Một số vấn đề đa tạp con của một đa tạp riemann

Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866, một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả n

-

Trần Ngọc Thanh Trang

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS KHU QUỐC ANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và

hỗ trợ Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn

và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán - Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Mở đầu 6

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1.Đa tạp khả vi 8

1.1.1.Đa tạp khả vi 8

1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều 8

1.1.1.2 Ánh xạ khả vi 9

1.1.2 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 9

1.1.2.1 Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc T M p 10

1.1.2.2 Phân thớ tiếp xúc 11

1.1.2.3 Trường vectơ 12

1.1.2.4 Trường mục tiêu 12

1.1.2.5 Tích Lie của hai trường vectơ 12

1.1.2.6 Ánh xạ tiếp xúc 13

1.1.3 Đa tạp con 14

1.1.4 Trường tenxơ 14

1.1.4.1 Tích tenxơ 14

1.1.4.2 Các tenxơ phản biến và hiệp biến 15

1.1.4.3 Trường tenxơ 16

1.2 Lý thuyết liên thông 18

1.2.1 Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp 18

1.2.2 Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ 20

1.2.3 Tenxơ xoắn và tenxơ cong 20

1.2.4 Đường trắc địa 21

1.3 Đa tạp Riemann 23

1.3.1 Khái niệm đa tạp Riemann 23

1.3.2 Liên thông Riemann 23

1.3.2.1 Định nghĩa liên thông Riemann 23

1.3.2.2 Định lý 23

1.3.3 Liên thông Levi – Cita 25

1.3.3.1 Định nghĩa 25

1.3.3.2 Định lý 25

1.3.4 Độ cong trên đa tạp Riemann 26

1.3.4.1 Những khảo sát đại số có liên quan 26

1.3.4.2 Độ cong thiết diện 27

1.3.4.3 Độ cong Ricci 27

1.3.5 Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann 28

1.3.6 Tính đầy của đa tạp Riemann 28

1.3.6.1 Định lý 28

1.3.6.2 Bổ đề 29

Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN 30

2.1 Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con

của một đa tạp Riemann 30

2.1.1 Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con

của một đa tạp Riemann Công thức Gauss 30

2.1.1.1 Mệnh đề 31

2.1.1.2 Mệnh đề 34

2.1.2 Công thức Weingarten 37

2.1.2.1 Mệnh đề 38

2.1.2.2 Mệnh đề 40

2.1.3 Một số ví dụ minh họa 41

2.2 Phương trình của Gauss và Codazzi 44

2.2.1 Phương trình Gauss 44

2.2.1.1 Mệnh đề 45

2.2.1.2 Hệ quả 46

2.2.1.2.1 Ví dụ 46

2.2.1.2.2 Ví dụ 47

2.2.2 Phương trình của Codazzi 48

2.2.2.1 Mệnh đề 49

2.2.2.2 Hệ quả 49

2.2.2.3 Mệnh đề 51

2.2.2.4 Mệnh đề 52

2.2.2.5 Định lý 53

2.2.2.6 Bổ đề 53

2.3 Các siêu mặt trong một không gian Euclide 55

2.3.1 Tính chất cơ bản 55

2.3.2 Định nghĩa 58

2.3.3 Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt 62

2.3.4 Tính chất của đa tạp Anhstanh 62

2.3.4.1 Định lý 62

2.4 Định lý cơ bản cho các siêu mặt 68

2.4.1 Định lý 68

2.4.2 Bổ đề 69

2.4.3 Bổ đề 70

2.4.4 Bổ đề 72

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 77

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay

Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều Những công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi phân mang tên ông gọi là hình học Riemann Hình học Riemann có những đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời sống thực tế Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở toán học là hình học Riemann

Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học Symplectic,… đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay

Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”, chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của

lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và

mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa tạp con của một đa tạp Riemann

5 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây dựng chương 2

Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản cho các siêu mặt

• ∀ x M∈ , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi

được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp k

C Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn

1.1.1.2.Ánh xạ khả vi

Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng Ánh

xạ liên tục f : M→ N được gọi là khả vi tại p M∈ nếu với mọi bản đồ ( , )U ϕ quanh p và ( , )V ψ quanh f(p) = q sao cho ( )f U ⊂ thì ánh xạ V

Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p M∈

Cho ánh xạ khả vi f : M → N , p M∈ , ( , )V ψ là bản đồ địa phương quanh ( )ϕ p , các tọa độ được cho bởi n hàm j

h x

1.1.2.1 Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc T M p

Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp k

C Một đường cong khả vi lớp r

C trong lân cận của p , C1p(M) là tập các đường cong c khả vi lớp C1 trên M sao cho c(0) = p

C qua p M∈ Mỗi lớp tương đương đối với quan

hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M

Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là T M p

Ta mô tả cấu trúc của T M p Tập F k(p) với các phép toán cộng và nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
– đại

số Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p)→
thỏa mãn hai điều kiện

• v là ánh xạ tuyến tính giữa các
– không gian vectơ

Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) = d f c t( )0

dt  (1) Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên Bằng đồng nhất này , ta có một đơn ánh từ T M p vào không gian các đạo hàm tại p Xét bản đồ địa phương (U , x) quanh p sao cho ( , ,1 m)

x= x x Với mỗi j , xét đường cong

là cơ sở của không gian

vectơ tiếp xúc T M p của đa tạp M tại p

Ta gọi (TU x, ) là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ (TU x, )

Nếu với p U∀ ∈ , X ip.X jp = δ thì ij { }X i được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

1.1.2.5 Tích Lie của hai trường vectơ

Với mỗi trường vectơ khả vi X∈V M( ), hàm khả vi f∈ F r(M), ta xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với :

với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y ,

kí hiệu [X , Y] được xác định như sau

f U ⊂ Khi đó , nếu V

1

( )

m i i

Một đa tạp con liên thông N của M được gọi là một đa tạp tích phân của phân bố S nếu f T N*( ( ))p =S p với mọi p ∈N, với f là phép nhúng N vào

M Nếu không có một đa tạp tích phân nào khác của S chứa N , N được gọi là

đa tạp tích phân cực đại của S

1.1.4 Trường tenxơ

1.1.4.1 Tích tenxơ

Xét K là trường số thực
hay trường số phức 

Tích tenxơ U ⊗ của hai không gian vectơ hữu hạn chiều U và V trên K V

được xác định như sau:

Kí hiệu M(U,V) là không gian vectơ trên trường K có cơ sở là tập U×V , tức M(U,V) gồm những tổng hình thức hữu hạn dạng

( , ), ,( , )

i i i i i i

k u v k ∈ u v ∈ ×U V

Giả sử N là không gian con của M(U,V) , sinh bởi các phần tử dạng

• (u + u’,v) – (u,v) – (u’,v) ; (u, v + v’) – (u,v) –(u, v’)

• (ku , v) – k(u,v) ; (u , kv) – k(u,v) ; (u ,v) ∈ U×V , k ∈

Đặt U ⊗ =V M U V( , ) /N Xét ánh xạ chiếu :π M U V( , )→U ⊗ Với V

(u ,v) ∈U × V , kí hiệu ( , )π u v = ⊗ u v

Khi đó U ⊗ là một không gian vectơ , được gọi là tích tenxơ của hai V

không gian vectơ U và V

1.1.4.2 Các tenxơ phản biến và hiệp biến

Giả sử V là không gian vectơ trên trường K

T V = ⊗ ⊗ ⊗ ( r tích tenxơ) , V V V r( )

T V được gọi là không

gian các tenxơ r lần phản biến, mỗi phần tử của r( )

T V là một tenxơ phản biến bậc r T0 = K

Đặt ( )T V s =V *⊗V * ⊗ ⊗V *( s lần tích tenxơ) , *V là không gian vectơ đối ngẫu của V ( )T V s được gọi là không gian các tenxơ hiệp biến bậc

s , mỗi phần tử của ( )T V s là một tenxơ hiệp biến bậc s T0 = K T1=V *

Kí hiệu r( )

T V = r

T , ( )T V s = T s Giả sử e1, ,e n là một cơ sở trong V và cơ sở đối ngẫu 1, , n

e e trong V* Khi đó {e i1⊗ ⊗ e ir,1≤i1, ,i r ≤n} là cơ sở trong r

r js

j

i i j

i i j

1 1 1

x x , đặt ,

1 2 Lý thuyết liên thông

Ta xét M là một đa tạp khả vi lớp C∞ , X(M) là đại số Lie các trường

vectơ nhẵn trên M , F(M) là vành các hàm khả vi lớp C∞ trên M

1.2.1 Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp

Giả sử M = G là một nhóm Lie Chọn trường mục tiêu bất biến trái

{ }X i Gọi ∇ là liên thông tuyến tính trên M xác định bởi ∇X X j = 0,∀ i,j

Khi đó liên thông này không phụ thuộc vào việc chọn trường mục tiêu bất biến trái { }X i Thật vậy , giả sử { }X j là trường mục tiêu bất biến trái của G Ta có:

