiếp cận phương diện thập phân của hệ đếm: 10 đơn vị = 1 chục

Các số trong vòng 20 được hình thành theo con đường cộng một chục với một

số lẻ Chẳng hạn gộp bó một chục que tính với 2 que tính lẻ được 12 que tính và ghi lại

số lượng này bằng hai chữ số 1 và 2 theo thứ tự từ trái sang phải (viết là 12)

Ở nội dung này SGK có những dạng bài tập sau:

Dạng 1: Vẽ thêm cho đủ 1 chục chấm tròn:

Cho HS hình thành ý tưởng 1 chấm tròn là 1 đơn vị, HS phải tự biết đếm thêm 1,

2, 3, 4 và thêm 5 chấm tròn ứng với mỗi hình để được 1 chục chấm tròn 10 chấm tròn

là 1 chục 1 chục là 10 đơn vị Suy ra bài tập này củng cố về phương diện thập phân của hệ đếm

Dạng 2: Khoanh vào 1 chục con vật (theo mẫu)

HS phải tự đếm đến 10 con vật để khoanh tròn vào 1 chục con vật

Từ đó SGK nhằm nhấn mạnh 1 chục là 10 đơn vị

2.1.2 Bài Các số tròn chục (SGK tr.126)

SGK giới thiệu các số tròn chục thông qua bảng sau:

Như vậy, SGK củng cố phương diện thập phân của hệ đếm bằng cách lập bảng

từ 1 chục đến 5 chục Còn phần dưới HS tự nhận biết đếm bó chục để điền vào chỗ chấm

Liên quan đến hệ đếm thập phân có dạng bài tập sau:

Dạng 1: Viết (theo mẫu)

Cấu tạo số dựa trên phương diện vị trí của hệ đếm hình thành ngầm ẩn: số 40 gồm 4 chỉ chục và 0 đơn vị nhưng thuật ngữ hàng chưa được sử dụng ở đây

Hầu hết các bài tập thuộc dạng này đều cho sẵn hai số, nhiệm vụ của HS là thực hiện phép cộng hoặc phép trừ 2 số đã cho trong bài toán để ra kết quả Riêng chỉ có duy nhất bài toán sau cần huy động tường minh đến phương diện thập phân của hệ đếm (1 chục = 10 đơn vị) để giải

Chúng tôi nhận thấy phương diện thập phân tác động tường minh trong các bài toán thực tế rất ít, nó chỉ được thể hiện ngầm ẩn khi HS tính toán cộng trừ các số tự nhiên trong bài toán

2.1.3 Các số có hai chữ số (SGK tr.136 -138)

Ở đầu bài học, SGK củng cố phương diện vị trí của hệ đếm bằng cách lập bảng:

Sau đó SGK để HS biết xác định hàng chục và hàng đơn vị

Phần bài tập liên quan đến hệ đếm thập phân ở bài này có 3 dạng sau:

Dạng 1: Viết (theo mẫu)

Cấu tạo số dựa trên phương diện vị trí của hệ đếm hình thành ngầm ẩn: số 76 gồm

7 chỉ hàng chục và 6 chỉ hàng đơn vị Những bài tập trong SGK, đơn vị chỉ nằm trong khoảng từ số 0 đến số 9; từ 10 đơn vị phải chuyển sang hàng chục (nghĩa là chỉ phân tích số theo dạng chuẩn) Bài tập dạng này nhấn mạnh phương diện vị trí của hệ đếm Dạng 2: Đúng ghi Đ, sai ghi S

HS sẽ biết sự khác nhau giữa việc viết số và cách đọc số Tại sao viết ba mươi

là 3; sáu viết là 6 Qua đó giúp HS hình thành hàng chục và hàng đơn vị Bài tập này nhằm nhấn mạnh phương diện vị trí của hệ đếm: Trong một số, mỗi chữ số ở mỗi vị trí khác nhau có giá trị khác nhau

Dạng 3:

HS phải tự biết 1 chồng cái bát là 1 chục cái bát cũng bằng 10 cái bát 3 chồng bát là 3 chục cái bát bằng 30 cái bát và 3 cái lẻ nữa Vậy tất cả là 33 cái bát Ở đây nhấn mạnh phương diện vị trí của hệ đếm, phương diện thập phân cũng chỉ sử dụng một cách ngầm ẩn

Nhận xét chung: Những bài tập trong SGK chỉ nhấn mạnh phương diện vị trí

của hệ đếm, rất ít các bài tập cần huy động đến phương diện thập phân

2.2 Sách giáo khoa toán lớp 2

Trong SGK, hệ đếm thập phân được trình bày ngầm ẩn trong các Bài: Số tròn chục trừ đi một số, trang 47; Bài: 11 trừ đi một số; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 trừ đi một

số Bài: Đơn vị, chục, trăm, nghìn, trang 137; Bài: Các số tròn chục từ 110 đến 200 trang 140 Các số từ 101 đến 110, trang 142; Bài: Các số từ 111 đến 200 trang 144; Bài: Các số có ba chữ số trang 146; Bài: Viết số thành tổng các trăm, chục, đơn vị, trang 155

2.2.1 Số tròn chục trừ đi một số (SGK tr.47)

Phép trừ có nhớ (khi lấy số tròn chục trừ đi một số) được SGK trình bày như sau:

Vì 0 không trừ được 8 lấy 10 trừ 8 bằng 2, viết 2 nhớ 1 Nhớ 1 ở đây muốn

HS ngầm hiểu 1 chục Nhớ 1 này chuyển sang hàng chục, như vậy, bài tập nhằm củng

cố phương diện vị trí của hệ đếm

Đồng thời tháo 1 bó thành 10 que tính cũng cho thấy phương diện thập phân của hệ đếm là 1 chục có 10 đơn vị

Tương tự, SGK giới thiệu “11 trừ đi một số” như sau:

Ở các phép tính này, HS phải tháo bó chục thành 10 que tính Sau đó bớt đi số que tính cần bớt Như vậy, SGK nhấn mạnh 1 chục có 10 đơn vị, huy động đến phương diện thập phân của hệ đếm

Phép toán 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 trừ đi một số được thực hiện tương tự

2.2.2 Đơn vị, chục, trăm, nghìn (SGK tr.137)

SGK đưa vào “Đơn vị, chục, trăm, nghìn” như sau:

- Xếp 10 ô vuông thành một thanh “một chục”, 10 đơn vị = 1 chục

- Xếp 10 thanh thành một bảng “một trăm”, 10 chục = 1 trăm

- Xếp 10 bảng 1 trăm thành 1 nghìn, 10 trăm = 1 nghìn

1 nghìn viết là 1000

1000 đọc là một nghìn

Các số: 100, 200, 300, 400, … là các số tròn trăm

Phương diện thập phân của hệ đếm: hàng trước có giá trị bằng 10 lần hàng sau đó

1 chục = 10 đơn vị, 1 trăm = 10 chục, 1 nghìn = 10 trăm …

Ở phần bài tập, SGK trình bày những dạng bài tập sau:

Dạng 1 : Đọc, viết (theo mẫu)