1.2.2 Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ

Cho đa tạp nhẵn với liên thông tuyến tính (M , ∇) Kí hiệu ( )ℑ M là tập các trường tenxơ nhẵn trên M Khi đó có một và chỉ một ánh xạ

∇ : X(M) × ℑ(M)→ ℑ( )M , (X ,A) ∇X A thỏa các tính chất sau:

1 ∇ là
- song tuyến tính bảo toàn chỉ số của A

2 ∇ là F(M) - tuyến tính đối với X

3 f ∈ F(M) thì ∇X f = Xf

4 Y ∈ X(M) thì ∇X Y là đạo hàm thuận biến của Y dọc X

5 ∇X(A⊗B)= ∇X A⊗ + ⊗ ∇B A X B

6 ∇ giao hoán với toán tử chập chỉ số X

Khi đó toán tử ∇ : AX ∇X A được gọi là đạo hàm thuận biến dọc X của trường tenxơ A

1.2.3 Tenxơ xoắn và tenxơ cong

Trong đa tạp khả vi M với liên thông tuyến tính ∇ xét các ánh xạ sau:

Nếu có phép đổi tham số λ:J →J t ,  s= λ( )t ( ϕ là vi phôi) để

λ

= Từ đó suy ra nếu ( )λ t =at+ (b a≠ ) thì 0 1

cλ−cũng là trắc địa Ta có: Đường trắc địa trong (M,∇ ) là trắc địa sai khác một phép đổi tham số như trên

a g(X, Y) = g(Y , X) , ∀ X, Y ∈X(M)

b ( , )g X X p > , ∀ X ∈ X(M) , X(p) ≠ 0 0

Thay cho g(X , Y) , ta thường kí hiệu 〈X Y, 〉

Đa tạp khả vi M cùng với một tenxơ metric g cho trên nó được gọi là

đa tạp Riemann, kí hiệu (M, g) hay M

1.3.2 Liên thông Riemann

trong một lân cận bản đồ (U , x) trong M

Khi đó h(X, Y) = D 〈 X,Y〉 – 〈∇D X Y, 〉 –〈X,∇D Y 〉 là ánh xạ song tuyến tính đối với X , Y

Ta cần chứng minh h(X , Y) = 0 Ta cần kiểm tra điều này với các trường X , Y dạng X c i , với X i là các trường cơ sở của bản đồ (U ,x) Ta có

p

p p t

t

p p p p t

Nhưng ∇D( )X c 0 = ∇c D* 0X = ∇( Z X)p và ∇D( )Y c 0 = ∇( Z Y)p nên Z(X, Y) = 〈∇Z X Y, 〉 + 〈X,∇Z Y〉 Định lý được chứng minh

1.3.3 Liên thông Levi – Civita

Để chứng minh tính duy nhất , ta chứng tỏ rằng nếu ∇X Y thỏa mãn điều kiện (1) và có tenxơ xoắn ( , ) 0T X Y = thì nó thỏa mãn phương trình (4) Thật vậy, từ (1) ta có:

Xg(Y, Z) = g(∇X Y , Z) +g(Y , ∇X Z) (5) Yg(Z, X) = g(∇Y Z, X) +g(Z , ∇Y X ) (6) Zg( X, Y) = g(∇Z X, Y) +g(X , ∇Z Y) (7)

Đây chính là đẳng thức (4) Tính duy nhất được chứng minh

1.3.4 Độ cong trên đa tạp Riemann

1.3.4.1 Những khảo sát đại số có liên quan

Giả sử V là không gian vectơ thực n – chiều và :R V× × × →
V V V

là ánh xạ đa tuyến tính có các tính chất sau:

1.3.4.2 Độ cong thiết diện

Giả sử M là một đa tạp Riemann n – chiều với metric g Giả sử R(X, Y)

là phép biến đổi độ cong trong T M x( )được xác định bởi các vectơ X,Y∈ ( )T M x Ta chọn liên thông metric Γ sao cho đa tạp Riemann có độ xoắn bằng 0

Tenxơ độ cong Riemann đối với M cũng được kí hiệu là R, là trường tenxơ hiệp biến bậc 4 (kiểu (0 ,4)) của (M, g) được định nghĩa như sau:

sở trực chuẩn đối với P

K(P) không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trực chuẩn X X1, 2 Do đó tập hợp các giá trị K(P) đối với mặt phẳng P trong ( )T M x xác định một tenxơ

độ cong Riemann tại x

1.3.4.3 Độ cong Ricci

Giả sử M là đa tạp Riemann với liên thông Levi – Civita Tenxơ Ricci

là trường tenxơ hai lần hiệp biến , kí hiệu S(X, Y) , xác định như sau:

S X Y =trace ZpR X Y Z với ∀ X,Y, Z ∈V(M)

Xét dạng toàn phương tương ứng với S vS v v( , ) Với

Đa tạp Riemann có độ cong Ricci hằng được gọi là đa tạp Anhstanh

1.3.5 Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann

Giả sử M và M’ là hai đa tạp Riemann với tenxơ metric g và g’ tương ứng Ánh xạ khả vi f : M→M’ được gọi là đẳng cự tại điểm p∈M nếu g(X, Y) = g’(f *(X),f *(Y)) với mọi X , Y ∈T M p Ánh xạ f được gọi là đẳng cự , nếu nó đẳng cự tại mỗi điểm của M

Nếu f là ánh xạ đẳng cự từ M đến M’ thì ánh xạ tiếp xúc T f p là ánh xạ đơn ánh với mỗi p∈M , nghĩa là f là một dìm

Ánh xạ f đẳng cấu tại mọi điểm thuộc M , là một phép nhúng gọi là phép nhúng đẳng cự

Hai đa tạp Riemannn M và M’ được gọi là đẳng cự , nếu tồn tại một vi phôi đẳng cự f từ M lên M’, tức f là song ánh , đẳng cự và ánh xạ ngược f−1

cũng là ánh xạ đẳng cự

1.3.6 Tính đầy của đa tạp Riemann

Một đa tạp Riemann M hay một metric Riemann g trên M được gọi là đầy nếu liên thông Riemann là đầy, tức nếu mọi đường trắc địa của M có thể được thác triển thành các giá trị lớn tùy ý với các tham số chính tắc của nó

1.3.6.1 Định lý

Lấy M và M* là các đa tạp Riemann liên thông có cùng số chiều

Chứng minh

Cho một metric Riemann bất kì trên M Khi đó có một metric Riemann duy nhất g* trên M* sao cho p là một phép nhúng chìm đẳng cự Vì M* compact, nên (M*, g*) là đa tạp Riemann đầy Do định lý 1.3.6.1, p là phép chiếu phủ và từ đó M là compact

2.1.1 Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một

đa tạp Riemann Công thức Gauss

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu về tính liên thông Riemann cảm sinh của một đa tạp con của một đa tạp Riemann

Gọi N là một đa tạp Riemann n p + chiều với metric Riemann g , Γ

là liên thông Levi – Cita ứng với g ( còn gọi là liên thông Riemann trên

( ,N g)

Lấy M là một đa tạp n chiều được nhúng trong một đa tạp Riemann

N Ta kí hiệu '∇ là đạo hàm thuận biến trên N Vì việc nghiên cứu mang tính địa phương, ta giả định rằng , M được nhúng vào trong N , và ta có thể chọn p nhát cắt ξ1; ;ξ của phân thớ trực giao ( )n T M ⊥, nghĩa là : chọn p

trường các vectơ pháp tuyến khả vi, đó là các vectơ độc lập tuyến tính tại mỗi điểm của M Chúng có thể được giả định là trực chuẩn tại mỗi điểm của M

Lấy X và Y là các trường vectơ trên M Vì ( '∇ X Y)x được xác định

tại mỗi x M∈ , chúng ta sẽ kí hiệu (∇X Y)x là thành phần tiếp xúc và ( , )

x X Y

α là thành phần pháp tuyến của nó, sao cho:

với (∇X Y)x ∈T M x( ) và αx( , )X Y ∈T M x( )⊥

( '∇ X Y)x = ∇( X Y)x + αx( , )X Y

ở đây (∇X Y)x được giới thiệu như một kí hiệu cho thành phần tiếp xúc , vấn

đề cần chỉ ra là : Nó thực sự là đạo hàm thuận biến của liên thông Riemann

Tương tự , ( , )α X Y cũng là một trường khả vi của các vectơ pháp

tuyến đối với M Ta chứng minh

( ) p( ) p( )

p X p ∈T M ⊂T N

Bởi vì :f M →N là một nhúng khả vi Trong nhiều trường hợp, để đơn giản

kí hiệu, ta đồng nhất phần tử p M∈ với ( )f p ∈ , khi đó N T M p( )⊂T N p( )

Do đó có thể xem X là trường vectơ (tiếp xúc) trên N)

(Do tính chất tuyến tính của phép chiếu ( )T N x →T M x( ))

Tính chất 2) và 3) được chứng minh tương tự dựa vào các tính chất tương ứng của liên thông tuyến tính '∇ trên N , và tính tuyến tính của phép

(a) độ xoắn tensor của Γ bằng 0, tức

Nếu ta thác triển X và Y thành các trường vectơ X' và 'Y trên N ,

khi đó thu hẹp của [ ', ']X Y trên M tiếp xúc với M và trùng với [ , ]X Y Do

∇ − ∇ − = 0( vì vế trái bằng 0 nên thành phần tiếp xúc với M ở

vế phải cũng bằng 0, và thành phần trực giao với M ở vế phải cũng phải bằng 0)

Suy ra ∇X Y − ∇Y X =[ , ]X Y

Ta chứng minh được (a)

Hơn nữa ta có ( , )α X Y = α( , )Y X

Để chứng minh (b) , ta bắt đầu từ '∇ g = , từ định lý 1.3.2.2 chương 1, 0

kéo theo trên M

với bất kì trường vectơ X , Y , và Z trên M

Tuy nhiên ta có:

[ ', ']X Y x =[ , ]X Y x

''X Y' 'X Y

( , ) ( 'X , ) ( , 'X )

X g Y Z = g ∇ Y Z +g Y ∇ Z

( 'X , ) ( X ( , ), ) ( X , )

g ∇ Y Z =g ∇ Y +α X Y Z =g ∇ Y Z , vì ( , )α X Y trực giao với M Một cách tương tự , ta có:

( , 'X ) ( , X ( , )) ( , X )

g Y ∇ Z =g Y ∇ Z + α X Z =g Y ∇ Z Như vậy , X g Y Z ( , )=g(∇X Y Z, )+g Y( ,∇X Z), điều này có nghĩa 0

g

∇ =

Mặt khác, liên thông Riemann được xác định trên M là duy nhất do định lý 1.3.3.2 chương 1 Do đó , liên thông tuyến tính Γ trên M chính là liên thông Riemann đối với metric cảm sinh trên M

Suy ra α là F(M) – song tuyến tính

Ta chứng minh ( , )α X Y tại mỗi điểm x M∈ chỉ phụ thuộc vào X x và

Thật vậy, tồn tại lân cận của x , trên đó có các trường vectơ X i, và các hàm f i nhẵn sao cho X =∑ f X i i và ( ) 0f x i =

Ta chứng minh tương tự như trên, dựa vào kết quả : α là F(M) – song tuyến tính

Vì ( , )α X Y tại mỗi điểm x M∈ , chỉ phụ thuộc vào X x( ) và ( )Y x

(tương ứng kí hiệu là X x và Y x ), nên tại mỗi điểm x M∈ , ta xác định được ánh xạ

Ta định nghĩa α : X(M)× X(M)→ X(M) ⊥ như là dạng cơ bản thứ hai

của M ( đối với phép nhúng đã được cho vào trong N )

Với mỗi x M∈ , αx: ( )T M x ×T M x( )→T M x( )⊥ được gọi là dạng cơ

bản thứ hai của M tại x

Trong trường hợp M là một siêu mặt được nhúng trong N , chọn một trường các vectơ pháp tuyến đơn vị ξ trong một lân cận U của một điểm

T M ×T M Theo thuật ngữ cổ điển , h được gọi là dạng cơ bàn thứ hai

của M đối với sự lựa chọn ξ

Nếu có thể chọn một trường các vectơ pháp tuyến đơn vị ξ một cách

tổng thể trên M , ta có thể xác định h một cách tổng thể như là một ánh xạ

h : X(M)× X(M) → F(M)

Một cách tổng quát hơn , nếu M có số đối chiều p , ta có thể chọn p

các trường vectơ pháp tuyến đơn vị ξ1, ,ξ mà chúng trực giao tại mỗi nđiểm Ta có thể biểu diễn α bởi

1

( , ) n i( , )

i i

chỉ ra rằng trường vectơ x→( ( ))A Xξ x và trường các vectơ trực giao ( X )x

x→ D ξ là các trường vectơ khả vi trên M